Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Tính chất cơ bản của phân thức

+) Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có:

$\frac{A}{B} = \frac{{A \cdot M}}{{B \cdot M}}$

với M là đa thức khác đa thức 0.

+) Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có:

$\frac{A}{B} = \frac{{A:N}}{{B:N}}$

với N là một nhân tử chung của cả A và B.

Quy tắc đối dấu

+) Nếu đổi dấu cà tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có:

$\frac{A}{B} = \frac{{ - A}}{{ - B}}$

+) Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu đồng thời đổi dấu của phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có:

$\frac{A}{B} = - \frac{A}{{ - B}} = - \frac{{ - A}}{B}$

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.

Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:

Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tù ở hai vế

Bước 2. Triệt tiêu các nhân tử chung và rút ra đa thức cần tìm

Bài 1. Tìm đa thức A thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{A}{{x - 2}} = \frac{{2{x^3} + 4{x^2}}}{{{x^2} - 4}},{\text{ }}x \ne \pm 2$

b) $\frac{{5\left( {x + y} \right)}}{3} = \frac{{5{x^2} - 5{y^2}}}{A},{\text{ }}x \ne y$

c) $\frac{{{x^2} + 8}}{{2x - 1}} = \frac{{2{x^3} + 16x}}{A},{\text{ }}x \ne \left\{ {0;\frac{1}{2}} \right\}$

d) $\frac{{y - x}}{{2 - x}} = \frac{{x - y}}{A},{\text{ }}x \ne 2$

Hướng dẫn giải

Phân tích đa thức thành nhân tử, sau đó rút gọn từng phân thức thì ta có:

a) $\frac{A}{{x - 2}} = \frac{{2{x^2}}}{{x - 2}} \Rightarrow A = 2{x^2}$

b) $\frac{{5\left( {x + y} \right)}}{3} = \frac{{5\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{3\left( {x - y} \right)}} \Rightarrow A = 3\left( {x - y} \right)$

c) $\frac{{{x^2} + 8}}{{2x - 1}} = \frac{{2x\left( {{x^2} + 8} \right)}}{A} \Rightarrow A = 2x\left( {2x - 1} \right)$

d) $\frac{{y - x}}{{2 - x}} = \frac{{ - \left( {y - x} \right)}}{A} \Rightarrow A = x - 2$

Bài 2. Tìm bộ ba đa thức A, B, C thỏa mãn chuỗi đẳng thức sau:

$\frac{A}{{x - 3}} = \frac{B}{{{x^2} - 4x + 3}} = \frac{C}{{{x^3} - 27}},{\text{ }}x \ne \left\{ {1;3} \right\}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \frac{A}{{x - 3}} = \frac{B}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{C}{{\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)\left( {x - 3} \right)}} \hfill \\ \Rightarrow \frac{A}{1} = \frac{B}{{x - 1}} = \frac{C}{{{x^2} + 3x + 9}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Chọn A = 1 ⇒ C = x² + 3x + 9; B = x – 1

Bài 3. Tìm bộ ba đa thức A, B, C thỏa mãn chuỗi đẳng thức sau:

$\frac{{A\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \frac{B}{{{x^2} - 4}} = \frac{C}{{{x^3} + 8}},{\text{ }}x \ne \pm 2$

Hướng dẫn giải

Tương tự bài 2 ta rút gọn và chọn A = x + 2

⇒ B = (x – 1)(x – 2); C = (x – 1)(x² – 2x + 4)

Dạng 2. Biến đổi phân thức theo yêu cầu của đề bài.

Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:

Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử hoặc lựa chọn tử thức (hay mẫu thức) thích hợp tùy theo yêu cầu đề bài

Bước 2. Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức (xem phần Tóm tắt lý thuyết) để đưa về phân thức mới thỏa mãn yêu cầu

Bài 1. Tìm một phân thức mới có tử thức là đa thức 1 – 2x và có giá trị bằng phân thức:

$\frac{{12{x^2} - 12x + 3}}{{\left( {6x - 3} \right)\left( {5 - x} \right)}},{\text{ }}x \ne \left\{ {2;5} \right\}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \frac{{12{x^2} - 12x + 3}}{{\left( {6x - 3} \right)\left( {5 - x} \right)}} = \frac{{3{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{3\left( {2x - 1} \right)\left( {5 - x} \right)}} = \frac{{2x - 1}}{{5 - x}} \hfill \\ \Rightarrow A = \frac{{2x - 1}}{{5 - x}},{\text{ }}x \ne \left\{ {2;5} \right\}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Bài 2. Biến đổi phân thức $\frac{1}{{4x + 3}}$ thành một phân thức có mẫu thức là đa thức 4x² – x – 3 và giá trị của hai phân thức bằng nhau với $x \ne 1;x \ne - \frac{3}{4}$ .

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \frac{1}{{4x + 3}} = \frac{B}{{4{x^2} - x - 3}} = \frac{B}{{\left( {4x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} \hfill \\ \Rightarrow B = x - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy phân thức cần tìm là $\frac{{x - 1}}{{4{x^2} - x - 3}}$

Bài 3. Biến đổi cặp phân thức $\frac{{x + 4}}{{2x}}$ và $\frac{{{x^2} - 16}}{{3x + 1}}$ , $x \ne \left\{ { - \frac{1}{3};0;4} \right\}$ thành cặp phân thức mới có cùng tử thức và bằng phân thức ban đầu.

Hướng dẫn giải

$\frac{{x + 4}}{{2x}} = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{2x\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{{x^2} - 16}}{{2x\left( {x - 4} \right)}}$

Và ta giữ nguyên biểu thức thứ 2:

$\frac{{{x^2} - 16}}{{3x + 1}},{\text{ }}x \ne \left\{ { - \frac{1}{3};0;4} \right\}$

Dạng 3. Tính giá trị của phân thức.

Phương pháp giải: Thực hiện theo ba bước:

Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử

Bước 2. Rút gọn từng phân thức

Bước 3. Thay giá trị của biến vào phân thức và tính

Bài 1. Tính giá trị phân thức sau:

a) $A = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} + 2x + 1}},{\text{ }}x \ne 1$ tại 3x – 1 = 0

b) $B = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 5x + 6}},{\text{ }}x \ne \left\{ {2;3} \right\}$ tại x² – 4 = 0

Hướng dẫn giải

a) $A = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}$

Thay $x = \frac{1}{3} \Rightarrow A = - 2$

b) $B = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 5x + 6}} = \frac{1}{{x - 3}}$

Ta có: ${x^2} - 4 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2\left( {lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i} \right) \hfill \\ x = - 2\left( {TM} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Thay $x = - 2 \Rightarrow B = - \frac{1}{5}$

Bài 2. Với giá trị x thỏa mãn 2x² – 7x + 3 = 0, tính giá trị của các phân thức sau:

a) $\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{2{x^2} - x - 1}}$

b) $\frac{{{x^3} - 27}}{{{x^2} - 2x - 3}}$

Hướng dẫn giải

$2{x^2} - 7x + 3 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x = \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

a) $x \ne \left\{ {1;\frac{1}{2}} \right\}$ do vậy chỉ có x = 3 là thỏa mãn $\Rightarrow A = \frac{2}{7}$

b) x ≠ {–1; 3} do vậy ta chỉ nhận $x = \frac{1}{2} \Rightarrow B = \frac{{43}}{6}$

Dạng 4. Chứng minh cặp phân thức bằng nhau.

Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:

Bước 1. Phân tích từ thức và mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử

Bước 2. Rút gọn từng phân thức, từ đó suy ra điều phải chứng minh

Chú ý: Trong nhiều trường hợp, có thể sử dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau: $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ nếu $A.D = B.C$

Bài 1. Các cặp phân thức sau có bằng nhau không. Vì sao?

a) $\frac{{a + 3}}{{a - 4}};\frac{{a + 6}}{{a - 8}},{\text{ }}x \ne \left\{ {4;8} \right\}$

b) $\frac{{9x - 6}}{{3{x^2} + 3x - \left( {2x + 2} \right)}};\frac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^3} + 1}},{\text{ }}x \ne \left\{ { - 1;\frac{2}{3}} \right\}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{a + 3}}{{a - 4}};\frac{{a + 6}}{{a - 8}}$ ta xét tích chéo:

(a + 3)(a – 8) = a² – 5a – 24;

(a – 4)(a + 6) = a² + 2a – 24 do vậy hai phân thức không bằng nhau

b) $\frac{{9x - 6}}{{3{x^2} + 3x - \left( {2x + 2} \right)}} = \frac{3}{{x + 1}}$

$\frac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^3} + 1}} = \frac{{3\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{3}{{x + 1}}$

Bài 2. Cho cặp phân thức $\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 3x - 4}}$ và $\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} - x - 2}}$ với x ∉ {–1; 2; 4}

a) Hai phân thức này có luôn bằng nhau hay không?

b) Tìm giá trị cụ thể của x để hai phân thức bằng nhau.

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 3x - 4}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{x - 4}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} - x - 2}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 3}}{{x + 2}} \hfill \\ \end{gathered}$

a) Hai phân thức trên không bằng nhau với mọi x

b) Ta xét: $\frac{{x - 1}}{{x - 4}} = \frac{{x - 3}}{{x + 2}} \Rightarrow x = \frac{7}{4}$

Dạng 5. Toán nâng cao.

Bài 1. Cho hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ . Chứng minh rằng có vô số cặp phân thức cùng mẫu có dạng $\frac{{A'}}{E}$ và $\frac{{C'}}{E}$ thỏa mãn điều kiện $\frac{{A'}}{E} = \frac{A}{B};\frac{{C'}}{E} = \frac{C}{D}$ .

Hướng dẫn giải

Với hai phân thức $\frac{A}{B} = \frac{{AD}}{{BD}}$ và $\frac{C}{D} = \frac{{CB}}{{BD}}$ , để ta thấy ta nhân cả tử và mẫu của hai phân thức trên với đa thức M ≠ 0 thì ta luôn được mẫu số E = BD⋅M. Do có vô số đa thức M nên ta có vô số phân thức cùng mẫu bằng hai phân thức đã cho.

Bài tập tự luyện

Dạng 1. Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.

Bài 1. Hãy điền một đa thức thích hợp vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{{5\left( {x + y} \right)}}{3} = \frac{{5{x^2} - 5{y^2}}}{ \cdots },{\text{ }}x \ne y$

b) $\frac{{2{a^3} + 4{a^2}}}{{{a^2} - 4}} = \frac{ \cdots }{{a - 2}},{\text{ }}a \ne \pm 2$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{5\left( {x + y} \right)}}{3} = \frac{{5\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}}{{3\left( {x - y} \right)}}$

$= \frac{{5\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}{{3\left( {x - y} \right)}} = \frac{{5{x^2} - 5{y^2}}}{{3\left( {x - y} \right)}}$

b) $\frac{{2{a^3} + 4{a^2}}}{{{a^2} - 4}} = \frac{{2{a^2}\left( {a + 2} \right)}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {a + 2} \right)}} = \frac{{2{a^2}}}{{a - 2}}$

Bài 2. Tìm đa thức A thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{{6{b^2} - 9b}}{{4{b^2} - 9}} = \frac{{3b}}{A},{\text{ }}b \ne \pm \frac{3}{2}$

b) $\frac{{n - m}}{{2 - m}} = \frac{{m - n}}{A},{\text{ }}m \ne 2$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{6{b^2} - 9b}}{{4{b^2} - 9}} = \frac{{3b\left( {2b - 3} \right)}}{{{{\left( {2b} \right)}^2} - {3^2}}}$

