Tiên đề Euclid
Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Hình 1. Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng a.
Ta vẽ đường thẳng b đi qua M sao cho a // b.
Từ tiên đề Euclid ta suy ra được: Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại.
Tính chất hai đường thẳng song song
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:
+) Hai góc so le trong bằng nhau.
+) Hai góc đồng vị trong bằng nhau.
Nhận xét:
+) Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.
+) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Tính số đo góc
Phương pháp giải
Dựa vào tính chất hai đường thẳng song song. Nếu biết số đo của một góc thì tính được số đo của góc kia.
Bài toán.
Bài 1. Cho hình sau, biết DE // AC, ![\[\widehat {ADE} = 110^\circ ,\widehat {ACE} = 50^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-1.svg)
. Hãy tính số đo các góc ![\[\widehat {BDE}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-2.svg)
và ![\[\widehat {DEB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-3.svg)
.
Hướng dẫn giải
Ta có: ![\[\widehat {ADE} + \widehat {BDE} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-4.svg)
(hai góc kề bù)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 110^\circ + \widehat {BDE} = 180^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {BDE} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-5.svg)
Ta có: DE // AC suy ra ![\[\widehat {BED} = \widehat {ECA}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-6.svg)
(hai góc đồng vị)
Nên ![\[\widehat {BED} = 50^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-7.svg)
Vậy ![\[\widehat {BDE} = 70^\circ ,\widehat {BED} = 50^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-8.svg)
Bài 2. Cho hình sau, biết xy // x′y′, ![\[\widehat {xBC} = 65^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-9.svg)
. Hãy tính số đo các góc ![\[\widehat {BCy'}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-10.svg)
và ![\[\widehat {x'Cz'}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-11.svg)
Hướng dẫn giải
Ta có: xy // x′y′ suy ra ![\[\widehat {xBC} = \widehat {BCy'}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-12.svg)
(hai góc so le trong)
Nên ![\[\widehat {BCy'} = 65^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-13.svg)
Ta lại có: ![\[\widehat {x'Cz'} = \widehat {BCy'}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-14.svg)
(hai góc đối đỉnh)
Nên ![\[\widehat {x'Cz'} = 65^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-15.svg)
Vậy ![\[\widehat {BCy'} = 65^\circ ,\widehat {x'Cz'} = 65^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-16.svg)
Bài 3. Cho hình sau, biết Gx // Jy, ![\[\widehat J = 90^\circ ,\widehat {IHx} = 47^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-17.svg)
. Hãy tính số đo các góc ![\[\widehat {JGH}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-18.svg)
và ![\[\widehat {HIJ}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-19.svg)
Hướng dẫn giải
Ta có: Gx // Jy và Jy ⊥ GJ
Nên Gx ⊥ GJ
Nên ![\[\widehat {JGH} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-20.svg)
Ta có: Gx // Jy suy ra ![\[\widehat {IHx} = \widehat {HIJ}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-21.svg)
(hai góc so le trong)
Nên ![\[\widehat {HIJ} = 47^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-22.svg)
Vậy ![\[\widehat {JGH} = 90^\circ ,\widehat {HIJ} = 47^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-23.svg)
Bài 4. Cho hình sau, biết DE // AC, ![\[\widehat {ADE} = 110^\circ ,\widehat {ACE} = 50^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-24.svg)
. Hãy tính số đo các góc ![\[\widehat {DAC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-25.svg)
và ![\[\widehat {DEC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-26.svg)
.
Hướng dẫn giải
Ta có: ![\[\widehat {ADE} + \widehat {BDE} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-27.svg)
(hai góc kề bù)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 110^\circ + \widehat {BDE} = 180^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {BDE} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-28.svg)
Ta có: DE // AC suy ra ![\[\widehat {BDE} = \widehat {DAC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-29.svg)
(hai góc đồng vị)
Nên ![\[\widehat {DAC} = 70^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-30.svg)
Ta có: DE // AC suy ra ![\[\widehat {BED} = \widehat {ECA}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-31.svg)
(hai góc đồng vị)
Nên ![\[\widehat {BED} = 50^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-32.svg)
Ta có: ![\[\widehat {BED} + \widehat {DEC} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-33.svg)
(hai góc kề bù)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 50^\circ + \widehat {DEC} = 180^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {DEC} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-34.svg)
Vậy ![\[\widehat {DAC} = 70^\circ ,\widehat {DEC} = 130^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-35.svg)
Bài 5. Cho hình sau, biết ![\[\widehat {xBA} = 48^\circ ,\widehat {BCD} = 48^\circ ,\widehat {BAD} = 135^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-36.svg)
a) Vì sao AB // CD?
