Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác và xuất hiện khá nhiều dạng bài tập xoay quanh. Bài viết này sẽ giúp bạn tìm hiểu chi tiết một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ứng dụng giải tam giác và chứng minh đẳng thức cho trước.
Tổng quan lý thuyết
[content_1]Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
– Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề;
– Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề
Trong hình bên thì:
b = a sin B = a cos C; c = a sin C = a cos B
b = c tan B = c cot C; c = b tan C = b cot B
Giải tam giác vuông: Là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vuông B khi biết hai yếu tố của nó (trong đó ít nhất có một yếu tố về độ dài).
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Chứng minh hệ thức
[content_2]Phương pháp giải
Sử dụng định lý Ta-lét và hệ thức lượng đã học biến đổi các vế, đưa về dạng đơn giản để chứng minh.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho ΔABC nhọn có đường cao AH. Chứng minh:
AB2 – AC2 = BH2 – CH2
Hướng dẫn giải
Xét ΔABH vuông tại H, ta có:
AB2 = AH2 + BH2 (1)
Xét ΔACH vuông tại H, ta có:
AC2 = AH2 + CH2 (2)
Lấy (1) – (2) ta được:
AB2 – AC2 = BH2 – CH2 (đpcm).
Câu 2. Cho tứ giác lồi ABCD có AC ⊥ BD tại O. Chứng minh:
AB2 + CD2 = AD2 + BC2
Hướng dẫn giải
Lần lượt xét các tam giác vuông
AOD, AOB, BOC, DOC ta được:
![\[\left\{ \begin{gathered} A{D^2} = O{A^2} + O{D^2}{\text{ }}\left( 1 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ C{D^2} = O{C^2} + O{D^2}{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ A{B^2} = O{A^2} + O{B^2}{\text{ }}\left( 3 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ B{C^2} = O{B^2} + O{C^2}{\text{ }}\left( 4 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-1.svg)
Lấy ![\[\left\{ \begin{gathered} \left( 1 \right) + \left( 2 \right) \hfill \\ \left( 3 \right) + \left( 4 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-2.svg)
ta được:
![\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} A{B^2} + C{D^2} = O{A^2} + O{B^2}{\text{ + }}O{C^2} + O{D^2} \hfill \\ A{D^2} + B{C^2} = O{A^2} + O{B^2}{\text{ + }}O{C^2} + O{D^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow A{B^2} + C{D^2} = A{D^2} + B{C^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-3.svg)
Câu 3. Cho tam giác ABC cân tại A (A < 90°), kẻ BM ⊥ CA. Chứng minh:
![\[\frac{{AM}}{{MC}} = 2{\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2} - 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-4.svg)
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm BC.
Lại có: ΔABC cân tại A
⇒ AH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao.
Xét ΔAHC và ΔBMC, có:
![\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \widehat {AHC} = \widehat {BMC} = 90^\circ \hfill \\ \widehat {BCM}{\text{ chung}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \Delta AHC \sim \Delta BMC\left( {g.g} \right) \hfill \\ \Rightarrow \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{MC}}{{HC}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{2MC}}{{BC}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow B{C^2} = 2MC \cdot AC{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-5.svg)
Xét:
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{AC - MC}}{{MC}} = 2{\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2} - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{AC}}{{MC}} = 2{\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2}\left( 2 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-6.svg)
Thay (1) vào (2), suy ra:
![\[\begin{gathered} \frac{{AC}}{{MC}} = \frac{{2A{B^2}}}{{2MC \cdot AC}}{\text{ }} \Leftrightarrow AC = \frac{{A{B^2}}}{{AC}} \hfill \\ \Leftrightarrow A{C^2} = A{B^2} \Rightarrow \rlap{--} Dpcm\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-8.svg)
Câu 4. Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng:
a) AE2 = EK⋅EG
b) ![\[\frac{1}{{AE}} = \frac{1}{{AK}} + \frac{1}{{AG}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-9.svg)
c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK⋅DG có giá trị không thay đổi.
Hướng dẫn giải
a) Vì ![\[AD\parallel BK \Rightarrow \frac{{EK}}{{AE}} = \frac{{EB}}{{ED}}{\text{ }}\left( 1 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-10.svg)
![\[AB\parallel DG \Rightarrow \frac{{AE}}{{EG}} = \frac{{EB}}{{ED}}{\text{ }}\left( 2 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-11.svg)
Từ (1) và (2) có:
![\[\frac{{EK}}{{AE}} = \frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{AE}}{{EG}} \Rightarrow A{E^2} = EK \cdot EG\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-12.svg)
Vậy AE2 = EK⋅EG
b) Vì ![\[AD\parallel BK \Rightarrow \frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{DE}}{{DB}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-13.svg)
![\[AB\parallel DG \Rightarrow \frac{{AE}}{{AG}} = \frac{{BE}}{{BD}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-14.svg)
Nên ![\[\frac{{AE}}{{AK}} + \frac{{AE}}{{AG}} = \frac{{DE}}{{DB}} + \frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{BD}} = 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-15.svg)
⇒
Vậy
c) Đặt AB = a, AD = b
Vì ![\[AB\parallel CG \Rightarrow \frac{{BK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{CG}} = \frac{a}{{CG}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-16.svg)
![\[AD\parallel CK \Rightarrow \frac{{KC}}{{AD}} = \frac{{CG}}{{DG}} = \frac{{KC}}{b}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-17.svg)
Nên ![\[\frac{{BK}}{a} = \frac{b}{{DG}} \Rightarrow BK \cdot DG = ab\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-18.svg)
(hằng số)
Vậy khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK⋅DG có giá trị không thay đổi.
Câu 5. Cho hình thang ABCD có AB = a, CD = b. Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. Chứng minh rằng:
![\[\frac{1}{{OE}} = \frac{1}{{OG}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-19.svg)
Hướng dẫn giải
Vì OE // AB nên
![\[\frac{{OE}}{{AB}} = \frac{{DE}}{{DA}} \Leftrightarrow \frac{{OE}}{a} = \frac{{DE}}{{DA}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-20.svg)
(theo hệ quả định lý Ta-lét) (1)
Vì OE // CD nên
![\[\frac{{OE}}{{DC}} = \frac{{AE}}{{DA}} \Leftrightarrow \frac{{OE}}{b} = \frac{{AE}}{{DA}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-21.svg)
(theo hệ quả định lý Ta-lét) (2)
Từ (1) và (2) ta được:
![\[\begin{gathered} \frac{{OE}}{a} + \frac{{OE}}{b} = \frac{{DE}}{{DA}} + \frac{{AE}}{{DA}} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow OE\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{{OE}} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-22.svg)
Tương tự có: ![\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{{OG}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-23.svg)
Vậy ![\[\frac{1}{{OE}} = \frac{1}{{OG}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-24.svg)
Dạng 2. Tìm độ dài đoạn thẳng, số đo góc
[content_3]Phương pháp giải
Bước 1. Đặt độ dài cạnh, góc bằng ẩn.
