Lý thuyết hình bình hành
Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song.
Tứ giác ABCD là hình bình hành ![\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} AB\parallel CD \hfill \\ AD\parallel BC \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-1.svg)
Tính chất: Trong hình bình hành:
+) Các cạnh đối bằng nhau.
+) Các góc đối bằng nhau.
+) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Dấu hiệu nhận biết:
+) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
+) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
+) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
+) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học.
Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình hành.
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh rằng AF // CE
b) Gọi M N, theo thứ tự là giao điểm của BD với AF, Chứng minh rằng: DM = MN = NB.
Hướng dẫn giải
Ta có: ABCD là hình bình hành nên AB = CD (tính chất hình bình hành).
Mà E, F là trung điểm của AB và CD
⇒ AB = CF = BE = DF
Xét tứ giác AECF, có
AE = CF và AE // CF (do AB // CD)
AECF là hình bình hành ⇒ AF // EC.
b) Gọi AC ∩ BD = {O}
Xét △ADC có:
DO, AF là trung tuyến
AF ∩ DO = {M}
⇒ M là trọng tâm của △ADC
![\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} DM = \frac{2}{3}DO = \frac{2}{3}BO{\text{ }}\left( 1 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ OM = \frac{1}{3}DO = \frac{1}{3}BO{\text{ }}\left( 2 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {do{\text{ }}DO = BO} \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-2.svg)
Xét △ABC có:
BO, CE là trung tuyến
BO ∩ CE = {N}
⇒ N là trọng tâm của △ABC
![\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} BN = \frac{2}{3}BO{\text{ }}\left( 3 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ ON = \frac{1}{3}BO{\text{ }}\left( 4 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-3.svg)
Từ (2) và (4) suy ra:
![\[ \Rightarrow MN = OM + ON = \frac{1}{3}BO + \frac{1}{3}BO = \frac{2}{3}BO\left( 5 \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-4.svg)
Từ (1); (3) và (5) suy ra: DM = BN = MN (đpcm).
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo, E và F theo thứ tự là trung điểm của OD và OB.
a) Chứng minh rằng AE // CF.
b) Gọi K là giao điểm của AE và DC. Chứng minh rằng: DK = ![\[\frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-5.svg)
KC
Hướng dẫn giải
a) AC ∩ BD = {O} ⇒ DO = BO
E, F là trung điểm của DO và BO nên:
DE = EO = OF = FB
Xét tứ giác AFCE, có:
AC ∩ EF = {O}
OA = OC
OE = OF
⇒ AFCE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
⇒ AE // CF (tính chất hình bình hành).
b) Từ O kẻ OM // EK
Xét △DOM có
OM // EK
Và E là trung điểm của DO
⇒ K là trung điểm của DM
⇒ DK = KM (1)
Xét △CDK, có
OM // AK và O là trung điểm của AC
⇒ M là trung điểm của KC
⇒ CM = KM (2)
Từ (1) và (2) ⇒ DK = KM = CM
Mà KM + CM = KC
⇒ DK = KC (đpcm).
Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành
Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình bình hành.
Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BD, AB, AC, CD.
a) Chứng minh rằng EFGH là hình bình hành.
b) Cho AD = a, BC = b. Tính chu vi của hình bình hành EFGH.
Hướng dẫn giải
a) Xét △ABD có F, E lần lượt là trung điểm của AB; BD
⇒ EF Là đường trung bình của △ABD
⇒ EF // AD (1) và EF = AD (2)
Tương tự, ta có GH là đường trung bình của △ACD
⇒ GH // AD (3) và GH = AD (4)
Từ (1) và (3) ⇒ EF // GH
Từ (2) và (4) ⇒ EF = GH
⇒ Tứ giác GFEH là hình bình hành.
b) Ta có: GH = EF = AD = a
Tương tự: FG = HE = BC = b
⇒ Chu vi của tứ giác GFEH là:
![\[\left( {\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b} \right) \cdot 2 = a + b\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-6.svg)
Bài 2. Cho △ABC, trực tâm H. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau tại D. Chứng minh rằng:
a) BDCH là hình bình hành.
b) ![\[\widehat {BAC} + \widehat {BDC} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-7.svg)
c) H, M, D thẳng hàng (M là trung điểm của BC).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: CH ⊥ AB và BD ⊥ AB
⇒ CH // BD (1)
Lại có: BH ⊥ AC và CD ⊥ AC
⇒ BH // CD (2)
Từ (1) và (2) BHCD là hình bình hành.
b) Tứ giác ABCD có:
![\[\begin{gathered} \widehat {BAC} + \widehat {ABD} + \widehat {BDC} + \widehat {ACD} = 360^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat {BAC} + 90^\circ + \widehat {BDC} + 90^\circ = 360^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {BDC} = 180^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-8.svg)
c) Vì BHCD là hình bình hành nên BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường
Ta có: M là trung điểm của BC
⇒ M là trung điểm của HD
⇒ H, M, D thẳng hàng.
Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy
Phương pháp giải: Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có E, F lần lượt là trung điểm AB, CD.
a) Chứng minh rằng: AF // EC
b) Chứng minh rằng: ED = BF
c) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: E, O, F thẳng hàng.
d) AF cắt ED tại G, BF cắt EC tại H. Chứng minh rằng: G, O, H thẳng hàng.
e) Chứng minh rằng: GH // CD
f) Giả sử AB = 4 cm. Tìm GH?
Hướng dẫn giải
a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD
Ta có: E, F là trung điểm của AB, CD
⇒ AE = CF = BE = DF
Xét tứ giác AECF có:
AE // FC (do AB // CD)
AE = FC
⇒ AECF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
⇒ AF // CE
b) Chứng minh tương tự ta có BEDF là hình bình hành
⇒ ED = BF
c) Có AC ∩ BD = {O}
O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình bình hành)
Ta có: EO là đường trung bình của △ABC
⇒ EO // BC
OF là đường trung bình của △DBC
⇒ OF // BC
⇒ E, O, F thẳng hàng (tiên đề Euclid)
d) Chứng minh được OG là đường trung bình của △EDF
⇒ GO // DF ⇒ GO // DC (1)
OH là đường trung bình của △EFC
⇒ OH // FC ⇒ OH // DC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ OH ≡ GO (tiên đề Euclid)
⇒ O, H, G thẳng hàng.
e) AB = CD = 4 cm
Chứng minh được GH là đường trung bình của △DEC
⇒ GH = DC = ⋅ 4 = 2 cm
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Lấy N ∈ AB, M ∈ CD, sao cho AN = CM.
a) Chứng minh rằng: AM // CN
b) Chứng minh rằng: DN = BM
c) Chứng minh rằng: AC, BD, MN đồng quy
Hướng dẫn giải
a) Xét tứ giác ABCD, có
AN = CM
AN // CM (do AB // CD)
⇒ ANCM Là hình bình hành
⇒ AM // CN
b) Ta có: BN = AB – AN
DM = DC – CM
Mà AB = DC; AN = CM
⇒ BN = DM
Mà BN // DM (do AB // CD)
⇒ BNDM là hình bình hành
⇒ DN = BM
c) Gọi AC ∩ BD = {O} (1)
⇒ O là trung điểm của AC và BD
Ta có: ANCM là hình bình hành; O là trung điểm của đường chéo AC
⇒ O là trung điểm của MN
⇒ O ∈ MN (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AC, BD, MN đồng quy.
Phiếu bài tự luyện
Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh tính chất hình học
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điếm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh:
a) BE = DF và ![\[\widehat {ABE} = \widehat {CDF}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-10.svg)
b) BE // DF
Hướng dẫn giải
a) Ta chứng minh được BEDF là hình bình hành
⇒ BE = DF và ![\[\widehat {EBF} = \widehat {CDF}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-11.svg)
Cách khác: △AEB = △CFD (c.g.c)
⇒ BE = DF và
b) Vì BEDF hình bình hành ⇒ Đpcm
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Gọi M và N lần lượt là giao điểm của AI và CK với BD. Chứng minh:
a) △ADM = △CBN
b) ![\[\widehat {MAC} = \widehat {NCA}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-12.svg)
và IM // CN
c) DM = MN = NB
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh được AKCI là hình bình hành
⇒ △ADI = △CBK (c.c.c)
⇒ △ADM = △CBN (g.c.g)
b) Vì AKCI là hình bình hành ⇒ Đpcm.
c) Từ câu a) ⇒ DM= NB.
Mặt khác MN = NB (định lý 1 của đường trung bình), từ đó suy ra đpcm.
Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành
Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình bình hành.
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở H và ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
Hướng dẫn giải
Ta chứng minh AH // CK, AH = CK (△AHD = △CKB)
⇒ AHCK là hình bình hành (cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Qua điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC lần lượt tại E, F. Qua O vẽ đường thẳng b cắt hai cạnh AB, CD lần lượt tại K, H. Chứng minh tứ giác EKFH là hình bình hành.
