Tứ giác

Lý thuyết về tứ giác

+) Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD và DA; trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đường thẳng.

+) Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác.

⊗ Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi.

Tứ giác lồi

Tứ giác không lồi

Không phải tứ giác

⊗ Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng 360°.

⊗ Mở rộng: Tổng bốn góc ngoài ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng 360°.

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Tính số đo góc

Phương pháp giải

Sử dụng định lý tổng bốn góc trong một tứ giác. Kết hợp các kiến thức đã học về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, toán tổng hiệu… để tính ra số đo các góc.

Bài 1. Cho tứ giác ABCD biết $\widehat A:\widehat B:\widehat C:\widehat D = 4:3:2:1$

a) Tính các góc của tứ giác ABCD.

b) Các tia phân giác của $\widehat C$ và $\widehat D$ cắt nhau tại E. Các đường phân giác của góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau tại F. Tính $\widehat {CED}$ và $\widehat {CFD}$ .

Hướng dẫn giải

a) Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

$\widehat A = 144^\circ ,\widehat B = 108^\circ ,\widehat C = 72^\circ ,\widehat D = 36^\circ$

b) Sử dụng tổng ba góc trong tam giác tính được $\widehat {CED} = 126^\circ$

Chú ý hai phân giác trong và ngoài tại mỗi góc của một tam giác thì vuông góc nhau, cùng với tổng bốn góc trong tứ giác, ta tính được $\widehat {CFD} = 54^\circ$

Bài 2. Tính số đo các góc $\widehat C$ và $\widehat D$ của tứ giác ABCD biết $\widehat A = 120^\circ$ , $\widehat B = 90^\circ$ và $\widehat C = 2\widehat D$ .

Hướng dẫn giải

$\widehat D = 50^\circ ,\widehat C = 100^\circ$

Dạng 2. Tìm mối liên hệ giữa các cạnh, đường chéo của tứ giác

Phương pháp giải

Có thể chia tứ giác thành các tam giác để sử dụng bất đẳng thức tam giác.

Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:

a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo;

b) Tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.

Hướng dẫn giải

a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác OAB, OBC,OCD và ODA.

b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi tứ giác sử dụng kết quả của câu a).

Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác ABC, ADC, ABD và CBD.

Dạng 3. Tổng hợp

Bài 1. Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD (ta gọi tứ giác ABCD trong trường hợp này là tứ giác có hình cánh diều).

a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD.

b) Tính $\widehat B$ , $\widehat D$ biết $\widehat A = 100^\circ$ , $\widehat C = 60^\circ$

Hướng dẫn giải

a) HS tự chứng minh

b) Sử dụng tổng bốn góc trong tứ giác và chú ý $\widehat B = \widehat D$

Bài 2. Tứ giác ABCD có $\widehat A - \widehat B = 50^\circ$ . Các tia phân giác của $\widehat C$ , $\widehat D$ cắt nhau tại I và $\widehat {CID} = 115^\circ$ . Tính các góc $\widehat A$ , $\widehat B$

Hướng dẫn giải

Tính tổng $\widehat C + \widehat D$

Bài 3.

a) Chứng minh trong một tứ giác có hai đường chéo vuông góc, tổng bình phương của hai cạnh đối này bằng tổng các bình phương của hai cạnh đối kia.

b) Tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Biết AD = 5cm, AB = 2 cm, BC = 10 cm. Tính độ dài CD.

Hướng dẫn giải

a) Sử dụng Pytago

b) Áp dụng câu a)

Bài 4. Cho tứ giác ABCD có $\widehat A = \widehat B$ và BC = AD. Chứng minh:

a) △DAB = △CBA, từ đó suy ra BD = AC;

b) $\widehat {ADC} = \widehat {BCD}$

c) AB // CD.