b) Hãy tính số đo góc ![\[\widehat {ADC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-37.svg)
.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[\widehat {xBA} = 48^\circ ,\widehat {BCD} = 48^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-38.svg)
Suy ra: ![\[\widehat {xBA} = \widehat {BCD}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-39.svg)
Mà ![\[\widehat {xBA};\widehat {BCD}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-40.svg)
là hai góc đồng vị.
Nên AB // CD.
b) Ta có: ![\[\widehat {yAB} + \widehat {BAD} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-41.svg)
(hai góc kề bù)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \widehat {yAB} + 135^\circ = 180^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {yAB} = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-42.svg)
Ta có: AB // CD suy ra ![\[\widehat {yAB} = \widehat {ADC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-43.svg)
(hai góc đồng vị)
Nên ![\[\widehat {ADC} = 45^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-44.svg)
Bài 6. Cho hình sau, biết ![\[\widehat {xFE} = 83^\circ ,\widehat {FEH} = 83^\circ ,\widehat {FGy} = 76^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-45.svg)
a) Vì sao FG // EH?
b) Hãy tính số đo góc ![\[\widehat {x'Hy'}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-46.svg)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[\widehat {xFE} = 83^\circ ,\widehat {FEH} = 83^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-47.svg)
Suy ra: ![\[\widehat {xFE} = \widehat {FEH}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-48.svg)
Mà ![\[\widehat {xFE};\widehat {FEH}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-49.svg)
là hai góc so le trong.
Nên FG // EH.
b) Ta có: FG // EH nên ![\[\widehat {FGy} = \widehat {EHG}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-50.svg)
(hai góc đồng vị)
Nên ![\[\widehat {EHG} = 76^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-51.svg)
Ta có: ![\[\widehat {EHG} = \widehat {x'Hy'}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-52.svg)
(hai góc đối đỉnh)
Nên ![\[\widehat {x'Hy'} = 76^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-53.svg)
Bài 7. Cho hình sau, biết ![\[\widehat {PQM} = 134^\circ ,\widehat {QMy} = 76^\circ ,\widehat {PNM} = 76^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-54.svg)
a) Vì sao QM // PN?
b) Hãy tính số đo góc ![\[\widehat {xPz}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-55.svg)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[\widehat {QMy} = 76^\circ ,\widehat {PNM} = 76^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-56.svg)
Suy ra: ![\[\widehat {QMy} = \widehat {PNM}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-57.svg)
Mà ![\[\widehat {QMy};\widehat {PNM}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-58.svg)
là hai góc đồng vị.
Nên QM // PN.
b) Ta có: QM // PN nên ![\[\widehat {PQM} = \widehat {xPN}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-59.svg)
(hai góc đồng vị)
Nên ![\[\widehat {xPN} = 134^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-60.svg)
Ta có: ![\[\widehat {xPN} + \widehat {xPz} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-61.svg)
(hai góc kề bù)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 134^\circ + \widehat {xPz} = 180^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {xPz} = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-62.svg)
Nên ![\[\widehat {xPz} = 46^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-63.svg)
Bài 8. Cho hình sau, biết AE // BD, ![\[\widehat {ABD} = 90^\circ ,\widehat {AED} = 55^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-64.svg)
. Hãy tính số đo các góc ![\[\widehat {BAE}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-65.svg)
và .