Hướng dẫn giải
Ta có: △AOK = △COH ⇒ OK = OH
△DOE = △BOF ⇒ OE = OF
⇒ EHFK là hình bình hành.
Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy
Phương pháp giải: Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành.
Bài 1. Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh rằng các đoạn thẳng EL, FM và DN đồng quy.
Hướng dẫn giải
Gọi I trung điểm LE.
Ta có: DL // EN // OB và DL = EN = OB
⇒ DENL là hình bình hành.
Tương tự chứng minh LMEF là hình bình hành.
Từ đó suy ra EL, FM, DN đồng quy tại I.
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên AB lấy điểm K, trên CD lấy điểm I sao cho AK = CI. Chứng minh ba điểm K, O, I thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Chứng minh được AKCI là hình bình hành ⇒ Đpcm.
Dạng 4. Tổng hợp
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F.
a) Chứng minh: DE //
b) Tứ giác DEBF là hình gì?
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[\widehat {AED} = \widehat {EDC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-13.svg)
và ![\[\widehat {ABF} = \widehat {EDC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-14.svg)
⇒ DE // BF (có góc ở vị trí đồng vị bằng nhau).
b) Từ câu a) suy ra DEBF là hình bình hành.
Bài 2. Cho tam giác ABC. Từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F và đường thẳng song song với AB cắt BC tại D. Giả sử AE = BF, chứng minh:
a) Tam giác AED cân
b) AD là phân giác của góc A
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh BDEF là hình bình hành
⇒ ED = BF = AE ⇒ △AED cân ở E.
b) Ta có: ![\[\widehat {BAD} = \widehat {DAC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-15.svg)
(vì cùng bằng ![\[\widehat {ADE}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-16.svg)
)
⇒ AD là phân giác ![\[\widehat A\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-17.svg)
Bài 3. Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D.
a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.
b) Tính số đo góc ![\[\widehat {BDC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-18.svg)
, biết ![\[\widehat {BAC} = 60^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-19.svg)
Hướng dẫn giải
a) Vì BHCD có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.
b) Tứ giác ABCD có ![\[\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-20.svg)
mà nên ![\[\widehat {BDC} = 120^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-21.svg)
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE cắt BC tại N.
a) Tứ giác MNCD là hình gì?
b) Tam giác EMC là tam giác gì?
c) Chứng minh: ![\[\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-22.svg)
Hướng dẫn giải
a) Ta có MNCD là hình bình hành.
b) Chứng minh được F trung điểm CE ⇒ △EMC cân tại M.
c) Chứng minh được:
![\[\widehat {AEM} = \widehat {FME} = \widehat {FMC} = \widehat {CMD} = \widehat {DCM} = \widehat {MCB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-23.svg)
Mà AE // MF
Nên ![\[\widehat {BAD} = \widehat {FMD} = 2\widehat {CMD} = 2\widehat {AEM}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-24.svg)
Dạng bài nâng cao
⊛ Tính chất hình bình hành
Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác này các tam giác ABD và tam giác ACE vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng hai đường thẳng MA và BC vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
Vẽ hình bình hành DAEF. Khi đó AF đi qua M.
Gọi H là giao điểm của MA với BC.
Ta có: EF = AD = AB
![\[\widehat {AEF} + \widehat {DAE} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-26.svg)
mà ![\[\widehat {BAC} + \widehat {DAE} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-27.svg)
nên ![\[\widehat {AEF} = \widehat {BAC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-28.svg)
△AEF = △CAB (g.c.g) ![\[ \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-29.svg)
Ta có: ![\[\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-30.svg)
![\[ \Rightarrow \widehat {{C_1}} + \widehat {{A_2}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat H = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-31.svg)
Do đó: MA ⊥ BC
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra ngoài hình bình hành các tam giác ABM vuông cân tại A, tam giác BCN vuông cân tại C. Chứng minh rằng tam giác DMN vuông cân.
Hướng dẫn giải
Ta đặt ![\[\widehat {ADC} = \alpha \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-32.svg)
thì
![\[\widehat {DAM} = 90^\circ + \alpha ;{\text{ }}\widehat {NCD} = 90^\circ + \alpha \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-33.svg)
△DAM và △NCD có:
AM = CD (= AB)
![\[\widehat {DAM} = \widehat {NCD}\left( { = 90^\circ + \alpha } \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-34.svg)
AD = CN (= BC)
Do đó: △DAM = △NCD (c.g.c)
⇒ DM = DN (1)
Và ![\[\widehat {DMA} = \widehat {NDC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-35.svg)
Kéo dài MA cắt CD tại H. Ta có:
MA ⊥ AB ⇒ MH ⊥ CD
Xét △MDH có:
![\[\begin{gathered} \widehat {DMA} + \widehat {ADM} + \alpha = 90^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {NDC} + \widehat {ADM} + \alpha = 90^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-36.svg)
Hay ![\[\widehat {MDN} = 90^\circ {\text{ }}\left( 2 \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-37.svg)
Từ (1) và (2) suy ra △DMN vuông cân tại D
Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Chứng minh rằng chu vi của tam giác ABC lớn hơn ![\[\frac{3}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-38.svg)
(HA + HB + HC)
Hướng dẫn giải
Vẽ HM // AC (M ∈ AB), HN // AB (N ∈ AC)
Vì CH ⊥ AB nên CH ⊥ HN.