Hướng dẫn giải

a) HS tự chứng minh

b) HS tự chứng minh

c) Sử dụng câu a), b) và tổng bốn góc trong tứ giác

Bài 5. Cho tứ giác ABCD, AB Cắt CD tại E, BC cắt AD tại F. Các tia phân giác của $\widehat E$ và $\widehat F$ cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) $\widehat {EIF} = \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {ADC}}}{2}$

b) Nếu $\widehat {BAD} = 130^\circ$ và $\widehat {BCD} = 50^\circ$ thì IE ⊥ IF

Hướng dẫn giải

a) Gọi IF ∩ CD = {N}

Theo định lý về góc ngoài của tam giác

Trong △NIE có: $\widehat {FIE} = \widehat {FNE} + \frac{{\widehat E}}{2}$

Trong △DNF có: $\widehat {FNE} = \widehat D + \frac{{\widehat F}}{2}$

Vậy $\widehat {FIE} = \widehat D + \frac{{\widehat E + \widehat F}}{2}{\text{ }}\left( 1 \right)$

Trong △ADE có: $\widehat E = 180^\circ - \left( {\widehat D + \widehat {{A_1}}} \right)$

Trong △DFC có: $\widehat F = 180^\circ - \left( {\widehat D + \widehat {{C_1}}} \right)$

$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat E + \widehat F = 360^\circ - \left( {2\widehat D + \widehat {{A_1}} + \widehat {{C_1}}} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = \widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} + \widehat D - \left( {2\widehat D + \widehat {{A_1}} + \widehat {{C_1}}} \right)} \end{array}} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = \widehat {{B_1}} - \widehat D} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Thay vào (1) được:

$\widehat {EIF} = \widehat D + \frac{{\widehat {{B_1}} - \widehat D}}{2} = \frac{{\widehat D + \widehat {{B_1}}}}{2}$ (đpcm)

b) Áp dụng a)

Dạng bài nâng cao phát triển tư duy

Dạng 1. Tính số đo góc

Bài 1. Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai góc ngoài tại hai đỉnh bằng tổng hai góc trong tại hai đỉnh còn lại.

Hướng dẫn giải

+) Trường hợp hai góc ngoài tại hai đỉnh kề nhau

Gọi $\widehat {{C_1}},\widehat {{D_1}}$ là số đo hai góc trong; $\widehat {{C_2}},\widehat {{D_2}}$ là số đo hai góc ngoài tại hai đỉnh kề nhau là $\widehat C$ và $\widehat D$ . Ta có:

$\begin{gathered} \widehat {{C_2}} + \widehat {{D_2}} = \left( {180^\circ - \widehat {{C_1}}} \right) + \left( {180^\circ - \widehat {{D_1}}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = 360^\circ - \left( {\widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}}} \right){\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Xét tứ giác ABCD có:

$\widehat A + \widehat B = 360 - \left( {\widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}}} \right){\text{ }}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat {{C_2}} + \widehat {{D_2}} = \widehat A + \widehat B$

+) Trường hợp hai góc ngoài tại hai đỉnh đối nhau

Chứng minh tương tự, ta được: $\widehat {{A_2}} + \widehat {{C_2}} = \widehat B + \widehat D$

Bài 2. Cho tứ giác ABCD có $\widehat A + \widehat B = 220^\circ$ . Các tia phân giác ngoài tại đỉnh $\widehat C$ và $\widehat D$ cắt nhau tại K. Tính số đo của góc $\widehat {CKD}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\widehat {CDx} + \widehat {DCy} = \widehat A + \widehat B = 220^\circ$

$\Rightarrow \frac{{\widehat {CDx} + \widehat {DCy}}}{2} = 110^\circ$

Do đó: $\widehat {{D_2}} + \widehat {{C_2}} = 110^\circ$

Xét △CKD có:

$\widehat {CKD} = 180^\circ - \left( {\widehat {{D_2}} + \widehat {{C_2}}} \right) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

Bài 3. Tứ giác ABCD có $\widehat A = \widehat C$ . Chứng minh rằng các đường phân giác của góc $\widehat B$ và góc $\widehat D$ song song với nhau hoặc trùng nhau.

Hướng dẫn giải

Xét tứ giác ABCD có:

$\widehat B + \widehat D = 360^\circ - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) = 360 - 2\widehat C$

Vì $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}},{\text{ }}\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}$ nên

$\widehat {{B_1}} + \widehat {{D_1}} = 180^\circ - \widehat C \Rightarrow \widehat {{B_1}} + \widehat {{D_1}} + \widehat C = 180^\circ {\text{ }}\left( 1 \right)$

Xét △BCM có:

$\widehat {{B_1}} + \widehat {{M_1}} + \widehat C = 180^\circ {\text{ }}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat {{D_1}} = \widehat {{M_1}}$ . Do đó: DN // BM

Bài 4. Cho tứ giác ABCD có AD = DC = CB; $\widehat C = 130^\circ$ , $\widehat D = 110^\circ$ . Tính số đo góc $\widehat A$ , $\widehat B$ .

