Lũy thừa với số mũ tự nhiên
Lũy thừa bậc n của số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a
a gọi là cơ số, n gọi là số mũ.
Nhân hai lũy thừa cùng cơ số
am⋅an = am+n
Chia hai lũy thừa cùng cơ số:
am : an = am–n (a ≠ 0, m ≥ n)
Quy ước: a0 = 1 (a ≠ 0)
Lũy thừa của lũy thừa
(am)n = am⋅n
Lũy thừa một tích
(a⋅b)m = am⋅bm
Một số lũy thừa của 10.
+) Một nghìn: 1 000 = 103
+) Một vạn: 10 000 = 104
+) Một triệu: 1 000 000 = 106
+) Một tỉ: 1 000 000 000 = 109
Tổng quát: nếu n là số tự nhiên khác 0 thì: 10n = 1000. . . 00
Thứ tự thực hiện phép tính:
Trong một biểu thức có chứa nhiều dấu phép toán ta làm như sau:
+) Nếu biểu thức không có dấu ngoặc chỉ có các phép cộng, trừ hoặc chỉ có các phép nhân chia ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.
+) Nếu biểu thức không có dấu ngoặc, có các phép cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện nâng lên lũy thừa trước rồi thực hiện nhân chia, cuối cùng đến cộng trừ.
+) Nếu biểu thức có dấu ngoặc ( ), [ ], { } ta thực hiện các phép tính trong ngoặc tròn trước, rồi đến các phép tính trong ngoặc vuông, cuối cùng đến các phép tính trong ngoặc nhọn.
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Thực hiện tính, viết dưới dạng lũy thừa
Phương pháp giải.
Sử dụng công thức:
1) ; a gọi là cơ số, n gọi là số mũ.
2) am⋅an = am+n
3) am : an = am–n (a ≠ 0, m ≥ n)
Quy ước: a0 = 1 (a ≠ 0)
4) (am)n = am⋅n
5) (a⋅b)m = am⋅bm
Bài toán.
Bài 1. Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa 2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅3⋅3
A 24⋅34
B 23⋅32
C 42⋅43
D 24⋅33
Hướng dẫn giải
Chọn A
Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) 34 : 32
b) 24⋅22
c) (24)2
Hướng dẫn giải
a) 34 : 32 = 32 = 9
b) 24⋅22 = 26 = 64
c) (24)2 = 28 = 256
Bài 3. Viết các tích sau đây dưới dạng một lũy thừa của một số:
a) A = 82⋅324
b) B = 273⋅94⋅243
Hướng dẫn giải
a) A = 82⋅324 = 26⋅220 = 226
b) B = 273⋅94⋅243 = 39⋅38⋅35 = 322
Bài 4. Viết kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa:
a) 64 : 23
b) 243 : 34
c) 625 : 53
d) 75 : 343
e) 100000 : 103
f) 115 : 121
g) 243 : 32 : 3
h) 48 : 64 : 16
Hướng dẫn giải
a) 64 : 23 = 26 : 23 = 23
b) 243 : 34 = = 35 : 34 = 31
c) 625 : 53 = 54 : 53 = 51
d) 75 : 343 = 75 : 73 = 72
e) 100000 : 103 = 105 : 103 = 102
f) 115 : 121 = 115 : 112 = 113
g) 243 : 32 : 3 = 35 : 33 : 3 = 31
h) 48 : 64 : 16 = 48 : 43 : 4 = 44
Bài 5. Tìm các số mũ n sao cho lũy thừa 3n thỏa mãn điều kiện: 25 < 3n < 250
Hướng dẫn giải
Ta có: 32 = 9; 33 = 27 > 25; 34 = 81; 35 = 243 < 250 nhưng 26 = 243⋅3 = 729 > 250
Vậy với số mũ n = 3, 4, 5 ta có 25 < 3n < 250
Bài 6. Thực hiện phép tính:
a) 5⋅22 – 18 : 3
b) 17⋅85 + 15⋅17 – 23⋅35
c) 23⋅17 – 23⋅14
d) 20 – [30 – (5 – 1)2]
e) 75 – (3⋅52 – 4⋅23)
f) 2⋅52 + 3 : 710 – 54 : 33
g) 150 + 50 : 5 – 2⋅32
h) 5⋅32 – 32 : 42
Hướng dẫn giải
a) 5⋅22 – 18 : 3 = 5⋅4 – 6 = 20 – 6 = 14
b) 17⋅85 + 15⋅17 – 23⋅35
= 17⋅(85 + 15) – 120
= 17⋅100 – 120
= 1700 – 120
= 1580
c) 23⋅17 – 23⋅14 = 23⋅(17 – 14) = 8⋅3 = 24
d) 20 – [30 – (5 – 1)2]
= 20 – (30 – 42)
= 20 – (30 – 16)
= 20 – 14
= 6
e) 75 – (3⋅52 – 4⋅23)
= 75 – (3⋅25 – 4⋅8)
= 75 – (75 – 32)
= 75 – 75 + 32
= 32
f) 2⋅52 + 3 : 710 – 54 : 33
= 2⋅25 + 3 : 1 – 54 : 27
= 50 + 3 – 2
= 51
g) 150 + 50 : 5 – 2⋅32
= 150 + 10 – 2⋅9
= 150 + 10 – 18
= 142
h) 5⋅32 – 32 : 42 = 5⋅9 – 32 : 16 = 45 – 2 = 43
Bài 7. Thực hiện phép tính.
