Hình thoi

Định nghĩa hình thoi

Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Nhận xét: Hình thoi cũng là một hình bình hành.

Tính chất hình thoi

+) Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.

+) Trong hình thoi:

⋄ Hai đường chéo vuông góc với nhau.

⋄ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi.

Dấu hiệu nhận biết

+) Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

+) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

+) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.

+) Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh là hình thoi.

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Chứng minh tứ giác là hình thoi

Phương pháp giải: Sử dụng các dấu hiệu nhận biết

+) Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

+) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

+) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

+) Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Bài 1. Cho tứ giác ABCD có AC = BD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác EFGH là hình thoi.

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta chứng minh được:

EH = FG = $\frac{1}{2}$ BD và HG = EF = $\frac{1}{2}$ AC

Mà AC = BD ⇒ EH = HG = GF = FE nên EFGH là hình thoi.

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD có AC vuông góc với AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh tứ giác AECF là hình thoi.

Hướng dẫn giải

Chứng minh AECF là hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau có 4 cạnh bằng nhau.

Dạng 2. Vận dụng tính chất của hình thoi để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất và định nghĩa của hình thoi để giải toán

+) Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

+) Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.

⋄ Các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau.

⋄ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+ Ngoài ra, trong hình thoi có:

⋄ Hai đường chéo vuông góc với nhau.

⋄ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

Bài 1. Cho hình thoi ABCD có $\widehat B = 60^\circ$ . Kẻ AE ⊥ DC, AF ⊥ BC.

a) Chứng minh AE = AF.

b) Chứng minh tam giác AEF đều.

c) Biết BD = 16 cm, tính chu vi tam giác AEF.

Hướng dẫn giải

a) Do AC là phân giác của góc $\widehat {DBC}$ nên AE = FA

b) Ta có $\widehat B = 60^\circ$ nên △ABC và △ADC là các tam giác đều

$\Rightarrow \widehat {EAC} = \widehat {FAC} = 30^\circ$

Vậy △AFE cân và có $\widehat {FAE} = 60^\circ$ nên △FAE đều.

c) EF là đường trung bình của $\widehat {EAC} = \widehat {FAC} = 30^\circ$

Vậy FE = $\frac{1}{2}$ DB = 8 cm

Chu vi △FAE là 24 cm

Bài 2. Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm M, N, P, Q sao cho AM = CN = CP = AQ. Chứng minh:

a) M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng;

b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh được MBPD và BNDQ đều là hình bình hành ⇒ Đpcm

b) Áp dụng định lý Talet đảo cho △ABD và △BAC ta có:

MQ // BD và MN // AC.

Mà ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD

⇒ MQ ⊥ MN

MNPQ là hình chữ nhật vì có các góc ở đỉnh là góc vuông

Dạng 3. Tìm điều kiện để tứ giác là hình thoi

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình thoi.

Bài 1. Cho hình thang ABCD gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của hai đáy và hai đường chéo của hình thang.

a) Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là hình bình hành.

b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì để tứ giác MPNQ là hình thoi?

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác cho △ABC và △DBC ta sẽ có:

MQ // PN // BC và MQ = PN = $\frac{1}{2}$ BC

⇒ MPNQ là hình bình hành.

b) Tương tự ta có:

QN // MP // AD và QN = MP = $\frac{1}{2}$ AD.

Nên để MPNQ là hình thoi thì MN ⊥ PQ khi đó MN ⊥ CD và trung trực hay trục đối xứng của AB và CD.

⇒ Hình thang ABCD là hình thang cân.

Bài 2. Cho tam giác ABC, qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, cắt AC và AB theo thứ tự ở E và F.

a) Tứ giác AEDF là hình gì?

b) Điểm D ở vị trí nào trên BC thì AEDF là hình thoi?

Hướng dẫn giải

a) Học sinh tự chứng minh

b) Nếu AEDF là hình thoi thì AD là phân giác của $\widehat {FAE}$ suy ra AD là phân giác của $\widehat {BAC}$

Dạng 4. Tổng hợp

Bài 1. Cho tam giác ABC, phân giác AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E, qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh EF là phân giác của $\widehat {AED}$ .

Hướng dẫn giải

Chứng minh tứ giác AEDF là hình thoi

⇒ EF là phân giác của $\widehat {AED}$

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a) EFGH là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh AC, BD, EG, FH đồng quy.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng tính chất đường trung bình cho △BAC và △ADC ta có:

EF // HG; EF = HG = $\frac{1}{2}$ AC

Và HE // HG; HE = FG = $\frac{1}{2}$ BD.

