Định nghĩa số nguyên tố
+) Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó.
Ví dụ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.
Ví dụ: 4 có 3 ước số: 1; 2 và 4 nên 4 là hợp số.
+) Các số 0 và 1 không phải là só nguyên tố cũng không phải là hợp số.
+) Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước số nguyên tố.
Tính chất số nguyên tố
+) Có vô hạn số nguyên tố.
+) Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q thì p = q.
+) Nếu tích abc chia hết cho số nguyên tố p thì ít nhất một thừa số của tích abc chia hết cho số nguyên tố p.
+) Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p thì tích ab không chia hết cho số nguyên tố p.
+) Nếu A là hợp số thì A có ít nhất một ước nguyên tố không vượt quá ![\[\sqrt A \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/so-nguyen-to-1.svg)
.
Chứng minh: Vì n là hợp số nên n = ab với a, b ∈ ℤ, a ≤ b < n và a là ước nhỏ nhất của n.
Thế thì n ≥ a2. Do đó: ![\[a \leqslant \sqrt n \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/so-nguyen-to-2.svg)
Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
+) Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.
⋄ Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số nguyên tố là chính số đó.
⋄ Mọi hợp số đều phân tích được ra thừa số nguyên tố, phân tích này là duy nhất nếu không tính thứ tự các thừa số.
Chẳng hạn A = aα.bβ…cγ, trong đó a, b, c là các số nguyên tố và α, β, …, γ ∈ ℕ*
Khi đó số các ước số của A được tính bằng (α + 1)(β + 1)…(γ + 1)
Tổng các ước số của A được tính bằng
![\[\frac{{{a^{\alpha + 1}} - 1}}{{a - 1}} \cdot \frac{{{b^{\beta + 1}} - 1}}{{b - 1}} \cdots \frac{{{c^{\gamma + 1}} - 1}}{{c - 1}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/so-nguyen-to-3.svg)
Số nguyên tố cùng nhau.
Hai số a và b nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi (a, b) = 1
Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi (a, b, c) = 1
Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi (a, b) = (b, c) = (c, a) = 1
Cách nhận biết số nguyên tố.
Cách 1:
Chia số đó lần lượt cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; 7;…
+) Nếu có một phép chia hết thì số đó không là số nguyên tố.
+) Nếu thực hiện phép chia cho đến lúc thương số nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn có số dư thì số đó là số nguyên tố.
Cách 2:
+) Một số có hai ước số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố.
+) Nếu A là hợp số thì A có ít nhất một ước nguyên tố không vượt quá .
+) Với quy tắc trên trong một khoảng thời gian ngắn, với các dấu hiệu chia hết thì ta nhanh chóng trả lời được một số có hai chữ số nào đó là nguyên tố hay không.
Phân dạng bài tập
Mức độ nhận biết
Câu 1. Trong các số sau, số nào là số nguyên tố: 2; 6; 11; 17; 21; 29
A. 2; 6; 11; 17; 29.
B. 6; 11; 17; 21; 29.
C. 2; 11; 17; 29.
D. 2; 6; 11; 17.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Số 2; 11; 17; 19 là các số nguyên tố vì chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
Số 6 là hợp số vì 6 ⋮ 2 nên số 6 có nhiều hơn 2 ước
Câu 2. Tìm khẳng định sai.
A. Số nguyên tố là tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
B. Có hai số tự nhiên liên tiếp đều là số nguyên tố.
C. Số nguyên tố nhỏ nhất là 2.
D. Số nguyên tố nhỏ nhất là 1.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Số nguyên tố nhỏ nhất là 2 nên khẳng định sai là số nguyên tố nhỏ nhất là 1.
Câu 3. Chọn câu trả lời đúng. Tất cả các số nguyên tố có một chữ số là.
A. 1; 3; 5; 7.
B. 3; 5; 7.
C. 2; 3; 5; 9.
D. 2; 3; 5; 7.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Vì 1 không phải là số nguyên tố.
Số 9 là hợp số
Nên tất cả các số nguyên tố có một chữ số là 2; 3; 5; 7.