a) 27⋅75 + 25⋅27 – 2⋅3⋅52
b) 12 : {400 : [500 – (125 + 25⋅7)]}
c) 13⋅17 – 256 : 16 + 14 : 7 – 20210
d) 2⋅32 : 3 + 182 + 3⋅(51 : 17)
e) 15 – 52⋅23 : (100⋅2)
f) 52⋅23 – 12⋅5 + 170 : 17 – 8
Hướng dẫn giải
a) 27⋅75 + 25⋅27 – 2⋅3⋅52
= 27⋅ (75 + 25) – 150
= 27⋅100 – 150
= 2700
b) 12 : {400 : [500 – (125 + 25⋅7)]}
= 12 : {400 : [500 – (125 + 175)]}
= 12 : [400 : (500 – 300)]
= 12 : (400 : 200)
= 12 : 2
= 6
c) 13⋅17 – 256 : 16 + 14 : 7 – 20210
= 221 – 16 + 2 – 1
= 206
d) 2⋅32 : 3 + 182 + 3⋅(51 : 17)
= 6 + 182 + 3⋅3
= 6 + 182 + 9
= 197
e) 15 – 52⋅23 : (100⋅2)
= 15 – 25⋅8 : 200
= 15 – 200 : 200
= 15 – 1
= 14
f) 52⋅23 – 12⋅5 + 170 : 17 – 8
= 1000 – 60 + 10 – 8
= 942
Bài 8. Thực hiện phép tính.
a) 23 – 53 : 52 + 12⋅22
b) 5⋅[(85 – 35 : 7) : 8 + 90] – 52⋅2
c) 2⋅[(7 – 33 : 32) : 22 + 99] – 100
d) 27 : 22 + 54 : 53⋅24 – 3⋅25
e) (35⋅37) : 310 + 5⋅24 – 73 : 7
f) 32⋅[(52 – 3) : 11] – 24 + 2⋅103
g) (62007 – 62006) : 62006
h) (52001 – 52000) : 52000
i) (72005 + 72004) : 72004
j) (57 + 75)(68 + 86)(24 – 42)
k) (75 + 79)(54 + 56)(33⋅3 – 92)
l) [(52⋅23 – 72⋅2) : 2]⋅6 – 7⋅25
Hướng dẫn giải
a) 23 – 53 : 52 + 12⋅22
= 8 – 5 + 12⋅4
= 8 – 5 + 48
= 51
b) 5⋅[(85 – 35 : 7) : 8 + 90] – 52⋅2
= 5⋅[(85 – 5) : 8 + 90] – 50
= 5⋅(80 : 8 + 90) – 50
= 5⋅100 – 50
= 450
c) 2⋅[(7 – 33 : 32) : 22 + 99] – 100
= 2⋅[(7 – 3) : 4 + 99] – 100
= 2⋅(4 : 4 + 99) – 100
= 2⋅100 – 100
= 100
d) 27 : 22 + 54 : 53⋅24 – 3⋅25
= 25 + 54 : 53⋅24 – 3⋅25
e) (35⋅37) : 310 + 5⋅24 – 73 : 7
= 312 : 310 + 5⋅24 – 72
= 32 + 5⋅16 – 72
= 9 + 80 – 49
= 40
f) 32⋅[(52 – 3) : 11] – 24 + 2⋅103
= 9⋅[(25 – 3) : 11] – 16 + 2⋅1000
= 9⋅(22 : 11) – 16 + 2000
= 9⋅2 – 16 + 2000
= 2 + 2000
= 2002
g) (62007 – 62006) : 62006
= 62006⋅(6 – 1) : 62006
= 62006⋅5 : 62006
= 5
h) (52001 – 52000) : 52000
= 52000⋅(5 – 1) : 52000
= 52000⋅4 : 52000
= 4
i) (72005 + 72004) : 72004
= 72004⋅(7 + 1) : 72004
= 72004⋅8 : 72004
= 8
j) (57 + 75)(68 + 86)(24 – 42)
= (57 + 75) (68 + 86)(16 – 16)
= (57 + 75)(68 + 86) ⋅ 0
= 0
k) (75 + 79)(54 + 56)(33⋅3 – 92)
= (75 + 79)(54 + 56)(81 – 81)
= (75 + 79)(54 + 56) ⋅ 0
= 0
l) [(52⋅23 – 72⋅2) : 2]⋅6 – 7⋅25
= [(25⋅8 – 49⋅2) : 2]⋅6 – 7⋅25
= [(200 – 98) : 2]⋅6 – 732
= (102 : 2)⋅6 – 732
= 306 – 224
= 82
Bài 9. Thực hiện phép tính.
a) 142 – [50 – (23⋅10 – 23⋅5)]
b) 375 : {32 – [4 + (5⋅32 – 42)]} – 14
c) {210 : [16 + 3⋅(6 + 3⋅22)]} – 3
d) 500 – {5⋅[409 – (23⋅3 – 21)2] – 1724}
Hướng dẫn giải
a) 142 – [50 – (23⋅10 – 23⋅5)]
= 142 – (50 – 23⋅5)
= 142 – 5⋅(10 – 8)
= 142 – 10
= 132
b) 375 : {32 – [4 + (5⋅32 – 42)]} – 14
= 375 : {32 – [4 + (45 – 42)]} – 14
= 375 : [32 – (4 + 3)] – 14
= 375 : (32 – 7) – 14
= 375 : 25 – 14
= 15 – 14
= 1
c) {210 : [16 + 3⋅(6 + 3⋅22)]} – 3
= {210 : [16 + 3⋅(6 + 12)]} – 3
= [210 : (16 + 3⋅18)] – 3
= (210 : 70) – 3
= 3 – 3
= 0
d) 500 – {5⋅[409 – (23⋅3 – 21)2] – 1724}
= 500 – {5⋅[409 – (8⋅3 – 21)2] – 1724}
= 500 – {5⋅[409 – (24 – 21)2] – 1724}
= 500 – [5⋅(409 – 9) – 1724]
= 500 – (5⋅400 – 1724)
= 500 – 276
= 224
Bài 10. Thực hiện phép tính.
