Bất phương trình bậc nhất một ẩn
Định nghĩa
Định nghĩa: Bất phương trình dạng:
ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0
Với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Hai quy tắc biến đổi bất phương trình
Quy tắc chuyển vế
Với các bất đẳng thức, ta có thể biến đổi:
a + b < c ⇔ a + b – c < 0 ⟶ chuyển vế và đổi dấu.
Và với các bất phương trình chúng ta cũng có được quy tắc như Vậy cụ thể:
Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.
Sử dụng quy tắc trên, bước đầu chúng ta có thể giải được một vài bất phương trình đơn giản, thí dụ sau sẽ minh họa điều này.
Ví dụ 1. Sử dụng quy tắc chuyển vế giải các bất phương trình sau và hãy biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số:
a) x + 3 < 4
b) 3x ≥ 2x – 2
Hướng dẫn giải
Sử dụng quy tắc chuyển vế, biến đổi phương trình về dạng:
x + 3 < 4 ⇔ x < 4 – 3 ⇔ x < 1
Vậy bất phương trình có nghiệm x < 1 và ta có biểu diễn:
b) Sử dụng quy tắc chuyển vế, biến đổi phương trình về dạng:
3x ≥ 2x – 2 ⇔ 3x – 2x ≥ –2 ⇔ x ≥ –2
Vậy bất phương trình có nghiệm x ≥ –2 và ta có biểu diễn:
Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau:
a) x + 12 > 21
b) –2x > –3x – 5
Hướng dẫn giải
a) Ta có biến đổi: x + 12 > 21 ⇔ x > 21 – 12 ⇔ x > 9
Vậy bất phương trình có nghiệm x > 9.
b) Ta biến đổi: –2x > –3x – 5 ⇔ 3x – 2x > –5 ⇔ x > –5
Vậy bất phương trình có nghiệm x > –5
Quy tắc nhân với một số
Với các bất đẳng thức, ta có thể biến đổi:
2a + 4b > –2 ⇔ 1 + 2b > –1 ⟶ nhân cả hai vế với ![\[\frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-1.svg)
> 0 (hoặc chia cả hai vế cho 2 > 0)
–3a < 6 a > –2 ⟶ nhân cả hai vế với ![\[ - \frac{1}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-2.svg)
< 0 (hoặc chia cả hai vế cho –3 < 0).
Và với các bất phương trình chúng ta cũng có được quy tắc như vậy cụ thể:
Quy tắc nhân với một số: Khi nhân (hoặc chia) cả hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:
+) Giữ nguyên chiều của bất phương trình nếu số đó dương.
+) Đổi chiều của bất phương trình nếu số đó âm.
Sử dụng quy tắc trên, bước đầu chúng ta có thể giải được một vài bất phương trình đơn giản, thí dụ sau sẽ minh họa điều này.
Ví dụ 1. Sử dụng quy tắc nhân với một số giải các bất phương trình sau và hãy biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số:
a) 3x < –6
b) ![\[ - \frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-3.svg)
x ≥ –2
Hướng dẫn giải
a) Sử dụng quy tắc nhân với một số, biến đổi phương trình về dạng:
3x < –6 ⇔ x < –2
Vậy bất phương trình có nghiệm x < –2 và ta có biểu diễn:
b) Sử dụng quy tắc nhân với một số, biến đổi phương trình về dạng:
x ≥ –2 ⇔ x ≤ 4
Vậy bất phương trình có nghiệm x ≤ 4 và ta có biểu diễn:
Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau:
a) 2x < 24
b) –3x < 27
Hướng dẫn giải
a) Ta có biến đổi:
2x < 24 ⇔ x < 12
Vậy bất phương trình có nghiệm x < 12
b) Ta có biến đổi:
–3x < 27 ⇔ x > –9
Vậy bất phương trình có nghiệm x > –9
Chú ý: Tiếp theo, chúng ta minh họa việc sử dụng đồng thời hai quy tắc biến đổi bất phương trình để bước đầu làm quen với việc giải một bất phương trình.
