Phân thức đại số

Lý thuyết phân thức đại số

+) Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ với A và B là các đa thức, B khác đa thức 0.

Chú ý: Trong phân thức $\frac{A}{B}$ thì đa thức A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

+) Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $A \cdot D = B \cdot C$

Ta viết: $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ nếu $A \cdot D = B \cdot C$

Chú ý:

+) Các tính chất về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau của phân số cũng đúng cho phân thức.

+) Các giá trị của chữ làm cho mẫu thức nhận giá trị bằng 0 gọi là giá trị làm phân thức vô nghĩa hay không xác định.

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa

Phương pháp:

Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ với A và B là các đa thức, B khác đa thức 0.

Chú ý: Trong phân thức $\frac{A}{B}$ thì đa thức A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Bài 1. Tìm điều kiện của x để các phân thức sau xác định:

a) $\frac{{x - 2}}{x}$

b) $\frac{{x + 1}}{{x - 3}}$

c) $\frac{5}{{9 - x}}$

d) $\frac{{x + 3}}{{ - 2x - 10}}$

e) $\frac{{8 - x}}{\begin{gathered} \frac{1}{2}x + 4 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} }$

f) $\frac{\begin{gathered} \hfill \\ \frac{1}{5}x + 4 \hfill \\ \end{gathered} }{\begin{gathered} 6 - \frac{3}{2}x \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} }$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{x - 2}}{x}$ có nghĩa khi x ≠ 0

b) $\frac{{x + 1}}{{x - 3}}$ có nghĩa khi x – 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3

c) $\frac{5}{{9 - x}}$ có nghĩa khi 9 – x ≠ 0 ⇔ x ≠ 9

d) $\frac{{x + 3}}{{ - 2x - 10}}$ có nghĩa khi –2x – 10 ≠ 0 ⇔ x ≠ –5

e) $\frac{{8 - x}}{\begin{gathered} \frac{1}{2}x + 4 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} }$ có nghĩa khi $\frac{1}{2}x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow x = - 8$

f) $\frac{\begin{gathered} \hfill \\ \frac{1}{5}x + 4 \hfill \\ \end{gathered} }{\begin{gathered} 6 - \frac{3}{2}x \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} }$ có nghĩa khi $6 - \frac{3}{2}x \ne 0 \Leftrightarrow x = 4$

Bài 2. Tìm điều kiện của x để các phân thức sau xác định:

a) $\frac{{x - 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

b) $\frac{9}{{{x^2} - 1}}$

c) $\frac{{{x^2} + 2x + 7}}{{{x^2} - x}}$

d) $\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + 4x + 4}}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{x - 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}$ có nghĩa khi $\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne - 1 \hfill \\ x \ne 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

b) $\frac{9}{{{x^2} - 1}}$ có nghĩa khi x² – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1

c) $\frac{{{x^2} + 2x + 7}}{{{x^2} - x}}$ có nghĩa khi ${x^2} - x \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 0 \hfill \\ x \ne 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

d) $\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + 4x + 4}}$ có nghĩa khi x² + 4x + 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ –2

Dạng 2. Chứng minh một phân thức luôn có nghĩa

Phương pháp giải: Thực hiện theo 3 bước:

Bước 1. Lựa chọn 1 trong 3 cách biến đổi thường dùng sau:

⋄ Cách 1. Biến đổi vế trái thành vế phải.

⋄ Cách 2. Biến đổi vế phải thành vế trái.

⋄ Cách 3. Biến đổi đồng thời hai vế.

Bước 2. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử;

Bước 3. Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân từ chung và sử dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau nếu cần, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài 1. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa với mọi giá trị của x:

a) $\frac{7}{{{x^2} + 5}}$

b) $\frac{{6 - x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 4}}$

c) $\frac{{8 - {x^2}}}{{{x^2} + 2x + 9}}$

d) $\frac{{ - 2x - 11}}{{ - {x^2} + 4x - 5}}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{7}{{{x^2} + 5}}$ có nghĩa khi x² ≥ 0 ⇒ x² + 5 ≥ 5, ∀x

b) $\frac{{6 - x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 4}}$ có nghĩa khi (x + 1)² ≥ 0, ∀x ⇒ (x + 1)² + 4 ≥ 4, ∀x

c) $\frac{{8 - {x^2}}}{{{x^2} + 2x + 9}}$ có nghĩa khi x² + 2x + 9 = (x + 1)² + 8 ≥ 8, ∀x

d) $\frac{{ - 2x - 11}}{{ - {x^2} + 4x - 5}}$ có nghĩa khi –x² + 4x – 5 = –(x – 2)² – 1 ≤ –1, ∀x