a) 80 – (4⋅52 – 3⋅23)
b) 56 : 54 + 23⋅22 – 12017
c) 53 – 2⋅[56 – 48 : (15 – 7)]
d) 23⋅75 + 52⋅10 + 52⋅13 + 180
e) 36⋅4 – 4⋅(82 – 7⋅11)2 : 4 – 20160
f) 303 – 3⋅{[655 – (18 : 2 + 1)⋅43 + 5]} : 100
Hướng dẫn giải
a) 80 – (4⋅52 – 3⋅23)
= 80 – (4⋅25 – 3⋅8)
= 80 – (100 – 24)
= 80 – 76
= 4
b) 56 : 54 + 23⋅22 – 12017
= 52 + 25 – 1
= 25 + 32 – 1
= 56
c) 53 – 2⋅[56 – 48 : (15 – 7)]
= 125 – 2⋅(56 – 48 : 8)
= 125 – 2⋅(56 – 6)
= 125 – 2⋅50
= 25
d) 23⋅75 + 52⋅10 + 52⋅13 + 180
= 23⋅75 + 25⋅(10 + 13) + 180
= 23⋅75 + 25⋅23 + 180
= 23⋅(75 + 25) +180
= 23⋅100 + 180
= 2480
e) 36⋅4 – 4⋅(82 – 7⋅11)2 : 4 – 20160
= 36⋅4 – 4⋅(82 – 77)2 : 4 – 1
= 36⋅4 – 4⋅25 : 4 – 1
= 4⋅(36 + 25) : 4 – 1
= 61 – 1
= 60
f) 303 – 3⋅[655 – (18 : 2 + 1)⋅43 + 5] : 100
= 303 – 3⋅(655 – 10⋅43 + 5) : 1
= 303 – 3⋅(655 – 640 + 5)
= 303 – 3⋅10
= 263
Bài 11. Tính giá trị của biểu thức:
A = 2002⋅20012001 – 2001⋅20022002
Hướng dẫn giải
A = 2002⋅20012001 – 2001⋅20022002
= 2002⋅(20010000 + 2001) – 2001⋅(20020000 + 2002)
= 2002⋅(2001⋅104 + 2001) – 2001⋅(2002⋅104 + 2002)
= 2002⋅2001⋅104 + 2002⋅2001 – 2001⋅2002⋅104 – 2001⋅2002
= 0
Bài 12. Tính:
a) A = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2100
b) B = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 5150
c) C = 3 + 32 + 33 + . . . + 31000
Hướng dẫn giải
a) A = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2100
2A = 2⋅2 + 22⋅2 + 23⋅2 + 24⋅2 + . . . + 2100⋅2
2A = 22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 2101
2A – A = (22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 2101) – (2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2100)
A = 22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 2101 – 2 – 22 – 23 – 24 – . . . – 2100
A = 2101 – 2
b) B = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 5150
5B = 1⋅5 + 5⋅5 + 52⋅5 + 53⋅5 + . . . + 5150⋅5
5B = 5 + 52 + 53 + 54 + . . . + 5151
5B – B = (5 + 52 + 53 + 54 + . . . + 5151) – (1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 5150)
4B = 5 + 52 + 53 + 54 + . . . + 5151 – 1 – 5 – 52 – 53 – . . . – 5150
4B = 5151 – 1
B = ![\[\frac{{{5^{151}} - 1}}{4}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-1.svg)
c) C = 3 + 32 + 33 + . . . + 31000
3C = 3⋅3 + 32⋅3 + 33⋅3 + . . . + 31000⋅3
3C = 32 + 33 + 34 + . . . + 31001
3C – C = (32 + 33 + 34 + . . . + 31001) – (3 + 32 + 33 + . . . + 31000)
2C = 32 + 33 + 34 + . . . + 31001 – 3 – 32 – 33 – . . . – 31000
2C = 31001 – 3
C = ![\[\frac{{{3^{1001}} - 3}}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-2.svg)
Dạng 2. So sánh các lũy thừa
Phương pháp giải.
Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh)
Với a, b, m, n ∈ ℕ ta có:
a > b ⇔ an > bn, ∀n ∈ ℕ*
m > n ⇔ am > an (a > 1)
a = 0 hoặc a = 1 thì am = an (mn ≠ 0)
Với A, B là các biểu thức ta có:
An > Bn ⇔ A > B > 0
Am > An ⇒ m > n và A > 1
m < n và 0 < A < 1
Bài toán.