Hướng dẫn giải

Vẽ đường phân giác của các góc $\widehat C$ và $\widehat D$ chúng cắt nhau tại E

Xét △ECD có:

$\widehat {CED} = 180^\circ - \frac{{110^\circ + 130^\circ }}{2} = 60^\circ$

△ADE = △CDE (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {CED} = 60^\circ$

△BCE = △DCE (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat {BEC} = \widehat {DEC} = 60^\circ$

Suy ra: $\widehat {AEB} = 180^\circ$ do đó ba điểm A, E, B thẳng hàng

Vậy $\widehat {BAD} = \widehat {EAD} = \widehat {ECD} = 65^\circ$

$\Rightarrow \widehat {ABC} = 360^\circ - \left( {65^\circ + 110^\circ + 130^\circ } \right) = 55^\circ$

Dạng 2. So sánh các độ dài

Bài 5. Có hay không một tứ giác mà độ dài các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10?

Hướng dẫn giải

Giả sử tứ giác ABCD có CD là cạnh dài nhất

Ta sẽ chứng minh CD nhỏ hơn tổng của ba cạnh còn lại (1)

Thật vậy, xét △ABC ta có: AC < AB + BC

Xét △ADC có: CD < AD + AC. Do đó: CD < AD + AB + BC

Ta thấy nếu các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 thì không thỏa mãn điều kiện (1) nên không có tứ giác nào mà các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10.

Bài 6. Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc. Biết AB = 3, BC = 6,6, CD = 6. Tính độ dài AD.

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.

Xét △AOB, △COD vuông tại O ta có:

AB² + CD² = OA² + OB² + OC² + OD²

Chứng minh tương tự, ta được:

BC² + AD² = OB² + OC² + OD² + OA²

Do đó: AB² + CD² = BC² + AD²

Suy ra: 3² + 6² = 6,6² + AD²

⇒ AD² = 9 + 36 – 43,56 = 1,44

⇒ AD = 1,2

Bài 7. Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác.

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.

Gọi độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là a, b, c, d. Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được:

OA + OB > a; OC + OD > c

Do đó: (OA + OC) + (OB + OD) > a + c

Hay AC + BD > a + c (1)

Chứng minh tương tự ta được: AC + BD > d + b (2)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:

$\begin{gathered} 2\left( {AC + BC} \right) > a + b + c + d \hfill \\ \Rightarrow AC + BC > \frac{{a + b + c + d}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Xét △ABC và △ADC ta có:

AC < a + b; AC < c + d

⇒ 2AC < a + b + c + d (3)

Tương tự ta có: 2BD < a + b + c + d (4)

Cộng từng vế của (3) và (4) được: 2(AC + BD) < 2(a + b + c + d)

⇒ AC + BD < a + b + c + d

Từ các kết quả trên ta được điều phải chứng minh.

Bài 8. Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.

Hướng dẫn giải

+) Trước hết ta chứng minh một bài toán phụ:

Cho △ABC, $\widehat A \geqslant 90^\circ$ . Chứng minh rằng BC² ≥ AB² + AC².

Vẽ BH ⊥ AC. Vì $\widehat A \geqslant 90^\circ$ nên H nằm trên tia đối của tia AC

Xét △HBC và △HBA vuông tại H, ta có:

BC² = HB² + HC²

= (AB² – HA²) + (HA + AC)²

= AB² – HA² + HA² + AC² + 2HA⋅AC

= AB² + AC² + 2HA⋅AC

Vì HA⋅AC ≥ 0 nên BC² ≥ AB² + AC² (dấu “=” xảy ra khi H ≡ A tức là khi △ABC vuông)

+) Vận dụng kết quả trên để giải bài toán đã cho

Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lồi

Ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ$

Suy ra trong bốn góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng 90°, giả sử $\widehat A \geqslant 90^\circ$

Xét △ABD ta có:

BC² ≥ AB² + AD² > 10² + 10² = 200

Suy ra: $BD > \sqrt {200} \Rightarrow BD > 14$

Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lõm

Nối CA, ta có: $\widehat {ACD} + \widehat {ACB} + \widehat {BCD} = 360^\circ$

Suy ra trong ba góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng 120°

Giả sử $\widehat {ACB} \geqslant 120^\circ$ , do đó $\widehat {ACB}$ là góc tù

Xét ACB có:

AB² ≥ AC² + BC² > 10² + 10² = 200

Suy ra: $AB > \sqrt {200} \Rightarrow AB > 14$

Vậy luôn tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14

Bài 9. Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a, b, c, d đều là các số tự nhiên. Biết tổng S = a + b + c + d chia hết cho a, cho b, cho c, cho d. Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử không có hai cạnh nào của tứ giác bằng nhau.