Bước 2. Thông qua giả thiết và các hệ thức lượng lập phương trình chứa ẩn.
Bước 3. Giải phương trình, tìm ẩn số. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng hoặc góc cần tìm.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho ΔABC vuông tại A có đường cao AH, có AB = 15 cm, AH = 12 cm. Tính BH, BC, CH, AC.
Hướng dẫn giải
Xét ΔABC vuông tại A, có đường cao AH. Ta có:
![\[\begin{gathered} \bullet {\text{ }}\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{{12}^2}}} - \frac{1}{{{{15}^2}}} = \frac{1}{{400}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow AC = 20 \hfill \\ \bullet {\text{ }}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {15^2} + {20^2} = 625\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow BC = 25 \hfill \\ \bullet {\text{ }}A{B^2} = BH \cdot BC \Leftrightarrow BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{{15}^2}}}{{25}} = 9\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \bullet {\text{ }}A{C^2} = CH \cdot CB \Leftrightarrow CH = \frac{{A{C^2}}}{{CB}} = \frac{{{{20}^2}}}{{25}} = 16\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-25.svg)
Câu 2. Cho hình thang ABCD, vẽ DE ⊥ AC (E ∈ AC). Biết AB = 9 cm, AC = 17 cm, CD = 15 cm.
a) Tính AD, BC, DE
b) Tính SABCD, SABC
Hướng dẫn giải
a) Xét ΔADC vuông tại D, có đường cao DE, ta được:
![\[\begin{gathered} \bullet {\text{ }}A{D^2} = A{C^2} - D{C^2} = {17^2} - {15^2} = 64 \hfill \\ \Rightarrow AD = 8\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \bullet {\text{ }}\frac{1}{{D{E^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{D{C^2}}} = \frac{1}{{{8^2}}} + \frac{1}{{{{15}^2}}} = \frac{{289}}{{14400}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow DE = \frac{{120}}{{17}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-26.svg)
Từ B kẻ BH ⊥ DC (H ∈ DC)
⇒ AD // BH
Ta lại có: AB // DH (ABCD là hình thang) và ![\[\widehat {BAD} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-27.svg)
⇒ ABDH là hình chữ nhật.
⇒ ![\[\left\{ \begin{gathered} AB = DH = 9 \hfill \\ AD = BH = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-28.svg)
Xét ΔBHC vuông tại H, ta được:
BC2 = BH2 + HC2 = 82 + (DC – DH)2
= 64 + 36 = 100
⇒ BC = 10 (cm)
b) Ta có:
![\[\begin{gathered} \bullet {\text{ }}{S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + DC} \right)AD}}{2} = 92\left( {c{m^2}} \right) \hfill \\ \bullet {\text{ }}{S_{ADC}} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DC = \frac{{8 \cdot 15}}{2} = 60\left( {c{m^2}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow {S_{ABC}} = {S_{ABCD}} - {S_{ADC}} = 92 - 60 = 32\left( {c{m^2}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-29.svg)
Câu 3. Cho ΔABC vuông tại A, có AB = ![\[\frac{3}{4}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-30.svg)
AC, BC = 30 cm. Tính AB, AC.
Hướng dẫn giải
Gọi ![\[AC = x\left( {cm} \right) \Rightarrow AB = \frac{{3x}}{4}\left( {cm} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-31.svg)
với x > 0.
Xét ΔABC vuông tại A, có:
![\[\begin{gathered} B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Leftrightarrow 900 = \frac{{9{x^2}}}{{16}} + {x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} = 576 \Leftrightarrow x = 24\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-32.svg)
Vậy AC = 24 cm, AB = 18 cm
Câu 4. Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC).
a) Tính cạnh hình thoi biết AB = c, BC = a.
b) Chứng minh ![\[BD < \frac{{2ac}}{{a + c}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-33.svg)
với AB = c, BC = a.
c) Tính độ dài AB, BC biết AD = m, DC = n, DE = d.
Hướng dẫn giải
a) Gọi độ dài cạnh hình thoi là x.
Vì ED // BC nên ![\[\frac{{ED}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-34.svg)
(hệ quả định lý Ta-lét)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow \frac{x}{a} = \frac{{c - x}}{c} \Leftrightarrow cx = a\left( {c - x} \right) \Leftrightarrow cx = ac - ax \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {a + c} \right)x = ac \Leftrightarrow x = \frac{{ac}}{{a + c}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-35.svg)
Vậy ![\[x = \frac{{ac}}{{a + c}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-36.svg)
b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK = BA
Ta có tam giác ABK cân tại B nên ![\[\widehat {BKA} = \widehat {BAK} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-37.svg)
(tính chất góc ngoài tam giác).
Mà ![\[\widehat {EBD} = \widehat {DBF} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-38.svg)
![\[ \Rightarrow \widehat {AKB} = \widehat {DBF} \Rightarrow BD\parallel AK\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-39.svg)
![\[ \Rightarrow \frac{{BD}}{{AK}} = \frac{{CB}}{{CK}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-40.svg)
(hệ quả định lý Ta-lét)
![\[ \Rightarrow \frac{{BD}}{{AK}} = \frac{{CB}}{{BC + BK}} = \frac{a}{{a + c}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-41.svg)
(1)
Trong tam giác ABK có:
AK < AB + BH = c + c = 2c (định lý về độ dài cạnh trong tam giác) (2)
Từ (1) và (2) có: ![\[BD < \frac{a}{{a + c}} \cdot 2c = \frac{{2ac}}{{a + c}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-42.svg)
Vậy
c) Vì ED BC // nên ![\[\frac{{ED}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AC}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-43.svg)
(hệ quả định lý Ta-lét)
![\[ \Rightarrow \frac{d}{{BC}} = \frac{m}{{m + n}} \Rightarrow BC = \frac{{d\left( {m + n} \right)}}{m}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-44.svg)
Tương tự có ![\[AB = \frac{{d\left( {m + n} \right)}}{m}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-45.svg)
Vậy ![\[BC = \frac{{d\left( {m + n} \right)}}{m}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-46.svg)
và
Câu 5. Cho tam giác ABC, PQ // BC với P, Q là các điểm tương ứng thuộc AB, AC. Đường thẳng PC và QB cắt nhau tại G. Đường thẳng đi qua G và song song với BC cắt AB tại E và AC tại F. Biết PQ = a, FE = b. Tính độ dài của BC.