Bài 2. Chứng minh

a) $\frac{{3y}}{4} = \frac{{6xy}}{{8x}}$

b) $\frac{{x + y}}{{3x}} = \frac{{3x{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{9{x^2}\left( {x + y} \right)}}$

c) $\frac{{2{x^2} + 4x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{2x}}{{x + 2}}$

d) $\frac{{x + 1}}{{x + 3}} = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{x^2} + 6x + 9}}$

e) $\frac{{x - 2}}{{ - x}} = \frac{{8 - {x^3}}}{{x\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}$

f) $\frac{{{x^2} + {y^2} + 2xy - 1}}{{{x^2} - {y^2} + 2x + 1}} = \frac{{x + y - 1}}{{x - y + 1}}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{3y}}{4} = \frac{{6xy}}{{8x}}$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow 3y \cdot 8x = 24xy \hfill \\ \Leftrightarrow 4 \cdot 6xy = 24xy\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) $\frac{{x + y}}{{3x}} = \frac{{3x{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{9{x^2}\left( {x + y} \right)}}$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)9{x^2}\left( {x + y} \right) = 9{x^2}{\left( {x + y} \right)^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 3x \cdot 3x{\left( {x + y} \right)^2} = 9{x^2}{\left( {x + y} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered}$

c) $\frac{{2{x^2} + 4x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{2x}}{{x + 2}}$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + 4x} \right)\left( {x + 2} \right) = 2{x^3} + 8{x^2} + 8x\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} \cdot 2x = 2{x^4} + 8{x^3} + 8x \hfill \\ \end{gathered}$

d) $\frac{{x + 1}}{{x + 3}} = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{x^2} + 6x + 9}}$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = \left( {x + 1} \right){\left( {x + 3} \right)^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 4x + 3} \right) = {\left( {x + 3} \right)^2}\left( {x + 1} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered} \frac{{x - 2}}{{ - x}} = \frac{{8 - {x^3}}}{{x\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)x\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = x\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow - x\left( {8 - {x^3}} \right) = - x\left( {2 - x} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

f) $\frac{{{x^2} + {y^2} + 2xy - 1}}{{{x^2} - {y^2} + 2x + 1}} = \frac{{x + y - 1}}{{x - y + 1}}$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} - 2xy - 1} \right)\left( {x - y + 1} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = \left( {x + y - 1} \right)\left( {x + y + 1} \right)\left( {x - y + 1} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - {y^2} + 2x + 1} \right)\left( {x + y - 1} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = \left( {x + 1 - y} \right)\left( {x + 1 + y} \right)\left( {x + y - 1} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Dạng 3. Tìm đa thức trong đẳng thức

Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:

Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử ở hai vế;

Bước 2. Triệt tiêu các nhân tử chung và rút ra đa thức cần tìm.

Bài 1. Tìm đa thức A trong các đẳng thức sau

a) $\frac{A}{{{x^2} - 4}} = \frac{x}{{x + 2}}$

b) $\frac{A}{{x + y}} = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{x - y}}$

c) $\frac{{1 - {x^3}}}{A} = \frac{{1 + x + {x^2}}}{x}$

d) $\frac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{{x - y}} = \frac{A}{{{x^2} - {y^2}}}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{A}{{{x^2} - 4}} = \frac{x}{{x + 2}}$

$\begin{gathered} \Rightarrow x\left( {{x^2} - 4} \right) = A\left( {x + 2} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow A = x\left( {x - 2} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

b) $\frac{A}{{x + y}} = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{x - y}}$

$\begin{gathered} \Rightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = A\left( {x - y} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow A = {\left( {x + y} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered}$

c) $\frac{{1 - {x^3}}}{A} = \frac{{1 + x + {x^2}}}{x}$

$\begin{gathered} \Rightarrow \left( {1 - {x^3}} \right)x = A\left( {1 + x + {x^2}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow A = x\left( {1 - x} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

d) $\frac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{{x - y}} = \frac{A}{{{x^2} - {y^2}}}$