Mà ABCD là hình chữ nhật nên AB = BD

⇒ EFGH là hình thoi.

b) Gọi O = AC ∩ BD

⇒ O là trung điểm của AC và BD.

Chứng minh EBGD và BFDH là hình bình hành

Suy ra: AC, BD, EG, FH đồng quy tại trung điểm mỗi đường (điểm O).

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại P và đường thẳng song song với AB cắt AC tại Q.

a) Tứ giác APMQ là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh: PQ // BC.

Hướng dẫn giải

a) Vận dụng định lý 1 về đường trung bình của tam giác suy ra APMQ là hình thoi do có 4 cạnh bằng nhau.

b) Vì PQ ⊥ AM mà AM ⊥ BC (tính chất tam giác cân) nên PQ // BC.

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = DN. Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tại E và F.

a) Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua AB.

b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi

c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân.

Hướng dẫn giải

a) Do AM = DN ⇒ MADN là hình bình hành

$\Rightarrow \widehat D = \widehat {AMN} = \widehat {EMB} = \widehat {MBC}$

Ta có: △MPE = △BPE nên EP = FP.

Vậy MEBF là hình thoi và 2 điểm E, F đối xứng nhau qua AB.

b) Tứ giác MEBF có MB ∩ EF = P

Lại có: P trung điểm BM, P là trung điểm EF và MB ⊥ EF.

⇒ MEBF là hình thoi.

c) Để BNCE là hình thang cân thì $\widehat {CNE} = \widehat {BEN}$

Mà $\widehat {CNE} = \widehat D = \widehat {MBC} = \widehat {EBM}$ nên △MEB có 3 góc bằng nhau, suy ra điều kiện để BNCE là hình thang cân thì $\widehat {ABC} = 60^\circ$

Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc $\widehat {ABD}$ và $\widehat {ACE}$ cắt nhau tại O, và lần lượt cắt AC, AB tại N, M. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh rằng:

a) BN ⊥ CM

b) Tứ giác MNFIK là hình thoi

Hướng dẫn giải

a) Sử dụng tính chất tổng các góc trong một tam giác bằng 180°

$\Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {AEC} \Rightarrow \widehat {NBD} = \widehat {MCA}$

Trong △DBN có: $\widehat {NBD} + \widehat {BND} = 90^\circ$

Gọi O = CM ∩ BN ⇒ CM ⊥ BN = O (1)

b) Xét △CNK có: CO ⊥ KN ⇒ CO ⊥ BN, CO là phân giác $\widehat {ACE}$ nên △CNK cân ở C

⇒ O là trung điểm KN (2).

Tương tự chứng minh được là trung điểm MH (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra MNHK là hình thoi.

Phiếu bài nâng cao phát triển tư duy

Dạng 1. Nhận biết tứ giác là hình thoi

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. Chứng minh tứ giác AEDF là hình thoi.

Hướng dẫn giải

Cách 1. Vì D, E là trung điểm của các cạnh BC, AB

⇒ DE là đường trung bình của △ABC

⇒ DE = $\frac{1}{2}$ AC (1)

Vì D, F là trung điểm của các cạnh BC, AC

⇒ DF là đường trung bình của △ABC

⇒ DF = $\frac{1}{2}$ AB (2)

Vì E, F là trung điểm của các cạnh AB, AC

⇒ AE = $\frac{1}{2}$ AB, AF = $\frac{1}{2}$ AC (3)

Tam giác ABC cân tại A ⇒ AB = AC (4)

Từ (1), (2), (3), (4) ⇒ AE = ED = DF = FA.

Tứ giác AEDF có AE = ED = DF = FA ⇒ AEDF là hình thoi.

Cách 2. Vì D, F là trung điểm của các cạnh BC, AC

⇒ DF là đường trung bình của △ABC

⇒ DF // AB và DF = $\frac{1}{2}$ AB

Mà AB = AE và A, E, B thẳng hàng

Tứ giác AEDF có:

DF // AE và DF = AE

⇒ EADF là hình bình hành.

Hình bình hành AEDF có:

$AE = AF\left( { = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AC} \right)$

⇒ AEDF là hình thoi.

Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là đường thẳng chứa cạnh BC, vẽ tia Bx // AC và tia Cy // AB. Gọi D là giao điểm của hai tia Bx và Cy. Chứng minh tứ giác ACDB là hình thoi.

