Định nghĩa hình chữ nhật
⋆ Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.
Tứ giác ABCD là hình chữ nhật
![\[ \Leftrightarrow \widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-1.svg)
⋆ Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, một hình thang cân.
⋆ Tính chất hình chữ nhật
+) Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành.
+) Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình thang cân.
+) Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
⋆ Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật
+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
+) Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
+) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
+) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
⋆ Áp dụng vào tam giác vuông:
+) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
+) Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật
Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết đê chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật.
Bài 1. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Chứng minh EFGH là hình bình hành.
b) Tứ giác EFGH là hình gì?
Hướng dẫn giải
a) Ta có: EA = EB (gt) và FB = FC (gt)
⇒ EF là đường trung bình của △BAC
⇒ EF // AC và EF = ![\[\frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-3.svg)
AC (1)
Ta có: HA = HD (gt) và GC = GD (gt)
⇒ HG là đường trung bình của △DAC
⇒ HG // AC và HG = AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG
Vậy EFGH là hình bình hành (3)
b) Ta có: EFGH là hình bình hành
Ta có: EA = EB (gt) và HA = HD (gt)
⇒ DE là đường trung bình của △ABD
⇒ HE // BD
Ta có: EF // AC và AC ⊥ BD
⇒ EF ⊥ BD
Ta có: EF ⊥ BD và HE // BD
⇒ EF ⊥ HE (4)
Từ (3) và (4) suy ra hình bình hành EFGH có ![\[\widehat E = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-8.svg)
nên EFGH là hình chữ nhật.
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh AC, BC lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ điểm P vẽ PM song song với BC (M ∈ AB).
a) Chứng minh PM = CQ.
b) Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[\widehat A = \widehat B\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-9.svg)
(Vì △ABC vuông cân tại C) (1)
Vì PM // BC nên ![\[\widehat {PMA} = \widehat B\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-10.svg)
(hai góc đồng vị) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ![\[\widehat A = \widehat {PMA}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-11.svg)
(Vì cùng bằng ![\[\widehat B\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-12.svg)
)
⇒ △APM cân tại P ⇒ AP = PM (hai cạnh bên bằng nhau)
Ta có: AP = CQ (gt) và AP = PM
⇒ PM = CQ
b) Ta có: PM // CQ và PM = CQ
⇒ PCQM là hình bình hành (tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Lại có: ![\[\widehat C = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-16.svg)
Vậy PCQM là hình chữ nhật
Bài 3. Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P là điểm đối xứng của M qua G, gọi Q là điểm đối xứng của N qua G.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
b) Nếu △ABC cân ở A thì tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
GM = GP (vì P là điểm đối xứng của M qua G) (1)
GN = GQ (vì Q là điểm đối xứng của N qua G) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành (vì có G là trung điểm của hai đường chéo MP và NQ)
b) Nếu △ABC cân tại A thì AB = AC, khi đó ta có: △AMB = △ANC (c.g.c)
⇒ MB = NC vì thế ta lại có MP = NQ.
⇒ Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
Dạng 2. Áp dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh các tính chất hình học.
Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình chữ nhật.
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD. Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho EF = EC. Vẽ FH và FK lần lượt vuông góc với đường thẳng AB và AD tại H và K. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AHFK là hình chữ nhật;
b) AF song song với BD;
c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
a) ![\[\widehat {FHA} = \widehat {FKA} = \widehat {HAK} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-17.svg)
⇒ AHFK là hình chữ nhật
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có: EF = EC (gt) và OA = OC
⇒ OE là đường trung bình của △CAF
⇒ AF // OE hay AF // BD
c) Gọi I là giao điểm của AF và HK
Ta có: ![\[\widehat {{H_1}} = \widehat {{A_1}}\left( {\widehat {{H_1}} = \widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}} = \widehat {{A_1}}} \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-18.svg)
⇒ KH // AC
Mà: KH đi qua trung điểm I của AF
⇒ KH đi qua trung điểm của FC
Mà E là trung điểm của FC ⇒ K, H, E thẳng hàng
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC.
a) Tứ giác EAFH là hình gì?