Bài 1. So sánh:
a) 33317 và 33323
b) 200710 và 200810
c) (2008 – 2007)2009 và (1998 – 1997)1999
Hướng dẫn giải
a) Vì 1 < 17 < 23 nên 33317 < 33323
b) Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810
c) Ta có: (2008 – 2007)2009 = 12009 = 1
(1998 – 1997)1999 = 11999 = 1
Vậy (2008 – 2007)2009 = (1998 – 1997)1999
Bài 2. So sánh
a) 2300 và 3200
b) 3500 và 7300
c) 85 và 3⋅47
d) 202303 và 303202
e) 9920 và 999910
f) 111979 và 371320
g) 1010 và 48⋅505
h) 199010 + 19909 và 199110
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
2300 = (23)100 = 8100
3200 = (32)100 = 9100
Vì 8100 < 9100 ⇒ 2300 < 3200
b) Tương tự câu a) ta có:
3500 = (35)100 = 243100
7300 = (73)100 = 343100
Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300
c) Ta có: 85 = 215 = 2⋅214 < 3⋅214 = 3⋅47
⇒ 85 < 3⋅47
d) Ta có:
202303 = (2⋅101)3⋅101 = (23⋅1013)101 = (8⋅101⋅1012)101 = (808⋅1012)101
303202 = (3⋅101)2⋅101 = (32⋅1012)101 = (9⋅1012)101
Vì 808⋅1012 > 9⋅1012 nên 202303 > 303202
e) Ta thấy: 992 < 99101 = 9999
⇒ (992)10 < 999910
⇒ 9920 < 999910
f) Ta có:
111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (1)
371320 = (372)660 = 1369660 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 111979 < 371320
g) Ta có:
1010 = 210⋅510 = 2⋅29⋅510 (*)
48⋅505 = (3⋅24)(25⋅510) = 3⋅29⋅510 (**)
Từ (*) và (**) ⇒ 1010 < 48⋅505
h) Ta có:
199010 + 19909 = 19909⋅(1990 + 1) = 1991⋅19909
199110 = 1991⋅19919
Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 19909 < 199110
Bài 3. Chứng tỏ rằng:
527 < 263 < 528
Hướng dẫn giải
Ta có: 263 = 1289
527 = 1259
⇒ 263 > 527 (1)
Lại có: 263 = 5127
528 = 6257
⇒ 263 < 528 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ 527 < 263 < 528
Bài 4. So sánh:
a) 10750 và 7375
b) 291 và 535
Hướng dẫn giải
a) Ta thấy:
10750 < 10850 = (4⋅27)50 = 2100⋅3150 (1)
7375 > 7275 = (8⋅9)75 = 2225⋅3150 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ 10750 < 2100⋅3150 < 2225⋅3150 < 7375
b) 291 > 290 = 3218
535 < 536 = 2518
291 > 3218 > 2518 > 535
Vậy 291 > 535
Bài 5. So sánh các cặp số sau:
a) A = 275 và B = 2433
b) A = 2300 và B = 3200
Hướng dẫn giải
a) A = 275 = (33)5 = 315
B = 2433 = 315
Vậy A = B
b) A = 2300 = 23⋅100 = 8100
B = 3200 = 32⋅100 = 9100
Vì 8 < 9 nên 8100 < 9100 ⇒ A < B
Bài 6. So sánh các số sau:
a) 19920 và 200315
b) 339 và 1121
Hướng dẫn giải
a) 19920 < 20020 = (23⋅52)20 = 260⋅540
200315 > 200015 = (2⋅103)15 = (24⋅53)15 = 260⋅545
Vậy 200315 > 19920
b) 339 < 340 = (32)20 = 920 < 1121
Bài 7. So sánh 2 hiệu:
7245 – 7244 và 7244 – 7243
Hướng dẫn giải
7245 – 7244 = 7244⋅(72 – 1) = 7244⋅71
7244 – 7243 = 7243⋅(72 – 1) = 7243⋅71
Vậy 7245 – 7244 > 7244 – 7243
Bài 8. So sánh các số sau:
a) 95 và 273
b) 3200 và 2300
c) 3500 và 7300
d) 3⋅47 và 85
e) 202303 và 303202
Hướng dẫn giải
a) Ta có: 95 = (32)5 = 310
273 = (33)3 = 39
Vì 310 > 39 nên 95 > 273
b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100
2300 = (23)100 = 8100
Vì 9100 > 8100 nên 3200 > 2300
c) Ta có: 3500 = (35)100 = 243100
7300 = (73)100 = 343100
Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300
d) Ta có: 85 = (23)5 = 215
215 = 2⋅214 < 3⋅214 = 3⋅47
Vậy 3⋅47 > 85
e) Ta có:
202303 = (2⋅101)3⋅101 = (23⋅1013)101 = (808⋅1012)101
303202 = (3⋅101)2⋅101 = (32⋅1012)101 = (9⋅1012)101
Vì 808⋅1012 > 9⋅1012 nên 202303 > 303202
Bài 9. So sánh
a) A = 1 + 2 + 22 + … + 24 và B = 25 – 1
b) C = 3 + 32 + 33 + … + 3100 và D = ![\[\frac{{{3^{101}} - 3}}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-2a.svg)
Hướng dẫn giải
a) A = 1 + 2 + 22 + … + 24
2A = 1⋅2 + 2⋅2 + 22⋅2 + … + 24⋅2
2A = 2 + 22 + 23 + … + 25
2A – A = (2 + 22 + 23 + … + 25) – (1 + 2 + 22 + … + 24)
A = 2 + 22 + 23 + … + 25 – 1 – 2 – 22 – … – 24
A = 25 – 1
Vậy A = B
b) C = 3 + 32 + 33 + … + 3100
3C = 3⋅3 + 32⋅3 + 33⋅3 + … + 3100⋅3
3C = 32 + 33 + 34 + … + 3101
3C – C = (32 + 33 + 34 + … + 3101) – (3 + 32 + 33 + … + 3100)
2C = 32 + 33 + 34 + … + 3101 – 3 – 32 – 33 – … – 3100
2C = 3101 – 3
C =
Vậy C = D
Dạng 3. Tìm số chưa biết trong lũy thừa
Phương pháp giải.
Khi giải bài toán tìm x có lũy thừa phải:
Phương pháp 1. Biến đổi về các lũy thừa cùng cơ số.
Phương pháp 2. Biến đổi về các lũy thừa cùng số mũ.
Phương pháp 3. Biến đổi về dạng tích các lũy thừa.
Bài toán.
