Tóm tắt lí thuyết đại lượng tỉ lệ thuận
Định nghĩa
Nếu hai đại lượng y và x liên hệ với nhau bởi công thức y = kx với k là hằng số khác 0 thì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.
Tính chất
Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì:
![\[\begin{gathered} \bullet {\text{ }}\frac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = \frac{{{y_2}}}{{{x_2}}} = \ldots = \frac{{{y_n}}}{{{x_n}}} = k \hfill \\ \bullet {\text{ }}\frac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = \frac{{{y_2}}}{{{x_2}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-1.svg)
Bổ sung
+) Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k ≠ 0 thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ ![\[\frac{1}{k}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-2.svg)
+) Nếu z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k1; y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k2 thì z tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k1k2.
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Xác định hai đại lượng tỉ lệ thuận, hệ số tỉ lệ và các giá trị tương ứng của chúng
Phương pháp giải
Vận dụng định nghĩa: Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi y = kx (k là hằng số khác 0)
Hệ số tỉ lệ: ![\[k = \frac{y}{x}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-3.svg)
Bài toán.
⋆ Nhận biết
Bài 1. Hai đại lượng đã cho trong mỗi câu sau có tỉ lệ thuận với nhau không? Nếu có hãy xác định hệ số tỉ lệ.
a) Chu vi C và cạnh a của hình vuông.
b) Chu vi C và bán kính R của đường tròn.
c) Diện tích S và bán kính R của hình tròn.
d) Quãng đường s và thời gian t khi đi cùng vận tốc không đổi v0.
Hướng dẫn giải
a) Do C = 4a nên chu vi C của hình vuông tỉ lệ thuận với cạnh a của nó theo hệ số tỉ lệ là 4.
b) Do C = 2πR nên chu vi C của đường tròn tỉ lệ thuận với bán kính R của nó theo hệ số tỉ lệ là 2π.
c) Do S = πR2 nên diện tích S và bán kính R của hình tròn không tỉ lệ thuận với nhau.
d) Ta có: s = v0⋅t nên quãng đường s và thời gian t là hai đại lượng tỉ lệ thuận theo hệ số tỉ lệ là v0.
Bài 2. Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong bảng sau:
Hỏi hai đại lượng x và y có tỉ lệ thuận với nhau hay không? Vì sao?
Hướng dẫn giải
Xét tỉ số các giá trị tương ứng của hai đại lượng ta thấy
![\[\frac{x}{y} = \frac{4}{{ - 1}} = \frac{{ - 12}}{3} = \frac{{ - 20}}{5} = \frac{2}{{ - 0,5}} = - 4\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-4.svg)
nhưng ![\[\frac{{16}}{4} = 4 \ne - 4\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-5.svg)
Vậy hai đại lượng x và y không tỉ lệ thuận với nhau.
Bài 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Hình chữ nhật có một cạnh bằng 5 (cm) thì diện tích s (cm2) và cạnh còn lại x (cm) của hình chữ nhật là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
b) Cùng đi một thời gian thì quãng đường s (km) và vận tốc v (km/h) là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
c) Cùng đi một quãng đường thì vận tốc v (km/h) và thời gian t (h) tỉ lệ thuận với nhau.
Hướng dẫn giải
a) Đúng, vì s = 5x
b) Đúng, vì s0 = t0⋅v (t0 là thời gian cho trước)
c) Sai, vì ![\[{s_0} = vt \Leftrightarrow v = \frac{{{s_0}}}{t}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-6.svg)
, v và t tỉ lệ nghịch với nhau
Bài 4. Hai đại lượng u và v có tỉ lệ thuận với nhau hay không trong mỗi bảng sau?
a) 
b) 
Hướng dẫn giải
a) Xét tỉ số các giá trị tương ứng của hai đại lượng ta thấy:
![\[\frac{u}{v} = \frac{{ - 1}}{{2,5}} = \frac{{ - 2}}{5} = \frac{2}{{ - 5}} = \frac{4}{{ - 10}} = \frac{{ - 1,5}}{{3,75}} = - 0,4\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-7.svg)
Vậy hai đại lượng u và v tỉ lệ thuận với nhau.
b) Xét tỉ số các giá trị tương ứng của hai đại lượng ta thấy:
![\[\frac{u}{v} = \frac{{ - 2}}{{10}} = \frac{{ - 1}}{5} = \frac{3}{{ - 15}} = \frac{6}{{ - 30}} \ne \frac{4}{{ - 15}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-8.svg)
Vậy hai đại lượng u và v không phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Bài 5. Hai đại lượng x và y có tỉ lệ thuận với nhau hay không nếu:
a) 
b) 
Hướng dẫn giải
a) Xét tỉ số các giá trị tương ứng của hai đại lượng ta thấy:
![\[\frac{x}{y} = \frac{1}{9} = \frac{2}{{18}} = \frac{3}{{27}} = \frac{4}{{36}} = \frac{5}{{45}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-9.svg)
Vậy hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau.