Câu 4. Chọn câu trả lời đúng. Gọi P là tập hợp các số nguyên tố.
A. 825 ∈ P.
B. 707 ∈ P.
C. 701 ∈ P.
D. 1707 ∈ P.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Vì 825 ⋮ 5 nên 825 là hợp số.
Vì 707 ⋮ 7 nên 707 là hợp số.
Vì 1707 ⋮ 3 nên 1707 là hợp số.
Có 701 là số nguyên tố nên 701 ∈ P.
Mức độ thông hiểu
Câu 5. Chọn câu trả lời đúng. Các số có hai chữ số là bình phương của một số nguyên tố là:
A. 25; 49.
B. 25; 81; 62.
C. 49; 74.
D. 25; 22.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Có 25 = 52 và 49 = 72 mà 5; 7 là các số nguyên tố.
Câu 6. Chọn câu trả lời đúng ![\[\overline {9x} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/so-nguyen-to-4.svg)
là số nguyên tố khi:
A. x = 5.
B. x = 7.
C. x = 1.
D. x = 3.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Khi x = 5 ta có số 95 ⋮ 5 nên 95 là hợp số.
Khi x = 1 ta có số 91 ⋮ 7 nên 91 là hợp số.
Khi x = 3 ta có số 93 ⋮ 3 nên 93 là hợp số.
Khi x = 7 ta có số 97 là số nguyên tố.
Câu 7. Có bao nhiêu số nguyên tố x thỏa mãn 60 < x < 70?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Có 60 < x < 70 nên x ∈ {61; 62; 63; 64; 65; 66; 67; 68; 69} mà các số 62; 63; 64; 65; 66; 68; 69 là hợp số nên số nguyên tố là 61; 67.
Mức độ vận dụng
Câu 8. Tổng của hai số nguyên tố là 999. Số nguyên tố lớn hơn trong hai số nguyên tố đó là
A. 997.
B. 447.
C. 457.
D. 557.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Do tổng của hai số nguyên tố là 999 có tổng là số lẻ nên trong tổng có một số chẵn.
Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 nên số nguyên tố còn lại là 999 – 2 = 997
Câu 9. Có bao nhiêu số tự nhiên n để n2 + 12n là số nguyên tố?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Có n2 + 12n = n(n + 12)
Do n + 12 > 1 nên để n2 + 12n là số nguyên tố thì n = 1
Khi n = 1 có n2 + 12n = 12 + 12⋅1 = 13 là số nguyên tố.
Do đó n = 1 thì n2 + 12n là số nguyên tố.
Mức độ vận dụng cao
Câu 10. Có bao nhiêu số nguyên tố p để p + 2; p + 94 cũng là số nguyên tố ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Khi p = 2 thì p + 2 = 4; p + 94 = 96 là hợp số.
Khi p = 3 thì p + 2 = 5; p + 94 = 97 là số nguyên tố.
Khi p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k ∈ ℕ).
Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 (3k + 3) ⋮ 3 nên p + 2 là hợp số.
Nếu p = 3k + 2 thì p + 94 = 3k + 2 + 94 = (3k + 96) ⋮ 3 nên p + 94 là hợp số.
Nên p = 3
Dạng 2.
Mức độ nhận biết
Câu 11. Tập hợp nào chỉ gồm các hợp số ?
A. {2; 3; 5}.
B. {3; 5; 6}.
C. {4; 6}.
D. {0; 2; 4}.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Tập hợp {2; 3; 5} gồm các số nguyên tố.
Tập hợp {3; 5; 6} có các số 3; 5 là số nguyên tố.
Tập hợp {0; 2; 4} có số 0 không là số nguyên tố cũng không là hợp số.
Tập hợp {4; 6} là tập hợp gồm các hợp số.