$= \frac{{3b\left( {2b - 3} \right)}}{{\left( {2b - 3} \right)\left( {2b + 3} \right)}} = \frac{{3b}}{{2b + 3}} \Rightarrow A = 2b + 3$

b) $\frac{{n - m}}{{2 - m}} = \frac{{ - \left( {m - n} \right)}}{{2 - m}} = \frac{{m - n}}{{m - 2}} \Rightarrow A = m - 2$

Bài 3. Dùng tích chất cơ bản của phân thức, hãy tìm đa thức A biết:

$\frac{{ - {x^2} + 2xy - {y^2}}}{{x + y}} = \frac{A}{{{y^2} - {x^2}}}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \frac{{ - {x^2} + 2xy - {y^2}}}{{x + y}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{ - \left( {{y^2} - 2xy + {x^2}} \right)}}{{x + y}} = \frac{{ - {{\left( {y - x} \right)}^2}}}{{y + x}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{ - {{\left( {y - x} \right)}^2}\left( {y - x} \right)}}{{\left( {y + x} \right)\left( {y - x} \right)}} = \frac{{ - {{\left( {y - x} \right)}^3}}}{{{y^2} - {x^2}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow A = {\left( {x - y} \right)^3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Dạng 2. Biến đổi phân thức theo yêu cầu của đề bài.

Bài 1. Cho phân thức $\frac{{4x + 3}}{{{x^2} - 5}}$ . Biến đổi phân thức đã cho thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức A = 12x² + 9x.

Hướng dẫn giải

$\frac{{4x + 3}}{{{x^2} - 5}} = \frac{{\left( {4x + 3} \right) \cdot 3x}}{{\left( {{x^2} - 5} \right) \cdot 3x}} = \frac{{12{x^2} + 9x}}{{3{x^3} - 15x}}$

Bài 2. Biến đổi phân thức $\frac{{8{x^2} - 8x + 2}}{{\left( {4x - 2} \right)\left( {15 - x} \right)}}$ thành một phân thức bằng nó và có tử thức là A = 1 – 2x.

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \frac{{8{x^2} - 8x + 2}}{{\left( {4x - 2} \right)\left( {15 - x} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{2\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)}}{{2\left( {2x - 1} \right)\left( {15 - x} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{2{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{2\left( {2x - 1} \right)\left( {15 - x} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{2x - 1}}{{15 - x}} = \frac{{1 - 2x}}{{x - 15}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Bài 3. Dùng tích chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức:

a) $\frac{3}{{x + 2}}$ và $\frac{{x - 1}}{{5x}}$

b) $\frac{{x + 5}}{{4x}}$ và $\frac{{{x^2} - 25}}{{2x + 3}}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{3}{{x + 2}} = \frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{3x - 3}}{{{x^2} + x - 2}}$

$\frac{{x - 1}}{{5x}} = \frac{{\left( {x - 1} \right) \cdot 3}}{{5x \cdot 3}} = \frac{{3x - 3}}{{15x}}$

b) $\frac{{x + 5}}{{4x}} = \frac{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{4x\left( {x - 5} \right)}} = \frac{{{x^2} - 25}}{{4{x^2} - 20x}}$

$\frac{{{x^2} - 25}}{{2x + 3}}$

Dạng 3. Tính giá trị của phân thức.