Bài 1. Tìm x, biết.
a) 2x⋅4 = 128
b) 2x – 26 = 6
c) 64⋅4x = 45
d) 27⋅3x = 243
e) 49⋅7x = 2041
f) 3x = 81
g) 34⋅3x = 37
h) 3x + 25 = 26⋅20 + 2⋅30
Hướng dẫn giải
a) 2x⋅4 = 128
⇔ 2x = 128 : 4
⇔ 2x = 32 = 25
⇔ x = 5
b) 2x – 26 = 6
⇔ 2x = 6 + 26
⇔ 2x = 32 = 25
⇔ x = 5
c) 64⋅4x = 45
⇔ 43⋅4x = 45
⇔ 4x + 3 = 45
⇔ x + 3 = 5
⇔ x = 2
d) 27⋅3x = 243
⇔ 3x = 243 : 27
⇔ 3x = 9 = 32
⇔ x = 2
e) 49⋅7x = 2041
⇔ 7x = 2041 : 49
⇔ 7x = 49 = 72
⇔ x = 2
f) 3x = 81
⇔ 3x = 34
⇔ x = 4
g) 34⋅3x = 37
⇔ 34 + x = 37
⇔ 4 + x = 7
⇔ x = 3
h) 3x + 25 = 26⋅20 + 2⋅30
⇔ 3x = 26⋅1 + 2⋅1 – 25
⇔ 3x = 31
⇔ x = 1
Bài 2. Tìm x ∈ ℕ, biết.
a) 3x⋅3 = 243
b) 2x⋅162 = 1024
c) 64⋅4x = 168
d) 2x = 16
Hướng dẫn giải
a) 3x⋅3 = 243
⇔ 3x = 243 : 3
⇔ 3x = 81 = 34
⇔ x = 4
b) 2x⋅162 = 1024
⇔ 2x = 1024 : 256
⇔ 2x = 4 = 22
⇔ x = 2
c) 64⋅4x = 168
⇔ 43⋅4x = (42)8
⇔ 43 + x = 416
⇔ 3 + x = 16
⇔ x = 13
d) 2x = 16
⇔ 2x = 24
⇔ x = 4
Bài 3. Tìm x, biết.
a) (7x – 11)3 = 25⋅52 + 200
b) ![\[\frac{{x - 2019}}{4} = \frac{1}{{x - 2019}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-2b.svg)
c) (2x – 1)4 = 16
d) (2x + 1)4 = (2x + 1)6
e) ![\[\left| {\frac{{39}}{2} - 3{x^2}} \right| = \frac{{15}}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-3.svg)
f) (2x + 1)3 = 125
Hướng dẫn giải
a) (7x – 11)3 = 25⋅52 + 200
⇔ (7x – 11)3 = 32⋅25 + 200
⇔ (7x – 11)3 = 1000
⇔ (7x – 11)3 = 103
b)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow {\left( {x - 2019} \right)^2} = 4 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {x - 2019} \right)^2} = {2^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x - 2019 = 2 \hfill \\ \Rightarrow x = 2021\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-4.svg)
c) ![\[{\left( {2x - 1} \right)^4} = 16 \Rightarrow {\left( {2x - 1} \right)^4} = \pm {\left( 2 \right)^4}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-5.svg)
![\[ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} 2x - 1 = 2 \hfill \\ 2x - 1 = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} 2x = 3 \hfill \\ 2x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{3}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = - \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-6.svg)
d) ![\[{\left( {2x + 1} \right)^4} = {\left( {2x + 1} \right)^6}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-7.svg)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow {\left( {2x + 1} \right)^4} - {\left( {2x + 1} \right)^6} = 0 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {2x + 1} \right)^4}\left[ {1 - {{\left( {2x + 1} \right)}^2}} \right] = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} {\left( {2x + 1} \right)^4} = 0 \hfill \\ 1 - {\left( {2x + 1} \right)^2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} 2x + 1 = 0 \hfill \\ 2x + 1 = 1 \hfill \\ 2x + 1 = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = - \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = 0 \hfill \\ x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-8.svg)
e)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow \frac{{39}}{2} - 3{x^2} = \frac{{15}}{2} \hfill \\ \Rightarrow 3{x^2} = \frac{{39}}{2} - \frac{{15}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow 3{x^2} = 12 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} = 4\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x = \pm 2 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-9.svg)
f) (2x + 1)3 = 125
⇔ (2x + 1)3 = 53
⇔ 2x + 1 = 5
⇔ x = 2
Bài 4. Tìm x biết:
a) (3x – 1)10 = (3x – 1)20
b) x(6 – x)2003 = (6 – x)2003
c) 5x + 5x + 2 = 650
Hướng dẫn giải
a) ![\[{\left( {3x - 1} \right)^{10}} = {\left( {3x - 1} \right)^{20}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-10.svg)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow {\left( {3x - 1} \right)^{20}} - {\left( {3x - 1} \right)^{10}} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {3x - 1} \right)^{10}}\left[ {{{\left( {3x - 1} \right)}^{10}} - 1} \right] = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} 3x - 1 = 0 \hfill \\ {\left( {3x - 1} \right)^{10}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 3x - 1 = 1 \hfill \\ 3x - 1 = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = \frac{2}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-11.svg)
b) ![\[x{\left( {6 - x} \right)^{2003}} = {\left( {6 - x} \right)^{2003}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-12.svg)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow x{\left( {6 - x} \right)^{2003}} - {\left( {6 - x} \right)^{2003}} = 0 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {6 - x} \right)^{2003}}\left( {x - 1} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} 6 - x = 0 \hfill \\ x - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = 6 \hfill \\ x = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-13.svg)
c) 5x + 5x + 2 = 650
⇔ 5x⋅(1 + 25) = 650
⇔ 5x = 650 : 26
⇔ 5x = 25 = 52
⇔ x = 2
Bài 5. Tìm x biết:
a) 2x + 2 – 2x = 96
b) 2x + 1⋅3y = 12x
c) 10x : 5y = 20y
Hướng dẫn giải
a) 2x + 2 – 2x = 96
⇔ 2x⋅4 – 2x = 96
⇔ 2x⋅(4 – 1) = 96
⇔ 2x = 96 : 3
⇔ 2x = 32 = 25
⇔ x = 5
b) ![\[{2^{x + 1}} \cdot {3^y} = {12^x}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-14.svg)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow {2^{x + 1}} \cdot {3^y} = {2^2} \cdot {3^x}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 1 = 2 \hfill \\ x = y \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-15.svg)
c) 10x : 5y = 20y
⇔ 10x = 20y5y
⇔ 10x = 100y
⇔ 10x = 102y
⇔ x = 2y
Dạng 4. Một số bài tập nâng cao về lũy thừa
Phương pháp giải.