Ví dụ 3. Sử dụng hai quy tắc biến đổi bất phương trình để giải các bất phương trình sau:
a) 3x > x + 8
b) x2 + 2x > x2 – 4
Hướng dẫn giải
a) Sử dụng lần lượt các quy tắc, biến đổi bất phương trình về dạng:
3x – x > 8 ⇔ 2x > 8 ⇔ x > 4
Vậy bất phương trình có nghiệm x > 4
b) Sử dụng lần lượt các quy tắc, biến đổi bất phương trình về dạng:
x2 + 2x > x2 – 4 ⇔ x2 + 2x – x2 > –4 x > –2
Vậy bất phương trình có nghiệm x > –2
Nhận xét:
+) Trong lời giải các bất phương trình trên, chúng ta đã thừa nhận rằng kết quả “Từ một bất phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được một bất phương trình mới tương đương với bất phương trình đã cho”.
+) Cũng chính nhờ những quy tắc này mà việc chứng minh một bất đẳng thức sẽ đơn giản hơn rất nhiều – Điều này chúng ta sẽ gặp lại trong chủ đề chuyên sâu về bất đẳng thức ở cuối chương.
Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng:
ax + b > 0, a ≠ 0
Được giải như sau: ax + b > 0 ⇔ ax > –b
⋄ Với a > 0, ta được ![\[x > - \frac{b}{a}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-4.svg)
⋄ Với a < 0, ta được ![\[x < - \frac{b}{a}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-5.svg)
Ví dụ 1. Giải bất phương trình –4x – 8 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
Hướng dẫn giải
Ta có biến đổi:
–4x – 8 < 0 ⇔ 4x > –8 ⇔ x > –2
Vậy bất phương trình có nghiệm x > –2 và ta có biểu diễn:
Phân dạng bài tập
Dạng 1: Điều kiện để một bất phương trình là bất phương trình bậc nhất một ẩn
Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất một ẩn:
a) (m2 – 2m)x2 + mx + 3 > 0
b) mx + (m – 1)y + 4 ≤ 0
Hướng dẫn giải
a) Để bất phương trình (m2 – 2m)x2 + mx + 3 > 0 là bất phương trình bậc nhất một ẩn khi và chỉ khi:
![\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {m^2} - 2m = 0 \hfill \\ m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m\left( {m - 2} \right) = 0 \hfill \\ m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} m = 0 \hfill \\ m = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow m = 2 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-6.svg)
Vậy với m = 2 bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất một ẩn x.
b) Để bất phương trình mx + (m – 1)y + 4 ≤ 0 là bất phương trình bậc nhất một ẩn có hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nó là bất phương trình bậc nhất một ẩn x khi và chỉ khi:
![\[\left\{ \begin{gathered} m \ne 0 \hfill \\ m - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 0 \hfill \\ m = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 1\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-7.svg)
Trường hợp 2: Nó là bất phương trình bậc nhất một ẩn y khi và chỉ khi:
![\[\left\{ \begin{gathered} m = 0 \hfill \\ m - 1 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 0 \hfill \\ m \ne 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 0\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-8.svg)
Kết luận:
+) Với m = 1 bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất một ẩn x.
+) Với m = 0 bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất một ẩn y.
Dạng 2: Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Ví dụ 1. Giải các phương trình (theo quy tắc chuyển vế):
a) x – 5 > 3
b) x – 2x < –2x + 4
c) –3x > –4x + 2
d) 8x + 2 < 7x – 1
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
x – 5 > 3 ⇔ x > 3 + 5 ⇔ x > 8
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 8
b) Ta có:
x – 2x < –2x + 4 ⇔ x – 2x + 2x < 4 ⇔ x < 4
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 4
c) Ta có:
–3x > –4x + 2 ⇔ –3x + 4 > 2 ⇔ x > 2
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 2
d) Ta có:
8x + 2 > 7x – 1 ⇔ 8x – 7x < –1 – 2 ⇔ x < –3
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < –3
Ví dụ 2. Giải các phương trình (theo quy tắc nhân):
a) 0,3x > 0,6
b) –4x < 12
c) –x > 4
d) 1,5x > –9
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
![\[0,3x > 0,6 \Leftrightarrow 0,3x \cdot \frac{1}{{0,3}} > 0,6 \cdot \frac{1}{{0,3}} \Leftrightarrow x > 2\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-9.svg)
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 2.
b) Ta có:
![\[ - 4x < 12 \Leftrightarrow - 4x \cdot \left( { - \frac{1}{4}} \right) > 12 \cdot \left( { - \frac{1}{4}} \right) \Leftrightarrow x > - 3\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-10.svg)
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > –3.
c) Ta có:
–x > 4 ⇔ (–x) ⋅ (–1) < 4 ⋅ (–1) ⇔ x < –4
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < –4
d) Ta có:
![\[1,5x > - 9 \Leftrightarrow 1,5x \cdot \frac{1}{{1,5}} > \left( { - 9} \right) \cdot \frac{1}{{1,5}} \Leftrightarrow x > - 6\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-11.svg)
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > –6.
Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau và hãy biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số:
a) 2x – 3 > 0
b) 3x + 4 < 0
c) 4 – 3x ≤ 0
d) 5 – 2x ≥ 0
Hướng dẫn giải
a) Ta có biến đổi:
2x – 3 > 0 ⇔ 2x > 3 ⇔ x > ![\[\frac{3}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-12.svg)
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > và ta có biểu diễn
b) Ta có biến đổi:
3x + 4 < 0 ⇔ 3x < –4 ⇔ x < ![\[ - \frac{4}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-13.svg)
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < và ta có biểu diễn
c) Ta có biến đổi:
4 – 3x ≤ 0 ⇔ 3x ≥ 4 ⇔ x ≥ ![\[\frac{4}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-14.svg)
Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≥ và ta có biểu diễn
d) Ta có biến đổi:
5 – 2x ≥ 0 ⇔ 2x ≤ 5 ⇔ x ≤ ![\[\frac{5}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-15.svg)
Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≤ và ta có biểu diễn
Ví dụ 4. Giải bất phương trình:
(m2 + 1)x – m4 < –1 với m là tham số
Hướng dẫn: Biến đổi bất phương trình về dạng ax < b rồi đánh giá dấu của a.
Hướng dẫn giải
Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng:
(m2 + 1)x < m4 – 1 (*)
Vì m2 + 1 luôn dương với mọi m nên khi chia cả hai vế của bất phương trình (*) cho m2 + 1 thì chiều của bất phương trình không thay đổi, cụ thể ta được:
![\[\begin{gathered} x < \frac{{{m^4} - 1}}{{{m^2} + 1}} = \frac{{\left( {{m^2} - 1} \right)\left( {{m^2} + 1} \right)}}{{{m^2} + 1}} = {m^2} - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x < {m^2} - 1 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-16.svg)
Vậy bất phương trình có nghiệm x < m2 – 1
Ví dụ 5. Giải bất phương trình trong mỗi trường hợp sau:
(m2 – 2m)x + 1 < m
a) m = 1
b) m = 2
c) m = 3
d) m = 0
Hướng dẫn giải
a) Với m = 1, bất phương trình có dạng:
(12 – 2⋅1)x + 1 < 1 ⇔ – x < 0 ⇔ x > 0
Vậy với m = 1 bất phương trình có nghiệm x > 0.
b) Với m = 2, bất phương trình có dạng:
(22 – 2⋅2)x + 1 < 2 ⇔ 0x < 1, luôn đúng.
Vậy với m = 2 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.
c) Với m = 3, bất phương trình có dạng:
(32 – 2⋅3)x + 1 < 3 ⇔ 3x < 2 ⇔ x < ![\[\frac{2}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-17.svg)
Vậy với m = 3 bất phương trình có nghiệm x <
d) Với m = 0, bất phương trình có dạng:
(02 – 2⋅0)x + 1 < 0 ⇔ 1 < 0, mâu thuẫn
Vậy với m = 0 bất phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 6. Kiểm tra xem giá trị x = –2 có là nghiệm của bất phương trình sau không?
a) x + 2x2 – 3x3 + 4x4 – 5 < 2x2 – 3x3 + 4x4 – 6
b) (–0,001)x > 0,003
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
x + 2x2 – 3x3 + 4x4 – 5 < 2x2 – 3x3 + 4x4 – 6
⇔ x – 5 < –6
⇔ x < –1
Vậy x = –2 là nghiệm của bất phương trình.
b) Ta có: (–0,001)x > 0,003 ⇔ x < –3
Vậy x = –2 không phải là nghiệm của bất phương trình.
Ví dụ 7. Tìm sai lầm trong các lời giải sau:
a) Giải bất phương trình: –2x > 23
Ta có: –2x > 23 ⇔ x > 23 + 2 ⇔ x > 25
b) Giải bất phương trình: ![\[ - \frac{3}{7}x > 12\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-18.svg)
Ta có:
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \left( { - \frac{7}{3}} \right) \cdot \left( { - \frac{3}{7}x} \right) > 12 \cdot \left( { - \frac{7}{3}} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow x > - 28\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-19.svg)
Hướng dẫn giải
a) Phép tương đương:
–2x > 23 ⇔ x > 23 + 2 là sai
Ta sửa lại như sau:
![\[ - 2x > 23 \Leftrightarrow - 2x \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) < 23 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow x < - \frac{{23}}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-20.svg)
b) Phép tương đương
![\[ - \frac{3}{7}x > 12 \Leftrightarrow \left( { - \frac{7}{3}} \right) \cdot \left( { - \frac{3}{7}x} \right) > 12 \cdot \left( { - \frac{7}{3}} \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-21.svg)
là sai.