b) Qua A kẻ đường vuông góc với EF cắt BC ở I. Chứng minh I là trung điểm của BC.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[\left\{ \begin{gathered} \widehat A = 90^\circ \hfill \\ \widehat {AFH} = 90^\circ \left( {gt} \right) \hfill \\ \widehat {AEH} = 90^\circ \left( {gt} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-19.svg)
⇒ EAFH là hình chữ nhật (vì tứ giác có ba góc vuông)
b) Trong tam giác AHB ta có: ![\[\widehat B + \widehat {BAH} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-20.svg)
Mà ![\[\widehat {BAH} + \widehat {HAF} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-21.svg)
Suy ra: ![\[\widehat B = \widehat {HAF}{\text{ }}\left( 1 \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-22.svg)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo EF và AH của hình chữ nhật AEHF thì OA = OF
Do đó: △OAF cân tại O nên ![\[\widehat {OAF} = \widehat {OFA}{\text{ }}\left( 2 \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-23.svg)
Từ (1) và (2) suy ra: ![\[\widehat B = \widehat {AFE}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-24.svg)
Mặt khác ta lại có: ![\[\widehat B + \widehat C = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-25.svg)
và ![\[\widehat {IAC} + \widehat {AFE} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-26.svg)
Từ đó ta có: ![\[\widehat {IAC} = \widehat {ICA}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-27.svg)
Do đó △AIC cân tại I nên IA = IC
Tương tự IB = IA, do đó IB = IC
Dạng 3. Vận dụng định lý thuận và định lý đảo của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông.
Phương pháp giải: Sử dụng định lý về tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền cả tam giác vuông để chứng minh các hình bằng nhau hoặc chứng minh tam giác vuông.
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Chứng minh:
a) ![\[\widehat {IHK} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-28.svg)
b) Chu vi △IHK bằng nửa chu vi △ABC
Hướng dẫn giải
a) Ta có: △BHA vuông tại H (gt)
⇒ IH = IA = IB (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB)
⇒ △IAH cân tại I
![\[ \Rightarrow \widehat {IHA} = \widehat {IAH}{\text{ }}\left( 1 \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-29.svg)
(hai góc ở đáy bằng nhau)
Tương tự: ![\[\widehat {KHA} = \widehat {HAK}{\text{ }}\left( 2 \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-30.svg)
Từ (1) và (2) suy ra:
![\[\widehat {IHA} + \widehat {KHA} = \widehat {IAH} + \widehat {HAK} = 90^\circ \left( {gt} \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-31.svg)
Vậy
b) Ta có:
![\[HI = \frac{{AB}}{2}{\text{ }}\left( 3 \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-32.svg)
(đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông AHB)
![\[HK = \frac{{AC}}{2}{\text{ }}\left( 4 \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-33.svg)
(đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông AHC)
![\[IK = \frac{{BC}}{2}{\text{ }}\left( 5 \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-34.svg)
(đường trung bình của tam giác ABC)
Từ (3), (4), (5) suy ra:
![\[\begin{gathered} {P_{IHK}} = IH + HK + IK = \frac{{AB}}{2} + \frac{{AC}}{2} + \frac{{BC}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{{P_{ABC}}}}{2} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-35.svg)
Vậy chu vi △IHK bằng nửa chu vi
Bài 2. Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By song song với AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, đường MP cắt AC tại Q và BQ cắt AI tại H.
a) Tứ giác AMBQ là hình gì?
b) Chứng minh rằng CH ⊥ AB
c) Chứng minh tam giác PIQ cân.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[\left\{ \begin{gathered} \widehat {AQB} = 90^\circ \hfill \\ \widehat {MAQ} = 90^\circ \hfill \\ \widehat {MBQ} = 90^\circ \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-37.svg)
⇒ AMBQ là hình chữ nhật.
b) Ta có: AI ⊥ BC (gt) và BQ ⊥ AC (gt)
⇒ H là trực tâm của △ABC (vì H là giao điểm của hai đường cao)
Suy ra: CH ⊥ AB
c) Ta có:
![\[PQ = \frac{{AB}}{2}{\text{ }}\left( 1 \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-38.svg)
(vì PQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ABQ)
![\[PI = \frac{{AB}}{2}{\text{ }}\left( 2 \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-39.svg)
(vì PQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông AIB)
Từ (1) và (2) suy ra: PQ = PI
⇒ △PIQ cân tại P
Dạng 4. Tìm điều kiện để tứ giác là hình chữ nhật
Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình chữ nhật.
Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác EFGH là hình chữ nhật?
Hướng dẫn giải
Ta có: EA = EB (gt) và FB = FC (gt)
⇒ EF là đường trung bình của △BAC
⇒ EF // AC và EF = AC (1)
Ta có: HA = HD (gt) và GC = GD (gt)
⇒ HG là đường trung bình của △DAC
⇒ HG // AC và HG = AC (2)
Từ (1), (2) suy ra EF // HG và EF = HG
Vậy EFGH là hình bình hành (3)
Để EFGH là hình chữ nhật thì ![\[\widehat {HEF} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-42.svg)
⇒ HE ⊥ EF ⇒ AC ⊥ BD
Bài 2. Cho tam giác ABC. Gọi O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OB, OC, AC, AB.
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b) Xác định vị trí của điểm O để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
PQ là đường trung bình của tam giác ABC
⇒ PQ // BC, PQ = BC (1)
MN là đường trung bình của tam giác OBC
⇒ MN // BC, MN = BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra QP // MN, QP = MN
⇒ MNPQ là hình bình hành.
b) Để MNPQ là hình chữ nhật thì cần ![\[\widehat {QMN} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-43.svg)
Mà MN // BC ⇒ QM ⊥ BC
Hơn nữa: QM // AO nên AO ⊥ BC
Vậy để MNPQ là hình chữ nhật là O nằm trên đường cao xuất phát từ đỉnh A của △ABC
Bài tập tự luyện
Dạng bài nâng cao và phát triển tư duy
⋆ Tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình chữ nhật
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AD. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Vẽ ME ⊥ AB, MF ⊥ AC. Tính số đo các góc của tam giác DEF.
Hướng dẫn giải
Tứ giác AEMF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
⇒ AE = MF
Tam giác FMC vuông tại F, ![\[\widehat C = 45^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-44.svg)
nên là tam giác vuông cân
⇒ CF = MF. Do đó: AE = CF
Tam giác ABC vuông cân, AD là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác
Nên ![\[AD = DC = \frac{1}{2}BC;{\text{ }}\widehat {EAD} = \widehat {FCD} = 45^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-45.svg)
△EDA = △FDC (c.g.c) ![\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} DE = DF \hfill \\ \widehat {EDA} = \widehat {FDC} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-46.svg)
Ta có: ![\[\widehat {ADF} + \widehat {FDC} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-47.svg)
![\[ \Rightarrow \widehat {ADF} + \widehat {EDA} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-48.svg)
hay ![\[\widehat {EDF} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-49.svg)
Do đó △DEF vuông cân
![\[ \Rightarrow \widehat E = \widehat F = 45^\circ ;{\text{ }}\widehat {EDF} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-50.svg)
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Biết AD = AC và ![\[\widehat {BAC} = \frac{1}{2}\widehat {DAC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-51.svg)
. Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có OA = OC
Vì AD = AC nên AD = AO
Vẽ AH ⊥ OD, OK ⊥ AB.
Xét △AOD cân tại A, AH là đường cao ⇒ AH cũng là đường trung tuyến, cũng là đường phân giác.
Do đó: HO = HD và ![\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-52.svg)
Vì nên ![\[\widehat {{A_3}} = \widehat {{A_2}} = \widehat {{A_1}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-53.svg)
△AOK = △AOH (cạnh huyền – góc nhọn)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow OK = OH = \frac{1}{2}OD \Rightarrow OK = \frac{1}{2}OB \hfill \\ \Rightarrow \widehat {{B_1}} = 30^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-54.svg)
Xét △ABH vuông tại H có:
![\[\widehat {{B_1}} = 30^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-56.svg)
nên ![\[\widehat {HAB} = 60^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-57.svg)
suy ra ![\[\widehat {DAB} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-58.svg)
Hình bình hành ABCD có một góc vuông nên là hình chữ nhật.
Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = 6. Điểm M nằm trong hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:
S = MA2 + MB2 + MC2 + MD2
Hướng dẫn giải
ABCD là hình chữ nhật nên ![\[AC = BD = \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-59.svg)
Ta đặt: MA = x, MC = y
Xét ba điểm M, A, C ta có: MA + MC ≥ AC
Do đó: x + y ≥ 10 ⇒ (x + y)2 ≥ 100 hay x2 + y2 + 2xy ≥ 100 (1)
Mặt khác: (x – y)2 ≥ 0 hay x2 + y2 – 2xy ≥ 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2(x2 + y2) ≥ 100 ⇒ x2 + y2 ≥ 50
Dấu “=” xảy ra ⇔ M nằm giữa A và C và MA = MC ⇔ M là trung điểm của AC.
