DanChuyenToan

Home » Toán lớp 7

Tổng các góc trong một tam giác

Toán lớp 7

Tổng ba góc của một tam giác

Tổng ba góc của một tam giác bằng 180°.

\[\Delta ABC \Rightarrow \widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \]

Áp dụng vào tam giác vuông

Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

\[\Delta ABC,\widehat A = 90^\circ \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 90^\circ \]

Góc ngoài của tam giác

Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác đó.

Góc \[\widehat {ACx}\] là góc ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC.

Các góc \[\widehat A,\widehat B,\widehat C\] của tam giác ABC gọi là các góc trong.

Tính chất: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

\[\widehat {ACx} = \widehat A + \widehat B\]

Nhận xét: Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.

\[\widehat {ACx} > \widehat A;\widehat {ACx} > \widehat B\]

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Tính số đo góc của một tam giác

Phương pháp giải:

Lập các đẳng thức thể hiện:

+) Tổng ba góc của tam giác bằng 180°.

+) Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

+) Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

Sau đó tính số đo góc phải tìm.

Bài toán.

Bài 1. Tính số đo x, y trong hình vẽ dưới đây

Hướng dẫn giải

Hình 1:

Ta có: x + 120° + 35° = 180° (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

⇒ x = 180° – 120° – 35° = 25°

Vậy x = 25°

Hình 2:

Ta có: y + 70° + 60° = 180° (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

⇒ y = 180° – 70° – 60° = 50°

Vậy y = 50°

Bài 2. Cho tam giác △PQR có \[\widehat P = 48^\circ ;\widehat Q = 62^\circ \]. Tính góc còn lại của tam giác?

Hướng dẫn giải

Xét △PQR

Ta có: \[\widehat R + \widehat P + \widehat Q = 180^\circ \] (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

\[\begin{gathered} \Rightarrow \widehat R + 48^\circ + 62^\circ = 180^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat R = 180^\circ - 62^\circ - 48^\circ = 70^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 3. Tính số đo x trong hình vẽ dưới đây

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta có: x + 90° + 55° = 180° (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

⇒ x = 180° – 90° – 55° = 35°

Vậy x = 35°

Cách 2:

Ta có: x + 55° = 90° (trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau)

⇒ x = 90° – 55° = 35°

Vậy x = 35°

Bài 4. Tính số đo x trong hình vẽ dưới đây

Hướng dẫn giải

Ta có: x = 70° + 65° (góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó)

⇒ x = 135°.

Vậy x = 135°

Bài 5. Tính số đo x, y trong hình vẽ dưới đây

Hướng dẫn giải

Hình 1:

Ta có: x + x + 72° = 180° (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

⇒ 2x = 180° – 72° = 108°

⇒ x = 54°

Hình 2:

Ta có: x + x + x = 180° (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

⇒ 3x = 180° ⇒ x = 60°

Vậy x = 60°

Hình 3:

Ta có: x = 180° – 105° (hai góc kề bù)

⇒ x = 75°

Ta có: y + 40° + 72° = 180° (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

⇒ y = 180° – 70° – 40° = 65°

Vậy y = 65°

Bài 6. Tính số đo x, y trong hình vẽ sau: Biết \[\widehat {BAD} = 22^\circ \] và \[\widehat {ABD} = 90^\circ \]

Hướng dẫn giải

Hình 1:

Xét △ABD, có: \[\widehat {ABD} = 90^\circ \]

\[\widehat {BAD} + \widehat {ADB} = 90^\circ \] (tính chất tam giác vuông)

\[\begin{gathered} \Rightarrow 22^\circ + \widehat {ADB} = 90^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat {ADB} = 90^\circ - 22^\circ = 68^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Lại có: \[\widehat {ADC} + \widehat {ADB} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {ADC} = 112^\circ \]

Trong △ADC ta có:

\[\widehat {ADC} + \widehat {DAC} + \widehat {ACD} = 180^\circ \]

Mà \[\widehat {DAC} = \widehat {ACD} = x\]

\[ \Rightarrow 112^\circ + 2x = 180^\circ \Rightarrow x = 34^\circ \]

Hình 2:

Ta có: \[\widehat {EHF} + \widehat {FHG} = 180^\circ \] (hai góc kề bù).

\[\begin{gathered} \Rightarrow \widehat {EHF} + 80^\circ = 180^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat {EHF} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Xét △EHF, có:

\[\widehat {EHF} + \widehat {FEH} + \widehat {EFH} = 180^\circ \] (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

\[\begin{gathered} \Rightarrow 110^\circ + \widehat {FEH} + 30^\circ = 180^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat {FEH} = 50^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x = 50^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]

Ta lại có: \[y + 80^\circ = \widehat {FGm}\] (góc ngoài của tam giác).

\[\begin{gathered} \Rightarrow y + 80^\circ = 135^\circ \hfill \\ \Rightarrow y = 55^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 7. Cho hình vẽ. Chứng minh rằng: BC ⊥ CD