Hướng dẫn giải
Ta có: ![\[\widehat {ABD} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-66.svg)
Suy ra: DB ⊥ AB tại B. Mà AE // BD
Nên EA ⊥ AB tại A. Suy ra: ![\[\widehat {BAE} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-67.svg)
Ta có: AE // BD nên ![\[\widehat {ADE} = \widehat {EDy}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-68.svg)
(hai góc đồng vị)
Nên ![\[\widehat {EDy} = 55^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-69.svg)
Ta có: ![\[\widehat {EDy} + \widehat {EDB} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-70.svg)
(hai góc kề bù)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 55^\circ + \widehat {EDB} = 180^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {EDB} = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-71.svg)
Nên ![\[\widehat {EDB} = 125^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-72.svg)
Vậy ![\[\widehat {BAE} = 90^\circ ,\widehat {EDB} = 125^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-73.svg)
Bài 9. Cho hình sau, biết ![\[\widehat {IHG} = 90^\circ ,\widehat {FGH} = 90^\circ ,\widehat {FIH} = 80^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-74.svg)
. Hãy tính số đo góc ![\[\widehat {IFG}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-75.svg)
.
Hướng dẫn giải
Ta có: ![\[\widehat {FGH} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-76.svg)
Suy ra: FG ⊥ GH tại G (1)
Ta có: ![\[\widehat {IHG} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-77.svg)
Suy ra: IH ⊥ GH tại H (2)
Từ (1) và (2) suy ra: FG // HI
Ta có: FG // HI nên ![\[\widehat {FIH} = \widehat {IFx}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-78.svg)
(hai góc so le trong)
Nên ![\[\widehat {IFx} = 80^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-79.svg)
Ta có: ![\[\widehat {IFx} + \widehat {IFG} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-80.svg)
(hai góc kề bù)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 80^\circ + \widehat {IFG} = 180^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {IFG} = 180^\circ + 80^\circ = 100^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-81.svg)
Vậy ![\[\widehat {IFG} = 100^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-82.svg)
Bài 10. Cho hình sau, biết MN // KJ, ![\[\widehat {NML} = 46^\circ ,\widehat {JKL} = 127^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-83.svg)
. Hãy tính số đo góc ![\[\widehat {MLK}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-84.svg)
.
Hướng dẫn giải
Qua L vẽ xy sao cho xy // MN
Suy ra: ![\[\widehat {LMN} = \widehat {MLx}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-85.svg)
(hai góc so le trong)
Nên ![\[\widehat {MLx} = 46^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-86.svg)
Ta có: xy // MN (cách vẽ)
Mà KJ // MN
Nên xy // KJ
Suy ra: ![\[\widehat {JKL} = \widehat {KLy}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-87.svg)
(hai góc so le trong)
Nên ![\[\widehat {KLy} = 127^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-88.svg)
Ta có: ![\[\widehat {KLx} + \widehat {KLy} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-89.svg)
(hai góc kề bù)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \widehat {KLx} + 127^\circ = 180^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {KLx} = 180^\circ - 127^\circ = 53^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-90.svg)
Ta có: ![\[\widehat {MLK} = \widehat {KLx} + \widehat {MLx}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-91.svg)
![\[ \Leftrightarrow \widehat {MLK} = 53^\circ + 46^\circ = 99^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-92.svg)
Bài 11. Cho hình sau, biết AB // ED, ![\[\widehat {BAC} = 118^\circ ,\widehat {CDE} = 50^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-93.svg)
. Hãy tính số đo góc ![\[\widehat {ACD}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-94.svg)
.
Hướng dẫn giải
Qua C vẽ xy sao cho xy // AB
Suy ra: ![\[\widehat {BAC} = \widehat {ACx}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-95.svg)
(hai góc so le trong)
Nên ![\[\widehat {ACx} = 118^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-96.svg)
Ta có: ![\[\widehat {ACx} + \widehat {ACy} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-97.svg)
(hai góc kề bù)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 118^\circ + \widehat {ACy} = 180^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {ACy} = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-98.svg)
Ta có: xy // AB
Mà AB // ED
Nên xy // ED
Suy ra: ![\[\widehat {EDC} = \widehat {DCy}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-99.svg)
(hai góc so le trong)
Nên ![\[\widehat {DCy} = 50^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-100.svg)
Ta có: ![\[\widehat {ACD} = \widehat {ACy} + \widehat {DCy}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-101.svg)
![\[ \Leftrightarrow \widehat {ACD} = 62^\circ + 50^\circ = 112^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-102.svg)
Bài 12. Cho hình sau, biết AB // FG, ![\[\widehat {ABC} = 49^\circ ,\widehat {EFG} = 120^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-103.svg)
. Hãy tính số đo góc ![\[\widehat {CEF}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-104.svg)
.