Chứng minh tương tự, ta được: MB2 + MD2 ≥ 50 dấu “=” xảy ra ⇔ M là trung điểm của BD.
Vậy MA2 + MB2 + MC2 + MD2 ≥ 100
Do đó giá trị nhỏ nhất của tổng S là 100 khi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là một giao điểm bất kì trong tam giác. Vẽ OD ⊥ AB, OE ⊥ BC và OF ⊥ CA. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:
S = OD2 + OE2 + OF2
Hướng dẫn giải
Vẽ AH ⊥ BC, OK ⊥ AH
Tứ giác ADOF và KOEH là hình chữ nhật nên OF = AD và OE = KH
Xét △AOD vuông tại D, ta có:
OB2 + AD2 = OA2 ≥ AK2
Do đó: ![\[O{D^2} + O{F^2} + O{E^2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-60.svg)
![\[\begin{gathered} = O{D^2} + A{D^2} + O{E^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \geqslant A{K^2} + K{H^2} \geqslant \frac{{{{\left( {AK + KH} \right)}^2}}}{2} = \frac{{A{H^2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-60a.svg)
Dấu “=” xảy ra ⇔ O nằm giữa A và H và AK = KH ⇔ O là trung điểm của AH
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng S là ![\[\frac{{A{H^2}}}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-61.svg)
khi O là trung điểm của AH.
Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD, đường chéo AC = d. Trên các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng:
S = MN2 + NP2 + PQ2 + QM2
Hướng dẫn giải
Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên
![\[\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-62.svg)
Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
MN2 = BM2 + BN2; NP2 = CN2 + CP2
PQ2 = DP2 + DQ2; QM2 = AQ2 + AM2
Do đó: S = MN2 + NP2 + PQ2 + QM2
= (AM2 + BM2) + (BN2 + CN2) + (CP2 + DP2) + (DQ2 + AQ2)
Vận dụng bất đẳng thức ![\[{a^2} + {b^2} \geqslant \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-63.svg)
(dấu “=” xảy ra khi a = b), ta được:
![\[\begin{gathered} S \geqslant \frac{{{{\left( {AM + BM} \right)}^2}}}{2} + \frac{{{{\left( {BN + CN} \right)}^2}}}{2} + \frac{{{{\left( {CP + DP} \right)}^2}}}{2} + \frac{{{{\left( {DQ + AQ} \right)}^2}}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{A{B^2}}}{2} + \frac{{B{C^2}}}{2} + \frac{{C{D^2}}}{2} + \frac{{A{D^2}}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{2{{\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right)}^2}}}{2} = A{C^2} = {d^2} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-64.svg)
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng S là d2 khi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh hình chữ nhật.
Bài 6. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = CE. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài DE.
Hướng dẫn giải
Vẽ DH ⊥ BC, EK ⊥ BC và DF ⊥ EK
Tứ giác DFKH có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.
Suy ra DF = HK
△HBD vuông tại H có ![\[\widehat B = 60^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-65.svg)
nên
![\[\widehat {{D_1}} = 30^\circ \Rightarrow BH = \frac{1}{2}BD\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-66.svg)
△KCE vuông tại K có ![\[\widehat C = 60^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-67.svg)
nên
![\[\widehat {{E_1}} = 30^\circ \Rightarrow CK = \frac{1}{2}CE = \frac{1}{2}AD\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-68.svg)
Ta có:
![\[\begin{gathered} DE \geqslant DF = HK = BC - \left( {BH + KC} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = BC - \left( {\frac{1}{2}BD + \frac{1}{2}AD} \right) = BC - \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-69.svg)
Vậy giá trị nhỏ nhất của DE là ![\[\frac{a}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-70.svg)
khi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC.
⋆ Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh huyền BC lấy một điểm M. Vẽ MD ⊥ AB, ME ⊥ AC và AH ⊥ BC. Tính số đo của góc ![\[\widehat {DHE}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-71.svg)
.