Ta có thể giả sử: a < b < c < d

Ta có: a + b + c > BD + c > d

Do đó: a + b + c + d > 2d.

Ta đặt: a + b + c + d = S thì S > 2d (*)

Ta có: S ⋮ a ⇒ S = ma (m ∈ ℕ) (1)

S ⋮ b ⇒ S = nb (n ∈ ℕ) (2)

S ⋮ c ⇒ S = pc (p ∈ ℕ) (3)

S ⋮ d ⇒ S = qd (q ∈ ℕ) (4)

Từ (4) và (*) ⇒ qd > 2d do đó q > 2

Vì a < b < c < d nên từ (1), (2), (3), (4) suy ra m > n > p > q > 2.

Do đó: q ≥ 3; p ≥ 4; n ≥ 5; m ≥ 6

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:

$\frac{1}{m} = \frac{a}{S};{\text{ }}\frac{1}{n} = \frac{b}{S};{\text{ }}\frac{1}{p} = \frac{c}{S};{\text{ }}\frac{1}{d} = \frac{d}{S}$

Ta có:

$\frac{1}{6} + \frac{1}{5} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \geqslant \frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{{a + b + c + d}}{S} = 1$

Từ đó $\frac{{19}}{{20}} \geqslant 1$ , vô lý

Vậy điều giả sử là sai, suy ra tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.

Dạng 3. Bài toán giải bằng phương trình tô màu

Bài 10. Có chín người trong đó bất kì ba người nào cũng có hai người quen nhau. Chứng minh rằng tồn tại một nhóm bốn người đôi một quen nhau.

Hướng dẫn giải

Coi mỗi người như một điểm, ta có chín điểm A, B, C,…

Nối hai điểm với nhau ta được một đoạn thẳng. Ta tô màu xanh nếu hai người không quen nhau, ta tô màu đỏ nếu hai người quen nhau. Ta sẽ chứng minh tồn tại một tứ giác có các cạnh và đường chéo cùng tô màu đỏ.

+) Trường hợp có một điểm là đầu mút của bốn đoạn thẳng màu xanh AB, AC, AD, AE vẽ nét đứt

Xét △ABC có hai đoạn thẳng AB, AC màu xanh nên đoạn thẳng BC màu đỏ vì bất kì tam giác nào cũng có một đoạn thẳng màu đỏ. Tương tự các đoạn thẳng CD, DE, EB, BD, CE cũng có màu đỏ (vẽ nét liền). Do đó tứ giác BCDE có các cạnh và đường chéo được tô đỏ nghĩa là tồn tại một nhóm bốn người đôi một quen nhau.

+) Trường hợp mọi điểm đều là đầu mút của nhiều nhất là ba đoạn thẳng màu xanh. Không thể mọi điểm đều là đầu mút của ba đoạn thẳng màu xanh vì khi đó số đoạn thẳng màu xanh là $\frac{{9 \cdot 3}}{2} \notin \mathbb{N}$

Như vậy tồn tại một điểm là đầu mút của nhiều nhất là hai đoạn thẳng màu xanh, chẳng hạn đó là điểm A, do đó A là đầu mút của ít nhất là sáu đoạn thẳng màu đỏ, giả sử đó là AB, AC, AD, AE, AF, AG.

Trong sáu điểm B, C, D, E, F, G tồn tại ba điểm là đỉnh của một tam giác có ba cạnh cùng màu (đây là bài toán cơ bản về phương pháp tô màu) chẳng hạn đó là △BCD.

Trong △BCD có một cạnh màu đỏ (theo đề bài) nên ba cạnh của △BCD cùng màu đỏ. Khi đó tứ giác ABCD là tứ giác có các cạnh và đường chéo được tô đỏ, nghĩa là tồn tại một nhóm bốn người đôi một quen nhau.

