Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
+) Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng chia hết cho 2 (hoặc các chữ số tận cùng là số chẵn).
+) Dấu hiệu chia hết cho 3: Tổng các chữ số chia hết cho 3
+) Dấu hiệu chia hết cho 5: Có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
+) Dấu hiệu chia hết cho 9: Tổng các chữ số chia hết cho 9
Phân dạng bài tập
Dạng 1: Nhận biết dấu hiệu một số (một tổng hoặc một hiệu) chia hết cho 2, 3, 5, 9
Mức độ nhận biết
Câu 1. Xét số ![\[\overline {25*} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/dau-hieu-chia-het-1.svg)
thay * bởi chữ số nào thì chia hết cho 2?
A. 0; 2; 4; 6; 8
B. 0; 1; 3; 5; 7
C. 0; 1; 2; 3; 4
D. 6; 7; 8; 9.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Sử dụng tính chất chia hết cho 2
Câu 2. Cho các số 125; 147; 149; 536. Số chia hết cho 2 là?
A. 536
B. 125
C. 147
D. 149
Hướng dẫn giải
Chọn A
Sử dụng tính chất chia hết cho 2.
Câu 3. Cho các số 120; 157; 148; 169. Số chia hết cho 5 là?
A. 120
B. 147
C. 148
D. 169
Hướng dẫn giải
Chọn A
Sử dụng tính chất chia hết cho 5
Câu 4. Trong các khẳng định dưới đây. Khẳng định sai là
A. Một số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 9.
B. Một số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 3.
C. Một số chia hết cho 10 thì số đó chia hết cho 5.
D. Một số chia hết cho 45 thì số đó chia hết cho 9.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Sử dụng tính chất chia hết cho 3 và 9
Mức độ thông hiểu
Câu 5. Từ ba trong bốn số 5, 6, 3, 0 hãy ghép thành số có ba chữ số khác nhau là số lớn nhất chia hết cho 2 và 5
A. 650
B. 560
C. 630
D. 750
Hướng dẫn giải
Chọn A
Số chia hết cho 2 và 5 có tận cùng là 0 nên chữ số hàng đơn vị của các số này là 0.
Từ đó ta lập được các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 2 và 5 là 560; 530; 650; 630; 350; 360.
Số lớn nhất trong 6 số trên là 650.
Vậy số cần tìm là 650.
Câu 6. Trong các số 333, 354, 360, 2457, 1617, 152 các số chia hết cho 9 là?
A. Đáp án khác
B. 360
C. 1617
D. 152
Hướng dẫn giải
Chọn A
Các số 333; 2457; 360 là các số chia hết cho 9 vì tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
Câu 7. Số chia hết cho cả 3; 5 và 9 là?
A. 1125
B. 1140
C. 2020
D. 2021
Hướng dẫn giải
Chọn A
Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3; 5; 9
Mức độ vận dụng
Câu 8. Tìm các chữ số x, y biết rằng ![\[\overline {23x5y} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/dau-hieu-chia-het-2.svg)
chia hết cho 2, 5 và 9
A. x = 8; y = 0
B. x = 6; y = 0
C. x = 0; y = 8
D. x = 2; y = 5
Hướng dẫn giải
Chọn A
Điều kiện x, y ∈ {0; 1; 2; …; 9}
Vì chia hết cho cả 2 và 5 nên y = 0 ta được ![\[\overline {23x50} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/dau-hieu-chia-het-3.svg)
Số ![\[\overline {23x50} {\text{ }} \vdots {\text{ }}9\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/dau-hieu-chia-het-4.svg)
⇒ (2 + 3 + x + 5 + 0) ⋮ 9
⇒ (10 + x) ⋮ 9
⇒ x = 8
Vậy x = 8; y = 0 ta có số 23850
Câu 9. Cho ![\[N = \overline {3a74b} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/dau-hieu-chia-het-5.svg)
chia hết cho 5 và 9 nhưng không chia hết cho 2. Khi đó a – b là
A. 3
B. 0
C. –3
D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vì N chia hết cho 5 và N không chia hết cho 2 nên chữ số tận cùng của N phải là 5
⇒ b = 5
Mà N chia hết cho 9, nên tổng các chữ số của N phải chia hết cho 9.
Ta có: 3 + a + 7 + 4 + 5 ⋮ 9 ⇒ a + 19 ⋮ 9 ⇒ a = 8
Vậy a – b = 8 – 5 = 3
Mức độ vận dụng cao
Câu 10. Viết các số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 99 ta được số A. Khi đó tổng tất cả các chữ số của A là số chia hết cho
A. 3 và 9
B. 2 và 5
C. 2
D. 10
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: A = 10111213…9899
Xét các số tự nhiên liên tiếp có hai chữ số 10; 11; 12; 13; …; 98; 99, suy ra có:
(99 – 10)⋅1 + 1 = 90 (số)
Tổng các chữ số hàng chục:
(1 + 2 + 3 + … + 8 + 9)⋅10 = 450
Tổng các chữ số hàng đơn vị:
(0 + 1 + 2 + … + 8 + 9)⋅9 = 405
Tổng các chữ số của A là:
450 + 405 = 855
Vậy tổng các chữ số của A chia hết cho 3 và 9.