Hướng dẫn giải
Đặt BC = x.
Áp dụng kết quả của Câu 5 – dạng 1 ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{1}{{GE}} = \frac{1}{{GF}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{x} \Rightarrow GE = GF = \frac{{ax}}{{a + x}} \hfill \\ \Rightarrow GE + GF = \frac{{2ax}}{{a + x}} \Leftrightarrow EF = \frac{{2ax}}{{a + x}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow b = \frac{{2ax}}{{a + x}} \Leftrightarrow ab + bc - 2ax = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{b}{{2a - b}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-49.svg)
Vậy ![\[BC = \frac{b}{{2a - b}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-50.svg)
Câu 6. Trên cạnh BC của hình vuông ABCD cạnh 6, lấy điểm E sao cho BE = 2. Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CF = 3. Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính góc AMC.
Hướng dẫn giải
Gọi H là giao điểm của CM và AB, G là giao điểm của AM và DF.
Vì AB // CG nên
![\[\frac{{AB}}{{CG}} = \frac{{BE}}{{EC}} = \frac{{BE}}{{BC - BE}} = \frac{2}{{6 - 2}} = \frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-51.svg)
(hệ quả định lý Ta-lét)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow CG = 2AB = 2 \cdot 6 = 12\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow FG = CG - CF = 12 - 3 = 9 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-52.svg)
Vì AH // CG nên ![\[\frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{CF}}{{FG}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-53.svg)
![\[ \Rightarrow \frac{{BH}}{6} = \frac{3}{9} \Rightarrow BH = 6 \cdot \frac{3}{9} = 2 \Rightarrow BH = BE\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-54.svg)
Xét ΔBAE và ΔBCH có:
BE = BH (theo trên)
![\[\widehat {ABE} = \widehat {CBH} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-55.svg)
AB = BC (tính chất hình vuông)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow \Delta BAE = \Delta BCH{\text{ }}\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {BEA} = \widehat {BHC}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {AMC} = \widehat {MAH} + \widehat {AHM}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = \widehat {MAH} + \widehat {AEB} = 90^\circ } \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-55a.svg)
Vậy ![\[\widehat {AMC} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-56.svg)
Dạng 3. Toán thực tế
[content_4]Câu 1. Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 m, các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 42°. Tính chiều cao của cột đèn.
Hướng dẫn giải
Gọi chiều cao của cột đèn là AB, bóng của nó trên mặt đất là AC.
Ta có: ![\[\widehat {BAC} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-57.svg)
Theo giả thiết, ta có ![\[\widehat {BCA} = 42^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-58.svg)
Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
![\[\begin{gathered} \tan \widehat {BCA} = \frac{{AB}}{{AC}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow AB = AC \cdot \tan \widehat {BCA} \approx 7,5 \cdot \tan 42^\circ \approx 6,75cm \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-59.svg)
Vậy chiều cao của cột đèn là 6,75 (cm).
Câu 2. Ở độ cao 920m, từ một máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm D, C của hai đầu cầu những góc so với đường vuông góc với mặt đất các góc lần lượt là α = 37°, β = 31°. Tính chiều dài CD của cây cầu.
Hướng dẫn giải
Gọi A là vị trí của trực thăng, B là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt đất. C và D là hai điểm đầu cầu.
Ta có: ![\[\tan \widehat {BAD} = \frac{{BD}}{{AB}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-60.svg)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow BD = AB \cdot \tan \widehat {BAD} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}}&{ = 920 \cdot \tan 37^\circ \approx 920 \cdot 0,754 \approx 693,68m} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-61.svg)
Mặt khác: ![\[\tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-62.svg)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow BC = AB \cdot \tan \widehat {BAC} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}}&{ = 920 \cdot \tan 31^\circ \approx 920 \cdot 0,6 \approx 552m} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-63.svg)
Vậy chiều dài của cây cầu là:
CD = BD – BC ≈ 693,68 – 552 = 141,68 (m)
Câu 3. Một sợi dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì dư ra một đoạn dây dài 0,5 m. Nếu kéo căng sợi dây sao cho đầu dây chạm đất thì đo được khoảng cách từ đầu dây đến gốc cây là 2,5 m. Tính chiều cao cây.
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài dây là AC và chiều cao cây là AB. Đặt AB = x (m) với x > 0,5.
Do khi dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì dư ra một đoạn = 0,5 m.
⇒ AC = x + 0,5 (m)
Xét ΔABC vuông tại B, ta được:
AC2 = BC2 + AB2
⇔ (x + 0,5)2 = 2,52 + x2
⇔ x2 + x + 0,25 = 6,25 + x2
⇔ x = 6
Vậy cây cao 6m.
Câu 4. Nhà An ở vị trí A, nhà Bảo ở vị trí B cách nhau 2 km. Quán Game ở tại vị trí C, biết AC = 800 m và AB ⊥ AC. Vào một ngày đẹp trời, An hẹn Bảo đến quán Game. Biết An đi bộ với vận tốc 5 km/h và Bảo đi xe đạp. Hỏi Bảo phải đi với vận tốc bao nhiêu để đến quán Game cùng lúc với An.
Hướng dẫn giải
800 m = 0,8 km.
Xét ΔABC vuông tại A, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 20002 + 8002
⇔ BC = 2154 (m) = 2,154 (km)
Thời gian An đi từ nhà đến quán Game là
![\[{t_1} = \frac{{AC}}{{{v_1}}} = \frac{{0,8}}{5} = 0,16\left( h \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-64.svg)
Thời gian Bảo đi từ nhà đến quán Game là
![\[{t_2} = \frac{{BC}}{{{v_2}}} = \frac{{2,154}}{{{v_2}}}\left( h \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-65.svg)
Do An và Bảo đến cùng lúc nên
![\[{t_1} = {t_2} \Leftrightarrow \frac{{2,154}}{{{v_2}}} = 0,16 \Leftrightarrow {v_2} \approx 13,5\left( {km/h} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-66.svg)
Vậy Bảo sẽ đi với vận tốc ≈ 13,5 km/h.
Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, biết rằng AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính BH, AH.
Hướng dẫn giải
Tam giác ABC vuông tại A (gt), theo định lý Py-ta-go ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100
⇒ BC = 10 cm
Tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao theo hệ thức liên hệ giữa các cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền.