$\begin{gathered} \Rightarrow \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = A\left( {x - y} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow A = {\left( {x + y} \right)^3} \hfill \\ \end{gathered}$

Bài 2. Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống

a) $\frac{{3x + 15}}{{2x + 10}} = \frac{ \cdots }{2}$

b) $\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} - x}}{ \cdots }$

c) $\frac{x}{{x - 4}} = \frac{ \cdots }{{{x^2} - 16}}$

d) $\frac{{x - 1}}{{x - 3}} = \frac{ \cdots }{{{x^2} - 9}}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{3x + 15}}{{2x + 10}} = \frac{ \cdots }{2}$

Đa thức cần điền: 3

b) $\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} - x}}{ \cdots }$

Đa thức cần điền: x² + x

c) $\frac{x}{{x - 4}} = \frac{ \cdots }{{{x^2} - 16}}$

Đa thức cần điền: x² + 4x

d) $\frac{{x - 1}}{{x - 3}} = \frac{ \cdots }{{{x^2} - 9}}$

Đa thức cần điền: x² + 2x – 3

Dạng 4. Tìm x để giá trị phân thức bằng 0

Phương pháp giải

+) Đặt điều kiện cho mẫu khác 0, rút ra điều kiện của x (*)

+) Nhân mẫu thức với 0 vế phải để triệt tiêu mẫu

+) Cho tử bằng 0 để tìm giá trị của x so sánh với điều kiện (*) kết luận giá trị của x

Bài 1. Tìm giá trị của x để giá trị của các phân thức sau bằng 0

a) $\frac{{x + 3}}{{x - 3}}$

b) $\frac{{3x - 6}}{{{x^2} + 2}}$

c) $\frac{{5{x^2} - 125}}{{{x^2} + 1}}$

d) $\frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{{x^2} - 4x + 5}}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{x + 3}}{{x - 3}}{\text{ }}\left( {x \ne 3} \right)$

$\Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3$

b) $\frac{{3x - 6}}{{{x^2} + 2}} \Leftrightarrow 3x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2$

c) $\frac{{5{x^2} - 125}}{{{x^2} + 1}} \Leftrightarrow 5{x^2} - 125 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 5$

d) $\frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{{x^2} - 4x + 5}} \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Dạng 5. Chứng minh đẳng thức có điều kiện.

Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:

Bước 1. Xuất phát từ điều phải chứng minh, áp dụng tính chất của hai phân thức bằng nhau (xem phần Tóm tắt lý thuyết);

Bước 2. Thu gọn biểu thức và dựa vào điều kiện đề bài cho để lập luận.

Bài 1. Cho hai phân thức $\frac{P}{Q}$ và $\frac{R}{S}$ thỏa mãn $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ và P ≠ Q. Chứng minh: R ≠ S và $\frac{P}{{Q + P}} = \frac{R}{{S + R}}$

Hướng dẫn giải

Xuất phát từ điều cần chứng minh ⇔ P(S + R) = R(Q + P)

Rút gọn còn PS = RQ hay $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$

Bài 2. Cho hai phân thức $\frac{A}{B}$ , $\frac{C}{D}$ và $\frac{E}{F}$ thỏa mãn $\frac{A}{B} = \frac{C}{D} = \frac{E}{F}$ . Chứng minh: $\frac{{A + C - E}}{{B + D - F}} = \frac{A}{B}$

Hướng dẫn giải

Tương tự bài 1. Rút gọn còn CB – EB = DA – FA. Mà:

$\begin{gathered} \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \Rightarrow A \cdot D = B \cdot C\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{A}{B} = \frac{E}{F} \Rightarrow A \cdot F = B \cdot E\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

⇒ Đpcm

Bài tập tự luyện số 1

Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\frac{1}{{x + 2}} = \frac{{2x - 1}}{{2{x^2} + 3x - 2}}$ với x ≠ –2 và x ≠ $\frac{1}{2}$

b) $\frac{{{y^2} - 5y + 4}}{{y - 4}} = \frac{{{y^2} - 3y + 2}}{{y - 2}}$ với y ≠ {2; 4}

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi

$VP = \frac{{2x - 1}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{{x + 2}} = VT$

⇒ Đpcm

b) Biến đổi được:

$VT = \frac{{\left( {y - 1} \right)\left( {y - 4} \right)}}{{y - 4}} = y - 1$

$VP = \frac{{\left( {y - 1} \right)\left( {y - 2} \right)}}{{y - 2}} = y - 1$

Từ đó suy ra đpcm.

Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\frac{{3{a^2} - 10a + 3}}{{2\left( {a - 3} \right)}} = \frac{3}{2}a - \frac{1}{2}$ với a ≠ 3

b) $\frac{{{b^2} + 3b + 9}}{{{b^3} - 27}} = \frac{{b - 2}}{{{b^2} - 5b + 6}}$ với b ≠ 2 và b ≠ 3

Hướng dẫn giải

Tương tự 1. Chú ý rằng:

a) 3a² – 10a + 3 = (3a – 1)(a – 3)

b) b³ – 27 = (b – 3)(b² + 3b + 9)

Và b² – 5b + 6 = (b – 2)(b – 3)

Bài 3. Tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{A}{{2x - 3}} = \frac{{2{x^2} + 3x}}{{4{x^2} - 9}}$ với $x \ne \pm \frac{3}{2}$

b) $\frac{{{b^2} - 3b}}{{2{b^2} - 3b - 9}} = \frac{{{b^2} + 3b}}{A}$ với $b \ne - \frac{3}{2};b \ne \pm 3$

Hướng dẫn giải

a) Cách 1. Ta có:

$\frac{A}{{2x - 3}} = \frac{{2{x^2} + 3x}}{{4{x^2} - 9}} \Rightarrow \frac{A}{{2x - 3}} = \frac{x}{{2x - 3}} \Rightarrow A = x$

Cách 2. Ta có:

$A = \frac{{\left( {2{x^2} + 3x} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{4{x^2} - 9}} = \frac{{x\left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = x$

b) Cách 1. Ta có:

$\begin{gathered} \frac{{b\left( {b - 3} \right)}}{{\left( {2b + 3} \right)\left( {b - 3} \right)}} = \frac{{b\left( {b + 3} \right)}}{A} \hfill \\ \Rightarrow \frac{b}{{2b + 3}} = \frac{{b\left( {b + 3} \right)}}{A}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{{2b + 3}} = \frac{{b + 3}}{A} \hfill \\ \Rightarrow A = 2{b^2} + 9b + 9\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Cách 2. Ta có: $A = \frac{{\left( {{b^2} + 3b} \right)\left( {2{b^2} - 3b - 9} \right)}}{{{b^2} - 3b}}$

Từ đó tìm được: A = 2b² + 9b + 9

Bài 4. Tìm đa thức B trong mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{{2y - 1}}{{\left( {y - 3} \right)B}} = \frac{1}{{{y^2} - 4y + 3}}$ với $y \ne \left\{ {\frac{1}{2};1;3} \right\}$

b) $\frac{{a - 1}}{{{a^2} + 2a + 4}} = \frac{B}{{{a^3} - 8}}$ với $a \ne 2$

Hướng dẫn giải

Tương tự 3. Chú ý rằng:

a) y² – 4y + 3 = (y – 1)(y – 3)

Tìm được: B = 2y² – 3y + 1

b) a³ – 8 = (a – 2)(a² + 2a + 4)

Tìm được: B = a² – 3a + 2

Bài 5. Tìm một cặp đa thức P và Q thỏa mãn đẳng thức:

$\frac{{\left( {x + 1} \right)P}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)Q}}{{{x^2} - 4x + 4}}$ với x ≠ ±2

Hướng dẫn giải

Biến đổi $\frac{{\left( {x + 1} \right)P}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)Q}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

$\Rightarrow P = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot Q$

Chọn Q = (x + 1)(x – 2) ⇒ P = (x – 1)(x + 2)

Bài 6. Cho đẳng thức:

$\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}} = \frac{{x + 1}}{{\left( {{x^2} - x - 6} \right)B}}$ với x ≠ {–2; 1; 3}

Hãy tìm một cặp đa thức A và B thỏa mãn đẳng thức trên.