Dạng 2: Tìm điều kiện để một số (một tổng) chia hết cho 2, 3, 5, 9
Mức độ nhận biết
Câu 1. Tìm tập hợp các chữ số điền vào dấu * để được số ![\[\overline {14*} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/dau-hieu-chia-het-6.svg)
chia hết cho 2
A. {0; 2; 4; 6; 8}
B. {2; 4; 6; 8}
C. {2}
D. {0; 2; 4; 6; 8; 10…}
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vì các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.
Nên * ∈ {0; 2; 4; 6; 8}
Câu 2. Tìm tập hợp các chữ số điền vào dấu * để được số ![\[\overline {27*} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/dau-hieu-chia-het-7.svg)
chia hết cho 5.
A. {5}
B. {0; 5}
C. {0}
D. {9}
Hướng dẫn giải
Chọn B
Vì các số chia hết cho 5 thì tận cùng phải là chữ số 5 hoặc chữ số 0 nên * ∈ {0; 5}
Câu 3. Tìm tập hợp các chữ số điền vào dấu * để được số ![\[\overline {*65} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/dau-hieu-chia-het-8.svg)
chia hết cho 5.
A. {5}
B. {0; 5}
C. {0}
D. {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Hướng dẫn giải
Chọn D
Vì số là số có tận cùng là 5 luôn chia hết cho 5 nên * ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Câu 4. Tìm tập hợp các chữ số điền vào dấu * để được số ![\[\overline {2*8} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/dau-hieu-chia-het-9.svg)
chia hết cho 3.
A. {3}
B. {6}
C. {9}
D. {2; 5; 8}
Hướng dẫn giải
Chọn D
Vì các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
Để số chia hết cho 3 thì (2 + * + 8) ⋮ 3 hay (10 + *) ⋮ 3 nên * ∈ {2; 5; 8}
Câu 5. Tìm tập hợp các chữ số điền vào dấu * để được số ![\[\overline {63*} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/dau-hieu-chia-het-10.svg)
chia hết cho 9.
A. {6}
B. {0; 9}
C. {3}
D. ⊘
Hướng dẫn giải
Chọn B
Vì các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
Để số chia hết cho 9 thì (6 + 3 + *) ⋮ 9 hay (9 + *) ⋮ 9 nên * ∈ {0; 9}
Mức độ thông hiểu.
Câu 6. Tìm tập hợp các chữ số điền vào dấu * để được số ![\[\overline {85*} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/dau-hieu-chia-het-11.svg)
chia hết cho cả 2 và 5
A. {5}
B. {0; 5}
C. {0}
D. {0; 2; 4; 6; 8}
Hướng dẫn giải
Chọn C
Vì các số chia hết cho cả 2 và 5 thì tận cùng phải là chữ số 0 nên * ∈ {0} .
Câu 7. Tìm tập hợp các chữ số điền vào dấu * để được số ![\[\overline {43*} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/dau-hieu-chia-het-12.svg)
chia hết cho cả 3 và 5.
A. {5}
B. {0; 5}
C. {0}
D. ⊘
Hướng dẫn giải
Chọn A
Một số muốn chia hết cho 5 thì phải có chữ số tận cùng là 5 hoặc 0 nên chia hết cho 5 thì * ∈ {0; 5} .
Để số chia hết cho cả 3 và 5 thì tổng các chữ số (4 + 3 + *) ⋮ 3 kết hợp với khẳng định trên ta có * ∈ {5}
Câu 8. Tìm hai chữ số a và b sao cho số ![\[\overline {a3b} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/dau-hieu-chia-het-13.svg)
chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9.
A. a = b = 0
B. a = 6; b = 5
C. a = 3; b = 0
D. a = 6; b = 0
Hướng dẫn giải
Chọn D
Để số chia hết cho cả 2 và 5 thì chữ số tận cùng b phải bằng 0
Để số chia hết cho cả 3 và 9 thì tổng các chữ số (a + 3 + b) ⋮ 9 hay (a + 3) ⋮ 9 (do b = 0)
Vậy a = 6; b = 0
Mức độ vận dụng.
Câu 9. Dùng ba chữ số 9; 0; 5. Em ghép được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 5
A. 3
B. 4
C. 2
D. 6.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Một số muốn chia hết cho 5 thì phải có chữ số tận cùng là 5 hoặc 0 nên từ ba chữ số 9; 0; 5 ghép được thành số có ba chữ số chia hết cho 5 là: 905; 950; 590.
Câu 10. Dùng ba trong bốn chữ số 3; 6; 9; 0. Em ghép được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và và số đó chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9.
A. 4
B. 6
C. 8
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn A
Số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 là số có tổng các chữ số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
Có 2 bộ ba chữ số có tổng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 là 6; 9; 0 và 3; 9; 0
Ta ghép được 8 số là 690; 960; 609; 906; 390; 309; 903; 930.
Mức độ vận dụng cao.
Câu 11. Các số tự nhiên từ 10 đến 1000 có bao nhiêu số chia hết cho 3.
A. 330
B. 390
C. 300
D. 450
Hướng dẫn giải
Chọn A
Các số tự nhiên từ 10 đến 1000 chia hết cho 3 gồm 12; 15; 18; 21; …; 999
Số các số hạng của dãy số trên là (999 – 12) : 3 + 1 = 330
Vậy từ 10 đến 1000 có 330 số chia hết cho 3.