Ta có: BH⋅BC = AB2
⇔ BH⋅10 = 62
⇒ BH = 3,6 cm
Theo hệ thức liên quan đến đường cao
Ta có: AH⋅BC = AB⋅AC
⇔ AH⋅10 = 6⋅8
⇒ AH = 4,8 cm
Câu 2. Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 5 cm, BC = 13 cm, đường cao AH. Tính AH.
Hướng dẫn giải
Ta có: AB2 + AC2 = 122 + 52 = 169
BC2 = 132 = 169
∆ABC có AB2 + AC2 = BC2, theo định lý đảo Py-ta-go ta có tam giác ABC vuông tại A.
Mà AH là đường cao của tam giác ABC (gt)
Do đó theo hệ thức liên quan đến đường cao,
Ta có: AH⋅BC = AB⋅AC
⇔ AH⋅13 = 12⋅5
⇒ AH = ![\[\frac{{60}}{{13}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-67.svg)
(cm)
Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao, D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng:
a) AD⋅AB = AE⋅AC
b) ![\[\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-68.svg)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ∆AHB vuông tại H
HD là đường cao, theo hệ thức liên quan đến đường cao, ta có:
AD⋅AB = AH2
Tương tự cũng có: AE⋅AC = AH2
Do đó: AD⋅AB = AE⋅AC
b) Xét ∆AED và ∆ABC có:
![\[\widehat {EAD}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-69.svg)
chung
![\[\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}{\text{ }}\left( {Do{\text{ }}AD \cdot AB = AE \cdot AC} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-70.svg)
Do đó: ∆AED ~ ∆ABC
![\[ \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {ABC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-71.svg)
Câu 4. Cho tam giác nhọn ABC, BD và CE là hai đường cao. Các điểM, N M trên các đường thẳng BD, CE sao cho ![\[\widehat {AMB} = \widehat {ANC} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-72.svg)
. Chứng minh rằng tam giác AMN cân.
Hướng dẫn giải
Xét ∆ABD và ∆ACE có:
![\[\widehat {BAD}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-73.svg)
chung
![\[\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\left( { = 90^\circ } \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-74.svg)
Do đó: ∆ABD ~ ∆ACE
![\[ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AE}} \Rightarrow AE \cdot AB = AD \cdot AC\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-75.svg)
(1)
∆AMB vuông tại M (gt), ME là đường cao (gt), theo hệ thức liên quan tới đường cao có:
AM2 = AE⋅AB (2)
Tương tự cũng có: AN2 = AD⋅AC (3)
Từ (1), (2), (3) có: AM2 = AN2
⇒ AM = AN
⇒ ∆AMN cân tại A
Câu 5. Cho hình vuông ABCD, một điểm E bất kỳ thuộc cạnh AB. Gọi F là giao điểm của DE và BC. Chứng minh rằng:
![\[\frac{1}{{D{A^2}}} = \frac{1}{{D{E^2}}} + \frac{1}{{D{F^2}}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-76.svg)
Hướng dẫn giải
Qua D dựng đường thẳng vuông góc với DE, cắt BC tại P.
Trong tam giác vuông DPF, có DC là đường cao nên:
![\[\frac{1}{{C{D^2}}} = \frac{1}{{D{P^2}}} + \frac{1}{{D{F^2}}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-77.svg)
Trong đó: CD = DA (cạnh hình vuông)
∆DCE = ∆DCP (g.c.g) ⇒ DP = DE
Vậy
Nhận xét: Khi E di động trên cạnh AB ta luôn có:
![\[\frac{1}{{D{E^2}}} + \frac{1}{{D{F^2}}} = \frac{1}{{D{A^2}}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-79.svg)
Kết quả bài toán được phát biểu cách khác
Chứng minh rằng: ![\[\frac{1}{{D{E^2}}} + \frac{1}{{D{F^2}}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-80.svg)
không đổi
Câu 6. Cho đoạn thẳng AB = 4 cm. C là điểm di động sao cho BC = 3 cm. Vẽ tam giác AMN vuông tại A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để ![\[\frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-81.svg)
đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Xét ∆AMN vuông tại A, AC là đường cao (gt)
Theo hệ thức liên quan đường cao trong tam giác vuông, ta có:
![\[\frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{A{C^2}}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-82.svg)
Xét ba điểm A, B, C ta có:
AC ≥ |AB – BC|
AC ≥ 1 (cm)
Do vậy: ![\[\frac{1}{{AC}} \leqslant 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{A{C^2}}} \leqslant 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-83.svg)
Dấu “=” xảy ra ⇔ C nằm giữa A và B
Vậy khi C nằm giữa A và B sao cho BC = 3 cm thì lớn nhất
Câu 7. Cho hình thoi ABCD với ![\[\widehat A = 120^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-84.svg)
. Tia Ax tạo với tia BAx bằng 15° và cắt cạnh BC tại M, cắt đường CD tại N. Chứng minh rằng:
![\[\frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{4}{{3A{B^2}}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-85.svg)
Hướng dẫn giải
Vẽ AE ⊥ AN, E ∈ DC và AH ⊥ DC, H ∈ DC
Ta có: ![\[\widehat {DAE} = \widehat {DAB} - \left( {\widehat {EAN} + \widehat {BAx}} \right) = 15^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-86.svg)
Xét ∆ABM và ∆ADE, có:
![\[\widehat {ABM} = \widehat {ADE}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-87.svg)
AB = AD (vì ABCD là hình thoi)
![\[\widehat {BAM} = \widehat {DAE}\left( { = 15^\circ } \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-88.svg)
Do đó: ∆ABM = ∆ADE (c.g.c)
⇒ AM = AE
∆ADH vuông tại H, có:
![\[\widehat {ADH} = 180^\circ - \widehat {BAD} = 60^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-89.svg)
nên ∆ADH là nửa tam giác đều
Suy ra: ![\[DH = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}AB\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-90.svg)
∆ADH có ![\[\widehat H = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-91.svg)
, theo định lí Py-ta-go ta có:
![\[\begin{gathered} A{H^2} + D{H^2} = A{D^2} \hfill \\ \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - {\left( {\frac{1}{2}AB} \right)^2} = \frac{3}{4}A{B^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{4}{{3A{B^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-92.svg)
∆AEN có ![\[\widehat A = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-93.svg)
, AH ⊥ DN, theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
![\[\frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{4}{{3A{B^2}}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-94.svg)
Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Cho biết BH = x, HC = y. Chứng minh rằng:
![\[\sqrt {xy} \leqslant \frac{{x + y}}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-95.svg)
Hướng dẫn giải
Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC
Tam giác vuông tại A, AH là đường cao, theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Ta có: AH2 = BH⋅HC
BH = x (gt);
HC = y (gt)
Nên ![\[A{H^2} = xy \Rightarrow AH = \sqrt {xy} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-96.svg)
∆ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến
Nên ![\[AM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{x + y}}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-97.svg)
Ta có: AH ⊥ HM nên AH ≤ AM
Do đó:
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. AH2 = AB⋅AC
B. AH2 = BH⋅CH
C. AH2 = AB⋅BH
D. AH2 = CH⋅BC
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
Khi đó ta có hệ thức: AH2 = BH⋅CH
Câu 2. “Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng ……”. Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là:
A. Tích hai cạnh góc vuông.
B. Tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
C. Tích cạnh huyền và 1 cạnh góc vuông.
D. Tổng nghịch đảo các bình phương của hai cạnh góc vuông.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
Khi đó ta có hệ thức: AH2 = BH⋅CH
Hay “Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền”.
Câu 3. Cho tam ABC vuông tại A, đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai?
A. b2 = b’⋅c
B. ![\[\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-98.svg)
C. a⋅h = b’⋅c’
D. h2 = b’⋅c’
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Nhận thấy a⋅h = b⋅c nên phương án C là sai.
Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai?
A. AB2 = BH⋅BC
B. AC2 = CH⋅BC
C. AB⋅AC = AH⋅BC
D. ![\[A{H^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2} \cdot A{C^2}}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-99.svg)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có hệ thức:
AC2 = CH⋅BC;
AB2 = BH⋅BC;
AB⋅AC = AH⋅BC;
![\[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-100.svg)
Nhận thấy phương án D: ![\[A{H^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2} \cdot A{C^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-101.svg)
là sai
Câu 5. Tìm x, y trong hình vẽ sau:
A. x = 7,2; y = 11,8
B. x = 7; y = 12
C. x = 7,2; y = 12,8
D. x = 7,2; y = 12
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
![\[\begin{gathered} A{B^2} = BH \cdot BC \Leftrightarrow BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{144}}{{20}} = 7,2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow CH = BC - BH = 20 - 7,2 = 12,8 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-102.svg)
Vậy x = 7,2; y = 12,8
Câu 6. Tính x, y trong hình vẽ sau:
A. x = 6,5; y = 9,5
B. x = 6,25; y = 9,75
C. x = 9,25; y = 6,75
D. x = 6; y = 10
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
![\[\begin{gathered} A{B^2} = BH \cdot BC \Leftrightarrow BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{100}}{{16}} = 6,25\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow CH = BC - BH = 16 - 6,25 = 9,75 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-103.svg)
Vậy x = 6,25; y = 9,75
Câu 7. Tìm x, y trong hình vẽ sau:
A. x = 3,6; y = 6,4
B. x = 3; y = 6
C. x = 4; y = 6
D. x = 2,8; y = 7,2
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Theo định lý Py-ta-go ta có:
BC2 = AB2 + AC2 ⇔ BC2 = 100 ⇔ BC = 10
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
![\[\begin{gathered} A{B^2} = BH \cdot BC \Leftrightarrow BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{36}}{{10}} = 3,6 = x\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow CH = BC - BH = 10 - 3,6 = 6,4 = y \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-104.svg)
Vậy x = 3,6; y = 6,4
Câu 8. Tính x, y trong hình vẽ sau:
A. x = 3,2; y = 1,8
B. x = 1,8; y = 3,2
C. x = 2; y = 3
D. x = 3; y = 2
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Theo định lý Py-ta-go ta có:
BC2 = AB2 + AC2 ⇔ BC2 = 25 ⇔ BC = 5
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
![\[\begin{gathered} A{B^2} = BH \cdot BC \Leftrightarrow BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{9}{5} = 1,8 = x\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow CH = BC - BH = 5 - 1,8 = 3,2 = y \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-105.svg)
Vậy x = 1,8; y = 3,2
Câu 9. Tìm x, y trong hình vẽ sau:
A. ![\[x = \frac{{35\sqrt {74} }}{{74}};{\text{ }}y = \sqrt {74} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-106.svg)
B. ![\[x = \sqrt {74} ;{\text{ }}y = \frac{{35\sqrt {74} }}{{74}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-107.svg)
C. x = 4; y = 6
D. x = 2,8; y = 7,2
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Theo định lý Py-ta-go ta có:
BC2 = AB2 + AC2 ⇔ BC2 = 74 ⇔ BC = ![\[\sqrt {74} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-108.svg)
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
![\[\begin{gathered} AH \cdot BC = AB \cdot AC \hfill \\ \Leftrightarrow AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{5 \cdot 7}}{{\sqrt {74} }} = \frac{{35\sqrt {74} }}{{74}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-109.svg)
Vậy
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, chiều cao AH và AB = 5; AC = 12. Đặt BC = y; AH = x. Tính x, y.
A. x = 4; y = ![\[\sqrt {119} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-111.svg)
B. x = 13; y =
C. x = 4,8; y = 13
D. x = ; y = 13
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Theo định lý Py-ta-go ta có:
BC2 = AB2 + AC2 ⇔ BC2 = 169 ⇔ BC = 13
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
![\[\begin{gathered} AH \cdot BC = AB \cdot AC \hfill \\ \Leftrightarrow AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{5 \cdot 12}}{{13}} = \frac{{60}}{{13}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-112.svg)
Vậy x = ; y = 13
Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH ⊥ BC (H thuộc BC). Cho biết AB : AC = 3 : 4 và BC = 15 cm. Tính độ dài đoạn thẳng BH.