Hướng dẫn giải

Xét △ABC, có: \[\widehat {BAC} = 90^\circ \]

\[\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \] (tính chất tam giác vuông)

\[\begin{gathered} \Rightarrow 50^\circ + \widehat {ACB} = 90^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat {ACB} = 40^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Xét △DEC, có: \[\widehat {DEC} = 90^\circ \]

\[\widehat {CDE} + \widehat {DCE} = 90^\circ \] (tính chất tam giác vuông)

\[\begin{gathered} \Rightarrow 40^\circ + \widehat {DCE} = 90^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat {DCE} = 50^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Lại có: \[\widehat {ACE} = \widehat {ACB} + \widehat {BCD} + \widehat {DCE}\]

Mặt khác: \[\widehat {ACE} = 180^\circ \]

\[\begin{gathered} \Rightarrow 180^\circ = 40^\circ + 50^\circ + \widehat {BCD} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {BCD} = 90^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Hay BC ⊥ CD

Bài 8. Tính các góc của △ABC, biết: \[\widehat A - \widehat B = 18^\circ \] và \[\widehat B - \widehat C = 18^\circ \]

Hướng dẫn giải

Xét △ABC, có:

\[\widehat B - \widehat C = 18^\circ \Rightarrow \widehat B = 18^\circ + \widehat C\]

Mà \[\widehat A - \widehat B = 18^\circ \]

\[\begin{gathered} \Rightarrow \widehat A - \left( {18^\circ + \widehat C} \right) = 18^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat A - \widehat C = 36^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat A = 36^\circ + \widehat C \hfill \\ \end{gathered} \]

Lại có: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \]

\[\begin{gathered} \Rightarrow 36^\circ + \widehat C + 18^\circ + \widehat C + \widehat C = 180^\circ \hfill \\ \Rightarrow 3\widehat C = 126^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat C = 42^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat B = 18^\circ + 42^\circ = 60^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat A = 78^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 9. Tính các góc của tam giác ABC biết:

a) \[\frac{{\widehat A}}{3} = \frac{{\widehat B}}{4} = \frac{{\widehat C}}{5}\]

b) \[\widehat A = 2\widehat B = 6\widehat C\]

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[\frac{{\widehat A}}{3} = \frac{{\widehat B}}{4} = \frac{{\widehat C}}{5} \Leftrightarrow \widehat A = \frac{3}{4}\widehat B,\widehat C = \frac{5}{4}\widehat B\]

Mà \[\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{3}{4}\widehat B + \widehat B + \frac{5}{4}\widehat B = 180^\circ \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat B = 60^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat A = 45^\circ ,\widehat C = 75^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]

b) Ta có: \[\widehat A = 2\widehat B = 6\widehat C \Rightarrow \widehat A = 6\widehat C,\widehat B = 3\widehat C\]

Mà \[\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 6\widehat C + 3\widehat C + \widehat C = 180^\circ \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat C = 18^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat A = 108^\circ ,\widehat B = 54^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 10. Cho tam giác ABC, tia phân giác AD của góc \[\widehat A\] cắt BC tại D. Tính góc \[\widehat {ADB}\] biết \[\widehat B - \widehat C = 40^\circ \].

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\widehat {BAC} + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \] (định lý tổng 3 góc của một tam giác)

\[ \Rightarrow \widehat {BAC} = 180^\circ - \widehat B - \widehat C\]

Vì AD là tia phân giác của góc \[\widehat {BAC}\] nên

\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \frac{1}{2}\widehat A = \frac{1}{2}\left( {180^\circ - \widehat B - \widehat C} \right) = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat B - \frac{1}{2}\widehat C\]

Ta lại có: \[\widehat {{A_1}} + \widehat B + \widehat {ADB} = 180^\circ \] (định lý tổng 3 góc của một tam giác)

\[\begin{gathered} \Rightarrow \widehat {ADB} = 180^\circ - \widehat {{A_1}} - \widehat B \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array} = 180^\circ - \left( {90^\circ - \frac{1}{2}\widehat B - \frac{1}{2}\widehat C} \right) - \widehat B\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array} = 90^\circ - \frac{1}{2}\left( {\widehat B - \widehat C} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array} = 90^\circ - \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 70^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 11. Cho △MNP. Tính các góc của tam giác biết

a) \[\frac{{\widehat M}}{3} = \frac{{\widehat N}}{2} = \frac{{\widehat P}}{4}\]

b) \[\widehat N = 2\widehat M;\widehat P - \widehat M = 36^\circ \]

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng định lí tổng 3 góc trong một tam giác ta có:

\[\widehat M + \widehat N + \widehat P = 180^\circ \]