Hướng dẫn giải

Vì $\left\{ \begin{gathered} Cy\parallel AB \hfill \\ Bx\parallel AC \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} CD\parallel AB \hfill \\ BD\parallel AC \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Tứ giác ACDB có: $\left\{ \begin{gathered} CD\parallel AB \hfill \\ BD\parallel AC \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⇒ ACDB là hình bình hành.

Hình bình hành ACDB có AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

⇒ AEDF là hình thoi.

Bài 3. Cho △ABC cân tại B có đường cao BE. Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = EB. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi.

Hướng dẫn giải

Vì △ABC cân tại B có đường cao BE ⇒ BE là đường trung tuyến

⇒ EA = EC (1)

Ta có: EB = ED (giả thiết) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ABCD là hình bình hành.

Vì BE là đường cao của △ABC ⇒ BE ⊥ AC

Hình bình hành ABCD có BE ⊥ AC ⇒ ABCD là hình thoi.

Bài 4. Cho △ABC cân tại B. Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia phân giác của $\widehat {ABC}$ tại D. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi.

Hướng dẫn giải

Vì $CD\parallel AB \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {BDC}{\text{ }}\left( 1 \right)$ (so le trong)

Vì BD là phân giác của $\widehat {ABC}$

$\Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {DBC}{\text{ }}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {DBC}$

⇒ △BCD cân tại D ⇒ CB = CD (3)

Vì △ABC cân tại B ⇒ CB = AB (4)

Từ (3) và (4) ⇒ AB = CD

Tứ giác ABCD có:

AB = CD và AB // CD

⇒ ABCD là hình bình hành.

Cách 1. Hình bình hành ABCD có DB là phân giác của $\widehat {ABC}$ ⇒ ABCD là hình thoi.

Cách 2. Hình bình hành ABCD có CB = AB ⇒ ABCD là hình thoi.

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD có AD ⊥ AC. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi.

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình bình hành $\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} AB\parallel CD \hfill \\ AD\parallel BC \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Tứ giác AMCN có $\left\{ \begin{gathered} AM = CN \hfill \\ AM\parallel CN \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⇒ AMCN là hình bình hành (1)

Tứ giác AMND có $\left\{ \begin{gathered} AM = DN \hfill \\ AM\parallel DN \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⇒ AMND là hình bình hành

⇒ AD // MN mà AD ⊥ AC ⇒ MN ⊥ AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AMCN là hình thoi.

Bài 6. Cho △ABC nhọn, đường cao tại AD, BE. Tia phân giác của $\widehat {DAC}$ cắt BE, BC theo thứ tự ở I, K. Tia phân giác của $\widehat {EBC}$ cắt AD, AC theo thứ tự ở M, N. Chứng minh MINK là hình thoi.

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AK và BN.

Ta có: $\widehat {CBE} = \widehat {CAD}$ (vì cùng phụ với $\widehat {ACB}$ )

$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{1}{2}\widehat {CBE} = \frac{1}{2}\widehat {CAD}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {CAO} = \widehat {DAO} = \widehat {CBO} = \widehat {EBO} \hfill \\ \end{gathered}$

Ta có: △ABD vuông tại D nên

$\begin{gathered} \widehat {DAB} + \widehat {DBA} = 90^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat {DAB} + \widehat {IBA} + \widehat {IBO} + \widehat {OBD} = 90^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {DAB} + \widehat {IBA} + \widehat {IBO} + \widehat {OAD} = 90^\circ {\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \Rightarrow \widehat {ABO} + \widehat {OAB} = 90^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Suy ra △ABO vuông tại O ⇒ AK ⊥ BN tại O

△AMN có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên △AMN cân tại A

Do đó: AO là đường trung trực của đoạn thẳng MN $\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} IM = IN \hfill \\ KM = KN \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( 2 \right)$

Và O là trung điểm của MN (3)

△BIK có BO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên △BIK cân tại B

Do đó: BO là đường trung trực của đoạn thẳng IK ⇒ IM = KM (4)

Và O là trung điểm của IK (5)

Từ (2) và (4) suy ra tứ giác MINK có IM = KM = KN = IN

Do đó tứ giác MINK là hình thoi.

Dạng 2. Sử dụng tính chất hình thoi để tính toán, chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau, các đường thẳng vuông góc.