Bài 1. Tính giá trị của phân thức:

a) $\frac{{2x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}$ với x ≠ –1 tại x = 1

b) $\frac{{3{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 1}}$ với x ≠ ±1 tại x = –2

Hướng dẫn giải

a) $A = \frac{{2x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{2}{{x + 1}}$

Thay x = 1 (TMĐK) vào biểu thức A ta được:

$A = \frac{2}{{x + 1}} = \frac{2}{{1 + 1}} = 1$

b) $B = \frac{{3{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{3x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3x}}{{x - 1}}$

Thay x = –2 (TMĐK) vào biểu thức B ta được:

$B = \frac{{3x}}{{x - 1}} = \frac{{3 \cdot \left( { - 2} \right)}}{{\left( { - 2} \right) - 1}} = 2$

Bài 2. Tính giá trị của phân thức: $\frac{{{x^2} - 1}}{{2{x^2} - 3x + 1}}$ với $x \ne \left\{ {\frac{1}{2};1} \right\}$ tại 3x – 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: $3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$

$C = \frac{{{x^2} - 1}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{2x - 1}}$

Thay $x = \frac{1}{3}$ (TMĐK) vào biểu thức C ta được:

$C = \frac{{x + 1}}{{2x - 1}} = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ \frac{1}{3} + 1 \hfill \\ \end{gathered} }{\begin{gathered} 2 \cdot \frac{1}{3} - 1 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = - 4$

Dạng 4. Chứng minh cặp phân thức bằng nhau.

Bài 1. Cho cặp phân thức $\frac{{9x - 6}}{{3{x^2} + 3x - \left( {2x + 2} \right)}}$ và $\frac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^3} + 1}}$ với $x \ne \left\{ {\frac{2}{3};1} \right\}$ . Chứng tỏ cặp phân thức trên bằng nhau.

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \bullet {\text{ }}\frac{{9x - 6}}{{3{x^2} + 3x - \left( {2x + 2} \right)}} = \frac{{9x - 6}}{{3{x^2} + x - 2}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{3\left( {3x - 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {3x - 2} \right)}} = \frac{3}{{x + 1}}\left( 1 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \bullet {\text{ }}\frac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^3} + 1}} = \frac{{3\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{3}{{x + 1}}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Từ (1) và (2) suy ra:

$\frac{{9x - 6}}{{3{x^2} + 3x - \left( {2x + 2} \right)}} = \frac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^3} + 1}}$

Bài 2. Cho hai phân thức $\frac{{{y^2} + 5y + 6}}{{3y + 6}}$ và $\frac{{2{y^2} + 5y - 3}}{{6y - 3}}$ với $y \ne \left\{ {\frac{1}{2};2} \right\}$ . Cặp phân thức này có bằng nhau hay không?

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \bullet {\text{ }}\frac{{{y^2} + 5y + 6}}{{3y + 6}} = \frac{{\left( {y + 2} \right)\left( {y + 3} \right)}}{{3\left( {y + 2} \right)}} = \frac{{y + 3}}{3}\left( 1 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \bullet {\text{ }}\frac{{2{y^2} + 5y - 3}}{{6y - 3}} = \frac{{\left( {y + 3} \right)\left( {2y - 1} \right)}}{{3\left( {2y - 1} \right)}} = \frac{{y + 3}}{3}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Từ (1) và (2) suy ra:

$\frac{{{y^2} + 5y + 6}}{{3y + 6}} = \frac{{2{y^2} + 5y - 3}}{{6y - 3}}$

Dạng 5. Toán nâng cao.

Bài 1. Cho cặp phân thức $\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 3x - 4}}$ và $\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} - x - 2}}$ với $x \ne \left\{ { - 1;2;4} \right\}$

a) Hai phân thức này có luôn bằng nhau hay không?

b) Tìm giá trị cụ thể của x để hai phân thức bằng nhau.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 3x - 4}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{x - 4}}\left( 1 \right)$

$\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} - x - 2}} = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x - 3}}{{x - 2}}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra:

$\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 3x - 4}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} - x - 2}}$

b) Với $x \ne \left\{ { - 1;2;4} \right\}$ thì

$\begin{gathered} \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 3x - 4}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} - x - 2}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{x - 4}} = \frac{{x - 3}}{{x - 2}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = {x^2} - 7x + 12 \hfill \\ \Leftrightarrow 4x = 10\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{5}{2} \hfill \\ \end{gathered}$