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\[\begin{gathered} \frac{{\widehat M}}{3} = \frac{{\widehat N}}{2} = \frac{{\widehat P}}{4} = \frac{{\widehat M + \widehat N + \widehat P}}{{3 + 2 + 4}} = \frac{{180^\circ }}{9} = 20^\circ \hfill \\ \frac{{\widehat M}}{3} = 20^\circ \Rightarrow \widehat M = 60^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{\widehat N}}{2} = 20^\circ \Rightarrow \widehat N = 40^\circ \hfill \\ \frac{{\widehat P}}{4} = 20^\circ \Rightarrow \widehat P = 80^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

b) Ta có: \[\widehat N = 2\widehat M;\widehat P - \widehat M = 36^\circ \]

\[ \Rightarrow \widehat N = 2\widehat M;\widehat P = \widehat M + 36^\circ \]

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong một tam giác ta có:

\[\begin{gathered} \widehat M + \widehat N + \widehat P = 180^\circ \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat M + 2\widehat M + \widehat M + 36^\circ = 180^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 4\widehat M = 144^\circ \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat M = 36^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat N = 2\widehat M = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat P = \widehat M + 36^\circ = 72^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 12. Cho △DEG biết D ∶ E ∶ G = 1 ∶ 3 ∶ 5

a) Tính các góc của tam giác △DEG.