b) Xét tỉ số các giá trị tương ứng của hai đại lượng ta thấy
![\[\frac{x}{y} = \frac{1}{{12}} = \frac{2}{{24}} = \frac{5}{{60}} = \frac{6}{{72}} \ne \frac{9}{{90}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-10.svg)
Vậy hai đại lượng x và y không phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
⋆ Thông hiểu
Bài 6. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Điền các số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:
Hướng dẫn giải
Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên y = kx
Cột thứ hai cho ta biết khi x = –2 thì y = 7, do đó ta có:
–2k = 7 ⇒ k = –3,5
Vậy y = –3,5x
Từ đó ta tính được giá trị còn lại trong bảng sau:
Bài 7. Mỗi con ruồi có 6 cái chân. Điền số thích hợp vào ô trống:
Hướng dẫn giải
Vì số con ruồi và số chân ruồi là hai đại lượng tỉ lệ thuận có hệ số tỉ lệ là 6
Gọi số con ruồi là x, số chân ruồi là y, khi đó x và y liên hệ với nhau bởi công thức y = 6x.
Từ đó ta tính được giá trị còn lại trong bảng sau:
Bài 8. Một cửa hàng áo thời trang đã tăng giá các loại áo thêm 7%. Điền số thích hợp vào ô trống của bảng sau:
Hướng dẫn giải
Gọi giá gốc là x, tăng thêm là y, khi đó x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận và liên hệ với nhau bởi công thức y = 7%⋅x
Từ đó ta tính được giá trị còn lại trong bảng sau:
Bài 9. Biết thời gian di chuyển là 20 phút. Điền số thích hợp vào ô trống của bảng dưới đây:
Hướng dẫn giải
Vì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận, gọi vận tốc là v (km/h) và quãng đường là s (km)
Đổi 20 phút = ![\[\frac{1}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-11.svg)
giờ
Ta có công thức liên hệ giữa s và v là: s = v
Từ đó ta tính được giá trị còn lại trong bảng sau:
Bài 10. Thay cho việc đo chiều dài các cuộn dây thép người ta thường cân chúng. Cho biết mỗi mét dây nặng 25 gam.
a) Giả sử x mét dây nặng y gam. Hãy biểu diễn y theo x
b) Cuộn dây dài bao nhiêu mét biết rằng nó nặng 4,5 kg
Hướng dẫn giải
a) Vì khối lượng của cuộn dây thép tỉ lệ thuận với chiều dài nên y = kx
Theo đề bài ta có y = 25 (g) thì x = 1 (m)
Thay vào công thức ta được:
25 = k ⋅ 1 ⇒ k = 25
Vậy y = 25x
b) Vì y = 25x nên khi y = 4,5 kg = 4500 g
⇒ x = 4500 ∶ 25 = 180 m
Vậy cuộn dây dài 180 m
⋆ Vận dụng thấp
Bài 11. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.
a) Biết rằng hiệu hai giá trị nào đó của x là 6 và hiệu hai giá trị tương ứng của y là 3. Hỏi hai đại lượng x và y liên hệ với nhau bởi công thức nào?
b) Từ đó hãy điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:
Hướng dẫn giải
a) Gọi các giá trị của x là x1, x2 với x1 – x2 = 6; các giá trị tương ứng của y là y1, y2 với y1 – y2 = –3. Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận ta có:
![\[k = \frac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = \frac{{{y_2}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{{ - 3}}{6} = \frac{{ - 1}}{2}x\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-12.svg)
Vậy công thức liên hệ giữa y và x là y = ![\[ - \frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-13.svg)
x
b) Từ công thức y = x ta có:
Với x = –2 thì ![\[y = - \frac{1}{2} \cdot \left( { - 2} \right) = 1\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-14.svg)
Với x = thì ![\[y = - \frac{1}{2} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-15.svg)
Với x = 0 thì ![\[y = - \frac{1}{2} \cdot 0 = 0\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-16.svg)
Từ y = x suy ra x = – 2y, ta có:
Với y = –1 thì x = (–2)⋅(–1) = 2
Với y = 8 thì x = (–2)⋅8 = –16
Với y = –6 thì x = (–2)⋅(–6) = 12
Ta có kết quả ghi trong bảng như sau:
Bài 12. Giả sử x, y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với x1; x2 là hai giá trị tương ứng của x và y1; y2 là hai giá trị tương ứng của y.
a) Tính x2 biết ![\[{x_1} = 1\frac{4}{7};{\text{ }}{y_1} = 5\frac{1}{2};{\text{ }}{y_2} = - 2\frac{1}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-17.svg)
b) Tìm x1, y1 biết 2y1 + 3x1 = 20; x2 = –6; y2 = –4
Hướng dẫn giải
a) Ta có: x, y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với x1; x2 là hai giá trị tương ứng của x và y1; y2 là hai giá trị tương ứng của y nên ![\[\frac{{{x_1}}}{{{y_1}}} = \frac{{{x_2}}}{{{y_2}}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-18.svg)
Với ![\[{x_1} = 1\frac{4}{7} = \frac{{11}}{7}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-19.svg)
; ![\[{y_1} = 5\frac{1}{2} = \frac{{11}}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-20.svg)
; ![\[{y_2} = - 2\frac{1}{3} = - \frac{7}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-21.svg)
Ta có: ![\[\frac{{11}}{7}:\frac{{11}}{2} = {x_2}:\frac{{ - 7}}{3} \Leftrightarrow \frac{2}{7} = {x_2} \cdot \frac{{ - 3}}{7}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-22.svg)
Suy ra: ![\[{x_2} = \frac{2}{7}:\frac{{ - 3}}{7} = \frac{{ - 2}}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-23.svg)
Vậy ![\[{x_2} = \frac{{ - 2}}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-24.svg)
b) Ta có x, y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với x1; x2 là hai giá trị tương ứng của x và y1; y2 là hai giá trị tương ứng của y nên ![\[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_1}}}{{{y_2}}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-25.svg)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
![\[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_1}}}{{{y_2}}} = \frac{{2{y_1} + 3{x_1}}}{{2{y_2} + 3{x_2}}} = \frac{{20}}{{2 \cdot \left( { - 4} \right) + 3 \cdot \left( { - 6} \right)}} = \frac{{ - 10}}{{13}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-26.svg)
Với ![\[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{ - 10}}{{13}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-27.svg)
thì ![\[\frac{{{x_1}}}{{ - 6}} = \frac{{ - 10}}{{13}} \Rightarrow {x_1} = \frac{{60}}{{13}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-28.svg)
Với ![\[\frac{{{y_1}}}{{{y_2}}} = \frac{{ - 10}}{{13}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-29.svg)
thì ![\[\frac{{{y_1}}}{{ - 4}} = \frac{{ - 10}}{{13}} \Rightarrow {y_1} = \frac{{40}}{{13}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-30.svg)
Vậy ![\[{x_1} = \frac{{60}}{{13}};{\text{ }}{y_1} = \frac{{40}}{{13}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-31.svg)
Bài 13. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. Biết hai giá trị x1 và x2 của x có tổng bằng 15 và hai giá trị tương ứng y1 và y2 của y có tổng bằng –20.
a) Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x.
b) Tính giá trị của y khi x = 1,5.
c) Tính giá trị của x khi y = –10.
Hướng dẫn giải
a) Vì các giá trị tương ứng x1 và x2 của x có tổng bằng 15 nên ta có x1 + x2 = 15; hai giá trị tương ứng y1 và y2 của y có tổng bằng –20 nên ta có: y1 + y2 = –20
Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận ta có:
![\[k = \frac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = \frac{{{y_2}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{{{x_1} + {x_2}}} = \frac{{ - 20}}{{15}} = \frac{{ - 4}}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-32.svg)
Vậy công thức liên hệ giữa y và x là y = ![\[\frac{{ - 4}}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-33.svg)
x
b) Từ công thức y = x ta có:
Với x = 1,5 thì y = ⋅ 1,5 = –2
c) Từ y = x suy ra x = ![\[\frac{{ - 3}}{4}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-34.svg)
y, ta có:
Với y = –10 thì x = ⋅ (–10) = 7,5
Bài 14. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Biết rằng với hai giá trị x1, x2 của x thỏa mãn điều kiện 2x1 – 3x2 = 42,5 thì hai giá trị tương ứng y1, y2 của y thỏa mãn điều kiện 2y1 – 3y2 = –8,5. Hỏi hai đại lượng x và y liên hệ với nhau bởi công thức nào?
Hướng dẫn giải
Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận ta có:
![\[\frac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = \frac{{{y_2}}}{{{x_2}}} = \frac{{2{y_1}}}{{2{x_1}}} = \frac{{3{y_2}}}{{3{x_2}}} = \frac{{2{y_1} - 3{y_2}}}{{2{x_1} - 3{x_2}}} = \frac{{ - 8,5}}{{42,5}} = - \frac{1}{5}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-35.svg)
Vậy ![\[y = - \frac{1}{5}x\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-36.svg)
Bài 15. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận: x1, x2 là hai giá trị khác nhau của x và y1, y2 là hai giá trị tương ứng của y. Tính x1, y1. Biết 2y1 + 3x1 = 22, x2 = 4, y2 = 16.