Bài 1. Cho hình thoi ABCD có $\widehat B > 90^\circ$ . Kẻ BE ⊥ AD tại E, BF ⊥ DC tại F, DG ⊥ AB tại G, DH ⊥ BC tại H, BE cắt DG tại M, BF cắt DH tại N. Chứng minh các góc của tứ giác BMDN bằng các góc của hình thoi ABCD.

Hướng dẫn giải

Ta có: AB // CD (vì ABCD là hình thoi)

Mà BF ⊥ CD ⇒ BF ⊥ AB

$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat {ABF} = 90^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat {MBN} = 90^\circ - \widehat {ABE}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Mà $\widehat A = 90^\circ - \widehat {ABE}$ (vì △ABE vuông tại E)

$\Rightarrow \widehat A = \widehat {MBN}$

Ta có: DG ⊥ AB và BF ⊥ AB

⇒ BF // DG hay BN // DM

Chứng minh tương tự ta có: DH ⊥ AD và BE ⊥ AD

⇒ BE // DH hay BM // DN

⇒ Tứ giác BMDN là hình bình hành

$\Rightarrow \widehat {MBN} = \widehat {MDN} = \widehat A$

Ta có: $\widehat A + \widehat B = 180^\circ$

$\Rightarrow \widehat B = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - \widehat {MBN}$ (hai góc trong cùng phía)

$\begin{gathered} \widehat {MBN} + \widehat {BND} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {BND} = 180^\circ - \widehat {MBN}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \widehat {BND} = \widehat {BMD} = \widehat B \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy các góc của tứ giác BMDN bằng các góc của tứ giác ABCD.

Bài 2. Cho △ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy D sao cho CD, AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. Phân giác của $\widehat {BAC}$ cắt BC tại I. Chứng minh: AI ⊥ MN.

Hướng dẫn giải

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC, AD.

△ABD: N, Q là trung điểm của BD, AD

⇒ NQ là đường trung bình của △ABD

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} NQ\parallel AB \hfill \\ NQ = \frac{1}{2}AB\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( 1 \right)$

△ABC: M, P là trung điểm của AC, BC

⇒ MP là đường trung bình của △ABC

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} MP\parallel AB \hfill \\ MP = \frac{1}{2}AB\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( 2 \right)$

Từ (1), (2) ⇒ MQNP là hình bình hành.

△BCD: N, P là trung điểm của BD, BC

⇒ NP là đường trung bình của △ABC

⇒ NP = $\frac{1}{2}$ CD

Vì CD = AB ⇒ NP = NQ

Hình bình hành MQNP có NP = NQ

⇒ MQNP là hình thoi

⇒ PQ ⊥ MN và QP là phân giác của $\widehat {NQM}$

QP là phân giác của $\widehat {NQM}$

$\Rightarrow \widehat {NQP} = \frac{1}{2}\widehat {NQM}{\text{ }}\left( 3 \right)$

Ta có: AI là phân giác của $\widehat {BAC}$

$\Rightarrow \widehat {BAI} = \frac{1}{2}\widehat {BAC}{\text{ }}\left( 4 \right)$

Vì $NQ\parallel AB \Rightarrow \widehat {NQM} = \widehat {BAC}{\text{ }}\left( 5 \right)$

Từ (3), (4), (5) $\Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {NQP}$ (hai góc ở vị trí đồng vị)

⇒ AI // PQ mà PQ ⊥ MN ⇒ AI ⊥ MN

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có $\widehat A < 90^\circ$ và AD = 2AB. Kẻ CH ⊥ AB có $\widehat A < 90^\circ$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh: $\widehat {BAD} = 2\widehat {AHM}$

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình bình hành

⇒ AD = BC, AB = CD = $\frac{1}{2}$ AD = $\frac{1}{2}$ BC

Vì M, N là trung điểm của AD, BC

⇒ MD = NC = $\frac{1}{2}$ AD = $\frac{1}{2}$ BC

Tứ giác DMNC có:

$\left\{ \begin{gathered} DM = CN\left( { = \frac{1}{2}AB} \right) \hfill \\ DM\parallel CN \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⇒ DMNC là hình bình hành

Hình bình hành DMNC có:

$CD = DM\left( { = \frac{1}{2}AD} \right)$ ⇒ DMNC là hình thoi.

Gọi F là giao điểm của MN và CE.

DMNC là hình thoi ⇒ MN // CD.