b) Tia phân giác ngoài tại E cắt DG tại A. Tính 1. \[\Delta ABC \Rightarrow \widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \] 2. \[\Delta ABC,\widehat A = 90^\circ \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 90^\circ \] 3. \[\widehat {ACx}\] 4. \[\widehat A,\widehat B,\widehat C\] 5. \[\widehat {ACx} = \widehat A + \widehat B\] 6. \[\widehat {ACx} > \widehat A;\widehat {ACx} > \widehat B\] 7. \[\widehat P = 48^\circ ;\widehat Q = 62^\circ \] 8. \[\widehat R + \widehat P + \widehat Q = 180^\circ \] 9. \[\begin{gathered} \Rightarrow \widehat R + 48^\circ + 62^\circ = 180^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat R = 180^\circ - 62^\circ - 48^\circ = 70^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \] 10. \[\widehat {BAD} = 22^\circ \] 11. \[\widehat {ABD} = 90^\circ \] 12. \[\widehat {BAD} + \widehat {ADB} = 90^\circ \] 13. \[\begin{gathered} \Rightarrow 22^\circ + \widehat {ADB} = 90^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat {ADB} = 90^\circ - 22^\circ = 68^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \] 14. \[\widehat {ADC} + \widehat {ADB} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {ADC} = 112^\circ \] 15. \[\widehat {ADC} + \widehat {DAC} + \widehat {ACD} = 180^\circ \] 16. \[\widehat {DAC} = \widehat {ACD} = x\] 17. \[ \Rightarrow 112^\circ + 2x = 180^\circ \Rightarrow x = 34^\circ \] 18. \[\widehat {EHF} + \widehat {FHG} = 180^\circ \] 19. \[\begin{gathered} \Rightarrow \widehat {EHF} + 80^\circ = 180^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat {EHF} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \] 20. \[\widehat {EHF} + \widehat {FEH} + \widehat {EFH} = 180^\circ \] 21. \[\begin{gathered} \Rightarrow 110^\circ + \widehat {FEH} + 30^\circ = 180^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat {FEH} = 50^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x = 50^\circ \hfill \\ \end{gathered} \] 22. \[y + 80^\circ = \widehat {FGm}\] 23. \[\begin{gathered} \Rightarrow y + 80^\circ = 135^\circ \hfill \\ \Rightarrow y = 55^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \] 24. \[\widehat {BAC} = 90^\circ \] 25. \[\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \] 26. \[\begin{gathered} \Rightarrow 50^\circ + \widehat {ACB} = 90^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat {ACB} = 40^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \] 27. \[\widehat {DEC} = 90^\circ \] 28. \[\widehat {CDE} + \widehat {DCE} = 90^\circ \] 29. \[\begin{gathered} \Rightarrow 40^\circ + \widehat {DCE} = 90^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat {DCE} = 50^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \] 30. \[\widehat {ACE} = \widehat {ACB} + \widehat {BCD} + \widehat {DCE}\] 31. \[\widehat {ACE} = 180^\circ \] 32. \[\begin{gathered} \Rightarrow 180^\circ = 40^\circ + 50^\circ + \widehat {BCD} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {BCD} = 90^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \] 33. \[\widehat A - \widehat B = 18^\circ \] 34. \[\widehat B - \widehat C = 18^\circ \] 35. \[\widehat B - \widehat C = 18^\circ \Rightarrow \widehat B = 18^\circ + \widehat C\] 36. \[\begin{gathered} \Rightarrow \widehat A - \left( {18^\circ + \widehat C} \right) = 18^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat A - \widehat C = 36^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat A = 36^\circ + \widehat C \hfill \\ \end{gathered} \] 37. 38. \[\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \] 39. \[\begin{gathered} \Rightarrow 36^\circ + \widehat C + 18^\circ + \widehat C + \widehat C = 180^\circ \hfill \\ \Rightarrow 3\widehat C = 126^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat C = 42^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat B = 18^\circ + 42^\circ = 60^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat A = 78^\circ \hfill \\ \end{gathered} \] 40. \[\frac{{\widehat A}}{3} = \frac{{\widehat B}}{4} = \frac{{\widehat C}}{5}\] 41. \[\widehat A = 2\widehat B = 6\widehat C\] 42. \[\frac{{\widehat A}}{3} = \frac{{\widehat B}}{4} = \frac{{\widehat C}}{5} \Leftrightarrow \widehat A = \frac{3}{4}\widehat B,\widehat C = \frac{5}{4}\widehat B\] 43. \[\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \] 44. \[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{3}{4}\widehat B + \widehat B + \frac{5}{4}\widehat B = 180^\circ \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat B = 60^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat A = 45^\circ ,\widehat C = 75^\circ \hfill \\ \end{gathered} \] 45. \[\widehat A = 2\widehat B = 6\widehat C \Rightarrow \widehat A = 6\widehat C,\widehat B = 3\widehat C\] 46. \[\begin{gathered} \Leftrightarrow 6\widehat C + 3\widehat C + \widehat C = 180^\circ \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat C = 18^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat A = 108^\circ ,\widehat B = 54^\circ \hfill \\ \end{gathered} \] 47. \[\widehat A\] 48. \[\widehat {ADB}\] 49. \[\widehat B - \widehat C = 40^\circ \] 50. \[\widehat {BAC} + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \] 51. \[ \Rightarrow \widehat {BAC} = 180^\circ - \widehat B - \widehat C\] 52. \[\widehat {BAC}\] 53. \[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \frac{1}{2}\widehat A = \frac{1}{2}\left( {180^\circ - \widehat B - \widehat C} \right) = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat B - \frac{1}{2}\widehat C\] 54. \[\widehat {{A_1}} + \widehat B + \widehat {ADB} = 180^\circ \] 55. \[\begin{gathered} \Rightarrow \widehat {ADB} = 180^\circ - \widehat {{A_1}} - \widehat B \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array} = 180^\circ - \left( {90^\circ - \frac{1}{2}\widehat B - \frac{1}{2}\widehat C} \right) - \widehat B\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array} = 90^\circ - \frac{1}{2}\left( {\widehat B - \widehat C} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array} = 90^\circ - \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 70^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \] 56. \[\frac{{\widehat M}}{3} = \frac{{\widehat N}}{2} = \frac{{\widehat P}}{4}\] 57. \[\widehat N = 2\widehat M;\widehat P - \widehat M = 36^\circ \] 58. \[\widehat M + \widehat N + \widehat P = 180^\circ \] 59. \[\begin{gathered} \frac{{\widehat M}}{3} = \frac{{\widehat N}}{2} = \frac{{\widehat P}}{4} = \frac{{\widehat M + \widehat N + \widehat P}}{{3 + 2 + 4}} = \frac{{180^\circ }}{9} = 20^\circ \hfill \\ \frac{{\widehat M}}{3} = 20^\circ \Rightarrow \widehat M = 60^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{\widehat N}}{2} = 20^\circ \Rightarrow \widehat N = 40^\circ \hfill \\ \frac{{\widehat P}}{4} = 20^\circ \Rightarrow \widehat P = 80^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \] 60. \[ \Rightarrow \widehat N = 2\widehat M;\widehat P = \widehat M + 36^\circ \] 61. \[\begin{gathered} \widehat M + \widehat N + \widehat P = 180^\circ \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat M + 2\widehat M + \widehat M + 36^\circ = 180^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 4\widehat M = 144^\circ \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat M = 36^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat N = 2\widehat M = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ \hfill \\ \Rightarrow \widehat