Ta sửa lại như sau:
![\[\begin{gathered} - \frac{3}{7}x > 12 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( { - \frac{7}{3}} \right) \cdot \left( { - \frac{3}{7}x} \right) < 12 \cdot \left( { - \frac{7}{3}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x < - 28 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-22.svg)
Ví dụ 8. Tìm x sao cho:
a) Giá trị của biểu thức 2x – 5 không âm.
b) Giá trị của biểu thức –3x không lớn hơn giá trị của biểu thức –7x + 5
Hướng dẫn giải
a) Theo đề bài ta có:
2x – 5 ≥ 0 ⇔ x ≥
Vậy với x ≥ thỏa mãn điều kiện đầu bài.
b) Theo đề bài ta có:
–3x ≤ –7x + 5 ⇔ 4x ≤ 5 ⇔ x ≤ ![\[\frac{5}{4}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-23.svg)
Vậy với x ≤ thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Ví dụ 9. Tìm x để A < 0, biết ![\[A = 1 - \frac{{2x + 3}}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-24.svg)
Hướng dẫn giải
Trước tiên ta đi rút gọn biểu thức A:
![\[A = 1 - \frac{{2x + 3}}{2} = \frac{{2 - 2x - 3}}{2} = \frac{{ - 2x - 1}}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-25.svg)
Để A < 0, ta phải có:
![\[\frac{{ - 2x - 1}}{2} < 0 \Leftrightarrow - 2x - 1 < 0 \Leftrightarrow x > - \frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-26.svg)
Vậy với x > thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Chú ý: Ta cũng có thể giải trực tiếp, cụ thể:
![\[\begin{gathered} A < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 1 - \frac{{2x + 3}}{2} < 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{2x + 3}}{2} > 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 2x + 3 > 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x > - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-27.svg)
Ví dụ 10. Một người có số tiền không quá 70.000 đồng gồm 15 tờ giấy bạc với hai loại mệnh giá 2000 đồng và loại 5000 đồng. Hỏi người đó có bao nhiêu tờ giấy bạc loại 5000 đồng?
Hướng dẫn giải
Gọi x là số tờ giấy bạc loại 5000 đồng (0 < x < 15, đơn vị: tờ).
Do đó, số giấy bạc loại 2000 đồng là: 15 – x (tờ).
Theo đề bài, ta có bất phương trình:
⇔ 5000x + (15 – x)⋅2000 ≤ 70000
⇔ 3000x ≤ 40000
⇔ x ≤ ![\[\frac{{40}}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-28.svg)
≈ 13,3
Vì x là nguyên dương, nên x nhận được các giá trị từ 1 đến 13.
Vậy số tờ giấy bạc mệnh giá 5000 đồng là một trong các số nguyên từ 1 đến 13.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Hãy xét xem các bất phương trình sau có là bất phương trình bậc nhất một ẩn hay không?