Phương pháp 1. Để so sánh hai lũy thừa ta thường đưa về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
+) Nếu hai lũy thừa cùng cơ số (lớn hơn 1) thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.
am > an (a > 1) ⇔ m > n
+) Nếu hai lũy thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.
an > bn (n > 0) ⇔ a > b
Phương pháp 2. Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân
A > B, B > C thì A > C
AC < BC (C > 0) ⇔ A < B
Bài toán.
Dạng 1. So sánh hai số lũy thừa.
Bài 1. So sánh các lũy thừa: 32n và 23n
Hướng dẫn giải
Ta có: 32n = (32)n = 9n
23n = (23)n = 8n
Vì 9n > 8n nên 32n > 23n
Dạng 2. So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy thừa)
+) Thu gọn biểu thức lũy thừa bằng cách vận dụng các phép tính lũy thừa, cộng trừ các số theo quy luật.
+) Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy thừa ở phần B.
+) Nếu biểu thức lũy thừa là dạng phân thức: Đối với từng trường hợp bậc của lũy thừa ở tử lớn hơn hay bé hơn bậc của lũy thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên rồi so sánh từng phần tương ứng.
Với a, m, n, K ∈ ℕ*. Ta có:
+) Nếu m > n thì ![\[K - \frac{a}{m} > K - \frac{a}{n}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-16.svg)
và ![\[K + \frac{a}{m} < K + \frac{a}{n}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-17.svg)
+) Nếu m < n thì ![\[K - \frac{a}{m} < K - \frac{a}{n}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-18.svg)
và ![\[K + \frac{a}{m} > K + \frac{a}{n}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-19.svg)
(còn gọi là phương pháp so sánh phần bù)
⋆ Với biểu thức là tổng các số có dạng ![\[\frac{1}{{{a^2}}}\left( {a \in {\mathbb{N}^*}} \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-20.svg)
ta có vận dụng so sánh sau:
![\[\frac{1}{a} - \frac{1}{{a + 1}} < \frac{1}{{{a^2}}} < \frac{1}{{a - 1}} - \frac{1}{a}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-21.svg)
Bài 1. Cho S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 29. So sánh S với 5⋅28
Hướng dẫn giải
S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 29
2S = 2 + 22 + 23 + 24 + … + 210
⇒ S = 210 – 1
Mà 210 – 1 < 210 = 4⋅28 < 5⋅28
Vậy S < 5⋅28
Bài 2. So sánh hai biểu thức A và B, biết:
![\[A = \frac{{{{10}^{15}} + 1}}{{{{10}^{16}} + 1}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-22.svg)
và ![\[B = \frac{{{{10}^{16}} + 1}}{{{{10}^{17}} + 1}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-23.svg)
Hướng dẫn giải
![\[\begin{gathered} A = \frac{{{{10}^{15}} + 1}}{{{{10}^{16}} + 1}} \hfill \\ \Rightarrow 10A{\text{ }} = 10 \cdot \left( {\frac{{{{10}^{15}} + 1}}{{{{10}^{16}} + 1}}} \right) = \frac{{{{10}^{16}} + 10}}{{{{10}^{16}} + 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array} = \frac{{{{10}^{16}} + 1 + 9}}{{{{10}^{16}} + 1}} = 1 + \frac{9}{{{{10}^{16}} + 1}} \hfill \\ B = \frac{{{{10}^{16}} + 1}}{{{{10}^{17}} + 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow 10B{\text{ }} = 10 \cdot \left( {\frac{{{{10}^{16}} + 1}}{{{{10}^{17}} + 1}}} \right) = \frac{{{{10}^{17}} + 10}}{{{{10}^{17}} + 1}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array} = \frac{{{{10}^{17}} + 1 + 9}}{{{{10}^{17}} + 1}} = 1 + \frac{9}{{{{10}^{17}} + 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-24.svg)
Vì ![\[{10^{16}} + 1 < {10^{17}} + 1 \Rightarrow \frac{9}{{{{10}^{16}} + 1}} > \frac{9}{{{{10}^{17}} + 1}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-25.svg)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow 1 + \frac{9}{{{{10}^{16}} + 1}} > 1 + \frac{9}{{{{10}^{17}} + 1}} \hfill \\ \Rightarrow 10A > 10B{\text{ }}hay{\text{ }}A > B\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-26.svg)
Bài 3. So sánh hai biểu thức C và D, biết:
![\[C = \frac{{{2^{2008}} - 3}}{{{2^{2007}} - 1}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-27.svg)
và ![\[D = \frac{{{2^{2007}} - 3}}{{{2^{2006}} - 1}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-28.svg)
Hướng dẫn giải
![\[\begin{gathered} C = \frac{{{2^{2008}} - 3}}{{{2^{2007}} - 1}} \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{2}C{\text{ }} = \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{{2^{2008}} - 3}}{{{2^{2007}} - 1}}} \right) = \frac{{{2^{2008}} - 3}}{{{2^{2008}} - 2}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array} = \frac{{{2^{2008}} - 2 - 1}}{{{2^{2008}} - 2}} = 1 - \frac{1}{{{2^{2008}} - 2}} \hfill \\ D = \frac{{{2^{2007}} - 3}}{{{2^{2006}} - 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{2}D{\text{ }} = \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{{2^{2007}} - 3}}{{{2^{2006}} - 1}}} \right) = \frac{{{2^{2007}} - 3}}{{{2^{2007}} - 2}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array} = \frac{{{2^{2007}} - 2 - 1}}{{{2^{2007}} - 2}} = 1 - \frac{1}{{{2^{2007}} - 2}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-29.svg)
Vì ![\[{2^{2008}} - 2 > {2^{2007}} - 2 \Rightarrow \frac{1}{{{2^{2008}} - 2}} > \frac{1}{{{2^{2007}} - 2}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-30.svg)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow 1 - \frac{1}{{{2^{2008}} - 2}} > 1 - \frac{1}{{{2^{2007}} - 2}} \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{2}C > \frac{1}{2}D{\text{ }}hay{\text{ }}C > D\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-31.svg)
Dạng 3. Từ việc so sánh lũy thừa, tìm cơ số (số mũ) chưa biết.