P = \widehat M + 36^\circ = 72^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \] 62. \[\widehat {DAE}\] 63. \[\frac{{\widehat D}}{1} = \frac{{\widehat E}}{3} = \frac{{\widehat G}}{5}\] 64. \[\widehat D + \widehat E + \widehat G = 180^\circ \] 65. \[\begin{gathered} \frac{{\widehat D}}{1} = \frac{{\widehat E}}{3} = \frac{{\widehat G}}{5} = \frac{{\widehat D + \widehat E + \widehat G}}{{1 + 3 + 5}} = \frac{{180^\circ }}{9} = 20^\circ \hfill \\ \frac{{\widehat D}}{1} = 20^\circ \Rightarrow \widehat D = 20^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{\widehat E}}{3} = 20^\circ \Rightarrow \widehat E = 60^\circ \hfill \\ \frac{{\widehat G}}{5} = 20^\circ \Rightarrow \widehat G = 100^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \] 66. \[\widehat {MEG} + \widehat {GED} = 180^\circ \] 67. \[\begin{gathered} \Leftrightarrow \widehat {MEG} + 60^\circ = 180^\circ \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {MEG} = 120^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {{E_1}} + \widehat {{E_2}} = 120^\circ \hfill \\ \end{gathered} \] 68. \[\widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}}\] 69. \[\begin{gathered} \Leftrightarrow 2\widehat {{E_1}} = 120^\circ \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}} = 60^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \] 70. \[\widehat {{E_2}} = \widehat A + \widehat D\] 71. \[\begin{gathered} \Leftrightarrow 60^\circ = \widehat A + 20^\circ \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat A = 60^\circ - 20^\circ = 40^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \] 72. \[\widehat B,\widehat C < 90^\circ \] 73. \[\widehat A + \widehat {DHE} = 180^\circ \] 74. \[\widehat {{A_1}} + \widehat {{H_1}} = 90^\circ \] 75. \[\widehat {{A_2}} + \widehat {{H_2}} = 90^\circ \] 76. \[\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = 90^\circ + 90^\circ \] 77. \[\widehat {xOy}\] 78. \[\widehat {ABO} = \widehat {ACB}\] 79. \[\widehat {ABO} = \widehat {CDO}\] 80. \[\widehat {ABC}\] 81. \[\widehat {BAH} = \widehat C\] 82. \[\widehat {xAH}\] 83. 84. \[\widehat B\] 85. \[\widehat {BAH} + \widehat {ABH} = 90^\circ \] 86. \[\widehat {BCA} + \widehat {ABC} = 90^\circ \] 87. \[\widehat {ABH} = \widehat {ABC}\] 88. \[\widehat {BAH} = \widehat {BCA}\] 89. \[\widehat {ABH} = \widehat {HAC}\] 90. \[\widehat {HAC}\] 91. \[\widehat {ABH}\] 92. \[\widehat {NEP} > \widehat {NMP}\] 93. \[\widehat {NEP}\] 94. \[\widehat A\] 95. \[\widehat C\] 96. \[\widehat B > 90^\circ \Rightarrow \widehat A + \widehat C < 180^\circ - 90^\circ \] 97. \[\widehat {BEC}\] 98. \[\widehat {BKC} = \widehat {BAC} + \widehat {ABK}{\text{ }}\left( 1 \right)\] 99. \[\widehat {BEC} = \widehat {BKC} + \widehat {KCE}{\text{ }}\left( 2 \right)\] 100. \[\begin{gathered} \widehat {BEC} = \widehat {BKC} + \widehat {KCE} = \widehat {BAC} + \widehat {ABK} + \widehat {KCE} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {BEC} > \widehat {BAC} = 90^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \] 101. \[\widehat N > \widehat P\] 102. \[\widehat {MKP} - \widehat {MKN} = \widehat N - \widehat P\] 103. \[\widehat {MEP} = \frac{{\widehat N - \widehat P}}{2}\] 104. \[\begin{gathered} \widehat {MKN} = \widehat P + \frac{{\widehat M}}{2} \cdot \widehat {MKP} = \widehat N + \frac{{\widehat M}}{2} \hfill \\ \widehat {MKP} - \widehat {MKN} = \widehat N - \widehat P\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \] 105. \[\widehat {MEP} = \widehat {MEx} - \widehat {MPE} = \frac{{\widehat {NMx}}}{2} - \widehat P\] 106. \[\widehat {NMx} = \widehat N + \widehat P\] 107. \[\widehat {EDC} = \widehat {DEC}\] 108. \[\widehat {CEB} = 90^\circ - \frac{{\widehat B}}{2};\widehat {EDC} = \widehat {ADB} = 90^\circ - \frac{{\widehat B}}{2}\] 109. \[\widehat {HAC}\] 110. \[\widehat {AIB} = 90^\circ \] 111. \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\] 112. \[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \frac{1}{2}\widehat {HAC}\] 113. \[\widehat {ABC} = \widehat {HAC}\] 114. \[\widehat {{B_2}} = \widehat {{A_1}}\] 115. \[\widehat {AIB} + \widehat {IAB} + \widehat {{B_2}} = 180^\circ \] 116. \[\begin{gathered} \Rightarrow \widehat {AIB} = 180^\circ - \left( {\widehat {IAB} + \widehat {{B_2}}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array} = 180^\circ - \left( {\widehat {{A_2}} + \widehat {HAB} + \widehat {{B_2}}} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array} = 180^\circ - \left( {\widehat {{A_2}} + \widehat {{A_1}} + \widehat {HAB}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array} = 180^\circ - \left( {\widehat {HAC} + \widehat {HAB}} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array} = 180^\circ - \widehat {BAC}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \hfill \\ \end{gathered} \] 117. \[\widehat {BAx} + \widehat {CBy} + \widehat {ACz} = 360^\circ \] 118. \[\widehat {BAx} = 180^\circ - \widehat {BAC}\] 119. \[\begin{gathered} \widehat {Cby} = 180^\circ - \widehat {ABC} \hfill \\ \widehat {ACz} = 180^\circ - \widehat {BCA}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \] 120. \[\widehat {BAx} + \widehat {CBy} + \widehat {ACz} = 3 \cdot 180^\circ - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {BCA}} \right)\] 121. \[\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {BCA} = 180^\circ \] 122. \[ \Rightarrow \widehat {BAx} + \widehat {CBy} + \widehat {ACz} = 3 \cdot 180^\circ - 180^\circ = 360^\circ \] 123. \[\widehat B > \widehat C\] 124. \[\widehat {ADC} - \widehat {ADB} = \widehat B - \widehat C\] 125. \[\widehat {AEB} = \frac{{\widehat B - \widehat C}}{2}\] 126. \[\widehat {{A_1}} + \widehat {ABC} + \widehat {ADB} = 180^\circ \] 127. \[\widehat {{A_2}} + \widehat C + \widehat {ADC} = 180^\circ \] 128. \[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\] 129. \[\widehat C + \widehat {ADC} = \widehat B + \widehat {ADB}\] 130. 131. \[\widehat {BAx} = \widehat {ABC} + \widehat C\] 132. \[ \Rightarrow \widehat {{A_3}} = \widehat {{A_4}} = \frac{1}{2}\widehat {BAx} = \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2}\] 133. \[\widehat {{A_4}} = \widehat E + \widehat C\] 134. \[\begin{gathered} \Rightarrow \widehat E = \widehat {{A_4}} - \widehat C\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {AEB} = \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} - \widehat C = \frac{{\widehat B - \widehat C}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \] 135. \[\widehat {BOC} = \widehat A + \widehat {ABO} + \widehat {ACO}\] 136. \[\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 90^\circ - \frac{{\widehat A}}{2}\] 137. \[\widehat {{O_1}} = \widehat {{A_1}} + \widehat {ABO}\] 138. \[\widehat {{O_2}} = \widehat {{A_2}} + \widehat {ACO}\] 139. \[ \Rightarrow \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {ABO} + \widehat {ACO}\] 140. \[\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 90^\circ - \frac{{\widehat {BAC}}}{2}\] 141. \[\begin{gathered} \Rightarrow \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {ACB}}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} + \frac{{\widehat {ACB}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \] 142. \[\widehat {ABC}\] 143. \[\widehat {{B_1}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} \Rightarrow \widehat {{C_2}} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\] 144. \[\widehat {ACB}\] .