Vì BH ⊥ AC nên BH ⊥ HM.
Xét △HBM vuông tại H có BM > HB (1)
Xét △HCN vuông tại H có CN > HC (2)
Xét hình bình hành ANHM có
AM + AN = AM + MH > HA (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
BM + CN + AM + AN > HB + HC + HA
Do đó: (MB + AM) + (CN + AN) > HA + HB + HC
Hay AB + AC > HA + HB + HC
Chứng minh tương tự, ta được:
BC + BA > HA + HB + HC
CA + CB > HA + HB + HC
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được:
2 (AB + BC + CA) > 3 (HA + HB + HC)
Do đó: AB + BC + CA > (HA + HB + HC)
Bài 4. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) và một điểm O ở trong hình này. Chứng minh rằng có một tứ giác mà bốn cạnh lần lượt bằng OA, OB, OC, OD và bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình thang cân.
Hướng dẫn giải
Qua O dựng một đường thẳng song song với BC cắt AB và CD lần lượt tại E và G.
Qua O dựng một đường thẳng song song với CD cắt AD tại H.
Qua E dựng một đường thẳng song song với OC cắt BC tại F.
Khi đó tứ giác EFGH thỏa mãn đề bài.
Thật vậy, các tứ giác AEOH, HOGD là những hình thang cân.
⇒ OA = EH; OD = HG (1)
Tứ giác EFCO là hình bình hành
⇒ OC = EF (2) và OE = CF
Suy ra: OG = BF
Vậy tứ giác OBFG là hình bình hành
⇒ OB = GF (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra tứ giác EFGH thỏa mãn đề bài.
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không cắt các cạnh của hình bình hành. Qua các đỉnh A, B, C, D vẽ các đường thẳng vuông góc với xy, cắt xy lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng: AA’ + CC’ = BB’ + DD’.
Hướng dẫn giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vẽ OO’ ⊥ xy.
Ta có: AA’ // BB’ // CC’ // DD’ // OO’
Xét hình thang AA’C’C có:
OA = OC và OO’ // AA’
Nên O’A’ = O’C’
Do đó: OO’ là đường trung bình của hình thang AA’C’C
![\[ \Rightarrow OO' = \frac{{AA' + CC'}}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-39.svg)
hay AA’ + CC’ = 2OO’
Xét hình thang DD’B’B, cũng chứng minh tương tự, ta có: BB’ + DD’ = 2OO’.
Từ đó suy ra: AA’ + CC’ = BB’ + DD’
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD (AD < AB). Vẽ ra ngoài hình bình hành tam giác ABM cân tại B và tam giác ADN cân tại D sao cho ![\[\widehat {ABM} = \widehat {ADN}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-40.svg)
.
a) Chứng minh rằng: CM = CN
b) Trên AC lấy một điểm O. Hãy so sánh OM với ON.
Hướng dẫn giải
a) Vì ABCD là hình bình hành nên ![\[\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-41.svg)
Ta đặt ![\[\widehat {ABC} = m^\circ ;{\text{ }}\widehat {ABM} = n^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-42.svg)
khi đó:
![\[\widehat {MBC} = \widehat {CDN} = m^\circ + n^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-43.svg)
△MBC và △CDN có:
MB = CD (= AB)
![\[\widehat {MBC} = \widehat {CDN}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-44.svg)
(chứng minh trên)
BC = DN (= AD)
Vậy △MBC = △CDN (c.g.c) ⇒ CM = CN
b) Các △ABM và △AND là những tam giác cân có góc ở đỉnh bằng nhau mà AB > AD nên AM > AN (bạn đọc tự chứng minh)
Xét △ACM và △CAN có:
CM = CN; CA chung và AM > AN
Nên ![\[\widehat {ACM} > \widehat {ACN}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-45.svg)
Xét △OCM và △OCN có:
CM = CN; CO chung và
Nên OM > ON
⊛ Nhận biết hình bình hành
Bài 7. Cho đoạn thẳng PQ và một điểm A ở ngoài đường thẳng PQ. Vẽ hình bình hành ABCD có đường chéo BD // PQ và BD = PQ. Chứng minh rằng mỗi đường thẳng BC và CD luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn giải
Qua A vẽ đường thẳng xy // PQ.