a) 0x + 8 ≥ 0
b) x – 6 < 0
c) ![\[\frac{1}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-29.svg)
x ≤ 0
d) ![\[\frac{{{x^2}}}{5} + 4 > 0\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-30.svg)
e) –3|x| + 3 > 0
f) ![\[\frac{x}{4} - \frac{5}{2} = 0\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-31.svg)
g) ![\[\frac{1}{x} + 2 \leqslant 0\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-32.svg)
h) ![\[\frac{{ - 7x - 2}}{3} \geqslant 0\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-33.svg)
Hướng dẫn giải
a) Không, vì hệ số của ẩn x là 0
b) Có
c) Có
d) Không, vì x2 là ẩn bậc hai chữ không phải bậc một
e) Không, vì ẩn x nằm trong dấu giá trị tuyệt đối
f) Không, vì dấu “=” thể hiện đó là phương trình
h) Không, vì ẩn x nằm ở mẫu số
h) Có
Bài 2. Chứng minh các bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của tham số m:
a) (m2 + 3)x + 1 ≤ 0
b) –(m2 + m + 4)x > –2m + 3
Hướng dẫn giải
Ta chỉ ra hệ số a ≠ 0
a) m2 + 3 ≠ 0, ∀m ∈ ℝ
b) ![\[ - \left( {{m^2} + m + 4} \right) = - \left[ {{{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{{15}}{4}} \right] < 0,\forall m \in \mathbb{R}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-34.svg)
Bài 3. Giải các bất phương trình sau:
a) 2x – 8 > 0
b) 9 – 3x ≤ 0
c) 5 – x < 1
d) ![\[\frac{{3x + 5}}{2} - x \geqslant 1 + \frac{{x + 2}}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-35.svg)
Hướng dẫn giải
a) 2x – 8 > 0 ⇔ 2x > 8 ⇔ x > 4
b) 9 – 3x ≤ 0 ⇔ –3x ≤ –9 ⇔ x ≥ 3
c) 5 – x < 1 ⇔ x < –4 ⇔ x > 12
d) ![\[ \Leftrightarrow \frac{x}{6} \geqslant \frac{{ - 5}}{6} \Leftrightarrow x \geqslant - 5\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-36.svg)
Bài 4. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
a) ![\[\frac{{x - 2}}{3} - x - 2 \leqslant \frac{{x - 17}}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-37.svg)
b) ![\[\frac{{2x + 1}}{3} - \frac{{x - 4}}{4} \leqslant \frac{{3x + 1}}{6} - \frac{{x - 4}}{{12}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-38.svg)
Hướng dẫn giải
a)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{2\left( {x - 2} \right) - 6x - 6 \cdot 2}}{6} \leqslant \frac{{3\left( {x - 17} \right)}}{6} \hfill \\ \Leftrightarrow 2x - 4 - 6x - 12 \leqslant 3x - 51\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow - 4x - 16 \leqslant 3x - 51 \hfill \\ \Leftrightarrow - 7x \leqslant - 35\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x \geqslant 5 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-39.svg)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x|x ≥ 5|} và được biểu diễn trên trục số như sau:
b)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{4\left( {2x + 1} \right) - 3\left( {x - 4} \right)}}{{12}} \leqslant \frac{{2\left( {3x + 1} \right) - \left( {x - 4} \right)}}{{12}} \hfill \\ \Leftrightarrow 8x + 4 - 3x + 12 \leqslant 6x + 2 - x + 4\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 0x \leqslant - 10 \hfill \\ \Rightarrow x \in \emptyset \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-40.svg)
Vậy bất phương trình vô nghiệm và được biểu diễn trên trục số như sau:
Bài 5. Giải các bất phương trình
a) x2 – 3x + 1 > 2(x – 1) – x(3 – x)
b) (x – 1)2 + x2 ≤ (x + 1)2 + (x + 2)2
c) (x2 + 1)(x – 6) ≤ (x – 2)3
Hướng dẫn giải
a) x2 – 3x + 1 > 2(x – 1) – x(3 – x)
⇔ x2 – 3x + 1 > 2x – 2 – 3x + x2
⇔ –2x > –3
⇔ x <
Vậy x <
b) (x – 1)2 + x2 ≤ (x + 1)2 + (x + 2)2
⇔ 2x2 – 2x + 1 ≤ 2x2 + 6x + 5
⇔ –8x ≤ 4
⇔ x ≥
Vậy x ≥
c) (x2 + 1)(x – 6) ≤ (x – 2)3
⇔ x3 – 6x2 + x – 6 ≤ x3 – 6x2 + 12x – 8
⇔ –11x ≤ –2
⇔ x ≥ ![\[\frac{2}{{11}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-41.svg)
Vậy x ≥
Bài 6. Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số
a) ![\[\frac{{x - 1}}{2} - \frac{{7x + 3}}{{15}} \leqslant \frac{{2x + 1}}{3} + \frac{{3 - 2x}}{5}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-42.svg)
b) ![\[\frac{{2x + 1}}{{ - 3}} - \frac{{2{x^2} + 3}}{{ - 4}} > \frac{{x\left( {5 - 3x} \right)}}{{ - 6}} - \frac{{4x + 1}}{{ - 5}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-43.svg)
c) ![\[\frac{{4x - 2}}{3} - x + 3 \leqslant \frac{{1 - 5x}}{4}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-44.svg)
d) ![\[\frac{{x + 4}}{5} - x - 5 \geqslant \frac{{x + 3}}{3} - \frac{{x - 2}}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-45.svg)