⋆ Với các số tự nhiên m x p, , và số dương a.
+) Nếu a > 1 thì: am < ax < ap ⇒ m < x < p
⋆ Nếu a < 1 thì: am < ax < ap ⇒ m > x > p
⋆ Với các số dương a, b và số tự nhiên m, ta có: am < bm ⇒ a < b .
Bài 3. Tìm các số nguyên n thỏa mãn: 364 < n48 < 572
Hướng dẫn giải
Ta giải từng bất đẳng thức 364 < n48 và n48 < 572
Ta có: n48 > 364
⇒ (n3)16 > (34)16
⇒ (n3)16 > 8116
⇒ n3 > 81
⇒ n > 4 (n ∈ ℤ) (1)
Mặt khác: n48 < 572
⇒ (n2)24 < (53)24
⇒ (n2)24 < 12524
⇒ n2 < 125
⇒ –11 ≤ n ≤ 11 (n ∈ ℤ) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ 4 < n ≤ 11
Vậy n nhận các giá trị nguyên là: 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11.
Bài 4. Tìm x ∈ ℕ, biết:
a) 16x < 1284
b) 5x⋅5x + 1⋅5x + 2 ≤ 1000000000000000000 : 218
Hướng dẫn giải
a) 16x < 1284
⇒ (24)x < (27)4
⇒ 24x < 228
⇒ 4x < 28
⇒ x < 7
⇒ x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}
b) 5x⋅5x + 1⋅5x + 2 ≤ 1000000000000000000 : 218
⇒ 53x + 3 ≤ 1018 : 218
⇒ 53x + 3 ≤ 518
⇒ 3x + 3 ≤ 18
⇒ x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5}
Bài 5. Tìm số tự nhiên x, y sao cho 10x = y2 – 143
Hướng dẫn giải
Ta có: 10x = y2 – 143 ⇒ 10x + 143 = y2
Nếu x = 0 ⇒ y = 12 thỏa mãn.
Nếu x > 0 ⇒ 10x có chữ số tận cùng là 0.
Khi đó, 10x có chữ số tận cùng là 3. Mà y2 là số chính phương nên không thể có tận cùng bằng 3.
Do đó không tồn tại x, y thỏa mãn.
Vậy x = 0; y = 12
Bài 6.
a) Số 58 có bao nhiêu chữ số?
b) Hai số 22003 và 52003 viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số?
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
![\[\begin{gathered} {5^8} = {\left( {{5^4}} \right)^2} = {625^2} > {600^2} = 360000 \hfill \\ {5^8} = \frac{{{{10}^8}}}{{{2^8}}} = \frac{{100000000}}{{256}} < \frac{{100000000}}{{250}} = 400000\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow 360000 < {5^8} < 400000 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/luy-thua-voi-so-mu-tu-nhien-32.svg)
Do đó 58 có 6 chữ số.
b) Giả sử 22003 có a chữ số và 52003 có b chữ số thì khi viết 2 số này liền nhau ta được (a + b) chữ số.
Vì 10a – 1 < 22003 < 10a và 10b – 1 < 52003 < 10b
⇒ 10a – 1⋅10b – 1 < 22003⋅52003 < 10a⋅10b
⇒ 10a + b – 2 < 102003 < 10a + b
Do đó: 2003 = a + b – 1 ⇒ a + b = 2004
Vậy số đó có 2004 chữ số.
Bài 7. Tìm số 5 các chữ số của các số n và m trong các trường hợp sau:
a) n = 83⋅155
b) m = 416⋅525
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
n = 83⋅155 = (23)3⋅(35)5 = 29⋅35⋅55 = 24⋅35⋅(25)5 = 16⋅243⋅105 = 3888⋅105
Số 3888⋅105 gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số.
Vậy số n có 9 chữ số.
b) Ta có:
m = 416⋅525 = (22)16⋅525 = 232⋅525 = 27⋅(225⋅525) = 128⋅1025
Số 128⋅1025 gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số.
Vậy số m có 28 chữ số.