Hướng dẫn giải

a) Từ D ∶ E ∶ G = 1 ∶ 3 ∶ 5 suy ra:

\[\frac{{\widehat D}}{1} = \frac{{\widehat E}}{3} = \frac{{\widehat G}}{5}\] mà \[\widehat D + \widehat E + \widehat G = 180^\circ \] (tổng 3 góc trong một tam giác)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\[\begin{gathered} \frac{{\widehat D}}{1} = \frac{{\widehat E}}{3} = \frac{{\widehat G}}{5} = \frac{{\widehat D + \widehat E + \widehat G}}{{1 + 3 + 5}} = \frac{{180^\circ }}{9} = 20^\circ \hfill \\ \frac{{\widehat D}}{1} = 20^\circ \Rightarrow \widehat D = 20^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{\widehat E}}{3} = 20^\circ \Rightarrow \widehat E = 60^\circ \hfill \\ \frac{{\widehat G}}{5} = 20^\circ \Rightarrow \widehat G = 100^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

b)

Ta có: \[\widehat {MEG} + \widehat {GED} = 180^\circ \]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \widehat {MEG} + 60^\circ = 180^\circ \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {MEG} = 120^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {{E_1}} + \widehat {{E_2}} = 120^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]

(mà EA là phân giác ngoài tại E nên \[\widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}}\])

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 2\widehat {{E_1}} = 120^\circ \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}} = 60^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Ta có: \[\widehat {{E_2}} = \widehat A + \widehat D\]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 60^\circ = \widehat A + 20^\circ \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat A = 60^\circ - 20^\circ = 40^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Dạng 2. Các dạng bài toán chứng minh

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất trong phần kiến thức cần nhớ.

Lưu ý thêm về các tính chất đã học về quan hệ song song, vuông góc, tia phân giác góc…

Bài toán.

Bài 1. Cho △ABC có \[\widehat B,\widehat C < 90^\circ \]. Kẻ BD vuông góc với AC (D ∈ AC). Kẻ CE vuông góc với AB (E ∈ AB). Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh: \[\widehat A + \widehat {DHE} = 180^\circ \]

Hướng dẫn giải

Trong △AEH vuông tại E, ta có:

\[\widehat {{A_1}} + \widehat {{H_1}} = 90^\circ \] (hai góc phụ nhau) (1)

Trong △ADH vuông tại D, ta có:

\[\widehat {{A_2}} + \widehat {{H_2}} = 90^\circ \] (hai góc phụ nhau) (2)

Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có:

\[\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = 90^\circ + 90^\circ \]

Suy ra: \[\widehat A + \widehat {DHE} = 180^\circ \]

Bài 2. Cho góc \[\widehat {xOy}\], điểm A thuộc tia Ox. Kẻ AB vuông góc với Ox (B ∈ Oy), kẻ BC vuông góc với Oy (C ∈ Ox), kẻ CD vuông góc với Ox (D ∈ Oy). Chứng minh: \[\widehat {ABO} = \widehat {ACB}\] và \[\widehat {ABO} = \widehat {CDO}\]