Hướng dẫn giải

Tương tự 5. Chú ý rằng:

x² – 2x +1 = (x – 1)²; x² – x – 6 = (x + 2)(x – 3)

$\Rightarrow B = \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} \cdot A$

Chọn A = (x + 2)(x – 3) ⇒ B = x – 1

Bài 7.

a) Tìm GTNN của phân thức: $\frac{{3 + \left| {2x - 1} \right|}}{{14}}$

b) Tìm GTLN của phân thức: $\frac{{ - 4{x^2} + 4x}}{{15}}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{3 + \left| {2x - 1} \right|}}{{14}} \geqslant \frac{3}{{14}}$

GTNN của biểu thức là $\frac{3}{{14}}$ khi $x = \frac{1}{2}$

b) $\frac{{ - 4{x^2} + 4x}}{{15}} = \frac{{1 - \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)}}{{15}}$

$= \frac{{1 - {{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{15}} \leqslant \frac{1}{{15}}$

GTLN của biểu thức là $\frac{1}{{15}}$ khi $x = \frac{1}{2}$

Bài 8. Tìm GTLN của các phân thức:

a) $\frac{5}{{{x^2} + 2x + 2}}$

b) $\frac{3}{{\left| {2x - 5} \right| + 2}}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{5}{{{x^2} + 2x + 2}} = \frac{5}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}} \leqslant \frac{5}{1}$

Vậy GTLN của biểu thức là 5 khi x = –1

b) $\frac{1}{{\left| {2x - 5} \right| + 2}} \leqslant \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{3}{{\left| {2x - 5} \right| + 2}} \leqslant \frac{3}{2}$

Vậy GTLN của biểu thức là $\frac{3}{2}$ khi x = $\frac{5}{2}$

Bài tập tự luyện số 2

Bài 1. Tìm điều kiện xác định của phân thức:

a) $\frac{{{x^2} - 4}}{{9{x^2} - 16}}$

b) $\frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 4x + 4}}$

c) $\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 1}}$

d) $\frac{{5x - 3}}{{2{x^2} - x}}$

e) $\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{{x^2} - 1}}$

f) $\frac{2}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

g) $\frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 5x + 6}}$

Hướng dẫn giải

a) x ≠ $\pm \frac{4}{3}$

b) x ≠ 2

c) x ≠ ±1

d) x ≠ 0; x ≠ 2

e) x ≠ ±1

f) x ≠ –1; x ≠ 3

g) x ≠ 2; x ≠ 3

Bài 2. Tìm điều kiện xác định của phân thức:

a) $\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}}$

b) $\frac{{{x^2}y + 2x}}{{{x^2} - 2x + 1}}$

c) $\frac{{5x + y}}{{{x^2} + 6x + 10}}$

d) $\frac{{x + y}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}}}$

Hướng dẫn giải

a) x ≠ 0; y ≠ 0

b) x ≠ 1

c) ∀x ∈ ℝ

d) x ≠ –3; y ≠ 2

Bài 3. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không:

a) $\frac{{2x - 1}}{{5x - 10}}$

b) $\frac{{{x^2} - x}}{{2x}}$

c) $\frac{{2x + 3}}{{4x - 5}}$

d) $\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{x^2} - 4x + 3}}$

e) $\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{2x - 1}}{{5x - 10}} = 0{\text{ }}\left( {x \ne 2} \right)$

$\Leftrightarrow 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

b) $\frac{{{x^2} - x}}{{2x}} = 0{\text{ }}\left( {x \ne 0} \right)$

$\Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow x = 1$

c) $\frac{{2x + 3}}{{4x - 5}} = 0{\text{ }}\left( {x \ne \frac{5}{4}} \right)$

$\Leftrightarrow 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}$

d) $\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{x^2} - 4x + 3}} = 0{\text{ }}\left( {x \ne 1;x \ne 3} \right)$

$\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

e) $\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}} = 0{\text{ }}\left( {x \ne 1} \right)$

$\Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$

Bài 4. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không:

a) $\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} + 3x - 10}}$

b) $\frac{{{x^3} - 16x}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x}}$

c) $\frac{{{x^3} + {x^2} - x - 1}}{{{x^3} + 2x - 3}}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} + 3x - 10}} = 0{\text{ }}\left( {x \ne 2;x \ne - 5} \right)$

$\Leftrightarrow {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

b) $\frac{{{x^3} - 16x}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x}} = 0{\text{ }}\left( {x \ne 0;x \ne - 1;x \ne 4} \right)$