Hình thang ADCE (AE // DC) có:

MA = MD và MN // CD

⇒ FC = FE

Ta có: MF // AE và AE ⊥ CE

⇒ MF ⊥ CE

△MEC có MF là đường cao và là đường trung tuyến

⇒ △MEC cân tại M

⇒ MF là đường phân giác $\widehat {EMC}$

$\Rightarrow \widehat {EMF} = \widehat {CMF}{\text{ }}\left( 1 \right)$

DMNC là hình thoi ⇒ MC là phân giác của $\widehat {NMD}$

$\Rightarrow \widehat {CMF} = \widehat {CMD}{\text{ }}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra:

$\widehat {EMF} = \widehat {CMF} = \widehat {CMD} = \frac{1}{2}\widehat {NMD}{\text{ }}\left( 3 \right)$

Ta có: $\widehat {AEM} = \widehat {EMF}{\text{ }}\left( 4 \right)$ (vì AB // MN )

Ta có: $\widehat {BAD} = \widehat {NMD}{\text{ }}\left( 5 \right)$ (hai góc đồng vị)

Từ (3), (4), (5) suy ra: $\widehat {BAD} = 2\widehat {AHM}$

Bài 4. Cho hình thoi ABCD. Trên AB, CD lấy E, F sao cho AE = $\frac{1}{3}$ AB, CF = $\frac{1}{3}$ CD. Gọi I là giao điểm của EF và DA, K là giao điểm của DE và BI. Chứng minh:

a) △BDI vuông.

b) BK = IK

Hướng dẫn giải

a) Gọi M là trung điểm của BE ⇒ BM = CF (1)

Vì ABCD là hình thoi ⇒ AB // CD

⇒ BM // CF (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BMFC là hình bình hành

⇒ BC = MF, BC // MF

⇒ MF // AD

△AIE = △MQE (g.c.g) ⇒ AI = MF, EI = EF

⇒ AI = AD (= BC)

△BID có: AI = AD = AB ⇒ △BID vuông tại B.

b) Trong △BID có BA là đường trung tuyến và BE = $\frac{2}{3}$ BA

⇒ E là trọng tâm của △BID

⇒ BE là đường trung tuyến

⇒ K là trung điểm BI ⇒ BK = IK

Bài 5. Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tại O. Lấy E đối xứng với A qua B. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AC và BC; G là giao điểm của OE và BC; H là giao điểm của OK và CE. Chứng minh: A, G, H thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình thoi ⇒ AB = CD và AB // CD

Vì E đối xứng với A qua B ⇒ AB = BE

⇒ BE = CD, BE // CD

⇒ BDCE là hình bình hành ⇒ KB = KC

△ACE có: OA = OC và KB = KC

⇒ OK là đường trung bình của △ACE

⇒ OK // AB hay OH // AE

△ACE có: OA = OC và OH // AE

⇒ HE = HC ⇒ H là trung điểm CE

△ACE có EO, CB là các đường trung tuyến

⇒ G là trọng tâm △ACE

Mà H là trung điểm CE ⇒ A, G, H thẳng hàng.

Bài 6. Cho hình thoi ABCD có AB = 25 cm, AC + BD = 70 cm. Tính AC, BD?

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử AC > BD

Đặt OA = x, OB = y (x > y)

Ta có: $x + y = \frac{{OA}}{2} + \frac{{OB}}{2} = \frac{{70}}{2} = 35{\text{ }}\left( 1 \right)$

△OAB vuông tại A

⇒ AB²= OA²+ OB² ⇒ x²+ y² = 25² = 625 (2)

Từ (1) ⇒ (x + y)²= 35²

⇔ x²+ 2xy + y²= 35² = 1225 (3)

Từ (2) và (3) ⇒ 2xy = 1225 – 625 = 600

Mà (x + y)²= x²+ y² – 2xy = 625 – 600 = 25

⇒ x – y = 5

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} x + y = 35 \hfill \\ x - y = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 20 \hfill \\ y = 15 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy AC = 2OA = 2x = 2 ⋅ 20 = 40 cm

BD = 2OB = 2y = 2 ⋅ 15 = 30 cm

Bài 7. Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tạí O. Kẻ OH ⊥ AB. Biết AB = 4 cm,OH = 1cm. Tính các góc của hình thoi?