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\widehat {ABO} = \widehat {ACB}\] (cùng phụ với \[\widehat {ABC}\])

Ta có: BA ⊥ Ox, DC ⊥ Ox (gt)

Suy ra: AB // CD

Suy ra: \[\widehat {ABO} = \widehat {CDO}\] (đồng vị)

Bài 3. Cho △ABC vuông tại A. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Vẽ Ax là tia đối của tia AC. Chứng minh:

a) \[\widehat {BAH} = \widehat C\]

b) \[\widehat {xAH}\] và \[\widehat B\] bù nhau

Hướng dẫn giải

a) Xét △ABH, ta có:

\[\widehat {BAH} + \widehat {ABH} = 90^\circ \]

Xét △ABC, ta có:

\[\widehat {BCA} + \widehat {ABC} = 90^\circ \]

Mà \[\widehat {ABH} = \widehat {ABC}\] nên \[\widehat {BAH} = \widehat {BCA}\]

b) Tương tự câu a, ta có: \[\widehat {ABH} = \widehat {HAC}\]

Mà \[\widehat {xAH}\] kề bù với \[\widehat {HAC}\] nên \[\widehat {xAH}\] bù với \[\widehat {ABH}\]

Bài 4. Cho tam giác △MNP, E là một điểm trên MN. Chứng minh: \[\widehat {NEP} > \widehat {NMP}\]

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\widehat {NEP}\] là góc ngoài tam giác △PEM.

Từ đó suy ra: \[\widehat {NEP} > \widehat {NMP}\]

Bài 5. Cho tam giác△ABC có \[\widehat B\] tù. Chứng minh rằng các góc \[\widehat A\] và \[\widehat C\] nhọn.

Hướng dẫn giải

Cách 1. Do B tù nên ta có góc ngoài của đỉnh \[\widehat B\] là góc nhọn, suy ra các góc \[\widehat A\] và \[\widehat C\] nhọn.

Cách 2. Do \[\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \] mà \[\widehat B > 90^\circ \Rightarrow \widehat A + \widehat C < 180^\circ - 90^\circ \] nên \[\widehat A\] và \[\widehat C\] đều là các góc nhọn.

Bài 6. Cho △ABC vuông tại A, điểm E nằm trong tam giác đó. Chứng minh \[\widehat {BEC}\] là góc tù.

Hướng dẫn giải

Gọi K là giao điểm của BE và AC

Xét △ABK, ta có:

\[\widehat {BKC} = \widehat {BAC} + \widehat {ABK}{\text{ }}\left( 1 \right)\]

Xét △KEC, ta có:

\[\widehat {BEC} = \widehat {BKC} + \widehat {KCE}{\text{ }}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) suy ra:

\[\begin{gathered} \widehat {BEC} = \widehat {BKC} + \widehat {KCE} = \widehat {BAC} + \widehat {ABK} + \widehat {KCE} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {BEC} > \widehat {BAC} = 90^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

⇒ \[\widehat {BEC}\] là góc tù.

Bài 7. Cho tam giác MNP có \[\widehat N > \widehat P\].Vẽ phân giác MK.

a) Chứng minh: \[\widehat {MKP} - \widehat {MKN} = \widehat N - \widehat P\]

b) Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngoài đỉnh M của tam giác MNP, cắt đường thẳng NP tại E. Chứng minh rằng: \[\widehat {MEP} = \frac{{\widehat N - \widehat P}}{2}\]

Hướng dẫn giải

a) Sử dụng tính chất góc ngoài.

Ta được:

\[\begin{gathered} \widehat {MKN} = \widehat P + \frac{{\widehat M}}{2} \cdot \widehat {MKP} = \widehat N + \frac{{\widehat M}}{2} \hfill \\ \widehat {MKP} - \widehat {MKN} = \widehat N - \widehat P\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

b) Ta có:

\[\widehat {MEP} = \widehat {MEx} - \widehat {MPE} = \frac{{\widehat {NMx}}}{2} - \widehat P\]

Mà \[\widehat {NMx} = \widehat N + \widehat P\]. Từ đó suy ra: \[\widehat {MEP} = \frac{{\widehat N - \widehat P}}{2}\]

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi d là đường thẳng vuông góc với BC tại C. Tia phân giác của góc \[\widehat B\] cắt AC ở D và cắt d ở E. Chứng minh rằng: \[\widehat {EDC} = \widehat {DEC}\]

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\widehat {CEB} = 90^\circ - \frac{{\widehat B}}{2};\widehat {EDC} = \widehat {ADB} = 90^\circ - \frac{{\widehat B}}{2}\]

Suy ra: \[\widehat {EDC} = \widehat {DEC}\]

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Các tia phân giác của \[\widehat B\] và \[\widehat {HAC}\] cắt nhau tại I. Chứng minh rằng: \[\widehat {AIB} = 90^\circ \]

Hướng dẫn giải

Ta có: BI, AI lần lượt là tia phân giác của \[\widehat B\] và \[\widehat {HAC}\]