e) ![\[\frac{{5{x^2} - 3}}{5} + \frac{{3x - 1}}{4} < \frac{{x\left( {2x + 3} \right)}}{2} - 5\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-46.svg)
f) ![\[\frac{{5x - 2}}{{ - 3}} - \frac{{2{x^2} - x}}{{ - 2}} > \frac{{x\left( {1 - 3x} \right)}}{{ - 3}} - \frac{{5x}}{{ - 4}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-47.svg)
g) ![\[2x + \frac{{2x + 1}}{2} > 3x - \frac{1}{5}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-48.svg)
h) ![\[x - \frac{{5x}}{6} - 3 > \frac{x}{3} - \frac{x}{6}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-49.svg)
Hướng dẫn giải
a)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{15x - 15}}{{30}} - \frac{{14x + 6}}{{30}} \leqslant \frac{{20x + 10}}{{30}} + \frac{{18x - 12}}{{30}} \hfill \\ \Leftrightarrow 15x - 15 - 14x - 6 \leqslant 20x + 10 + 18 - 12x\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 7x \geqslant - 49 \hfill \\ \Leftrightarrow x \geqslant - 7\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-50.svg)
b)
![\[\begin{gathered} \frac{{2x + 1}}{{ - 3}} - \frac{{2{x^2} + 3}}{{ - 4}} > \frac{{x\left( {5 - 3x} \right)}}{{ - 6}} - \frac{{4x + 1}}{{ - 5}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{ - 2x - 1}}{3} + \frac{{2{x^2} + 3}}{4} > \frac{{ - x\left( {5 - 3x} \right)}}{6} + \frac{{4x + 1}}{5} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{ - 40x - 20 + 30{x^2} + 45}}{{60}} > \frac{{ - 50x + 30{x^2} + 48x + 12}}{{60}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 30{x^2} - 40x + 25 > 30{x^2} - 2x + 12 \hfill \\ \Leftrightarrow - 38x > - 13\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x < \frac{{13}}{{38}} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-51.svg)
c)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{4\left( {4x - 2} \right) + 12\left( { - x + 3} \right)}}{{12}} \leqslant \frac{{3\left( {1 - 5x} \right)}}{{12}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 16x - 8 - 12x + 36 \leqslant 3 - 15x \hfill \\ \Leftrightarrow 19x \leqslant - 25\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x \leqslant - \frac{{25}}{{19}} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-52.svg)
d)
![\[\begin{gathered} \frac{{x + 4}}{5} - x - 5 \geqslant \frac{{x + 3}}{3} - \frac{{x - 2}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{6\left( {x + 4} \right) - 30\left( {x + 5} \right)}}{{30}} \geqslant \frac{{10\left( {x + 3} \right) - 15\left( {x - 2} \right)}}{{30}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 6x + 24 - 30x - 150 \geqslant 10x + 30 - 15x + 30 \hfill \\ \Leftrightarrow - 19x \geqslant 186\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x \leqslant - \frac{{186}}{{19}} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-53.svg)
e)
![\[\begin{gathered} \frac{{5{x^2} - 3}}{5} + \frac{{3x - 1}}{4} < \frac{{x\left( {2x + 3} \right)}}{2} - 5 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{4\left( {5{x^2} - 3} \right) + 5\left( {3x - 1} \right)}}{{20}} < \frac{{10x\left( {2x + 3} \right) - 5 \cdot 20}}{{20}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 20{x^2} - 12 + 15x - 5 < 20{x^2} + 30x - 100 \hfill \\ \Leftrightarrow - 15x < - 83\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x > \frac{{83}}{{15}} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-54.svg)
f)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{ - 5x + 2}}{3} + \frac{{2{x^2} - x}}{2} > \frac{{ - x\left( {1 - 3x} \right)}}{3} + \frac{{5x}}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{ - 20x + 8 + 12{x^2} - 6x}}{{12}} > \frac{{ - 4x + 12{x^2} + 15x}}{{12}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 12{x^2} - 26x + 8 > 12{x^2} + 11x \hfill \\ \Leftrightarrow 37x < 8\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x < \frac{8}{{37}} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-55.svg)
g)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{10 \cdot 2x + 5\left( {2x + 1} \right)}}{{10}} > \frac{{3x \cdot 10 - 2}}{{10}} \hfill \\ \Leftrightarrow 20x + 10x + 5 > 30x - 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 0x > - 7 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-56.svg)
Ta thấy phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x.