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của AB

△OAB vuông tại A có M là trung điểm của AB

⇒ OM = $\frac{1}{2}$ AB = 2 cm

Vì OH = 1 cm = $\frac{1}{2}$ OM

⇒ △OMH là một nửa tam giác đều

$\Rightarrow \widehat {OMH} = 30^\circ$

Vì M là trung điểm của AB ⇒ MA = MO = MB

⇒ △MOA cân tại M

$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat {OMH} = 2\widehat {MAO}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {MAO} = \frac{{\widehat {OMH}}}{2} = \frac{{30^\circ }}{2} = 15^\circ \hfill \\ \end{gathered}$

Ta có: $\widehat {BAD} = 2\widehat {MAO} = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ$

ABCD là hình thoi

$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat {BCD} = \widehat {BAD} = 30^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ADC} = 150^\circ \hfill \\ \end{gathered}$

Dạng 3. Tìm điều kiện để tứ giác là hình thoi.

Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA

a) Chứng minh: MNPQ là hình bình hành.

b) Hình thang ABCD thêm tính chất gì để MNPQ là hình thoi

Hướng dẫn giải

a) Vì M, N là trung điểm của AB, BC ⇒ MN là đường trung bình của △ABC

$\left\{ \begin{gathered} MN\parallel AC \hfill \\ MN = \frac{1}{2}AC\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( 1 \right)$

Vì P, Q là trung điểm của CD, DA ⇒ PQ là đường trung bình của △ADC

$\left\{ \begin{gathered} PQ\parallel AC \hfill \\ PQ = \frac{1}{2}AC\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ⇒ MNPQ là hình bình hành.

b) Để MNPQ là hình thoi

⇒ MN = NP = $\frac{1}{2}$ AC (3)

Vì P, N là trung điểm của CD, BC ⇒ NP là đường trung bình của △BDC

⇒ NP = $\frac{1}{2}$ BD (4)

Từ (3), (4) ⇒ AC = BD

Hình thang ABCD có AC = BD ⇒ ABCD là hình thang cân

Bài 2. Cho △ABC cân tại A, đường cao AD. M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Từ M vẽ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc AC tại F. Gọi I là trung điểm của AM.

a) Chứng minh △EID, △DIF cân.

b) △ABC cân thêm điều kiện gì để tứ giác DEIF là hình thoi?

c) Với điều kiện của △ABC ở câu b, gọi H là trực tâm của △ Chứng minh: EF, ID, MH đồng quy.

Hướng dẫn giải

a) △AEM vuông tại E, I là trung điểm của AM

Do đó: EI = $\frac{1}{2}$ AM

Tương tự ta có: FI = $\frac{1}{2}$ AM, DI = $\frac{1}{2}$ AM

Do đó EI = DI = FI

⇒△EID, △DIF cân tại I

b) DEIF là hình thoi ⇒ EI = ED = DF = FI

⇒ △EID, △DIF là các tam giác đều.

$\Rightarrow \widehat {EIF} = 120^\circ$

Mà △EIA cân tại I $\Rightarrow \widehat {EIM} = 2\widehat {EAM}$

Mà △FIA cân tại I $\Rightarrow \widehat {FIM} = 2\widehat {FAM}$

$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat {FAM} + \widehat {EAM} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {FIM} + \widehat {EIM}} \right) = \frac{1}{2}\widehat {EIF} = 60^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat {BAC} = 60^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Do đó để DEIF là hình thoi thì △ABC cân tại A cần thêm điều kiện $\widehat {BAC} = 60^\circ$

c) Gọi O là giao điểm của EF và DI ⇒ OE = OF

Gọi K là trung điểm của AH

△ABC cân tại A có $\widehat {BAC} = 60^\circ$ ⇒ △ABC đều

⇒ H là trọng tâm △ABC

⇒ OH = $\frac{1}{2}$ HA = KH

Ta có: IK và OH lần lượt là đường trung bình của △AMH và △AID

⇒ IK // MH, OH // IK

H, M, O thẳng hàng. Do đó EF, ID, MH đồng quy tại O.

Phiếu bài tự luyện cơ bản – nâng cao

Dạng 1. Chứng minh một tứ giác là hình thoi

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ AE ⊥ BC tại E, DF ⊥ AB tại F. Biết AE = DF. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thoi.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\widehat {FAD} = \widehat {ABE}$ (vì AD // BC)

⇒ △AFD = △BEA (cạnh góc vuông – góc nhọn)

⇒ AD = AB (hai cạnh tương ứng)

Xét hình bình hành ABCD có AD = AB nên ABCD là hình thoi

Bài 2. Cho tam giác ABC có AC = 2AB, đường trung tuyến BM. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến tia phân giác của góc $\widehat A$ . Chứng minh rằng ABHM là hình thoi.

