Bài viết này VerbaLearn sẽ giúp bạn phân tích tìm hướng giải dạng toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1, 2, 3, 4, 5, 6,… dễ hiểu nhất. Đây là một bài toán khá hay trong chương trình toán 12. Bài toán vận dụng phương pháp tìm m để thỏa mãn tính đơn điệu của hàm số đồng thời ứng dụng định lý VIET, một kiến thức quan trọng khi tìm hiểu về hàm số.
Tìm m để hàm đồng biến, nghịch biến trên đoạn có độ dài
Dạng 1: Dạng tổng quát
Phương pháp giải
Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + x + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l. (l = 1, 2, 3, 4, 5, 6,…)
- Bước 1: Tính y’ = f’(x).
- Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
(1) - Bước 3: Biến đổi |x1 – x2| = l thành (x1 – x2)2 – 4x1․x2 = l2 (2).
- Bước 4: Sử dụng định lý Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo m.
- Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
Nhắc lại định lí Vi-et
Ứng dụng định lý Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì: 
Dạng 2: Đoạn có độ dài bằng l
Phương pháp giải
Bài toán tương tự như dạng tổng quát. Ở bước 3, ta tiến hành giải phương trình (2) sau khi có độ dài của đề bài.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2
A. m = 0
B. m < 3
C. m = 2
D. m > 3
Lời giải
Đáp án: A
Đạo hàm: y’ = 3x2 + 6x + m.
Xét phương trình y’ = 0 hay 3x2 + 6x + m = 0 (*)
Để hàm số nghịch biển trên đoạn có độ dài bằng 2 thì phương trình (*) có 2 nghiệm x1, x2 và |x1 – x2| = 2
Theo hệ thức Vi-ét ta có 
Giải |x1 – x2| = 2 ⇔ (x1 – x2)2 = 4
⇔ (x1 + x2)2 – 4x1․x2 = 4 
⇔ m = 0
Vậy m = 0
Câu 2. Tìm m để hàm số 
nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 
.
Lời giải
Xét hàm số , ta có 
Để hàm số nghịch biến thì: 
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng nên: 
Theo định lí Vi-et-ta có: 
,
Đối chiếu với điều kiện (*), ta kết luận: Không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán đề ra.
Dạng 3: Đoạn có độ dài lớn hơn l hoặc nhỏ hơn l
Phương pháp giải
Bước 1, bước 2 ta tiến hành theo dạng tổng quát. Tuy nhiên tới bước 3 phương trình sẽ bị thay thế thành một bất phương trình.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm m để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 1
1) Tìm m để hàm số 
đồng biến trên (1; +∞).
2) Tìm m để hàm số y = -x3 + 3x2 + (m – 1) x + 2m – 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1.
Lời giải
1)
TXÐ: D = ℝ
Ta có: y’ = x2 – 2mx + 1 – 2m
Hàm số cho đồng biến trên (1; +∞) ⇔ y’ ≥ 0
⇔ x2 – 2mx + 1 – 2m ≥ 0 ⇔ x2 + 1 ≥ 2m (x + 1)
⇔ 
(do x + 1 > 0 khi x > 1)
Xét hàm số 
, x ∊ (1; +∞)
, ∀ x ∊ (1; +∞)
Suy ra f(x) ≥ 2m, ∀ x ∊ (1; +∞) 
⇔ f(1) ≥ 2m
⇔ 1 ≥ 2m ⇔ m ≤ ½
2) y = -x3 + 3x2 + (m – 1) x + 2m – 3
TXÐ: D=R
Ta có: y’ = -3x2 + 6x + m–1, ∆’ = 3m +6
Nếu m ≤ -2 ⇒ ∆’ ≤ 0 ⇒ y’ ≥ 0 ∀ x ∊ ℝ
⇒ Hàm số nghịch biến trên ℝ nên hàm số không có khoảng đồng biến.
Nếu m > -2 ⇒ y’ = 0 có hai nghiệm x1 < x2, và y’ ≤ 0 ⇔ x ∊ [x1;x2]
⇒ Yêu cầu bài toán ⇔ |x1 – x2| < 1 ⇔ (x1 + x2)2 – 4x1․x2 < 1
Vậy 
là những giá trị cần tìm.
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực m để f(x) = -x3 + 3x2 + (m – 1) x + 2m – 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1.
A. m ≥ 0
B. m ≤ 0
C. 
D. 
Lời giải
Đáp án: D
Ta có đạo hàm y’ = -3x2 + 6x + m – 1.
Hàm số đồng biển trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2, thỏa mãn |x1 – x2| = 1.
Theo Vi-ét ta có 
Để |x1 – x2| > 1 ⇔ (x1 – x2)2 > 1 ⇔ (x1 + x2)2 – 4x1․x2 > 1
⇔ 4m + 5 > 0 hay
Kết hợp với điều kiện ta được:
Câu 3. Tìm m để hàm số y = 2x3 + 3(m – 1) x2 + 6(m – 2) x + 3 nghịch biển trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3.
A. m > 6
B. 0 < m < 6
C. m < 0
D. m < 0 hoặc m > 6
Lời giải
Đáp án: D
Tập xác định D = ℝ.
Ta có đạo hàm y’ = 6x2 + 6(m – 1) x + 6(m – 2)
Xét phương trình y’ = 0 hay 6x2 + 6(m – 1) x + 6(m – 2) = 0 
Hàm số nghịch biển trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3 khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho|x1 – x2| > 3 (1)
Tương đương với: 
Tài liệu tham khảo