Vậy phương trình có vô số nghiệm.
h)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{6x - 5x - 18}}{6} > \frac{{2x - x}}{6} \hfill \\ \Leftrightarrow x - 18 > x\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 0x < - 18 \hfill \\ \Rightarrow x \in \emptyset \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-57.svg)
Bài 7. Giải các bất phương trình sau:
a) ![\[\frac{{x + 2}}{6} + \frac{{x + 5}}{3} > \frac{{x + 3}}{5} + \frac{{x + 6}}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-58.svg)
b) ![\[\frac{{x - 2}}{{1007}} + \frac{{x - 1}}{{1008}} < \frac{{2x - 1}}{{2017}} + \frac{{2x - 3}}{{2015}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-59.svg)
Hướng dẫn giải
a) Cộng thêm 1 cho mỗi phân thức, ta có:
![\[\frac{{x + 8}}{6} + \frac{{x + 8}}{3} > \frac{{x + 8}}{5} + \frac{{x + 8}}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-60.svg)
Từ đó tìm được x < –8
b) BPT tương đương:
![\[\frac{{2x - 4}}{{2014}} + \frac{{2x - 2}}{{2016}} < \frac{{2x - 1}}{{2017}} + \frac{{2x - 3}}{{2015}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-61.svg)
Cộng thêm –1 cho mỗi phân thức ta được:
![\[\left( {2x - 2018} \right)\left( {\frac{1}{{2014}} + \frac{1}{{2016}} - \frac{1}{{2017}} - \frac{1}{{2015}}} \right) < 0\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-62.svg)
Từ đó tìm được x < 1009
Bài 8. Giải các bất phương trình ẩn x sau:
a) ![\[\frac{{x + 2004}}{{2005}} + \frac{{x + 2005}}{{2006}} < \frac{{x + 2006}}{{2007}} + \frac{{x + 2007}}{{2008}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-63.svg)
b) ![\[\frac{{x - 2}}{{2002}} + \frac{{x - 4}}{{2000}} < \frac{{x - 3}}{{2001}} + \frac{{x - 5}}{{1999}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-64.svg)
c) ![\[\frac{{x - ab}}{{a + b}} + \frac{{x - bc}}{{b + c}} + \frac{{x - ac}}{{a + c}} > a + b + c{\text{ }}\left( {a,b,c > 0} \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-65.svg)
Hướng dẫn giải
a)
![\[\begin{gathered} \frac{{x + 2004}}{{2005}} + \frac{{x + 2005}}{{2006}} < \frac{{x + 2006}}{{2007}} + \frac{{x + 2007}}{{2008}} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{x + 2004}}{{2005}} - 1 + \frac{{x + 2005}}{{2006}} - 1 < \frac{{x + 2006}}{{2007}} - 1 + \frac{{x + 2007}}{{2008}} - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{2005}} + \frac{{x - 1}}{{2006}} - \frac{{x - 1}}{{2007}} - \frac{{x - 1}}{{2008}} < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{2005}} + \frac{1}{{2006}} - \frac{1}{{2007}} - \frac{1}{{2008}}} \right) < 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x - 1 < 0{\text{ }}\left( {do{\text{ }}\frac{1}{{2005}} + \frac{1}{{2006}} - \frac{1}{{2007}} - \frac{1}{{2008}} > 0} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow x < 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-66.svg)
b)
![\[\begin{gathered} \frac{{x - 2}}{{2002}} + \frac{{x - 4}}{{2000}} < \frac{{x - 3}}{{2001}} + \frac{{x - 5}}{{1999}} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{{2002}} - 1 + \frac{{x - 4}}{{2000}} - 1 < \frac{{x - 3}}{{2001}} - 1 + \frac{{x - 5}}{{1999}} - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{x - 2004}}{{2002}} + \frac{{x - 2004}}{{2000}} < \frac{{x - 2004}}{{2001}} + \frac{{x - 2004}}{{1999}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 2004} \right)\left( {\frac{1}{{2002}} + \frac{1}{{2000}} - \frac{1}{{2001}} - \frac{1}{{1999}}} \right) < 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x - 2004 > 0{\text{ }}\left( {do{\text{ }}\frac{1}{{2002}} + \frac{1}{{2000}} - \frac{1}{{2001}} - \frac{1}{{1999}} < 0} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow x > 2004\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-67.svg)
c)
![\[\begin{gathered} \frac{{x - ab}}{{a + b}} + \frac{{x - bc}}{{b + c}} + \frac{{x - ac}}{{a + c}} > a + b + c \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{x - ab}}{{a + b}} - c + \frac{{x - bc}}{{b + c}} - a + \frac{{x - ac}}{{a + c}} - b > 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{x - ab - ac - bc}}{{a + b}} + \frac{{x - bc - ab - ca}}{{b + c}} + \frac{{x - ac - bc - ab}}{{a + c}} > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - ab - ac - bc} \right)\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + c}}} \right) > 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x - ab - ac - bc > 0{\text{ }}\left( {do{\text{ }}\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + c}} > 0} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow x > ab + ac + bc\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-68.svg)