Hướng dẫn giải

Xét △AHC vuông tại H có HM là đường trung tuyến

⇒ HM = MA = MC

Ta có: △MAH = △BAH (c.g.c) ⇒ HM = HB.

Xét tứ giác ABHM có: AB = BH = HM = MA

⇒ ABHM là hình thoi.

Bài 3. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh: EF = GH; EH = GF

b) Chứng minh tứ giác EFGH là hình thoi.

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm BD, AC. Chứng minh: EN = MG = $\frac{1}{2}$ BC

d) Tứ giác ENGM là hình gì? Vì sao?

Hướng dẫn giải

a) Vì E là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC

⇒ EF là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ EF = $\frac{1}{2}$ AC (1)

Vì H là trung điểm của AD, G là trung điểm của DC

⇒ HG là đường trung bình của tam giác ADC

⇒ HG = $\frac{1}{2}$ AC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ EF = GH = $\frac{1}{2}$ AC

Chứng minh tương tự ta được EH = GF

b) ABCD là hình thang cân ⇒ AC = BD (3)

EF = GH = $\frac{1}{2}$ AC (4)

EH = GF = $\frac{1}{2}$ BD (5)

Từ (3), (4), (5) ⇒ EF = GH = EH = GF

Suy ra tứ giác EFGH là hình thoi.

c) Vì E là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC

⇒ EN là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ EN = $\frac{1}{2}$ BC (6)

Vì G là trung điểm của CD, M là trung điểm của BD

⇒ GM là đường trung bình của tam giác BCD

⇒ MG = $\frac{1}{2}$ BC (7)

Từ (6) và (7) ⇒ EN = MG = $\frac{1}{2}$ BC (8)

d) Chứng minh tương tự ta được:

ME = NG = $\frac{1}{2}$ AD (9)

ABCD là hình thang cân ⇒ AD = BC (10)

Từ (8), (9), (10) ⇒ EN = MG = ME = NG

Suy ra tứ giác ENGM là hình thoi.

Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt EF tại D, cắt BC tại G. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của G trên AB và AC. Chứng minh rằng tứ giác DNGM là hình thoi.

Hướng dẫn giải

△ABE = △ACF (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ AE = AF và BE = CF

Vì H là trực tâm của △ABC nên AH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến, từ đó GB = GC và DE = DF

Xét △EBC có: GN // BE (cùng vuông góc với AC) và GB = GC nên NE = NC

Chứng minh tương tự ta được MF = MB.

Dùng định lí đường trung bình của tam giác ta chứng minh được DM // GN và DM = GN

Nên tứ giác DNGM là hình bình hành.

Mặt khác, DM = DN (cùng bằng $\frac{1}{2}$ của hai cạnh bằng nhau) nên DNGM là hình thoi.

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = DN. Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tại E và F.

a) Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua AB;

b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi;

c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân.

Hướng dẫn giải

a) Gọi H là giao điểm của EF và MB.

Ta có: AMND là hình bình hành (AM = ND và AM // ND) ⇒ AD // NM

Lại có: AD // BC, nên suy ra MN // BC

$\Rightarrow \widehat {MEH} = \widehat {HFB}$

Ta có: △EHM = △FHB (cạnh góc vuông – góc nhọn) ⇒ HE = HF

Mà EF ⊥ AB nên E và F đối xứng với nhau qua AB

b) Xét tứ giác MEBF có HE = HF, HB = HM, EF ⊥ MB nên MEBF là hình thoi

c) Để tứ giác BCNE là hình thang cân thì $\widehat {ENC} = \widehat {NEB}$

Ta có: $\widehat {ENC} = \widehat {EMB}$ (vì AB // CD);

$\widehat {FBH} = \widehat {HBE}$ (vì △FBE cân tại B);

$\widehat {MNC} = \widehat {MBC}$ (vì MBCN là hình bình hành).

Xét △EMB có: $\widehat {EMB} = \widehat {MBE} = \widehat {BEM}$

Nên suy ra $\widehat {EMB} = \widehat {MBE} = \widehat {BEM} = 60^\circ$

Vậy để tứ giác BCNE là hình thang cân thì $\widehat {ABC} = 60^\circ$

Dạng 2. Vận dụng kiến thức hình thoi để chứng minh và giải toán

Bài 1. Cho hình thoi ABCD có $\widehat A = 60^\circ$ . Kẻ 2 đường cao BE và BF (E ∈ AD, F ∈ DC)

a) Chứng minh: BE = BF

b) Tính số đo $\widehat {ABC}$

c) Tính số đo $\widehat {EBF}$ , △BEF là tam giác đặc biệt gì? Vì sao?