$\Leftrightarrow {x^3} - 16x = 0 \Leftrightarrow x = \pm 4$

c) $\frac{{{x^3} + {x^2} - x - 1}}{{{x^3} + 2x - 3}} = 0{\text{ }}\left( {x \ne 1;x \ne - 3} \right)$

$\Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$

Bài 5. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa:

a) $\frac{3}{{{x^2} + 1}}$

b) $\frac{{3x - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2}}$

c) $\frac{{5x + 1}}{{{x^2} + 2x + 4}}$

d) $\frac{{{x^2} - 4}}{{ - {x^2} + 4x - 5}}$

e) $\frac{{x + 5}}{{{x^2} + x + 7}}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{3}{{{x^2} + 1}}$ . Ta có:

${x^2} \geqslant 0,{\text{ }}\forall x \Rightarrow {x^2} + 1 \geqslant 1,{\text{ }}\forall x$

b) $\frac{{3x - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2}}$ . Ta có:

${\left( {x - 1} \right)^2} \geqslant 0,{\text{ }}\forall x \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \geqslant 2,{\text{ }}\forall x$

c) $\frac{{5x + 1}}{{{x^2} + 2x + 4}}$ . Ta có:

${x^2} + 2x + 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 3 \geqslant 3,{\text{ }}\forall x$

d) $\frac{{{x^2} - 4}}{{ - {x^2} + 4x - 5}}$ . Ta có:

$- {x^2} + 4x - 5 = - {\left( {x - 2} \right)^2} - 1 \leqslant - 1,{\text{ }}\forall x$

e) $\frac{{x + 5}}{{{x^2} + x + 7}}$ . Ta có:

${x^2} + x + 7 = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{27}}{4} \geqslant \frac{{27}}{4},{\text{ }}\forall x$

Bài 7. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\frac{{3y}}{4} = \frac{{6xy}}{{8x}}{\text{ }}\left( {x \ne 0} \right)$

b) $\frac{{ - 3{x^2}}}{{2y}} = \frac{{3{x^2}}}{{ - 2y}}{\text{ }}\left( {y \ne 0} \right)$

c) $\frac{{2\left( {x - y} \right)}}{{3\left( {y - x} \right)}} = - \frac{2}{3}{\text{ }}\left( {x \ne y} \right)$

d) $\frac{{2xy}}{{3a}} = \frac{{8x{y^2}}}{{12ay}}{\text{ }}\left( {a \ne 0;y \ne 0} \right)$

e) $\frac{{1 - x}}{{2 - y}} = \frac{{x - 1}}{{y - 2}}{\text{ }}\left( {y \ne 2} \right)$

f) $\frac{{2a}}{{ - 5b}} = \frac{{ - 2a}}{{5b}}{\text{ }}\left( {b \ne 0} \right)$

Hướng dẫn giải

a) 3y⋅8x = 4⋅6xy

b) –3x²⋅(–2y) = 3x²⋅2y

c) 2(x – y)⋅3 = 3(y – x)(–2)

d) 2xy⋅12ay = 3a⋅8xy²

e) (1 – x)(y – 2) = (2 – y)(x – 1)

f) 2a⋅5b = –5b⋅(–2a)

Bài 8. Chứng minh các đẳng thức sau: x xx

a) $\frac{{x - 2}}{{ - x}} = \frac{{{2^3} - {x^3}}}{{x\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{\text{ }}\left( {x \ne 0} \right)$

b) $\frac{{3x}}{{x + y}} = \frac{{ - 3x\left( {x - y} \right)}}{{{y^2} - {x^2}}}{\text{ }}\left( {x \ne \pm y} \right)$

c) $\frac{{x + y}}{{3a}} = \frac{{3a{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{9{a^2}\left( {x + y} \right)}}{\text{ }}\left( {a \ne 0;x \ne - y} \right)$

Hướng dẫn giải

a) (x – 2)⋅x⋅(x² + 2x + 4) = –x⋅(2³ – x³)

b) 3x⋅(y² – x²) = (x + y)⋅(–3x)⋅(x – y)

c) (x + y)⋅9a²⋅(x + y) = 3a⋅3a⋅(x + y)²

Thầy Tú dạy toán