Dạng 4. Sử dụng lũy thừa chứng minh chia hết
Bài 1. Chứng minh rằng:
a) A = 1 + 3 + 32 + … + 311 chia hết cho 4
b) B = 165 + 215 chia hết cho 33
c) C = 5 + 52 + 53 + … + 58 chia hết cho 30
d) D = 45 + 99 + 180 chia hết cho 9
e) E = 1 + 3 + 32 + 33 + … + 3119 chia hết cho 13
f) F = 1028 + 8 chia hết cho 72
g) G = 88 + 220 chia hết cho 17
h) H = 2 + 22 + 23 + … + 260 chia hết cho 3, 7, 15
i) I = 1 + 3 + 32 + 33 + … + 31991 chia cho 13 và 41
j) J = 10n + 18n – 1 chia hết cho 27
k) K = 10n + 72n – 1 chia hết cho 81
Hướng dẫn giải
a) A = 1 + 3 + 32 + … + 311
= (1 + 3) + 32⋅(1 + 3) + … + 310⋅(1 + 3)
= 4 + 32⋅4 + … + 310⋅4
= 4⋅(1 + 32 + … + 310) ⋮ 4 (đpcm)
b) B = 165 + 215
= (24)5 + 215
= 220 + 215
= 215⋅(1 + 25)
= 215⋅33 ⋮ 33 (đpcm)
c) C = 5 + 52 + 53 + … + 58
= (5 + 52) + 52⋅(5 + 52) + … + 56⋅(5 + 52)
= 30 + 52⋅30 + … + 56⋅30
= 30⋅(1 + 52 + … + 56) ⋮ 30 (đpcm)
d) D = 45 + 99 + 180
Ta có: 45 ⋮ 9; 99 ⋮ 9; 180 ⋮ 9
Nên D = 45 + 99 + 180 ⋮ 9 (đpcm) (tính chất chia hết của một tổng)
e) E = 1 + 3 + 32 + 33 + … + 3119
= (1 + 3 + 32) + 32⋅(1 + 3 + 32) + … + 3117⋅(1 + 3 + 32)
= 13 + 32⋅13 + … + 3117⋅13
= 13⋅(1 + 32 + … + 3117) ⋮ 13 (đpcm)
f) F = 1028 + 8 chia hết cho 72
Ta có: 1028 + 8 ⋮ 9 vì tổng các chữ số bằng 9
1028 + 8 ⋮ 8 vì có tận cùng là 008
Mà (8; 9) = 1 nên 1028 + 8 ⋮ 8⋅9 = 72 (đpcm)
g) G = 88 + 220
= (23)8 + 220
= 224 + 220
= 220⋅(24 + 1)
= 220⋅17 ⋮ 17 (đpcm)
h) H = 2 + 22 + 23 + … + 260
= 2⋅(1 + 2) + 23⋅(1 + 2) + … + 259⋅(1 + 2)
= 2⋅3 + 23⋅3 + … + 259⋅3
= 3(2 + 23 + … + 259) ⋮ 3
Ta có: H = 2 + 22 + 23 + … + 260
= 2⋅(1 + 2 + 22) + 24⋅(1 + 2 + 22) + … + 258⋅(1 + 2 + 22)
= 2⋅7 + 24⋅7 + … + 258⋅7
= 7⋅(2 + 24 + … + 258) ⋮ 7
Ta có: H = 2 + 22 + 23 + … + 260
= 2⋅(1 + 2 + 22 + 23) + 25⋅(1 + 2 + 22 + 23) + … + 257⋅(1 + 2 + 22 + 23)
= 2⋅15 + 25⋅15 + … + 257⋅15
= 15⋅(2 + 25 + … + 257) ⋮ 15
Vậy H chia hết cho 3; 7; 15
i) I = 1 + 3 + 32 + 33 + … + 31991
= (1 + 3 + 32) + 33⋅(1 + 3 + 32) + … + 31989⋅(1 + 3 + 32)
= 13 + 33⋅13 + … + 31989⋅13
= 13⋅(1 + 33 + … + 31989) ⋮ 13 (đpcm)
Ta có: I = 1 + 3 + 32 + 33 + … + 31991
= (1 + 32 + 34 + 36) + ( 3 + 33 + 35 + 37) + … + (31984 + 31986 + 31988 + 31990) + (31985 + 31987 + 31989 + 31991)
= (1 + 32 + 34 + 36) + 3⋅(1 + 32 + 34 + 36) + … + 31984⋅(1 + 32 + 34 + 36) + 31985⋅(1 + 32 + 34 + 36)
= 820⋅(1 + 3 + … + 31984 + 31985)
= 41⋅20⋅(1 + 3 + … + 31984 + 31985) ⋮ 41
Vậy I chia hết cho 13; 41
j) J = 10n + 18n – 1
= (10n – 1) + 18n
= 99…9 + 18n (số 99…9 có n chữ số 9)
= 9⋅(11…1 + 2n) (số 11…1 có n chữ số 1)
= 9L
Xét biểu thức trong ngoặc
L = 11…1 + 2n = 11…1 – n + 3n (số 11…1 có n chữ số 1)
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3.
Số 11…1 có n chữ số 1 có tổng các chữ số là 1 + 1 + … + 1 = n (vì có n chữ số 1).
⇒ 11…1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3
⇒ 11…1 (n chữ số 1) – n ⋮ 3
⇒ L ⋮ 3
⇒ 9L ⋮ 27 hay J = 10n + 18n – 1 ⋮ 27 (đpcm)
k) K = 10n + 72n – 1
= 10n – 1 + 72n
= (10 – 1)(10n – 1 + 10n – 2 + … + 10 + 1) + 72n
= 9⋅(10n – 1 + 10n – 2 + … + 10 + 1) – 9n + 81n
= 9⋅(10n – 1 + 10n – 2 + … + 10 + 1 – n) + 81n
= 9⋅[(10n – 1 – 1) + (10n – 2 – 1) + … + (10 – 1) + (1 – 1)] + 81n
Ta có: 10k – 1 = (10 – 1)(10k – 1 + … + 10 + 1) ⋮ 9
⇒ 9⋅[(10n – 1 – 1) + (10n – 2 – 1) + … + (10 – 1) + (1 – 1)] ⋮ 81
⇒ 9⋅(10n – 1 + 10n – 2 + … + 10 + 1 – n) + 81n ⋮ 81
⇒ K = 10n + 72n – 1 ⋮ 81 (đpcm)