Hướng dẫn giải

a) Vì ABCD là hình thoi nên AB = AD = CB = CD

Mặt khác: $\widehat A = 60^\circ$ nên △ABD, △CBD, đều (vì tam giác cân có một góc bằng 60°)

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \frac{{\widehat {ABD}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \widehat {{B_3}} = \widehat {{B_4}} = \frac{{\widehat {DBC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(trong tam giác đều thì đường cao cũng là đường phân giác).

Xét 2 tam giác vuông △BED và △BFD có:

$\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_3}} = 30^\circ$

BD cạnh chung

⇒ △BED = △BFD (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ BE = BF (hai cạnh tương ứng)

b) Ta có:

$\widehat {ABC} = \widehat {ABD} + \widehat {DBC} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$

c) Ta có:

$\widehat {EBF} = \widehat {{B_2}} + \widehat {{B_3}} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$

Xét tam giác △BEF có:

BE = BF và $\widehat {EBF} = 60^\circ$

⇒ △BEF là tam giác đều.

Bài 2. Cho hình thoi ABCD có $\widehat A = 60^\circ$ , kẻ BH ⊥ AD (H ∈ AD), rồi kéo dài một đoạn HE = BH. Nối E với A, E với D. Chứng minh:

a) H là trung điểm AD.

b) Tứ giác ABDE là hình thoi.

c) D là trung điểm CE.

d) AC = BE

Hướng dẫn giải

a) Ta có: AB = AD (vì ABCD là hình thoi)

Và $\widehat A = 60^\circ$

Suy ra: △ABD là tam giác đều.

Mà BH ⊥ AD nên H là trung điểm của AD.

b) Xét tứ giác ABDE có:

HA = HD (chứng minh trên)

HE = HB (Giả thiết)

⇒ ABDE là hình bình hành.

Mặc khác: AD ⊥ BE nên ABDE là hình thoi

(vì hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi

c) Ta có:

ABCD là hình thoi ⇒ DC = AB, DC // AB (1)

ABDE là hình thoi ⇒ DE = AB, DE // AB (2)

Từ (1), (2) suy ra C, D, E thẳng hàng (theo tiên đề euclid) và DC = DE.

Vậy D là trung điểm của CE.

d) Ta có:

AC = 2AI (vì ABCD là hình thoi)

BE = 2BH (vì ABDE là hình thoi)

Mà BH = AI (cùng là đường cao của tam giác đều ABD)

⇒ AC = BE.

Bài 3. Cho hình thoi ABCD có AB = BD.

a) Chứng minh: △ABD đều.

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: OA² = $\frac{3}{4}$ AB²

c) Biết chu vi của hình thoi ABCD là 8 cm. Tính độ dài đường chéo BD,

d) Tính diện tích hình thoi ABCD.

Hướng dẫn giải

a) ABCD là hình thoi ⇒ AB = AD mà AB = BD (giả thiết)

Nên AB = AD = BD.

Vậy △ABD là tam giác đều.

b) △OAB vuông tại O ⇒ OA² = AB²– OB²

Mà $OB = \frac{{BD}}{2} = \frac{{AB}}{2} \Rightarrow O{B^2} = \frac{{A{B^2}}}{4}$

Do đó: $O{A^2} = A{B^2} - \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{3}{4}A{B^2}$

c) Chu vi ABCD là 8 cm ⇒ BD = AB = 2 cm

Nên BO = $\frac{1}{2}$ BD = 1 cm

Tam giác vuông OAB:

AO² = AB²– OB² = 4 – 1 = 3 ⇒ AO = $\sqrt 3$ cm

AC = 2AO = $2\sqrt 3$ cm

Vậy BD = 2 cm, AC = $2\sqrt 3$ cm

d) Diện tích hình thoi ABCD là:

$\frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt 3 \cdot 2 = 2\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)$

Bài 4. Cho hình thoi ABCD có $\widehat A = 60^\circ$ . Một góc $\widehat {xBy}$ thay đổi sao cho tia Bx cắt cạnh AD tại M, tia By cắt cạnh CD tại N và $\widehat {xBy} = 60^\circ$ . Chứng minh: