Đại lượng tỉ lệ nghịch

Lý thuyết đại lượng tỉ lệ nghịch

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $y = \frac{k}{x}{\text{ hay }}xy = k$ (với k là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ k.

Từ công thức: $y = \frac{k}{x} \Rightarrow x = \frac{k}{y}$

Chú ý:

+) Khi đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ k, và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch với nhau.

+) Với hằng số k > 0, khi giá trị của x tăng lên m lần thì giá trị y giảm đi m lần và ngược lại khi k < 0

+) Nếu viết $y = k \cdot \frac{1}{x}{\text{ }}\left( {k \ne 0} \right)$ thì có tương ứng mới y tỉ lệ thuận với $\frac{1}{x}$ theo hệ số tỉ lệ k.

Tính chất

+) Từ công thức $y = \frac{k}{x}{\text{ }}\left( {k \ne 0} \right)$ với mỗi giá trị của x có tương ứng một giá trị y. Trong đó x nhận các giá trị x₁, x₂, x₃,… và y nhận các giá trị tương ứng y₁, y₂, y₃,…

+) Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi và bằng hệ số tỉ lệ:

x₁⋅y₁ = x₂⋅y₂ = x₃⋅y₃ = … = k

+) Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

$\frac{{{y_1}}}{{{y_2}}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}};{\text{ }}\frac{{{y_1}}}{{{y_3}}} = \frac{{{x_3}}}{{{x_1}}}; \ldots$

Bài toán về hai đại lượng tỉ lệ nghịch

Để giải bài toán dạng này ta thực hiện theo các bước sau:

+) Bước 1: Xác định rõ các đại lượng và đặt ẩn phụ cho các đại lượng nếu cần

+) Bước 2: Xác định quan hệ tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

+) Bước 3: Áp dụng công thức liên hệ và tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch, tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải quyết bài toán.

Bài toán tìm hai số biết chúng tỉ lệ nghịch với a và b

Giả sử cần tìm hai số x và y biết chúng tỉ lệ nghịch với a và b (a và b là các số đã biết). Khi đó ta có ax = by. Từ đó dựa vào điều kiện của x và y ta áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau một cách hợp lý để giải quyết bài toán.

Chú ý: Nếu hai số x và y tỉ lệ nghịch với a và b thì hai số x và y tỉ lệ thuận với $\frac{1}{a}$ và $\frac{1}{b}$ .

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Bài toán áp dụng công thức đại lượng tỉ lệ nghịch và dựa vào tính chất tỉ lệ nghịch để tìm các đại lượng

Dạng 1.1. Biểu diễn mối quan hệ tỉ lệ nghịch, xác định hệ số

Phương pháp giải

+) Nếu đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số k (k ≠ 0) thì $y = \frac{k}{x}{\text{ hay }}xy = k$ (với k là hằng số khác 0) đồng thời x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ k và $x = \frac{k}{y}$

+) Nếu viết $y = k \cdot \frac{1}{x}{\text{ }}\left( {k \ne 0} \right)$ thì có tương ứng mới y tỉ lệ thuận với $\frac{1}{x}$ theo hệ số tỉ lệ k.

+) Hệ số tỉ lệ k là k = xy

Bài toán.

Bài 1. Biểu diễn mối quan hệ giữa hai đại lượng x và y biết rằng:

a) y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ k = 2. Hỏi x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ nào?

b) y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ k = 0,5. Hỏi x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ nào?

Hướng dẫn giải

a) Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ k = 2 nên $y = \frac{2}{x}$ . Vậy x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ k = 2

b) Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ k = 0,5 nên $y = \frac{{0,5}}{x} = \frac{1}{{2x}}$ . Vậy x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ k = 0,5

Bài 2. Biểu diễn mối quan hệ giữa hai đại lượng x và y biết rằng:

a) y tỉ lệ thuận với $\frac{1}{x}$ theo hệ số tỉ lệ k = 4. Hỏi x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ nào?

b) y tỉ lệ thuận với $\frac{1}{x}$ theo hệ số tỉ lệ k = –6. Hỏi x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ nào?

Hướng dẫn giải

a) Vì y tỉ lệ thuận với $\frac{1}{x}$ theo hệ số tỉ lệ k = 4 nên $y = \frac{4}{x}$ . Nên x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ k = 4

b) y tỉ lệ thuận với $\frac{1}{x}$ theo hệ số tỉ lệ k = –6 nên $y = \frac{{ - 6}}{x}$ . Nên x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ k = –6

Bài 3. Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = $\frac{{ - 8}}{3}$ thì y = 12.

a) Tìm hệ số tỉ lệ nghịch của y đối với x

b) Hãy biểu diễn y theo x

c) Tính giá trị của y khi x = –16; x = $\frac{2}{5}$

d) Tính giá trị của x khi y = 4; y = $\frac{{ - 32}}{7}$

Hướng dẫn giải

Hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch nên x⋅y = a

a) Khi x = $\frac{{ - 8}}{3}$ thì y = 12 nên a = $\frac{{ - 8}}{3}$ ⋅ 12 = –32

b) $y = \frac{a}{x}$ mà a = –32 nên $y = \frac{{ - 32}}{x}$

c) Khi x = –16 thì $y = \frac{{ - 32}}{{ - 16}} = 2$

Khi $x = \frac{2}{5}$ thì $y = \frac{{ - 32}}{\begin{gathered} \frac{2}{5} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = - 80$

d) Khi y = 4 thì $y = \frac{{ - 32}}{4} = - 8$

Khi $y = \frac{{ - 32}}{7}$ thì $y = \frac{{ - 32}}{\begin{gathered} \frac{{ - 32}}{7} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = 7$

Bài 4. Cho biết y tỉ lệ nghịch với x và khi x = 4 thì y = $\frac{1}{3}$

a) Tìm hệ số tỉ lệ

b) Biểu diễn x theo y

c) Tính giá trị của x khi y = $\frac{1}{3}$ , y = –2

Hướng dẫn giải

a) Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên hệ số tỉ lệ là $xy = \frac{4}{3}$

b) Biểu diễn x theo y là $x = \frac{4}{{3y}}$

c) Với y = $\frac{1}{3}$ thì x = 4

Với y = –2 thì x = $\frac{{ - 2}}{3}$

Bài 5. Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 1,5 thì y = –4.

a) Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x.

b) Hãy biểu diễn y theo x.

c) Tính giá trị của y khi x = 12, x = $\frac{{ - 2}}{3}$

Hướng dẫn giải

Hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch nên hệ số tỉ lệ của y đối với x là xy = a

a) Khi x = 1,5 thì y = –4 nên a = 1,5⋅(–4) = –6

b) $y = \frac{a}{x}$ mà a = –6 nên $y = \frac{{ - 6}}{x}$

c) Khi x = 12 thì $y = \frac{{ - 6}}{{12}} = \frac{{ - 1}}{2}$

Khi $x = \frac{{ - 2}}{3}$ thì $y = \frac{{ - 6}}{\begin{gathered} \frac{{ - 2}}{3} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = 9$

Dạng 1.2. Tìm các đại lượng chưa biết

Phương pháp giải

+) Dùng công thức $y = \frac{k}{x}$ để xác định tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng và xác định hệ số tỉ lệ.

+) Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:

$\begin{gathered} {x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = \ldots = k \hfill \\ \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_2}}}{{{y_1}}};{\text{ }}\frac{{{x_1}}}{{{x_3}}} = \frac{{{y_3}}}{{{y_2}}}; \ldots \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Bài toán.

Bài 1. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi x₁, x₂ là hai giá trị của x và y₁, y₂ là hai giá trị tương ứng của y. Biết x₁ = 3; x₂ = 2 và 2y₁ + 3y₂ = –26

a) Tính y₁, y₂. Viết công thức liên hệ giữa x và y.

b) Biểu diễn y theo x.

c) Tính giá trị của x khi y = $- \frac{3}{2}$

d) Tính giá trị của y khi x =–4.

Hướng dẫn giải

a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên:

$\begin{gathered} \frac{{{y_1}}}{{{y_2}}} = \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{{y_1}}}{2} = \frac{{{y_2}}}{3} \hfill \\ \Rightarrow \frac{{2{y_1}}}{4} = \frac{{3{y_2}}}{9} = \frac{{2{y_1} + 3{y_2}}}{{4 + 9}} = \frac{{ - 36}}{{13}} = - 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{{{y_1}}}{2} = - 2 \Rightarrow {y_1} = - 4 \hfill \\ \end{gathered}$

Suy ra hệ số tỉ lệ là: a = x₁⋅y₁ = 3⋅(–4) = –12

Công thức liên hệ giữa x và y là: x⋅y = –12

b) Biểu diễn y theo x là $y = \frac{{ - 12}}{x}$

c) Khi y = $- \frac{3}{2}$ thì

$x \cdot \left( { - \frac{3}{2}} \right) = - 12 \Rightarrow x = \left( { - 12} \right):\left( { - \frac{3}{2}} \right) = 8$

d) Khi x =–4 thì

(–4)⋅y = –12 ⇒ y = –12 ∶ (–4) = 3

Bài 2. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi x₁, x₂ là hai giá trị của x và y₁, y₂ là hai giá trị tương ứng của y. Biết x₁ = 3, x₂ = 5, y₁ – y₂ = 4, hãy:

a) Tính y₁, y₂

b) Biểu diễn y theo x

Hướng dẫn giải

a) Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên

$\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_2}}}{{{y_1}}}{\text{ hay }}\frac{{{y_1}}}{5} = \frac{{{y_2}}}{3}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{{{y_1}}}{5} = \frac{{{y_2}}}{3} = \frac{{{y_1} - {y_2}}}{{5 - 3}} = \frac{4}{2} = 2$

Tìm được: y₁ = 10, y₂ = 6

b) Ta có: $a = {x_1} \cdot {y_1} = 3 \cdot 10 = 30 \Rightarrow y = \frac{{30}}{x}$

Bài 3. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi x₁, x₂ là hai giá trị của x và y₁, y₂ là hai giá trị tương ứng của y.

a) Biết x₁y₁ = 72, x₂ = 9. Hãy tìm y₂.

b) Biết x₂ = 6, x₁ + 3y₂ = 39, y₁ = 24. Hãy tìm x₁, y₂.

Hướng dẫn giải

a) Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên

$\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_2}}}{{{y_1}}}{\text{ hay }}{x_1} \cdot {y_1} = {x_2} \cdot {y_2} \Rightarrow {y_2} = \frac{{72}}{9} = 8$

b) Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên

$\begin{gathered} \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_2}}}{{{y_1}}} \Rightarrow \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{3{y_2}}}{{3{y_1}}} = \frac{{{x_1} + 3{y_2}}}{{{x_2} + 3{y_1}}} = \frac{{39}}{{6 + 72}} = \frac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow {x_1} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3;{\text{ }}{y_2} = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Bài 4. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi x₁, x₂ là hai giá trị của x và y₁, y₂ là hai giá trị tương ứng của y. Biết x₁ = 3,4, x₂ = 5,6 và 5y₁ – 3y₂ = 35,6. Hãy tìm y₁, y₂ và hệ số tỉ lệ.

Hướng dẫn giải

Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên

$\begin{gathered} \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_2}}}{{{y_1}}}{\text{ hay }}\frac{{{y_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_2}}}{{{x_1}}} = \frac{{5{y_1}}}{{5{x_2}}} = \frac{{3{y_2}}}{{3{x_1}}} \hfill \\ \Rightarrow \frac{{5{y_1} - 3{y_2}}}{{5{x_2} - 3{x_1}}} = \frac{{35,6}}{{5 \cdot 5,6 - 3 \cdot 3,4}} = \frac{{35,6}}{{17.8}} = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Hệ số tỉ lệ là: x₁⋅y₁ = 3,4 ⋅ 11,2 = 38,08

Bài 5. Tìm hai số x, y biết x, y tỉ lệ nghịch với 4; 5 và x + y = 18.

Hướng dẫn giải

Ta có hai số x và y tỉ lệ nghịch với 4; 5 nên

$4x = 5y \Leftrightarrow \frac{x}{5} = \frac{y}{4}$

Mà x + y = 18

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{5} = \frac{y}{4} = \frac{{x + y}}{{5 + 4}} = \frac{{18}}{9} = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 10 \hfill \\ y = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy x = 10 và y = 8.

Bài 6. Tìm ba số x, y, z biết x, y, z tỉ lệ nghịch với 2; 4; 5 và x + y + z = 38

Hướng dẫn giải

Ta có ba số x, y, z tỉ lệ nghịch với 2; 4; 5 nên

$2x = 4y = 5z \Leftrightarrow \frac{x}{{10}} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4}$

Mà x + y + z = 38

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{x}{{10}} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4} = \frac{{x + y + z}}{{10 + 5 + 4}} = \frac{{38}}{{19}} = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 20 \hfill \\ y = 10 \hfill \\ z = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy x = 20; y = 10 và z = 8.

Dạng 1.3. Kiểm tra xem các đại lượng có tỉ lệ nghịch với nhau không?

Phương pháp giải

Trong mỗi công thức $y = \frac{k}{x}{\text{ }}\left( {k \ne 0} \right)$ , với mỗi giá trị của x cho tương ứng một giá trị của y

Kiểm tra, nếu có tỉ lệ x₁⋅y₁ = x₂⋅y₂ = … = k thì hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau.

Bài toán.

Bài 1. Cho biết z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ 2 và y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ 3. Hỏi z có tỉ lệ nghịch với x hay không và tìm hệ số (nếu có)?

Hướng dẫn giải

Vì z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ 2 nên ta có z = 2y

Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ 3 nên ta có $y = \frac{3}{x}$

Suy ra $z = 2 \cdot \frac{3}{x} = \frac{6}{x}$ . Vậy z có tỉ lệ nghịch với x với hệ số tỉ lệ 6

Bài 2. Cho biết z tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ 2 và y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 3. Hỏi z có tỉ lệ nghịch với x hay không và tìm hệ số (nếu có)?

Hướng dẫn giải

Vì z tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ 2 nên ta có $z = \frac{2}{y}$

Vì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 3 nên ta có y = 3x

Suy ra: $z = \frac{2}{{3x}}$ . Vậy z có tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ $\frac{2}{3}$

Bài 3. Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ là 5, hai đại lượng y và z tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ 4. Hỏi x và z tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch. Tìm hệ số tỉ lệ?

Hướng dẫn giải

Hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ là 5 nên

$xy = 5 \Rightarrow y = \frac{5}{x}$ (1)

Hai đại lượng y và z tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ là 4 nên

y⋅z = 4 (2)

Thay (1) vào (2) ta được: $\frac{5}{x} \cdot z = 4 \Leftrightarrow z = \frac{4}{5}x$

Vậy x và z tỉ lệ thuận. Hệ số tỉ lệ là $\frac{4}{5}$ .

Bài 4. Xác định đại lượng đã cho trong mỗi câu sau có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau không? Nếu có hãy xác định hệ số tỉ lệ?

a) Chiều dài x và chiều rộng y của hình chữ nhật có diện tích bằng 32 cm²

b) Vận tốc v và thời gian t khi đi trên cùng quãng đường s

Hướng dẫn giải

a) Vì xy = 32 nên x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ 32

b) Vì vt = s nên v và t là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ s

c) S = πR² nên S và R không phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

d) a = nt nên n và t là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ a

Bài 5. Xác định đại lượng đã cho trong mỗi câu sau có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau không? Nếu có hãy xác định hệ số tỉ lệ?

a) Diện tích S và bán kính R của hình tròn

b) Năng suất lao động n và thời gian thực hiện t để làm xong một lượng công việc a

Hướng dẫn giải

a) S = πR² nên S và R không phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

b) a = nt nên n và t là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ a

Dạng 1.4. Lập bảng giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ nghịch và xét tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng khi biết bảng giá trị tương ứng của chúng

Phương pháp giải

Để lập bảng giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ nghịch ta thực hiện theo hai bước sau:

Bước 1: Xác định hệ số tỉ lệ k

Bước 2: Dùng công thức xy = k, tìm các giá trị tương ứng của x và y

Để xét tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng khi biết bảng giá trị tương ứng của chúng

Ta xét xem tất cả tích các giá trị tương ứng của hai đại lượng có bằng nhau hay không:

+) Nếu tích bằng nhau thì các đại lượng tỉ lệ nghịch.

+) Nếu tích không bằng nhau thì các đại lượng không tỉ lệ nghịch.

Bài toán.

Bài 1. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và bảng sau:

a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ của y đối với x

b) Điền số thích hợp vào ô trống

Hướng dẫn giải

Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên xy = a (a ≠ 0)

⇒ Hệ số tỉ lệ: a = x₁⋅y₁ = 6⋅7 = 42

Do đó ta có thể điền các giá trị vào ô còn trống trong bảng như sau:

Bài 2. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau, hãy điền các giá trị thích hợp vào ô còn trống trong bảng sau:

Hướng dẫn giải

Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên ta có $y = \frac{k}{x} \Rightarrow k = xy$

Với x = 12, y = $\frac{3}{2}$ thay vào k = xy ta được: k = 12 ⋅ $\frac{3}{2}$ = 18

Vậy $x = \frac{{18}}{y};{\text{ }}y = \frac{{18}}{x}$ , từ đó ta có bảng sau:

Bài 3. Các giá trị của x và y được cho trong bảng sau:

a) Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng đã cho.

b) Hai đại lượng x và y được cho ở trên có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Vì sao? Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x (nếu có).

Hướng dẫn giải

b) Ta thấy trong các cột tích xy đều bằng –48 nên x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Bài 4. Các giá trị của x và y được cho trong bảng sau:

a) Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng đã cho.

b) Hai đại lượng x và y được cho ở trên có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Vì sao? Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x (nếu có).

Hướng dẫn giải

b) Ta thấy trong các cột tích xy không bằng nhau nên x và y là không phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Bài 5. Các giá trị của x và y được cho trong bảng sau:

a) Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng đã cho.

b) Hai đại lượng x và y được cho ở trên có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Vì sao? Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x (nếu có).

Hướng dẫn giải

b) Ta thấy trong các cột tích xy bằng nhau nên x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x là 3.

Dạng 2. Một số bài toán tỉ lệ nghịch

Bài toán về hai đại lượng tỉ lệ nghịch

Để giải bài toán dạng này ta thực hiện theo các bước sau:

+) Bước 1: Xác định rõ các đại lượng và quan hệ giữa chúng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

+) Bước 2: Áp dụng công thức liên hệ và tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch, tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải quyết bài toán.

Bài toán tìm hai số biết chúng tỉ lệ nghịch với a và b

Chú ý: Nếu hai số x và y tỉ lệ nghịch với a và b thì hai số x và y tỉ lệ thuận với $\frac{1}{a}$ và $\frac{1}{b}$ .

Dạng 2.1. Bài toán về hai đại lượng tỉ lệ nghịch

Phương pháp giải

Để giải bài toán dạng này ta thực hiện theo các bước sau:

+) Bước 1: Xác định rõ các đại lượng và đặt ẩn phụ cho các đại lượng nếu cần

+) Bước 2: Xác định quan hệ tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

+) Bước 3: Áp dụng công thức liên hệ và tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch, tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải quyết bài toán.

Bài toán

Bài 1. Cho biết bốn máy cày, cày xong một cánh đồng hết 25 giờ. Hỏi 5 máy cày như thế cày xong cánh đồng đó hết bao nhiêu giờ?

Hướng dẫn giải

Gọi x là thời gian 5 máy cày cày xong cánh đồng (x > 0, giờ).

Vì năng suất làm việc của mỗi máy cày là như nhau và số máy cày tỉ lệ nghịch với thời gian nên ta có:

$4 \cdot 25 = 5x \Rightarrow x = \frac{{4 \cdot 25}}{5} \Rightarrow x = 20{\text{ }}\left( {TM} \right)$

Vậy 5 máy cày sẽ cày xong cánh đồng trong 20 giờ.

Bài 2. Cho biết 12 công nhân hoàn thành một công việc trong 16 ngày. Hỏi cần phải tăng thêm bao nhiêu công nhân nữa để có thể hoàn thành công việc đó trong 12 ngày (năng suất của các công nhân như nhau).

Hướng dẫn giải

Vì khối lượng công việc không đổi, năng suất mỗi công nhân là như nhau nên số công nhân và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Gọi x là số công nhân hoàn thành công việc trong 12 ngày.

Khi đó, ta có: $\frac{x}{{12}} = \frac{{16}}{{12}} \Rightarrow x = 16$

Vậy số công nhân cần tăng thêm là 16 – 12 = 4 (công nhân).

Bài 3. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B Xe thứ nhất đi từ A đến B hết 6 giờ, xe thứ hai đi từ B đến A hết 3 giờ. Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai đã đi được một quãng đường dài hơn xe thứ nhất đã đi là 54 km. Tính quãng đường AB.

Hướng dẫn giải

Gọi quãng đường của xe thứ nhất đi được từ A đến chỗ gặp là x (km) (x > 0)

Gọi quãng đường của xe thứ hai đi được từ B đến chỗ gặp là y (km) (y > 0)

Trong cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên

$6x = 3y \Rightarrow 2x = y \Rightarrow \frac{x}{1} = \frac{y}{2}$

Mà quãng đường đi được của xe thứ hai dài hơn xe thứ nhất là 54 km nên y – x =54

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{y - x}}{{2 - 1}} = \frac{{54}}{1} \hfill \\ \Rightarrow \frac{x}{1} = 54 \Rightarrow x = 54{\text{ }}\left( {TM} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{y}{2} = 54 \Rightarrow y = 108{\text{ }}\left( {TM} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Quãng đường AB dài là 54 + 108 = 162 (km)

Vậy quãng đường AB dài là 162 (km).

Bài 4. Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 72 km/h thì mất 5 giờ. Hỏi chiếc ô tô đó chạy từ A đến B với vận tốc 60 km/h thì mất khoảng bao nhiêu thời gian?

Hướng dẫn giải

Gọi x là thời gian ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h (x > 0, giờ).

Vì vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian nên ta có:

$72 \cdot 5 = 60x \Rightarrow x = \frac{{72 \cdot 5}}{{60}} \Rightarrow x = 6{\text{ }}\left( {TM} \right)$

Vậy thời gian ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h là 6 giờ.

Bài 5. Với số tiền để mua 80m vải lại I có thể mua được bao nhiêu mét vải loại II, biết rằng giá tiền vải loại II bằng 120% giá tiền vải loại I.

Hướng dẫn giải

Gọi x là số mét vải loại II mua được (x > 0, mét).

Vì có cùng số tiền nên số mét vải mỗi loại mua được tỉ lệ nghịch với giá tiền 1 mét, ta có:

$\frac{{60}}{x} = \frac{{120}}{{100}} \Rightarrow x = 50{\text{ }}\left( {TM} \right)$

Vậy số mét vải loại II mua được là 50m.

Bài 6. Một đội công nhân làm đường lúc đầu gồm có 60 người và dự định làm xong công trình đó trong 25 ngày. Nhưng sau đó đội giảm đi 15 người. Hỏi rằng để làm xong công trình đó, đội phải làm việc bao nhiêu ngày? (năng suất làm việc của mỗi công nhân như nhau).

Hướng dẫn giải

Vì khối lượng công việc không đổi, năng suất mỗi công nhân là như nhau nên số công nhân và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Gọi x là số ngày đội làm xong công trình. Khi đó, ta có:

$\frac{x}{{25}} = \frac{{60}}{{60 - 15}} \Rightarrow \frac{x}{{25}} = \frac{{60}}{{45}} \Rightarrow x = \frac{{100}}{3}$

Vậy đội cần $\frac{{100}}{3}$ ngày để hoàn thành xong công trình.

Dạng 2.2. Bài toán về nhiều đại lượng tỉ lệ nghịch

Phương pháp giải

Giả sử cần tìm hai số x, y, z, t,… tỉ lệ nghịch với các số a, b, c, d,…

Khi đó ta có: ax = by = cz = dt = …

Tìm BCNN (a; b; c; d; e;…)rồi chia quan hệ ax = by = cz = dt = … cho số vừa tìm được.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau rút x, y, z, t,…

Bài toán.

Bài 1. Chia số 790 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 3; 5; 8. Tính giá trị mỗi phần.

Hướng dẫn giải

Gọi ba phần phải tìm là x, y, z.

Do x, y, z tỉ lệ nghịch với 3; 5; 8 nên 3x = 5y = 8z và theo giả thiết ta có: x + y + z = 790

BCNN (3; 5; 8) = 120. Chia cho 120 ta được:

$\frac{{3x}}{{120}} = \frac{{5y}}{{120}} = \frac{{8z}}{{120}} \Rightarrow \frac{x}{{40}} = \frac{y}{{24}} = \frac{z}{{15}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{x}{{40}} = \frac{y}{{24}} = \frac{z}{{15}} = \frac{{x + y + z}}{{40 + 24 + 15}} = \frac{{790}}{{79}} = 10\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 400 \hfill \\ y = 240 \hfill \\ z = 150 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy ba số cần tìm là: x = 400, y = 240, z = 150

Bài 2. Tìm 3 số a, b, c biết a – b + c = 34; a và b tỉ lệ thuận với 3 và 5; b và c tỉ lệ nghịch với 5 và 4.

Hướng dẫn giải

Vì a và b tỉ lệ thuận với 3 và 5 nên

$\frac{a}{3} = \frac{b}{5} \Rightarrow \frac{a}{{12}} = \frac{b}{{20}}{\text{ }}\left( 1 \right)$

Vì b và c tỉ lệ nghịch với 5 và 4 nên

$5b = 4c \Rightarrow \frac{b}{4} = \frac{c}{5} \Rightarrow \frac{b}{{20}} = \frac{c}{{25}}{\text{ }}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{a}{{12}} = \frac{b}{{20}} = \frac{c}{{25}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ a - b + c = 34 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{a}{{12}} = \frac{b}{{20}} = \frac{c}{{25}} = \frac{{a + b + c}}{{12 - 20 + 25}} = \frac{{34}}{{17}} = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 24 \hfill \\ b = 40 \hfill \\ c = 50 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy a = 24; b = 40; c = 50.

Bài 3. Tìm 3 số x, y, z biết chúng tỉ lệ nghịch với $\frac{1}{{12}};\frac{1}{{30}};\frac{1}{{42}}$ và hiệu của số thứ II với số thứ I là 2.

Hướng dẫn giải

Vì x, y, z tỉ lệ nghịch với $\frac{1}{{12}};\frac{1}{{30}};\frac{1}{{42}}$ nên ta có:

$\frac{1}{{12}}x = \frac{1}{{30}}y = \frac{1}{{42}}z \Rightarrow \frac{x}{{12}} = \frac{y}{{30}} = \frac{z}{{42}}$

Vì hiệu của số thứ II với số thứ I là 2 nên y – x = 2

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{x}{{12}} = \frac{y}{{30}} = \frac{z}{{42}} = \frac{{y - x}}{{30 - 21}} = \frac{2}{{18}} = \frac{1}{9}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{1}{9} \cdot 12 = \frac{4}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{1}{9} \cdot 30 = \frac{{10}}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ z = \frac{1}{9} \cdot 42 = \frac{{14}}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy $x = \frac{4}{3};{\text{ }}y = \frac{{10}}{3};{\text{ }}z = \frac{{14}}{3}$

Bài 4. Ba đội máy cày trên ba cánh đồng có diện tích như nhau. Đội I hoàn thành công việc trong 3 ngày, đội II trong 5 ngày, đội III trong 6 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy cày, biết rằng đội II nhiều hơn đội III 1 máy và công suất các máy như nhau.

Hướng dẫn giải

Gọi số máy cày của đội I, II, III lần lượt là x, y, z (x, y, z ∈ ℕ^*; y > z).

Vì ba cánh đồng có diện tích như nhau, công suất các máy như nhau nên số máy cày và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Theo đề bài ta có:

3x = 5y = 6z và y – z = 1

BCNN (3, 5, 6) = 30. Chia cho 30 ta được:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{{10}} = \frac{y}{6} = \frac{z}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y - z = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{x}{{10}} = \frac{y}{6} = \frac{z}{5} = \frac{{y - z}}{{6 - 5}} = \frac{1}{1} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 10 \hfill \\ y = 6 \hfill \\ z = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy số máy cày của đội I, II, III lần lượt là 10 máy, 6 máy, 5 máy.

Bài 5. Ba đội y tế tiêm ngừa vaccine Covid–19 tại 3 trường THCS trong quận có cùng số lượng học sinh đăng ký tiêm chủng như nhau. Đội thứ nhất tiêm xong trong 5 ngày, đội thứ hai tiêm xong trong 4 ngày và đội thứ ba tiêm xong trong 6 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu cán bộ y tế, biết cả ba đội y tế có tất cả 37 cán bộ y tế? (Năng suất làm việc của các cán bộ y tế là như nhau).

Hướng dẫn giải

Gọi số cán bộ y tế ở đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là x, y, z (người) và x, y, z ∈ ℕ^*

Vì cả ba đội y tế có tất cả 37 cán bộ y tế, nên x + y + z = 37

Ta có: x tiêm xong trong 5 ngày

y tiêm xong trong 4 ngày

z tiêm xong trong 6 ngày

Vì số cán bộ y tế và thời gian là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

$\begin{gathered} 5x = 4y = 6z\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{{5x}}{{60}} = \frac{{4y}}{{60}} = \frac{{6z}}{{60}} \hfill \\ \Rightarrow \frac{x}{{12}} = \frac{y}{{15}} = \frac{z}{{10}} = \frac{{x + y + z}}{{12 + 15 + 10}} = \frac{{37}}{{37}} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 12 \hfill \\ y = 15 \hfill \\ z = 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy số cán bộ y tế ở đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là 12, 15, 10 người

Bài 6. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Xe thứ nhất đi từ A đến B hết 4 giờ, xe thứ hai đi từ B đến A hết 3 giờ. Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn xe thứ nhất 35 km. Tính quãng đường AB.

Hướng dẫn giải

Gọi quãng đường xe thứ nhất đi đến chỗ gặp, quãng đường xe thứ hai đi đến chỗ gặp lần lượt là: S₁, S₂ (km). (S₁, S₂ > 0).

Vì đến chỗ gặp, xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn xe thứ nhất 35 km nên: S₂ – S₁ = 35

Vì cùng quãng đường AB, vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau nên

$\frac{{{v_2}}}{{{v_1}}} = \frac{4}{3}$ ⇒ Vận tốc xe thứ hai bằng $\frac{4}{3}$ lần vận tốc xe thứ nhất.

Khi đến chỗ gặp nhau, hai xe đi cùng một thời gian, vận tốc và quãng đường tỉ lệ thuận với nhau

⇒ Đến chỗ gặp nhau thì quãng đường xe thứ hai đi được bằng $\frac{4}{3}$ lần quãng đường xe thứ nhất đi được:

$\frac{{{v_2}}}{{{v_1}}} = \frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{{{S_2}}}{4} = \frac{{{S_1}}}{3}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{gathered} \frac{{{S_2}}}{4} = \frac{{{S_1}}}{3} = \frac{{{S_2} - {S_1}}}{{4 - 3}} = \frac{{35}}{1} = 35\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {S_1} = 35 \cdot 3 = 105 \hfill \\ {S_2} = 35 \cdot 4 = 140 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy quãng đường AB dài là: 105 + 140 = 245 (km).

Thầy Tú dạy toán