Phiếu bài tự luyện cơ bản và nâng cao

Bài 1.

a) Có tứ giác nào có 4 góc nhọn không?

b) Một tứ giác có nhiều nhất bao nhiêu góc nhọn, bao nhiêu góc tù, bao nhiêu góc vuông?

Hướng dẫn giải

a) Không có tứ giác nào có 4 góc nhọn.

b) Tổng các góc của 1 tứ giác bằng 360°. Do đó, một tứ giác có nhiều nhất ba góc nhọn, có nhiều nhất ba góc tù, nhiều nhất 4 góc vuông.

Bài 2.

a) Cho tứ giác ABCD có $\widehat A = 55^\circ ;\widehat B = 110^\circ ;\widehat D = 75^\circ$ . Tính số đo góc $\widehat C$

b) Cho tứ giác ABCD có $\widehat A = 55^\circ ;\widehat B = 107^\circ ;\widehat D = 72^\circ$ . Tính số đo góc ngoài tại đỉnh D

Hướng dẫn giải

a) $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \Rightarrow \widehat C = 120^\circ$

b) Tương tự tính được $\widehat D = 126^\circ$

Vậy góc ngoài đỉnh D có số đo là 54°.

Bài 3. Tứ giác ABCD có $\widehat C = 100^\circ ,\widehat D = 60^\circ ,\widehat A:\widehat B = 3:2$ . Tính các góc $\widehat A$ , $\widehat B$ .

Hướng dẫn giải

$\frac{{\widehat A}}{3} = \frac{{\widehat B}}{2} = \frac{{\widehat A + \widehat B}}{5} = \frac{{360^\circ - \left( {100^\circ + 60^\circ } \right)}}{5} = 40^\circ$

Từ đó tính được: $\widehat A = 120^\circ ;\widehat B = 80^\circ$

Bài 4. Cho tứ giác ABCD biết:

$\widehat B + \widehat C = 200^\circ ;{\text{ }}\widehat B + \widehat D = 180^\circ ;{\text{ }}\widehat C + \widehat D = 120^\circ$

a) Tính số đo các góc của tứ giác.

b) Gọi I là giao điểm của các tia phân giác của $\widehat A$ và $\widehat B$ của tứ giác. Chứng minh: $\widehat {AIB} = \frac{{\widehat C + \widehat D}}{2}$

Hướng dẫn giải

a) Từ giả thiết ta có:

$\begin{gathered} 2\widehat B + 2\widehat C + 2\widehat D = 200^\circ + 180^\circ + 120^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat B + \widehat C + \widehat D = 250^\circ \hfill \\ \end{gathered}$

Vì $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \Rightarrow \widehat A = 110^\circ$

$\begin{gathered} \widehat B = 250^\circ - \left( {\widehat C + \widehat D} \right) = 250^\circ - 120^\circ = 130^\circ \hfill \\ \widehat C = 200^\circ - \widehat B = 200^\circ - 130^\circ = 70^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \widehat D = 120^\circ - \widehat C = 120^\circ - 70^\circ = 50^\circ \hfill \\ \end{gathered}$

b) Trong tam giác ABI:

$\widehat {AIB} = 180^\circ - \frac{{\widehat A + \widehat B}}{2} = \frac{{360^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right)}}{2} = \frac{{\widehat C + \widehat D}}{2}$

Bài 5. Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm các tia phân giác của các góc $\widehat C$ và $\widehat D$ .

a) Tính $\widehat {COD}$ biết $\widehat A = 120^\circ ,\widehat B = 90^\circ$

b) Tính $\widehat {COD}$ theo $\widehat A$ và $\widehat B$

c) Các tia phân giác của góc $\widehat A$ và $\widehat B$ cắt nhau ở I và cắt các tia phân giác các góc $\widehat C$ và $\widehat D$ thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng tứ giác OEIF có các góc đối bù nhau.