Hướng dẫn giải
Qua E vẽ tia Ex sao cho Ex // AB
Suy ra: ![\[\widehat {CBA} = \widehat {CEx}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-105.svg)
(hai góc đồng vị)
Nên ![\[\widehat {CEx} = 49^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-106.svg)
Vẽ tia Fy là tia đối của tia FG
Suy ra: ![\[\widehat {EFG} + \widehat {EFy} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-107.svg)
(hai góc kề bù)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 120^\circ + \widehat {EFy} = 180^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {EFy} = 60^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-108.svg)
Ta có: Ex // AB
Mà AB // FG
Nên Ex // FG
Suy ra: ![\[\widehat {EFy} = \widehat {FEx}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-109.svg)
(hai góc so le trong)
Nên ![\[\widehat {FEx} = 60^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-110.svg)
Ta có: ![\[\widehat {CEF} = \widehat {CEx} + \widehat {FEx}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-111.svg)
![\[ \Leftrightarrow \widehat {CEF} = 49^\circ + 60^\circ = 109^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-112.svg)
Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song, vuông góc
Phương pháp giải
Chứng minh hai đường thẳng song song
+) Dựa vào dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
+) Dựa vào tiên đề Euclid.
+) Dựa vào dấu hiệu: cùng vuông góc, cùng song song với đường thẳng thứ ba.
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
+) Dựa vào dấu hiệu: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.
+) Dựa vào dấu hiệu: Hai đường thẳng cắt nhau trong bốn góc tạo thành có một góc vuông.
Bài toán.
Bài 1. Cho hình sau, biết ![\[\widehat {dAx'} = 71^\circ ,\widehat {ABy'} = 71^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-113.svg)
. Vì sao xx′ // yy′?
Hướng dẫn giải
Ta có:
Suy ra: ![\[\widehat {dAx'} = \widehat {ABy'}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-116.svg)
Mà ![\[\widehat {dAx'};\widehat {ABy'}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-117.svg)
là hai góc đồng vị.
Nên xx′ // yy′.
Bài 2. Cho hình sau, biết ![\[\widehat {xAB} = 71^\circ ,\widehat {ABy'} = 71^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-118.svg)
. Vì sao xx′ // yy′?
Hướng dẫn giải
Ta có:
Suy ra: ![\[\widehat {xAB} = \widehat {ABy'}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-119.svg)
Mà ![\[\widehat {xAB};\widehat {ABy'}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-120.svg)
là hai góc so le trong.
Nên xx′ // yy′.
Bài 3. Cho hình sau, biết xx′ ⊥ HI, yy′ ⊥ HI. Vì sao xx′ // yy′?
Hướng dẫn giải
Ta có: xx′ ⊥ HI, yy′ ⊥ HI. Nên xx′ // yy′.
Bài 4. Cho hình sau, biết xx′ // yy′, yy′ ⊥ HI, ![\[\widehat {yMz} = 65^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-121.svg)
a) Vì sao xx′ ⊥ HI?
b) Tính số đo của góc ![\[\widehat {xNz}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-122.svg)
.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: xx′ // yy′, yy′ ⊥ HI. Nên xx′ ⊥ HI.
b) Ta có: xx′ // yy′ nên ![\[\widehat {yMz} = \widehat {xNz}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-123.svg)
(hai góc đồng vị)
Nên ![\[\widehat {xNz} = 65^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-124.svg)
Bài 5. Cho hình sau, biết yy′ ⊥ HI, ![\[\widehat {HJK} = 66^\circ ,\widehat {JKy'} = 66^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-125.svg)
.
a) Vì sao xx′ // yy′?
b) Vì sao xx′ ⊥ HI?
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
Suy ra: ![\[\widehat {HJK} = \widehat {JKy'}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-128.svg)
Mà ![\[\widehat {HJK};\widehat {JKy'}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-129.svg)
là hai góc so le trong.
Nên xx′ // yy′.
b) Ta có: xx′ // yy′, yy′ ⊥ HI.