Hướng dẫn giải
Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận ta có:
![\[\frac{{{y_1}}}{{{y_2}}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{2{y_1}}}{{2{y_2}}} = \frac{{3{x_1}}}{{3{x_2}}} = \frac{{2{y_1} + 3{x_2}}}{{2{y_2} + 3{x_2}}} = \frac{{22}}{{2 \cdot 16 + 3 \cdot 4}} = \frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-37.svg)
Vậy ![\[{x_1} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2;{\text{ }}{y_1} = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-38.svg)
Dạng 2. Toán thực tế liên quan đến đại lượng tỉ lệ thuận
Phương pháp giải
Để giải toán về đại lượng tỉ lệ thuận, trước hết ta cần xác định tương quan tỉ lệ thuận giữa hai đại lượng, rồi áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ thuận:
![\[\frac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = \frac{{{y_2}}}{{{x_2}}} = a;{\text{ }}\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_1}}}{{{y_2}}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-39.svg)
Và tính chất của tỉ lệ thức:
![\[\begin{gathered} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc \hfill \\ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \Leftrightarrow \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-40.svg)
Bài toán.
⋆ Nhận biết
Bài 16. Một đoạn dây thép dài 6m nặng 75 gam. Để bán 100 m dây thép này thì người bán cần phải cân cho khách hàng bao nhiêu gam?
Hướng dẫn giải
Gọi khối lượng 100 m dây thép là x gam (x > 0)
Do chiều dài của dây thép tỉ lệ thuận với khối lượng của nó nên:
![\[\frac{6}{{100}} = \frac{{75}}{x} \Leftrightarrow x = \frac{{100 \cdot 75}}{6} = 1250g\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-41.svg)
Vậy người bán cần phải cân cho khách là 1250 gam dây thép
Bài 17. Cứ xay 100 kg thóc thì được 60 kg gạo. Hỏi muốn có 3 tạ gạo thì phải xay bao nhiêu tạ thóc?
Hướng dẫn giải
Gọi khối lượng khối lượng thóc cần có để xay 3 tạ gạo là x tạ (x > 0)
Do khối lượng gạo và khối lượng thóc tỉ lệ thuận với nhau nên:
![\[\frac{{100}}{{60}} = \frac{x}{3} \Leftrightarrow x = \frac{{100 \cdot 3}}{{60}} = 5\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-42.svg)
(tạ)
Vậy muốn có 3 tạ gạo thì cần phải có 5 tạ thóc
Bài 18. Một công nhân may trong 5 giờ được 20 cái áo. Hỏi trong 8 giờ người đó may được bao nhiêu cái áo?
Hướng dẫn giải
Gọi số áo may được trong 8 giờ là x cái (x > 0)
Do thời gian và số lượng áo tỉ lệ thuận với nhau nên:
![\[\frac{{20}}{5} = \frac{x}{8} \Leftrightarrow x = \frac{{20 \cdot 8}}{5} = 32\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-43.svg)
(cái)
Vậy trong 8 giờ thì người đó may được 32 cái áo
Bài 19. Quãng đường từ Hà Nội đến Thái Nguyên trên một bản đồ tỉ lệ xích 1 ∶ 2000000 bằng 4 cm. Tính quãng đường đó trong thực tế?
Hướng dẫn giải
Gọi y là khoảng cách trên bản đồ và x là khoảng cách thực tế
Khoảng cách y trên bản đồ và khoảng cách tương ứng x trên thực tế tỉ lệ thuận với hệ số tỉ lệ là tỉ lệ xích 1 ∶ 2000000
Do đó: ![\[y = \frac{1}{{2000000}} \cdot x \Rightarrow x = 2000000 \cdot y\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-44.svg)
![\[ \Rightarrow x = 2000000 \cdot 4 = 8000000{\text{ }}cm = 80{\text{ }}km\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-45.svg)
Trong thực tế quãng đường Hà Nội – Thái Nguyên dài 80 km
Bài 20. 3 lít nước biển chứa 105 gam muối. Hỏi 150 lít nước biển chứa bao nhiêu kilôgam muối?
Hướng dẫn giải
Gọi x là số kilôgam muối chứa trong 150 lít nước biển.
Vì lượng nước biển và lượng muối chứa trong nước biển là hai đại lượng tỉ lệ thuận, nên theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận ta có: ![\[\frac{x}{{105}} = \frac{{150}}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-46.svg)
. Suy ra: ![\[x = \frac{{105 \cdot 150}}{3} = 5250{\text{ }}g\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-47.svg)
Vậy 150 lít nước biển chứa 5250 g muối hay 5,250 kg muối.
⋆ Thông hiểu
Bài 21. Một người đi xe máy từ A đến B mất 15 phút. Một người đi xe đạp từ B đến A mất 1giờ. Hỏi nếu hai người khởi hành cùng một lúc thì bao lâu họ gặp nhau?
Hướng dẫn giải
Gọi quãng đường và vận tốc của người đi xe máy từ A đã đi lần lượt là s1 và v1
Quãng đường và vận tốc của người đi xe đạp từ B đã đi lần lượt là s2 và v2
Trong cùng một thời gian, quãng đường đi được tỉ lệ thuận với vận tốc nên ta có: ![\[\frac{{{s_1}}}{{{s_2}}} = \frac{{{v_1}}}{{{v_2}}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-48.svg)
Gọi độ dài quãng đường AB là s (km) thì:
s = ![\[\frac{1}{4}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-49.svg)
v1 = v2; s1 + s2 = s (vì 15 phút = giờ)
Suy ra: v1 = 4s; v2 = s
Gọi t là thời gian phải tìm, ta có:
![\[t = \frac{{{s_1}}}{{{s_2}}} = \frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{{s_1} + {s_2}}}{{{v_1} + {v_2}}} = \frac{s}{{4s + s}} = \frac{1}{5}h = 12'\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-50.svg)
Bài 22. Hai đội xe vận tải cùng chuyên chở hàng hóa. Mỗi xe cùng chở một số chuyến như nhau và khối lượng chở mỗi chuyến bằng nhau. Đội I có 13 xe, đội II có 15 xe, đội II chở nhiều hơn đội I là 26 tấn hàng. Hỏi mỗi đội xe chuyên chở bao nhiêu tấn hàng?
Hướng dẫn giải
Gọi lượng hàng đội I và đội II thứ tự chở là x, y tấn x, y > 0
Theo bài ra đội II chở nhiều hơn đội I là 26 tấn hàng nên ta có: y – x = 26
Do số lượng xe tỉ lệ thuận với số tấn hàng chở được nên
![\[\begin{gathered} \frac{x}{{13}} = \frac{y}{{15}} = \frac{{y - x}}{{15 - 13}} = \frac{{26}}{2} = 13\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 13 \cdot 13 = 169{\text{ }}\left( {TM} \right) \hfill \\ y = 15 \cdot 13 = 195{\text{ }}\left( {TM} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-51.svg)
Vậy đội I chở 169 tấn hàng; đội II chở 195 tấn hàng
Bài 23. Đồng bạch là một loại hợp kim của niken, kẽm và đồng với khối lượng mỗi loại tỉ lệ thuận với 3; 4 và 13. Hỏi cần bao nhiêu kilôgam niken, kẽm và đồng để sản xuất được 240 kg đồng bạch?
Hướng dẫn giải
Gọi x, y, z theo thứ tự là khối lượng niken, kẽm, đồng (x, y, z > 0, kg)
Theo đề ra mỗi loại tỉ lệ thuận với 3; 4 và 13 nên ta có:
![\[\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{{13}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x + y + z = 240 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-52.svg)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{{13}} = \frac{{x + y + z}}{{3 + 4 + 13}} = \frac{{240}}{{20}} = 12\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 36{\text{ }}kg \hfill \\ y = 48{\text{ }}kg \hfill \\ z = 156{\text{ }}kg \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-53.svg)
Vậy cần 36 (kg) niken, 48 (kg) kẽm và 156 (kg) đồng để sản xuất được 240 (kg) đồng bạch
Bài 24. Tổng số tiền điện phải trả của ba hộ sử dụng điện trong một tháng là 550000 đồng. Biết rằng số điện năng tiêu thụ của ba hộ tỉ lệ với 5; 7; 8. Tính số tiền điện mỗi hộ phải trả?
Hướng dẫn giải
Gọi x, y, z theo thứ tự là số tiền điện phải trả của mỗi hộ (x, y, z > 0, đồng)
Theo đề ra, số điện năng tiêu thụ của ba hộ tỉ lệ với 5; 7; 8 nên ta có:
![\[\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{z}{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x + y + z = 550000 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-54.svg)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{z}{8} = \frac{{x + y + z}}{{5 + 7 + 8}} = \frac{{550000}}{{20}} = 27500\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 137500 \hfill \\ y = 192500 \hfill \\ z = 220000 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-55.svg)
Vậy số tiền mỗi hộ phải trả theo thứ tự là 137500 (đồng), 192500 (đồng); 220000 (đồng)
Bài 25. Ba bể chứa nước hình hộp chữ nhật có diện tích đáy bằng nhau, còn chiều cao tỉ lệ với 1,5 ∶ 1,25 ∶ 2. Người ta dùng ba máy bơm công suất như nhau để bơm nước vào đầy ba bể. Hỏi thời gian để bơm đầy nước vào mỗi bể, biết rằng thời gian bơm đầy bể lớn nhất nhiều hơn thời gian bơm đầy bể nhỏ nhất là 1 giờ?
Hướng dẫn giải
Vì đáy của ba bể có diện tích bằng nhau nên thể tích của chúng tỉ lệ thuận với chiều cao của mỗi bể. Thời gian bơm đầy bể lại tỉ lệ thuận với thể tích các bể.
Do đó, gọi thời gian tương ứng bơm đầy các bể là x (giờ), y (giờ), z (giờ) ta có:
![\[\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{{1,5}} = \frac{y}{{1,25}} = \frac{z}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ z - y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-56.svg)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{x}{{1,5}} = \frac{y}{{1,25}} = \frac{z}{2} = \frac{{z - y}}{{2 - 1,25}} = \frac{1}{{0,75}} = \frac{4}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = \frac{5}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ z = \frac{8}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-57.svg)
Vậy số tiền mỗi máy bơm để bơm đầy bể thì hết thời gian theo thứ tự là 2 giờ, ![\[\frac{5}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-58.svg)
giờ; ![\[\frac{8}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-59.svg)
giờ
⋆ Vận dụng thấp
Bài 26. Ba tấm vải dài tổng cộng 210 m. Sau khi bán đi ![\[\frac{1}{7}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-60.svg)
tấm vải thứ nhất, ![\[\frac{2}{{11}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-61.svg)
tấm vải thứ hai và tấm vải thứ ba thì chiều dài còn lại của ba tấm vải bằng nhau. Hỏi mỗi tấm vải lúc đầu dài bao nhiêu mét?
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài của tấm vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba tính theo mét lúc đầu lần lượt là x, y, z .
Theo đề bài ta có:
![\[\left\{ \begin{gathered} \frac{{6x}}{7} = \frac{{9y}}{{11}} = \frac{{2z}}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x + y + z = 210 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{x}{{63}} = \frac{y}{{66}} = \frac{z}{{81}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x + y + z = 210 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-62.svg)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{x}{{63}} = \frac{y}{{66}} = \frac{z}{{81}} = \frac{{x + y + z}}{{210}} = \frac{{210}}{{210}} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 63{\text{ }}m \hfill \\ y = 66{\text{ }}m \hfill \\ z = 81{\text{ }}m \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-63.svg)
Vậy mỗi tấm vải lúc đầu dài lần lượt là 63m, 66m, 81m.
Bài 27.
Trên quãng đường AB dài 31,5km. Nam đi từ A đến B, cùng lúc đó Bắc đi từ B đến A. Vận tốc của Nam so với vận tốc của Bắc là 2 ∶ 3. Đến lúc gặp nhau thời gian Nam đã đi so với thời gian Bắc đã đi là 3 ∶ 4. Tính quãng đường mỗi người đã đi đến lúc gặp nhau?
Hướng dẫn giải
Gọi v1, v2, t1, t2, S1, S2 lần lượt là vận tốc, thời gian, quãng đường của Nam và Bắc từ lúc đi đến lúc gặp nhau. Theo đề bài ta có:
![\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{2}{3};{\text{ }}\frac{{{t_1}}}{{{t_2}}} = \frac{3}{4} \hfill \\ {S_1} + {S_2} = 31,5 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ hay }}\left\{ \begin{gathered} \frac{{{v_1} \cdot {t_1}}}{{{v_2} \cdot {t_2}}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \hfill \\ {S_1} + {S_2} = 31,5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{1}{2} \hfill \\ {S_1} + {S_2} = 31,5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {S_1} = 10,5{\text{ }}km \hfill \\ {S_2} = 21{\text{ }}km \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-64.svg)
Vậy quãng đường Nam và Bắc đã đi đến lúc gặp nhau lần lượt là 10,5 km và 21 km
Bài 28. Vận tốc riêng của một ca nô là 21 km/h, vận tốc dòng sông là 3 km/h. Hỏi với thời gian để ca nô chạy ngược dòng sông được 30 km thì ca nô chạy xuôi dòng được bao nhiêu kilômét?
Hướng dẫn giải
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là 21 + 3 = 24 km/h.
Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là 21 – 3 = 18 km/h
Gọi x là quãng đường ca nô di chuyển khi xuôi dòng
Trong cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận
Ta có: ![\[\frac{{18}}{{24}} = \frac{{30}}{x} \Rightarrow x = \frac{{24 \cdot 30}}{{18}} = 40{\text{ }}km\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-65.svg)
Vậy ca nô xuôi dòng được 40 km
Bài 29. Một đội thủy lợi có 10 người làm trong 8 ngày đào đắp được 200 m3 đất. Một đội khác có 12 người làm trong 7 ngày thì đào đắp được bao nhiêu mét khối đất? (Giả thiết năng suất của mỗi người đều như nhau).
Hướng dẫn giải
10 người làm 8 ngày được 10 ⋅ 8 = 80 (công)
12 người làm 7 ngày được 12 ⋅ 7 = 84 (công)
Gọi x là số mét khối đất mà 12 người đã đào được trong 7 ngày
Với năng suất không đổi thì số đất đào đắp được tỉ lệ thuận với số ngày công, do đó:
![\[\frac{{80}}{{84}} = \frac{{200}}{x} \Rightarrow x = \frac{{84 \cdot 200}}{{80}} = 210\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-66.svg)
Vậy 12 người đào trong 7 ngày được 210 m3 đất.
Bài 30. Hai bể nước hình hộp chữ nhật có diện tích đáy bằng nhau. Biết hiệu thể tích nước trong hai bể là 1,8 m3; hiệu chiều cao nước trong hai bể là 0,6m. Tính diện tích đáy của mỗi bể.
Hướng dẫn giải
Gọi V1 và V2 là thể tích nước trong hai bể: h1 và h2 là chiều cao nước trong hai bể đó.
Khi diện tích đáy như nhau thì thể tích và chiều cao tỉ lệ thuận với nhau, do đó:
![\[\frac{{{V_1}}}{{{h_1}}} = \frac{{{V_2}}}{{{h_2}}} = S\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-67.svg)
(S là diện tích đáy bể)
Suy ra: ![\[S = \frac{{{V_1} - {V_2}}}{{{h_1} - {h_2}}} = \frac{{1,8}}{{0,6}} = 3{\text{ }}{m^3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-68.svg)
Vậy diện tích đáy mỗi bể là 3 m3
⋆ Vận dụng cao
Bài 31. Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, cùng lúc đó một xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40 km/h. Biết khoảng cách AB là 540 km và M là trung điểm của AB. Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ô tô cách M một khoảng bằng ![\[\frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-69.svg)
khoảng cách từ xe máy đến M?
Hướng dẫn giải
Quãng đường AB dài 540 km; nửa quãng đường AB dài 270 km.
Gọi quãng đường ô tô và xe máy đã đi là s1, s2.
Trong cùng một thời gian thì quãng đường tỉ lệ thuận với vận tốc do đó ![\[\frac{{{s_1}}}{{{v_1}}} = \frac{{{s_2}}}{{{v_2}}} = t\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-70.svg)
(t chính là thời gian cần tìm)
![\[\begin{gathered} t = \frac{{270 - a}}{{65}} = \frac{{270 - 2a}}{{40}} \hfill \\ t = \frac{{540 - 2a}}{{130}} = \frac{{270 - 2a}}{{40}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ _{}^{}{\text{ }} = \frac{{540 - 2a - 270 + 2a}}{{130 - 40}} = \frac{{270}}{{90}} = 3 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-71.svg)
Vậy sau khi khởi hành 3 giờ thì ô tô cách M một khoảng bằng khoảng cách từ xe máy đến M.
Bài 32. Cứ 100 kg thóc cho 65 kg gạo. Chất bột chứa trong gạo là 80%.
a) Hỏi trong 30 kg thóc có bao nhiêu kilôgam chất bột?
b) Từ 1 kg gạo người ta làm được 2,2 kg bún tươi. Hỏi để làm ra 14,3 kg bún tươi cần bao nhiêu kilôgam thóc?
Hướng dẫn giải
a) Gọi x là số lượng gạo có trong 30 kg thóc (x > 0, kg)
Vì thóc và gạo là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có:
![\[\frac{{30}}{x} = \frac{{100}}{{65}} \Rightarrow x = \frac{{30 \cdot 65}}{{100}} = 19,5{\text{ }}kg\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-72.svg)
Gọi y là chất bột chứa trong 19,5 kg gạo (y > 0, kg)
Vì gạo và bột là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có:
![\[\frac{{100}}{{80}} = \frac{{19,5}}{y} \Rightarrow y = \frac{{19,5 \cdot 80}}{{100}} = 15,6{\text{ }}kg\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-73.svg)
Vậy trong 30 kg thóc có 15,6 kg chất bột.
b) Từ 1 kg gạo làm được 2,2 kg bún tươi, suy ra gạo và bún tươi tỉ lệ thuận với nhau.