Hướng dẫn giải

a) Tứ giác ABCD có:

$\begin{gathered} \widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow 120^\circ + 90^\circ + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat C + \widehat D = 150^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}} = \frac{{\widehat C + \widehat D}}{2} = \frac{{150^\circ }}{2} = 75^\circ \hfill \\ \end{gathered}$

△COD có $\widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}} = 75^\circ$ nên

$\widehat {COD} = 180^\circ - \widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}} = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

b) Giải tương tự như câu a)

$\widehat {COD} = \frac{{\widehat A + \widehat B}}{2}$

c) Chứng minh tương tự như câu b), ta được $\widehat {EIF} = \frac{{\widehat C + \widehat D}}{2}$

Do đó:

$\widehat {COD} + \widehat {EIF} = \frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D}}{2} = \frac{{360^\circ }}{2} = 180^\circ$

Suy ra: $\widehat {OEI} + \widehat {OFI} = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$

Bài 6. Cho tứ giác ABCD, $\widehat A - \widehat B = 50^\circ$ . Các tia phân giác của góc $\widehat C$ và $\widehat D$ cắt nhau tại O. Cho biết $\widehat {COD} = 115^\circ$ . Chứng minh rằng AB ⊥ BC.

Hướng dẫn giải

Xét △COD có:

$\begin{gathered} \widehat {COD} = 180^\circ - \left( {\widehat {{C_2}} + \widehat {{D_2}}} \right) = 180^\circ - \frac{{\widehat C + \widehat D}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \left( {Do{\text{ }}\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}};\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Xét tứ giác ABCD có:

$\widehat C + \widehat D = 360^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right)$

Do đó:

$\begin{gathered} \widehat {COD} = 180^\circ - \frac{{360^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right)}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = 180^\circ - 180^\circ + \frac{{\widehat A + \widehat B}}{2} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy $\widehat {COD} = \frac{{\widehat A + \widehat B}}{2}$ . Theo đề bài $\widehat {COD} = 115^\circ$ nên $\widehat A + \widehat B = 230^\circ$

Mặt khác, $\widehat A - \widehat B = 50^\circ$ nên $\widehat B = \frac{{230^\circ - 50^\circ }}{2} = 90^\circ$ .

Do đó: AB ⊥ BC.

Bài 7. Cho tứ giác lồi ABCD có $\widehat B + \widehat D = 180^\circ$ , CB = CD. Chứng minh AC là tia phân giác của $\widehat {BAD}$ .

Hướng dẫn giải

Trên tia đối tia BA lấy điểm I sao cho BI = AD

Ta có: $\widehat {ADC} = \widehat {IBC}$ (cùng bù với $\widehat {ABC}$ )

AD = IB, DC = BC. Từ đó ta có: △ADC = △IBC

Suy ra: $\widehat {DAC} = \widehat {BIC}$ và AC = IC

△ACI cân tại C nên $\widehat {BAC} = \widehat {BIC} = \widehat {DAC}$

Vậy AC là phân giác trong $\widehat {BAD}$ .

Bài 8. Tứ giác ABCD có $\widehat C + \widehat D = 90^\circ$ . Chứng minh rằng: AC² + BD² = AB² + CD².

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm AD và BC

Ta có: $\widehat C + \widehat D = 90^\circ$ nên $\widehat O = 90^\circ$

Áp dụng định lý Pytago ta có:

AC² = OA² + OC²

BD² = OB² + OD²

Nên AC² + BD² = (OA² + OB²) + (OC² + OD²) = AB² + CD²

Bài 9. Cho tứ giác ABCD, M là một điểm trong tứ giác đó. Xác định vị trí của M để MA + MB + MC + MD nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Ta có các bất đẳng thức:

MA + MC ≥ AC, MB + MD ≥ BD

Từ đó suy ra: MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD

MA + MB + MC + MD = AC + BD khi M trùng với I.

Vậy khi M là giao điểm hai đường chéo thì MA + MB + MC + MD nhỏ nhất.

Bài 10. Cho tứ giác ABCD có $\widehat A = \widehat C$ tia phân giác góc $\widehat B$ cắt đường thẳng AD ở M; tia phân giác của góc $\widehat D$ cắt đường thẳng BC ở N. Chứng minh rằng: BM // CN.

Hướng dẫn giải

Xét tứ giác ABCD có:

$\widehat B + \widehat D = 360^\circ - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) = 360^\circ - 2\widehat C$

Vì $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}};\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}$ nên

$\widehat {{B_1}} + \widehat {{D_1}} = 180^\circ - \widehat C \Rightarrow \widehat {{B_1}} + \widehat {{D_1}} + \widehat C = 180^\circ {\text{ }}\left( 1 \right)$

Xét △BCM có: $\widehat {{B_1}} + \widehat {{M_1}} + \widehat C = 180^\circ {\text{ }}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat {{D_1}} = \widehat {{M_1}}$ . Do đó: BM // CN.

Thầy Tú dạy toán