Nên xx′ ⊥ HI.
Bài 6. Cho hình sau, biết yy′ ⊥ HI, ![\[\widehat {aJx'} = 66^\circ ,\widehat {JKy'} = 66^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-130.svg)
.
a) Vì sao xx′ // yy′?
b) Vì sao xx′ ⊥ HI?
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
Suy ra: ![\[\widehat {aJx'} = \widehat {JKy'}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-131.svg)
Mà ![\[\widehat {aJx'};\widehat {JKy'}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-132.svg)
là hai góc đồng vị.
Nên xx′ // yy′.
b) Ta có: xx′ // yy′, yy′ ⊥ HI.
Nên xx′ ⊥ HI.
Bài 7. Cho hình sau, biết ![\[\widehat {xAB} = 67^\circ ,\widehat {ADC} = 67^\circ ,\widehat {BCD} = 113^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-133.svg)
a) Vì sao BC // AD?
b) Vì sao AB // DC?
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[\widehat {BCD} + \widehat {BCy} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-134.svg)
(hai góc kề bù)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 113^\circ + \widehat {BCy} = 180^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {BCy} = 180^\circ - 113^\circ = 67^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-135.svg)
Ta có: ![\[\widehat {BCy} = 67^\circ ,\widehat {ADC} = 67^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-136.svg)
Suy ra: ![\[\widehat {ADC} = \widehat {BCy}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-137.svg)
Mà ![\[\widehat {ADC};\widehat {BCy}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-138.svg)
là hai góc đồng vị.
Nên BC // AD.
b) Ta có: ![\[\widehat {xAB} = 67^\circ ,\widehat {ADC} = 67^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-139.svg)
Suy ra: ![\[\widehat {ADC} = \widehat {xAB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-140.svg)
Mà ![\[\widehat {ADC};\widehat {xAB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-141.svg)
là hai góc đồng vị.
Nên AB // DC.
Bài 8. Cho hình sau, biết ![\[\widehat {xHG} = 50^\circ ,\widehat {GFy} = 40^\circ ,\widehat {HGF} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-142.svg)
. Vì sao Hx // Fy?
Hướng dẫn giải
Vẽ tia Ga sao cho Ga // Hx.
Suy ra: ![\[\widehat {xHG} = \widehat {HGa}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-143.svg)
(hai góc so le trong).
Nên ![\[\widehat {HGa} = 50^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-144.svg)
Ta có: ![\[\widehat {HGF} = \widehat {HGa} + \widehat {FGa}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-145.svg)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 90^\circ = 50^\circ + \widehat {FGa}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {FGa} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-146.svg)
Ta có: ![\[\widehat {FGa} = 40^\circ ,\widehat {GFy} = 40^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-147.svg)
Suy ra: ![\[\widehat {FGa} = \widehat {GFy}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-148.svg)
Mà ![\[\widehat {FGa};\widehat {GFy}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-149.svg)
là hai góc so le trong.
Nên Ga // Fy.
Ta có: Ga // Fy; Ga // Hx
Nên Hx // Fy.
Bài 9. Cho hình sau, biết ![\[\widehat {ABC} = 118^\circ ,\widehat {BAD} = 112^\circ ,\widehat {ADE} = 50^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-150.svg)
. Vì sao BC // DE?
Hướng dẫn giải
Qua A vẽ đường thẳng xy sao cho xy // BC.
Suy ra: ![\[\widehat {xAB} = \widehat {CBA}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-151.svg)
(hai góc so le trong).
Nên ![\[\widehat {ABx} = 118^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-152.svg)
Ta có: ![\[\widehat {BAx} + \widehat {BAy} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-153.svg)
(hai góc kề bù)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 118^\circ + \widehat {BAy} = 180^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {BAy} = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-154.svg)
Ta có: ![\[\widehat {BAD} = \widehat {BAy} + \widehat {DAy}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-155.svg)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 112^\circ = 62^\circ + \widehat {DAy}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {DAy} = 112^\circ - 62^\circ = 50^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-156.svg)
Ta có: ![\[\widehat {ADE} = 50^\circ ,\widehat {DAy} = 50^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-157.svg)
Suy ra: ![\[\widehat {ADE} = \widehat {DAy}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-158.svg)
Mà ![\[\widehat {ADE};\widehat {DAy}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-159.svg)
là hai góc so le trong.