Hướng dẫn giải
Tứ giác ADME có ba góc vuông nên là hình chữ nhật nên AM = DE
Gọi O là giao điểm của AM và DE, ta có:
OA = OM = OD = OE
Xét △AHM vuông tại H, ta có:
HO = AM ⇒ HO = DE
Xét △HDE có HO là đường trung tuyến ứng với cạnh DE
Mà HO = DE nên △HDE vuông tại H
![\[ \Rightarrow \widehat {DHE} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-72.svg)
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AD. Vẽ HE ⊥ AB, HF ⊥ AC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của HB và HC.
a) Chứng minh rằng: EM // FN // AD
b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì thì ba đường thẳng EM, FN, AD là ba đường thẳng song song cách đều
Hướng dẫn giải
a) Tứ giác AFHE có ba góc vuông nên là hình chữ nhật
⇒ OA = OF = OH = OE.
Xét △ABC vuông tại A có AD là đường trung tuyến nên AD = DB = DC
△DAC cân ![\[ \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat C\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-73.svg)
Mặt khác, ![\[\widehat C = \widehat {{A_2}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-74.svg)
(cùng phụ với )
![\[\widehat {{A_2}} = \widehat {{E_1}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-75.svg)
(hai góc ở đáy của tam giác cân)
Suy ra: ![\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{E_1}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-76.svg)
Gọi K là giao điểm của AD và EF.
Xét △AEF vuông tại A có:
![\[\widehat {{E_1}} + \widehat {{F_1}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {{A_1}} + \widehat {{F_1}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat K = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-77.svg)
Do đó: AD ⊥ EF (1)
Ta có: △OEM = △OHM (c.c.c)
![\[ \Rightarrow \widehat {OEM} = \widehat {OHM} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-78.svg)
⇒ EM ⊥ EF (2)
Chứng minh tương tự, ta được: FN ⊥ EF (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: EM // FN // AD (vì cùng vuông góc với EF)
b) Ba đường thẳng EM, FN và AD là ba đường thẳng song song cách đều
⇔ KF = KE ⇔ K ≡ O ⇔ AD ≡ AH ⇔ △ABC vuông cân.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Gọi M là trung điểm của BD. Chứng minh rằng tia HM là tia phân giác của góc ![\[\widehat {AHC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-79.svg)
.
Hướng dẫn giải
Vẽ DE ⊥ BC, DF ⊥ AH.
△HAB và △FDA có:
![\[\widehat H = \widehat F = 90^\circ ;{\text{ }}AB = AD\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-80.svg)
![\[\widehat {HAB} = \widehat {FDA}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-81.svg)
(cùng phụ với ![\[\widehat {FAD}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-82.svg)
)
Do đó: △HAB = △FDA (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ AH = FD (1)
Tứ giác FDEH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật
⇒ HE = FD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AH = HE
Ta có: AM = EM = BD
⇒ AHM = EHM (c.c.c)
![\[ \Rightarrow \widehat {AHM} = \widehat {EHM}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-83.svg)
Do đó tia HM là tia phân giác của góc
Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 15, BC = 8. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H. Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác EFGH.
Hướng dẫn giải
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của HE, HF và FG
Theo tính chất đường trung bình của tam giác, tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta có:
EF = 2MN; FG = 2CP; GH = 2NP; HE = 2AM
Do đó chu vi của hình tứ giác EFGH là:
EF + FG + GH + HE = 2(AM + MN + NP + PC)
Xét các điểm A, M, N, P, C ta có:
AM + MN + NP + PC ≥ AC (không đổi)
AC2 = AB2 + BC2 = 152 + 82 = 289 ⇒ AC = 17
Vậy chu vi của tứ giác EFGH ≥ 2 ⋅ 17 = 34 (dấu “=” xảy ra ⇔ M, N, P nằm trên AC theo thứ tự đó ⇔ EF // AC // HG và HE // BD // FG ).
Do đó giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác EFGH là 34.
⋆ Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước
Bài 1. Cho góc ![\[\widehat {xOy}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-84.svg)
có số đo bằng 30°. Điểm A cố định trên tia Ox sao cho OA = 2 cm. Lấy điểm B bất kì trên tia Oy. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC = 2BA. Hỏi khi điểm B di động trên tia Oy thì điểm C di động trên đường nào?
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm của BC.
Vẽ AH ⊥ Oy, MD ⊥ Oy và CE ⊥ Oy.
Xét △AOH vuông tại H, có ![\[\widehat O = 30^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-85.svg)
nên AH = OA = 1 cm
△MDB = △AHB ⇒ MD = AH = 1 cm
Xét △BCE, dễ thấy MD là đường trung bình nên CE = 2MD = 2 cm
Điểm C cách Oy một khoảng là 2 cm nên C di động trên đường thẳng a // Oy và cách Oy là 2 cm
Bài 2. Cho góc có số đo bằng 45°. Điểm A cố định trên tia Ox sao cho OA = ![\[3\sqrt 2 \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-86.svg)
cm. Lấy điểm B bất kì trên tia Oy. Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB. Hỏi khi điểm B di động trên tia Oy thì điểm G di động trên đường nào?
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm của OB.
Khi đó G ∈ AM và AG ∈ GM
Gọi N là trung điểm của AG, ta được AN = NG = GM
Vẽ AD, NE, GF cùng vuông góc với Oy.
Ba đường thẳng AD, NE và GF là ba đường thẳng song song cách đều nên DE = EF = FM
Ta đặt FG = x thì EN = 2x và ![\[EN = \frac{{FG + AD}}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-87.svg)
Do đó: ![\[2x = \frac{{x + AD}}{2} \Rightarrow AD = 3x\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-88.svg)
Xét △DOA vuông cân tại D ⇒ OA2 = 2DA2. Do đó:
![\[2D{A^2} = {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow DA = 3{\text{ }}cm \Rightarrow FG = 1{\text{ }}cm\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-89.svg)
Điểm G cách Oy một khoảng không đổi là 1 cm nên điểm G di động trên đường thẳng a // Oy và cách Oy là 1 cm.
Phiếu tự luyện cơ bản và nâng cao số 1
Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình chữ nhật để chứng minh các tính chất hình học
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Điểm E thuộc cạnh AD, điểm F thuộc cạnh AB. Gọi I, K, M, N theo thứ tự là trung điểm của EF, FD, BE, BD. Chứng minh: IN = KM.
Hướng dẫn giải
Dễ có dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác ta chứng minh IMNK là hình chữ nhật
⇒ IN = KM.
Dạng 2. Tổng hợp
Bài 1. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC. Lấy E là điểm đối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K.
a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.
b) Chứng minh: HG = GK = KE.
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh: AHCE là hình bình hành; ![\[\widehat {AHC} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-96.svg)
⇒ AHCE là hình chữ nhật.
b) Chứng minh G, K lần lượt là các trọng tâm của tam giác AHC, AEC và sử dụng tính chất 2 đường chéo của hình chữ nhật.
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) và ACE (EA = EC). Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của DM với AB, và K là giao điểm của EM với AC. Chứng minh:
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật.
c) Tam giác DME là tam giác vuông cân.
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh: ![\[\widehat {DEA} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-97.svg)
b) Chứng minh:
![\[\widehat {AIM} = \widehat {AKM} = \widehat {IAK} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-98.svg)
c) Chứng minh △DME có:
![\[\widehat {EDM} = \widehat {DEM} = 45^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-99.svg)
⇒ △DME vuông cân ở M.
Bài 3. Cho hình thang vuông ABCD ![\[\left( {\widehat A = \widehat D = 90^\circ } \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-100.svg)
có các điểm E và F thuộc cạnh AD sao cho AE = DF và ![\[\widehat {BFC} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-101.svg)
. Chứng minh: ![\[\widehat {BEC} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-102.svg)
Hướng dẫn giải
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC, AD.
Chú ý △FEI cân ở I.
Chứng minh: IE = IB = IC
⇒ △EBC vuông tại E
⇒
Phiếu tự luyện cơ bản và nâng cao số 2
Dạng 1. Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật.
Bài 1. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc tại O. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng:
a) OE + OF + OH + OG bằng nửa chu vi tứ giác ABCD.
b) Tứ giác EFGH là hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải
a) OE + OF + OH + OG = (AB + BC + CD + DA) = PABCD
b) Dựa vào tính chất đường trung bình ta chứng minh:
![\[\left\{ \begin{gathered} EF = HG\left( { = \frac{1}{2}AC} \right) \hfill \\ EF\parallel HG\left( {\parallel AC} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-103.svg)
⇒ Tứ giác EFGH là hình bình hành.(*)
Dễ có: AC ⊥ BD và AC // EF ⇒ EF ⊥ BD
Mà BD // EH nên EF ⊥ EH suy ra ![\[\widehat {FEH} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-104.svg)
(**)
Từ (*) và (**) suy ra tứ giác EFGH là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).