Câu 12. Viết số 20 thành tổng của hai số tự nhiên mà hai số đó đều là hợp số. Cách viết nào là đúng trong các cách viết sau?
A. 20 = 2 + 18
B. 20 = 3 + 17
C. 20 = 5 + 15
D. 20 = 6 + 14
Hướng dẫn giải
Chọn D
Có 20 = 2 + 18 trong đó 2 là số nguyên tố.
Có 20 = 3 + 17 trong đó 3 là số nguyên tố.
Có 20 = 5 + 15 trong đó 5 là số nguyên tố.
Có 20 = 6 + 14 trong đó 6; 14 là hợp số.
Câu 13. Chọn câu trả lời đúng. Tất cả các hợp số có một chữ số là.
A. 1; 3; 5; 7.
B. 4; 6; 8; 9.
C. 2; 3; 5; 9.
D. 2; 3; 5; 7.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Vì 1 không phải là hợp số.
Số 2; 3; 5; 7 là số nguyên tố.
Nên tất cả các hợp số có một chữ số là 4; 6; 8; 9.
Câu 14. Chọn câu trả lời đúng. Gọi P là tập hợp các số tự nhiên là hợp số.
A. 828 ∈ P.
B. 269 ∈ P.
C. 491 ∈ P.
D. 853 ∈ P.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vì 828 ⋮ 2 nên 828 là hợp số 828 ∈ P.
Mức độ thông hiểu
Câu 15. Kết quả của phép tính nào sau đây là hợp số?
A. 15 – 2 + 1
B. 15 – 3⋅4
C. 15 : (6 – 3)
D. 30 – (13 – 2)
Hướng dẫn giải
Chọn A
Có 15 – 2 + 1 = 14 là hợp số.
Câu 16. Có bao nhiêu số tự nhiên x để ![\[\overline {3x} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/so-nguyen-to-5.svg)
là hợp số?
A. 2.
B. 8.
C. 7.
D. 9.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Các số có dạng là 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36; 37; 38; 39.
Trong đó các hợp số là 30; 32; 33; 34; 35; 36; 38; 39.
Nên x ∈ {0; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9}. Vậy có 8 số tự nhiên x để là hợp số.
Câu 17. Có bao nhiêu số tự nhiên x là hợp số để 70 < x < 80?
A. 6.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Có 70 < x < 80 nên x ∈ {71; 72; 73; 74; 75; 76; 77; 78; 79} trong đó các số 72; 74; 75; 76; 77; 78 là hợp số.
Mức độ vận dụng
Câu 18. Chọn câu trả lời đúng. Cho x = 2.3.4…509. Có 508 số tự nhiên liên tiếp sau x + 2; x + 3; …; x + 508; x + 509
A. Các số đều là hợp số.
B. Các số đều là số nguyên tố.
C. Có 254 số là các số nguyên tố.
D. Có 254 số là hợp số.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Có x = 2.3.4…509 nên x ⋮ 2 mà 2 ⋮ 2 do đó (x + 2) ⋮ 2 nên x + 2 là hợp số.
Tương tự có x + 3; …; x + 508; x + 509 là hợp số.
Vậy các số đều là hợp số.
Câu 19. Cho a, n ∈ ℕ, biết an ⋮ 5. Hỏi a2 + 150 là:
A. Số nguyên tố.
B. Hợp số.
C. Không là số nguyên tố.
D. Không là hợp số.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Có an ⋮ 5 nên a2 ⋮ 5 mà 150 ⋮ 5 nên (a2 + 150) ⋮ 5
Vậy a2 + 150 là hợp số
Mức độ vận dụng cao
Câu 20. Kết quả của phép tính 1 + 2123 + 23124 + 25125 là
A. Số nguyên tố.
B. Hợp số.
C. Không là số nguyên tố.
D. Không là hợp số.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: 1 + 2123 + 23124 + 25125
Trong đó 2123 có chữ số tận cùng là 1.