Bài 9. Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
a) ![\[ - 1 < \frac{{x + 1}}{6} - \frac{{x - 2}}{2} < 1\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-69.svg)
b) ![\[x - 1 < \frac{{2x - 1}}{3} - 1 < 2x + 4\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-70.svg)
Hướng dẫn giải
a)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow - 1 < \frac{{x + 1}}{6} - \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{6} < 1 \hfill \\ \Leftrightarrow - 6 < x + 1 - 3x + 6 < 6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow - 6 < - 2x + 7 < 6 \hfill \\ \Leftrightarrow - 13 < - 2x < - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 13 > 2x > 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < \frac{{13}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-71.svg)
b)
TH1: ![\[x - 1 < \frac{{2x - 1}}{3} - 1\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-72.svg)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{3} < \frac{{2x - 1 - 3}}{3} \hfill \\ \Leftrightarrow 3x - 3 < 2x - 4\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x < - 1 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-73.svg)
TH2: ![\[\frac{{2x - 1}}{3} - 1 < 2x + 4\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-74.svg)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{2x - 1 - 3}}{3} < \frac{{3\left( {2x + 4} \right)}}{3} \hfill \\ \Leftrightarrow 2x - 4 < 6x + 12\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 4x > - 16 \hfill \\ \Leftrightarrow x > - 4\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-75.svg)
Vậy –4 < x < –1
Bài 10. Cho biểu thức:
![\[A = \left( {\frac{1}{{1 - x}} + \frac{2}{{x + 1}} - \frac{{5 - x}}{{1 - {x^2}}}} \right):\frac{{1 - 2x}}{{{x^2} - 1}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-76.svg)
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A
b) Tìm x để A > 0
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện: ![\[\left\{ \begin{gathered} 1 - x \ne 0 \hfill \\ 1 + x \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 1 \hfill \\ x \ne - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-77.svg)
![\[\begin{gathered} A = \left( {\frac{1}{{1 - x}} + \frac{2}{{x + 1}} - \frac{{5 - x}}{{1 - {x^2}}}} \right):\frac{{1 - 2x}}{{{x^2} - 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left[ {\frac{1}{{1 - x}} + \frac{2}{{x + 1}} - \frac{{5 - x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{2x - 1}}{{1 - {x^2}}} \hfill \\ = \frac{{x + 1 + 2\left( {1 - x} \right) - \left( {5 - x} \right)}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{2x - 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{x + 1 + 2 - 2x - 5 + x}}{{2x - 1}} = \frac{{ - 2}}{{2x - 1}} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-78.svg)
b) Để ![\[A > 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{2x - 1}} > 0\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-79.svg)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 2x - 1 < 0{\text{ }}\left( {Do{\text{ }} - 2 < 0} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}{\text{ }}\left( {TM} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-80.svg)
Vậy x < thì A > 0
Bài 11. Một người đi bộ một quãng đường dài 18 km trong khoảng thời gian không nhiều hơn 4 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 5 km/h, về sau đi với vận tốc 4 km/h. Xác định độ dài đoạn đường mà người đó đã đi với vận tốc 5 km/h.
Hướng dẫn giải
Gọi quãng đường mà người đó đã đi với vận tốc 5 km/h là x (km).
Điều kiện: 0 < x < 18. Theo bài ra ta có bất phương trình:
![\[\frac{x}{5} + \frac{{18 - x}}{4} \leqslant 4 \Leftrightarrow 4x + 90 - 5x \leqslant 80 \Leftrightarrow x \geqslant 10\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-81.svg)
Mà 0 < x < 18 ⇔ 10 ≤ x < 18
Vậy quãng đường mà người đó đã đi với vận tốc 5 km/h là x (km) thỏa mãn 10 ≤ x < 18.