Bài 2. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng của H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, EC. Các đường thẳng AM, AN cắt HE lần lượt tại G và K.
a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật
b) Chứng minh HG = GK = KE
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh: AHCE là hình bình hành; ![\[\widehat {AHC} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-105.svg)
, suy ra AHCE là hình chữ nhật.
b) Chứng minh G, K lần lượt là trọng tâm của △AHC, △AEC và sử dụng tính chất hai đường chéo hình chữ nhật suy ra đ
Dạng 2. Áp dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh các tính chất hình học.
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC, I là trung điểm của AE, M là trung điểm của CD, H là trung điểm của BE.
a) Chứng minh rằng: CH // IM
b) Tính góc ![\[\widehat {BIM}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-106.svg)
Hướng dẫn giải
a) Dựa vào tính chất đường trung bình ta có:
![\[\left\{ \begin{gathered} IH\parallel AB \hfill \\ IH = \frac{1}{2}AB\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-107.svg)
và ![\[\left\{ \begin{gathered} CM\parallel AB \hfill \\ CM = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-108.svg)
![\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} IH\parallel CM \hfill \\ IH = CM \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-109.svg)
⇒ IMCH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
b) Dễ có H là trực tâm của tam giác △IBC nên CH ⊥ IB
Theo câu a) ta có CH // IM suy ra IM ⊥ IB
![\[ \Rightarrow \widehat {BIM} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-110.svg)
Dạng 3. Vận dụng định lý thuận và định lý đảo của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông.
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Chứng minh:
a) ![\[\widehat {IHK} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-111.svg)
b) Chu vi △IHK bằng nửa chu vi △
Hướng dẫn giải
a) Dựa vào tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông đối với hai tam giác △HCA, △HAB
Ta có: HK = KC = KA, HI = IB = IA
⇒ △IHA, △KHA lần lượt cân tại I, K
Do vậy:
![\[\widehat {KHI} = \widehat {KHA} + \widehat {AHI} = \widehat {KAH} + \widehat {HAI} = \widehat {CAB} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-112.svg)
b) PIHK = IH + IK + KH
= AC + AB + CB
= (AB + AC + CB)
= PABC
Bài 2. Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc AC, từ B kẻ tia By song song với AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, đường thẳng MP cắt AC tại Q và BQ cắt AI tại H.
a) Tứ giác AMBQ là hình gì?
b) Chứng minh rằng CH ⊥
c) Chứng minh rằng tam giác PIQ cân.
Hướng dẫn giải
a) Ta chứng minh tứ giác AMBQ là hình chữ nhật (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và bằng nhau)
b) Tứ giác AMBQ là hình chữ nhật nên ![\[\widehat {AQB} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-113.svg)
⇒ BQ ⊥ AC mà AI ⊥ BC
Nên H là trực tâm tam giác ABC.
c) Ta chứng minh:
PI = AB
PQ = MQ = AB
Dạng 4. Tìm điều kiện để tứ giác là hình chữ nhật.
Bài 1. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC.
a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.
b) Chứng minh tứ giác ABPN là hình thang cân.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa AB và CD để ABPN là hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải
a) Ta chứng minh qua điểm M nằm ngoài đường thẳng DC có ![\[\left\{ \begin{gathered} MN\parallel DC \hfill \\ MP\parallel DC \hfill \\ MQ\parallel DC \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-118.svg)
⇒ M, N, P, Q thẳng hàng.
b) Ta có: ![\[\left\{ \begin{gathered} NP\parallel AB \hfill \\ AP = NB = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}DB \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-119.svg)
⇒ ABPN là hình thang cân.
c) ABPN là hình chữ nhật khi AB = NP
Ta có: ![\[DC = 2MQ - AB\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-120.svg)
![\[\begin{gathered} = 2\left( {MN + NP + PQ} \right) - AB\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 2\left( {\frac{1}{2}AB + AB + \frac{1}{2}AB} \right) - AB = 3AB \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-chu-nhat-121.svg)