A. BH = 5,4 cm
B. BH = 4,4 cm
C. BH = 5,2 cm
D. BH = 5 cm
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta có:
![\[\begin{gathered} AB:AC = 3:4 \Leftrightarrow \frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} \hfill \\ \Rightarrow \frac{{A{B^2}}}{9} = \frac{{A{C^2}}}{{16}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{9 + 16}} = \frac{{225}}{{25}} = 9\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-113.svg)
(Vì theo định lý Py-ta-go ta có AB2 + AC2 = BC2 ⇔ AB2 + AC2 = 225)
Nên ![\[\frac{{A{B^2}}}{9} = 9 \Rightarrow AB = 9\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-114.svg)
![\[\frac{{A{C^2}}}{{16}} = 9 \Rightarrow AC = 12\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-115.svg)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:
![\[A{B^2} = BH \cdot BC \Rightarrow BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{81}}{{15}} = 5,4\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-116.svg)
Vậy BH = 5,4 cm
Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH ⊥ BC (H thuộc BC). Cho biết AB : AC = 4 : 5 và BC = ![\[\sqrt {41} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-117.svg)
cm. Tính độ dài đoạn thẳng CH (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
A. CH ≈ 2,5 cm
B. CH ≈ 4 cm
C. CH ≈ 3,8 cm
D. CH ≈ 3,9 cm
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Ta có:
![\[\begin{gathered} AB:AC = 4:5 \Leftrightarrow \frac{{AB}}{4} = \frac{{AC}}{5} \hfill \\ \Rightarrow \frac{{A{B^2}}}{{16}} = \frac{{A{C^2}}}{{25}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{16 + 25}} = \frac{{41}}{{41}} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-118.svg)
(Vì theo định lý Py-ta-go ta có AB2 + AC2 = BC2 ⇔ AB2 + AC2 = 41)
Nên ![\[\frac{{A{B^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow A{B^2} = 16 \Rightarrow AB = 4\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-119.svg)
![\[\frac{{A{C^2}}}{{25}} = 1 \Rightarrow A{C^2} = 25 \Rightarrow AC = 5\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-120.svg)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:
![\[A{C^2} = CH \cdot BC \Rightarrow CH = \frac{{A{C^2}}}{{BC}} = \frac{{25}}{{\sqrt {41} }} \approx 3,9\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-121.svg)
Vậy CH ≈ 3,9 cm
Câu 13. Tính x trong hình vẽ sau:
A. x = 14
B. x = 13
C. x = 12
D. x = ![\[\sqrt {145} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-122.svg)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{{A{B^2} \cdot A{C^2}}}{{A{B^2} + A{C^2}}} \hfill \\ \Rightarrow AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \frac{{15 \cdot 20}}{{\sqrt {{{15}^2} + {{20}^2}} }} = 12\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-123.svg)
Vậy x = 12
Câu 14. Tính x trong hình vẽ sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
A. x ≈ 8,81
B. x ≈ 8,82
C. x ≈ 8,83
D. x ≈ 8,80
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2} \cdot A{C^2}}} \hfill \\ \Rightarrow AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \frac{{12 \cdot 13}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{13}^2}} }} \approx 8,82\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-124.svg)
Vậy x ≈ 8,82
Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết: AB : AC = 3 : 4 và AH = 6 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng CH.
A. CH = 8 cm
B. CH = 6 cm
C. CH = 10 cm
D. CH = 12 cm
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta có AB : AC = 3 : 4. Đặt AB = 3a, AC = 4a (a > 0)
Theo hệ thức lượng ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{36}} = \frac{1}{{9{a^2}}} + \frac{1}{{16{a^2}}} \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{{36}} = \frac{{25}}{{144{a^2}}} \Rightarrow a = \frac{5}{2}{\text{ }}\left( {TM} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow AB = 7,5;{\text{ }}AC = 10 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-125.svg)
Theo định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHC ta có:
![\[CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {100 - 36} = 8\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-126.svg)
Vậy CH = 8 cm
Câu 16. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết AB : AC = 3 : 7 và AH = 42 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng CH.
A. CH = 96 cm
B. CH = 49 cm
C. CH = 98 cm
D. CH = 89 cm
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Ta có AB : AC = 3 : 7. Đặt AB = 3a, AC = 7a (a > 0)
Theo hệ thức lượng ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{{{42}^2}}} = \frac{1}{{9{a^2}}} + \frac{1}{{49{a^2}}} \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{{1764}} = \frac{{58}}{{441{a^2}}} \Rightarrow a = 2\sqrt {58} {\text{ }}\left( {TM} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow AB = 6\sqrt {58} ;{\text{ }}AC = 14\sqrt {58} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-127.svg)
Theo định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHC ta có:
![\[CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {14\sqrt {58} } \right)}^2} - {{42}^2}} = 98\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-128.svg)
Vậy CH = 98 cm
Câu 17. Tính x, y trong hình vẽ sau:
A. ![\[x = 2\sqrt 5 ;{\text{ }}y = \sqrt 5 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-129.svg)
B. ![\[x = \sqrt 5 ;{\text{ }}y = 3\sqrt 5 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-130.svg)
C. ![\[x = \sqrt 5 ;{\text{ }}y = 2\sqrt 5 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-131.svg)
D. ![\[x = 2\sqrt 5 ;{\text{ }}y = 5\sqrt 5 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-132.svg)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
AH2 = BH⋅CH ⇔ AH2 = 1⋅4 ⇒ AH = 2
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHB, AHC ta có:
![\[\begin{gathered} AB = \sqrt {A{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 ;\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ AC = \sqrt {A{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-133.svg)
Vậy
Câu 18. Tính x, y trong hình vẽ sau:
A. ![\[x = \sqrt {14} ;{\text{ }}y = \sqrt {35} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-134.svg)
B. ![\[x = \sqrt {35} ;{\text{ }}y = \sqrt {14} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-135.svg)
C. ![\[x = \sqrt {24} ;{\text{ }}y = 3\sqrt 5 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-136.svg)
D. ![\[x = \sqrt 6 ;{\text{ }}y = \sqrt {15} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-137.svg)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
AH2 = BH⋅CH ⇔ AH2 = 2⋅5 ⇒ AH = ![\[\sqrt {10} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-138.svg)
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHB, AHC ta có:
![\[\begin{gathered} AB = \sqrt {A{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {10 + 4} = \sqrt {14} ;\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ AC = \sqrt {A{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {10 + 25} = \sqrt {35} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-139.svg)
Vậy
Câu 19. Tính x trong hình vẽ sau:
A. ![\[x = 6\sqrt 2 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-140.svg)
B. ![\[x = 8\sqrt 2 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-141.svg)
C. ![\[x = 8\sqrt 3 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-142.svg)
D. ![\[x = \frac{8}{{\sqrt 2 }}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-143.svg)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{1}{{M{D^2}}} = \frac{1}{{M{N^2}}} + \frac{1}{{M{P^2}}} \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{{64}} = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{64}} = \frac{2}{{{x^2}}} \Rightarrow x = 8\sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-144.svg)
Vậy
Câu 20. Tính x trong hình vẽ sau:
A.
B. ![\[x = 6\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-146.svg)
C. ![\[x = 6\sqrt 3 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-147.svg)
D. ![\[x = \sqrt {82} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-148.svg)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{1}{{M{D^2}}} = \frac{1}{{M{N^2}}} + \frac{1}{{M{P^2}}} \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{{36}} = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{36}} = \frac{2}{{{x^2}}} \Rightarrow x = 6\sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-149.svg)
Vậy
Câu 21. Cho ABCD là hình thang vuông tại A và D. Đường chéo BD vuông góc với BC. Biết AD = 12 cm, DC = 25 cm. Tính độ dài BC, biết BC < 20.
A. BC = 15 cm
B. BC = 16 cm
C. BC = 14 cm
D. BC = 17 cm
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Kẻ BE ⊥ CD tại E
Suy ra tứ giác ABED là hình chữ nhật (vì ![\[\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-150.svg)
) nên BE = AD = 12 cm
Đặt EC = x (0 < x < 25) thì DE = 25 – x
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông BCD ta có:
BE2 = ED⋅EC ⇔ x(25 – x) = 144
⇔ x2 – 25x + 144 = 0
⇔ x2 – 16x – 9x + 144 = 0
⇔ x(x – 16) – 9(x – 16) = 0
⇔ (x – 16)(x – 9) = 0
⇔ x = 16 ∨ x = 9
Vậy BC = 15 cm
Câu 22. Cho ABCD là hình thang vuông tại A và D. Đường chéo BD vuông góc với BC. Biết AD = 10 cm, DC = 20 cm. Tính độ dài BC.
A. BC = ![\[3\sqrt {61} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-151.svg)
cm
B. BC = ![\[2\sqrt {61} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-152.svg)
cm
C. BC = 15 cm
D. BC = ![\[\sqrt {61} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-153.svg)
cm
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Kẻ BE ⊥ CD tại E
Suy ra tứ giác ABED là hình chữ nhật (vì ) nên BE = AD = 10 cm
Đặt EC = x (0 < x < 25) thì DE = 20 – x
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông BCD ta có:
BE2 = ED⋅EC ⇔ x(20 – x) = 100
⇔ x2 – 20x + 100 = 0
⇔ (x – 10)2 = 0
⇔ x = 10 (thỏa mãn)
Với EC = 16, theo định lý Py-ta-go ta có:
![\[BC = \sqrt {B{E^2} + E{C^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {{10}^2}} = 2\sqrt {61} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-154.svg)
Vậy BC = cm
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB : AC = 5 : 12 và AB + AC = 34 cm.
Câu 23. Tính các cạnh của tam giác ABC.
A. AB = 5; AC = 12; BC = 13
B. AB = 24; AC = 10; BC = 26
C. AB = 10; AC = 24; BC = 26
D. AB = 26; AC = 12; BC = 24
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Theo giả thiết AB : AC = 5 : 12
Suy ra: ![\[\frac{{AB}}{5} = \frac{{AC}}{{12}} = \frac{{AB + AC}}{{5 + 12}} = \frac{{34}}{{17}} = 2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-155.svg)
Do đó: AB = 5⋅2 = 10 (cm); AC = 2⋅12 = 24 (cm)
Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py-ta-go ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 102 + 242 = 676 ⇒ BC = 26 (cm)
Vậy AB = 10 (cm); AC = 24 (cm); BC = 26 (cm)
Câu 24. Tính độ dài các đoạn AH, BH, CH (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
A. AH ≈ 9,23; BH ≈ 7,69; CH ≈ 18,31
B. AH ≈ 9,3; BH ≈ 7,7; CH ≈ 18,3
C. AH ≈ 8,23; BH ≈ 8,69; CH ≈ 17,31
D. AH ≈ 7,69; BH ≈ 8,23; CH ≈ 17,77
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Theo câu trước ta có: AB = 10; AC = 24; BC = 26
![\[\begin{gathered} \Rightarrow AH \cdot BC = AB \cdot AC \hfill \\ \Rightarrow AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{10 \cdot 24}}{{26}} \approx 9,23\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-156.svg)
Vậy AH ≈ 9,23; BH ≈ 7,69; CH ≈ 18,31
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB : AC = 3 : 4 và AB + AC = 21cm.
Câu 25. Tính các cạnh của tam giác ABC.
A. AB = 9; AC = 10; BC = 15
B. AB = 9; AC = 12; BC = 15
C. AB = 8; AC = 10; BC = 15
D. AB = 8; AC = 12; BC = 15
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Theo giả thiết AB : AC = 3 : 4
Suy ra: ![\[\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{AB + AC}}{{3 + 4}} = 3\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-157.svg)
Do đó: AB = 3⋅3 = 9 (cm); AC = 3⋅4 = 12 (cm)
Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py-ta-go ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 92 + 122 = 225 ⇒ BC = 15 (cm)
Vậy AB = 9 (cm); AC = 12 (cm); BC = 15 (cm)
Câu 26. Tính độ dài các đoạn AH, BH, CH.
A. AH = 5,4; BH = 7,2; CH = 9,6
B. AH = 9,6; BH = 5,4; CH = 7,2
C. AH = 7,2; BH = 5,4; CH = 9
D. AH = 7,2; BH = 5,4; CH = 9,6
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Ta có: AB = 9; AC = 12; BC = 15
![\[\begin{gathered} \Rightarrow AH \cdot BC = AB \cdot AC \hfill \\ \Rightarrow AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{12 \cdot 9}}{{15}} = 7,2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ A{B^2} = BH \cdot BC \Rightarrow BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{81}}{{15}} = 5,4\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow CH = BC - BH = 15 - 5,4 = 9,6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-158.svg)
Vậy AH = 9,6; BH = 5,4; CH = 7,2
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC (hình vẽ).
Câu 27. Tỉ số ![\[\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-160.svg)
bằng với tỉ số nào sau đây?
A. ![\[\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{HC}}{{HB}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-161.svg)
B. ![\[\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{HB}}{{HC}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-162.svg)
C. ![\[\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{HA}}{{HB}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-163.svg)
D. ![\[\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{HC}}{{HA}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-164.svg)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Xét tam giác vuông ABC có AH là đường cao nên AB2 = BH⋅BC; AC2 = CH⋅CB
Nên ![\[\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{BH \cdot BC}}{{CH \cdot BC}} = \frac{{HB}}{{HC}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-165.svg)
Câu 28. Tỉ số ![\[\frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-166.svg)
bằng với tỉ số nào sau đây?
A. ![\[\frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}} = \frac{{BD}}{{EC}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-167.svg)
B. ![\[\frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}} = \frac{{AD}}{{EC}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-168.svg)
C. ![\[\frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}} = \frac{{BD}}{{ED}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-169.svg)
D. ![\[\frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}} = \frac{{EC}}{{BD}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-170.svg)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Tam giác vuông AHB có:
![\[B{H^2} = BD \cdot AB \Rightarrow BD = \frac{{B{H^2}}}{{AB}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-171.svg)
Tam giác vuông AHC có:
![\[H{C^2} = AC \cdot EC \Rightarrow EC = \frac{{H{C^2}}}{{AC}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-172.svg)
Từ đó: ![\[\frac{{BD}}{{EC}} = \frac{{B{H^2}}}{{AB}}:\frac{{H{C^2}}}{{AC}} = \frac{{H{B^2}}}{{H{C^2}}} \cdot \frac{{AC}}{{AB}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-173.svg)
mà theo câu trước thì nên
![\[\frac{{BD}}{{EC}} = \frac{{A{B^4}}}{{A{C^4}}} \cdot \frac{{AC}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}} = \frac{{BD}}{{EC}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-174.svg)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết BH = 9 cm; CH = 16 cm. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC. Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M, N (hình vẽ).
Câu 29. Tính độ dài đoạn thẳng DE.
A. DE = 12 cm
B. DE = 8 cm
C. DE = 15 cm
D. DE = 16 cm
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Tứ giác AEHD là hình chữ nhật vì nên DE = AH
Xét ∆ABC vuông tại A có:
AH2 = HB⋅HC = 9⋅6 =144 ⇒ AH = 12
Nên DE = 12 (cm)
Câu 30. Tính độ dài đoạn MN?
A. MN = 15 cm
B. MN = 13 cm
C. MN = 12,5 cm
D. MN = 12 cm
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Ta có: ![\[\widehat {NEC} + \widehat {AED} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-175.svg)
Mà ![\[\widehat {AED} = \widehat {HAE}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-176.svg)
(do AEHD là hình chữ nhật)
Và ![\[\widehat {HAE} = \widehat {ABC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-177.svg)
(cùng phụ với ![\[\widehat {ACB}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-178.svg)
)
Nên ![\[\widehat {NEC} + \widehat {ABC} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-179.svg)
Mà ![\[\widehat {ACB} + \widehat {ABC} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-180.svg)
nên ![\[\widehat {ACB} = \widehat {NEC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-181.svg)
hay ∆NEC cân tại N
⇒ EN = NC (1)
Ta có: ![\[\widehat {NEC} + \widehat {HEN} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-182.svg)
Mà ![\[\widehat {NEC} = \widehat {NCE} \Rightarrow \widehat {NCE} + \widehat {HEN} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-183.svg)
Lại có: ![\[\widehat {NEC} + \widehat {NHE} = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-184.svg)
nên ![\[\widehat {NEH} = \widehat {NHE}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-185.svg)
hay ∆NEH cân tại N
⇒ NE = NH (2)
Từ (1) và (2) suy ra: NH = NC
Tương tự ta có: MH = MB nên
![\[\begin{gathered} MN = MH + NH \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = \frac{1}{2}HB + \frac{1}{2}HC = \frac{1}{2} \cdot 9 + \frac{1}{2} \cdot 16 = 12,5cm \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-186.svg)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết BH = 9 cm, CH = 16 cm. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC. Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M, N (hình vẽ).
Câu 31. Tính diện tích tứ giác DENM.
A. SDENM = 57 cm2
B. SDENM = 150 cm2
C. SDENM = 37,5 cm2
D. SDENM = 75 cm2
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Vì DM ⊥ DE, EN ⊥ DE ⇒ DM // EN; ![\[\widehat D = \widehat E = 90^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-187.svg)
Nên DENM là hình thang vuông
Theo các câu trước ta có:
![\[DM = \frac{{BH}}{2} = 4,5;{\text{ }}EN = \frac{{CH}}{2} = 8;{\text{ }}DE = 12\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-188.svg)
Nên ![\[{S_{DENM}} = \frac{{\left( {DM + EN} \right) \cdot DE}}{2} = 75c{m^2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-189.svg)
Câu 32. Tính độ dài đoạn thẳng DE.
A. DE = 5 cm
B. DE = 8 cm
C. DE = 7 cm
D. DE = 6 cm
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Tứ giác AEHD là hình chữ nhật vì nên DE = AH
Xét ∆ABC vuông tại A có:
AH2 = HB⋅HC = 4⋅9 = 36 ⇒ AH = 6
Nên DE = 6 cm
Câu 33. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. MN = ![\[\frac{1}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-190.svg)
BC
B. MN = ![\[\frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-191.svg)
BC
C. MN = BC
D. MN = ![\[\frac{2}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-192.svg)
BC
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Ta có:
Mà (do AEHD là hình chữ nhật)
Và (cùng phụ với )
Nên
Mà nên hay ∆NEC cân tại N
⇒ EN = NC (1)
Ta có:
Mà
Lại có: nên hay ∆NEH cân tại N
⇒ NE = NH (2)
Từ (1) và (2) suy ra: NH = NC
Tương tự ta có: MH = MB nên
![\[MN = MH + NH = \frac{1}{2}HB + \frac{1}{2}HC = \frac{1}{2}BC\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-193.svg)
Câu 34. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết BH = 4 cm, CH = 9 cm. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC. Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M, N (hình vẽ). Tính diện tích tứ giác DENM.
A. SDENM = 19,5 cm2
B. SDENM = 20,5 cm2
C. SDENM = 19 cm2
D. SDENM = 21,5 cm2
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Vì DM ⊥ DE, EN ⊥ DE ⇒ DM // EN;
Nên DENM là hình thang vuông
Theo các câu trước ta có:
![\[DM = \frac{{BH}}{2} = 2;{\text{ }}EN = \frac{{CH}}{2} = 4,5;{\text{ }}DE = 6\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-194.svg)
Nên ![\[{S_{DENM}} = \frac{{\left( {DM + EN} \right) \cdot DE}}{2} = 19,5c{m^2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/08/he-thuc-ve-canh-va-goc-trong-tam-giac-vuong-195.svg)
Câu 35. Cho tam giác CDE nhọn, đường cao CH. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của H lên CD, DE (hình vẽ). Tính CD⋅CM bằng:
A. CH⋅CE
B. CE⋅CN
C. CH⋅CN
D. CD⋅CN
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Tam giác CHD vuông tại H, ta có: CH2 = CM⋅CD
Tam giác CHE vuông tại H, ta có: CH2 =CN⋅CE
Nên CM⋅CD = CN⋅CE