Lại có: ![\[{23^{124}} = {\left( {{{23}^4}} \right)^{31}} = {\left( {\overline { \ldots 1} } \right)^{31}} = \overline { \ldots 1} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/so-nguyen-to-6.svg)
có chữ số tận cùng là 1.
Mặt khác 25125 có chữ số tận cùng là 5.
Vậy 1 + 2123 + 23124 + 25125 có chữ số tận cùng là 8 do đó 1 + 2123 + 23124 + 25125 chia hết cho 2.
Vậy 1 + 2123 + 23124 + 25125 là hợp số.
Dạng 3.
Mức độ nhận biết
Câu 21. Phân tích số 18 ra thừa số nguyên tố. Cách viết nào sau đây là đúng?
A. 18 = 18⋅1
B. 18 = 10 + 8
C. 18 = 2⋅32
D. 18 = 6 + 6 + 6
Hướng dẫn giải
Chọn C
Số 18 được viết dưới dạng tích của các thừa số nguyên tố.
Câu 22. Phân tích số a ra thừa số nguyên tố: ![\[\;a{\text{ }} = {\text{ }}p_1^{{m_1}} \cdot p_2^{{m_2}} \ldots p_k^{{m_k}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/so-nguyen-to-7.svg)
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Các số p1, p2, …, pk là các số dương.
B. Các số p1, p2, …, pk là các số nguyên tố.
C. Các số p1, p2, …, pk là các số tự nhiên.
D. Các số p1, p2, …, pk tùy ý.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Theo định nghĩa phân tích một số ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.
Câu 23. Chọn cách phân tích ra thừa số nguyên tố sai trong các cách sau:
A. 98 = 2⋅72
B. 45 = 5⋅29
C. 81 = 34
D. 100 = 102
Hướng dẫn giải
Chọn D
Số 10 không phải là số nguyên tố nên 100 = 102 là cách phân tích ra thừa số nguyên tố sai còn ba phương án A, B, C đều đúng.
Câu 24. Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số nguyên tố là gì?
A. 1.
B. Chính số nguyên tố đó.
C. Hợp số.
D. Tích của các thừa số nguyên tố.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Vì dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số nguyên tố là chính số đó.
Mức độ thông hiểu
Câu 25. Số 45 chia hết cho số nguyên tố nào sau đây?
A. 2.
B. 5.
C. 7.
D. 11.
Hướng dẫn giải
Chọn B
45 = 32⋅5
Vì dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của số 45 có thừa số 5 mà không có các thừa số còn lại.
Câu 26. Số các ước của số 81 là?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Hướng dẫn giải
Chọn D
81 = 34 nên 81 có số ước là 4 + 1 = 5
Câu 27. Số 126 = 2⋅32⋅7 có bao nhiêu ước nguyên tố?
A. 3.
B. 4.
C. 10.
D. 12.
Hướng dẫn giải
Chọn A
126 = 2⋅32⋅7
Số 126 có 3 ước nguyên tố là 2, 3, 7.
Mức độ vận dụng
Câu 28. Cho 140 = a2⋅b⋅7 với a, b là các số nguyên tố. Tìm a?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn giải
Chọn B
140 = 22⋅5⋅7 = a2⋅b⋅7
Nên a = 2.
Câu 29. Cho a = 22⋅7. Tập hợp tất cả các ước của a là?
A. {4; 7}.
B. {1; 2,4; 7; 28}.
C. {1; 4; 7}.
D. {1; 2,4; 7; 14; 28}.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Số a = 22⋅7 = 28 có tất cả các ước là 1; 2; 4; 7; 14; 28.
Mức độ vận dụng cao
Câu 30. Tổng các ước của số 75 là ?
A. 8.
B. 15.
C. 124.
D. 150
Hướng dẫn giải
Chọn C
75 = 3⋅52
Số 75 có tất cả các ước là 1; 3; 5; 15; 25; 75
Tổng các ước của số 75 là 1 + 3 + 5 + 15 + 25 + 75 = 124.