Trên tia Ax lấy điểm M, trên tia Ay lấy điểm N sao cho AM = AN = PQ.
Như vậy các điểm M và N cố định.
Tứ giác AMBD có hai cạnh đối diện song song và bằng nhau
nên là hình bình hành ⇒ BM // AD.
Mặt khác, BC // AD nên ba điểm B, M, C thẳng hàng (tiên đề Euclid)
Do đó đường thẳng BC đi qua điểm cố định M.
Chứng minh tương tự, ta được đường thẳng CD đi qua điểm cố định N.
Bài 8. Trong tất cả các tứ giác với hai đường chéo có độ dài m và n cho trước và góc xen giữa hai đường chéo có độ lớn α cho trước hãy xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Xét tứ giác ABCD có AC = m, BD = n và ![\[\widehat {BOC} = \alpha \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-46.svg)
Vẽ hình bình hành ADBE và vẽ hình bình hành CAEF.
Khi đó: EF = AC = m; CF = AE = BD = n
![\[\widehat {EAC} = \widehat {BOC} = \alpha \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-47.svg)
Như vậy hình bình hành CAEF hoàn toàn được xác định, do đó hai đường chéo AF và CE không đổi.
Dễ thấy tứ giác BFCD là hình bình hành ⇒ BF = CD.
Chu vi tứ giác ABCD là:
(AB + CD) + (BC + AD) = (AB + BF) + (BC + BE) ≥ AF + CE
Dấu “=” xảy ra 
⇔ ABCD là hình bình hành.
Vậy chu vi của tứ giác ABCD nhỏ nhất khi và chỉ khi ABCD là hình bình hành.
⊛ Dựng hình bình hành
Bài 9. Cho tam giác ABC. Dựng điểm M ∈ AB, điểm N ∈ AC sao cho MN // BC và BM // AN.
Hướng dẫn giải
a) Phân tích
Giả sử đã dựng được MN // BC sao cho BM = AN.
Vẽ ND // AB (D ∈ BC)
Tứ giác MNDB là hình bình hành
⇒ DN = BM mà BM = AN nên DN = AN
⇒ △NAD cân ![\[ \Rightarrow \widehat {{A_2}} = \widehat {{D_1}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-48.svg)
Mặt khác, ![\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-49.svg)
(so le trong) nên ![\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-50.svg)
Do đó AD là đường phân giác của góc .
Điểm D dựng được suy ra các điểm N và M cũng dựng được.
b) Cách dựng
+) Dựng đường phân giác AD của tam giác ABC.
+) Dựng DN // AB (N ∈ AC)
+) Dựng NM // BC (M ∈ AB)
Các bước còn lại, bạn đọc tự giải.
Bài 10. Dựng hình bình hành ABCD biết vị trí các điểm A và vị trí các trung điểm M, N của BC và CD.
Hướng dẫn giải
a) Phân tích
Giả sử đã dựng được hình bình hành thỏa mãn đề bài.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo và K là giao điểm của MN và AC.
Xét △CBD có MN là đường trung bình, MN // BD.
Xét △COB có MB = MC và MK // OB nên CK = KO.
Vậy MK là đường trung bình nên MK = OB
Chứng minh tương tự, ta được KN = OD
Mặt khác, OB = OD nên KM = KN.
Vậy điểm K là trung điểm của MN xác định được.
Dễ thấy OK = KC = OC = OA
⇒ KC = ![\[\frac{1}{4}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-52.svg)
AC
Suy ra KC = ![\[\frac{1}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/hinh-binh-hanh-53.svg)
KA
Điểm C nằm trên tia đối của tia KA và cách K một khoảng AK
Điểm C xác định được thì các điểm B và D cũng xác định được.
b) Cách dựng
+) Dựng đoạn thẳng MN.
+) Dựng trung điểm K của MN.
+) Dựng tia AK.
+) Trên tia đối của tia KA dựng điểm C sao cho KC = KA
+) Dựng điểm B sao cho M là trung điểm của CB.
+) Dựng điểm D sao cho N là trung điểm của CD.
+) Dựng các đoạn thẳng AB, AD ta được hình bình hành phải dựng.