Nên xy // DE.
Ta có: xy // DE; xy // BC
Nên BC // DE.
Bài 10. Cho hình sau, biết ![\[\widehat {MLK} = 99^\circ ,\widehat {NML} = 46^\circ ,\widehat {JKL} = 127^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-160.svg)
. Vì sao MN // KJ?
Hướng dẫn giải
Qua L vẽ xy sao cho xy // MN
Suy ra: ![\[\widehat {LMN} = \widehat {MLx}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-161.svg)
(hai góc so le trong)
Nên ![\[\widehat {MLx} = 46^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-162.svg)
Ta có: ![\[\widehat {MLK} = \widehat {MLx} + \widehat {KLx}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-163.svg)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 99^\circ = 46^\circ + \widehat {KLx}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {KLx} = 53^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-164.svg)
Ta có: ![\[\widehat {KLx} + \widehat {KLy} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-165.svg)
(hai góc kề bù)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 53^\circ + \widehat {KLy} = 180^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {KLy} = 127^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-166.svg)
Ta có: ![\[\widehat {KLy} = 127^\circ ,\widehat {JKL} = 127^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-167.svg)
Suy ra: ![\[\widehat {JKL} = \widehat {KLy}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-168.svg)
Mà ![\[\widehat {JKL};\widehat {KLy}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-169.svg)
là hai góc so le trong.
Nên xy // KJ
Ta có: xy // MN (cách vẽ)
Mà xy // KJ
Nên MN // KJ
Bài 11. Cho hình sau, biết IJ // FG, ![\[\widehat {JIH} = 45^\circ ,\widehat {HGF} = 135^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-170.svg)
. Chứng tỏ IH ⊥ HG.
Hướng dẫn giải
Qua H vẽ xy sao cho xy // IJ
Suy ra: ![\[\widehat {JIH} = \widehat {IHx}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-171.svg)
(hai góc so le trong)
Nên ![\[\widehat {IHx} = 45^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-172.svg)
Ta có: xy // FG
Suy ra: ![\[\widehat {FGH} = \widehat {GHy}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-173.svg)
(hai góc so le trong)
Nên ![\[\widehat {GHy} = 135^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-174.svg)
Ta có: ![\[\widehat {GHx} + \widehat {GHy} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-175.svg)
(hai góc kề bù)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \widehat {GHx} + 135^\circ = 180^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {GHx} = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-176.svg)
Ta có: ![\[\widehat {IHG} = \widehat {IHx} + \widehat {GHx}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-177.svg)
![\[ \Leftrightarrow \widehat {IHG} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-178.svg)
Nên IH ⊥ HG
Bài 12. Cho hình sau, biết ![\[\widehat {CEF} = 109^\circ ,\widehat {ABC} = 49^\circ ,\widehat {EFG} = 120^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-179.svg)
. Chứng tỏ: AB // FG.
Hướng dẫn giải
Qua E vẽ tia Ex sao cho Ex // AB
Suy ra: ![\[\widehat {CBA} = \widehat {CEx}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-180.svg)
(hai góc đồng vị)
Nên ![\[\widehat {CEx} = 49^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-181.svg)
Ta có: ![\[\widehat {CEF} = \widehat {CEx} + \widehat {FEx}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-182.svg)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 109^\circ = 49^\circ + \widehat {FEx}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {FEx} = 109^\circ - 49^\circ = 60^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-183.svg)
Vẽ tia Fy là tia đối của tia FG
Suy ra: ![\[\widehat {EFG} + \widehat {EFy} = 180^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-184.svg)
(hai góc kề bù)
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 120^\circ + \widehat {EFy} = 180^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \widehat {EFy} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-185.svg)
Suy ra: ![\[\widehat {EFy} = \widehat {FEx}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-186.svg)
Mà ![\[\widehat {EFy};\widehat {FEx}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/tien-de-euclid-187.svg)
là hai góc so le trong.
Nên Ex // FG
Mà Ex // AB
Do đó: AB // FG.