Nên \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\] và \[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \frac{1}{2}\widehat {HAC}\]

Mà \[\widehat {ABC} = \widehat {HAC}\] (cùng phụ với \[\widehat C\]) nên \[\widehat {{B_2}} = \widehat {{A_1}}\]

Xét △AIB, có:

\[\widehat {AIB} + \widehat {IAB} + \widehat {{B_2}} = 180^\circ \] (định lý tổng 3 góc của một tam giác)

\[\begin{gathered} \Rightarrow \widehat {AIB} = 180^\circ - \left( {\widehat {IAB} + \widehat {{B_2}}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array} = 180^\circ - \left( {\widehat {{A_2}} + \widehat {HAB} + \widehat {{B_2}}} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array} = 180^\circ - \left( {\widehat {{A_2}} + \widehat {{A_1}} + \widehat {HAB}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array} = 180^\circ - \left( {\widehat {HAC} + \widehat {HAB}} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array} = 180^\circ - \widehat {BAC}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 10. Chứng minh rằng: Tổng ba góc ngoài ở ba đỉnh của một tam giác bằng 360°.

Hướng dẫn giải

Giả sử : Xét △ABC, cần chứng minh \[\widehat {BAx} + \widehat {CBy} + \widehat {ACz} = 360^\circ \]

Ta có: \[\widehat {BAx} = 180^\circ - \widehat {BAC}\]

\[\begin{gathered} \widehat {Cby} = 180^\circ - \widehat {ABC} \hfill \\ \widehat {ACz} = 180^\circ - \widehat {BCA}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Cộng vế theo vế ta có:

\[\widehat {BAx} + \widehat {CBy} + \widehat {ACz} = 3 \cdot 180^\circ - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {BCA}} \right)\]

Mà \[\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {BCA} = 180^\circ \]

\[ \Rightarrow \widehat {BAx} + \widehat {CBy} + \widehat {ACz} = 3 \cdot 180^\circ - 180^\circ = 360^\circ \]

Cách khác: Dựa vào tính chất góc ngoài tam giác, tính số đo từng góc ngoài △ABC và thực hiện tương tự.

Bài 11. Tam giác ABC có \[\widehat B > \widehat C\]. Tia phân giác \[\widehat {BAC}\] cắt BC tại D.

a) Chứng minh: \[\widehat {ADC} - \widehat {ADB} = \widehat B - \widehat C\]

b) Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngoài ở đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E. Chứng minh rằng: \[\widehat {AEB} = \frac{{\widehat B - \widehat C}}{2}\]

Hướng dẫn giải

a) △ABD, có: \[\widehat {{A_1}} + \widehat {ABC} + \widehat {ADB} = 180^\circ \]

△ACD, có: \[\widehat {{A_2}} + \widehat C + \widehat {ADC} = 180^\circ \]

Mà \[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\] nên \[\widehat C + \widehat {ADC} = \widehat B + \widehat {ADB}\]

⇒ \[\widehat {ADC} - \widehat {ADB} = \widehat B - \widehat C\]

b) △ABC, có: \[\widehat {BAx} = \widehat {ABC} + \widehat C\] (góc ngoài tam giác)

\[ \Rightarrow \widehat {{A_3}} = \widehat {{A_4}} = \frac{1}{2}\widehat {BAx} = \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2}\]

△ACE, có: \[\widehat {{A_4}} = \widehat E + \widehat C\] (góc ngoài)

\[\begin{gathered} \Rightarrow \widehat E = \widehat {{A_4}} - \widehat C\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {AEB} = \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} - \widehat C = \frac{{\widehat B - \widehat C}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 12. Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác.

a) Chứng minh rằng: \[\widehat {BOC} = \widehat A + \widehat {ABO} + \widehat {ACO}\]

b) Biết \[\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 90^\circ - \frac{{\widehat A}}{2}\] và tia BO là tia phân giác của góc \[\widehat B\]. Chứng minh rằng tia CO là tia phân giác của góc \[\widehat C\].

Hướng dẫn giải

a) △ABO, có: \[\widehat {{O_1}} = \widehat {{A_1}} + \widehat {ABO}\] (góc ngoài tam giác).

△ACO, có: \[\widehat {{O_2}} = \widehat {{A_2}} + \widehat {ACO}\] (góc ngoài tam giác).

\[ \Rightarrow \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {ABO} + \widehat {ACO}\]

Hay \[\widehat {BOC} = \widehat A + \widehat {ABO} + \widehat {ACO}\]

b) Từ \[\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 90^\circ - \frac{{\widehat {BAC}}}{2}\]

\[\begin{gathered} \Rightarrow \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {ACB}}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} + \frac{{\widehat {ACB}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \]

Mà BO là tia phân giác của \[\widehat {ABC}\]

Nên \[\widehat {{B_1}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} \Rightarrow \widehat {{C_2}} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\]

Hay CO là tia phân giác của góc \[\widehat {ACB}\].