Gọi khối lượng gạo cần là a, ta có:
![\[\frac{a}{{14,3}} = \frac{1}{{2,2}} \Rightarrow a = \frac{{14,3 \cdot 1}}{{2,2}} = 6,5{\text{ }}kg\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-74.svg)
Gọi khối lượng thóc phải có là b, ta có:
![\[\frac{b}{{6,5}} = \frac{{100}}{{65}} \Rightarrow y = \frac{{100 \cdot 6,5}}{{65}} = 10{\text{ }}kg\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-75.svg)
Vậy để sản xuất ra 14,3 kg bún tươi cần có 10 kg thóc.
Bài 33. Một cửa hàng có ba khúc vải cùng khổ và có tổng độ dài là 86,1 m. Khi bán 28% khúc vải thứ nhất, 40% khúc vải thứ hai và 64% khúc vải thứ ba thì chiều dài ba khúc vải còn lại bằng nhau. Hỏi chiều dài mỗi khúc vải khi chưa bán?
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài của ba khúc vải khi chưa bán là x, y, z (x, y, z > 0, m)
Sau khi bán, chiều dài các khúc vải còn lại bằng nhau nên ta có:
![\[\left\{ \begin{gathered} 72\% x = 60\% y = 36\% z \hfill \\ x + y + z = 86,1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{x}{5} = \frac{y}{6} = \frac{z}{{10}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x + y + z = 86,1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-76.svg)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{x}{5} = \frac{y}{6} = \frac{z}{{10}} = \frac{{x + y + z}}{{5 + 6 + 10}} = \frac{{86,1}}{{21}} = 4,1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 20,5{\text{ }}m \hfill \\ y = 24,6{\text{ }}m \hfill \\ z = 41{\text{ }}m \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-77.svg)
Vậy chiều dài ba khúc vải lần lượt là 20,5 m; 24,6 m; 41 m.
Bài 34. Một nông trường trồng rừng phòng hộ vào ba lô đất. Biết diện tích lô thứ nhất bằng 40% diện tích của cả ba lô. Còn diện tích của lô đất thứ hai và thứ ba tỉ lệ theo 1,5 và 1, 3. Nếu diện tích lô thứ nhất lớn hơn diện tích lô thứ ba là 12 ha, thì diện tích của cả ba bô là bao nhiêu hecta?
Hướng dẫn giải
Gọi diện tích ba lô đất lần lượt là x, y, z (x, y, z > 0, ha)
Theo đề bài ta có:
![\[\left\{ \begin{gathered} x = 40\% \left( {x + y + z} \right) \hfill \\ \frac{y}{z} = \frac{{1,5}}{{1,3}} = \frac{9}{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x - z = 12{\text{ }}ha \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-78.svg)
Suy ra:
![\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x = \frac{2}{5}\left( {x + y + z} \right) \hfill \\ \frac{y}{9} = \frac{z}{8} = \frac{{y + z}}{{17}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{x}{2} = \frac{{x + y + z}}{5} = \frac{{y + z}}{3} \hfill \\ \frac{y}{9} = \frac{z}{8} = \frac{{y + z}}{{17}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Rightarrow \frac{x}{{34}} = \frac{{y + z}}{{51}} = \frac{y}{{27}} = \frac{z}{{24}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-79.svg)
Ta có:
![\[\frac{x}{{34}} = \frac{y}{{27}} = \frac{z}{{24}} = \frac{{x + y + z}}{{85}} = \frac{{x - z}}{{10}} = \frac{{12}}{{10}} = 1,2\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-80.svg)
Vậy diện tích cả ba lô đất bằng: x + y + z = 1,2 ⋅ 85 = 102 ha
Bài 35. Anh hơn em 3 tuổi. Tìm tuổi anh và tuổi em, biết tuổi anh hiện nay bằng 2 lần tuổi em khi tuổi anh bằng tuổi em hiện nay ?
Hướng dẫn giải
Gọi tuổi anh và tuổi em hiện nay là x và y (x, y ∈ ℕ, x > y > 0)
Anh hơn em 3 tuổi, nên ta có: x = y + 3
Khi tuổi anh bằng tuổi em hiện nay, thì tuổi anh là y và tuổi em là y – 3
Biết tuổi anh hiện nay bằng 2 lần tuổi em khi tuổi em khi tuổi anh bằng tuổi em hiện nay, ta có tỉ lệ: ![\[\frac{x}{2} = \frac{{y - 3}}{1}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-81.svg)
Mà ![\[x = y + 3 \Rightarrow \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{y - 3}}{1}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-82.svg)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
![\[\frac{{y + 3}}{2} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{6}{1} = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 12 \hfill \\ y = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/12/dai-luong-ti-le-thuan-83.svg)
Vậy tuổi anh bằng 12 tuổi em bằng 9.
