Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số xuất hiện khá thường xuyên trong các đề thi toán học. Với nhiều mức độ, nhiều dạng khác nhau. Hiểu được sự khó khăn của học sinh khi bắt đầu tiếp xúc với các dạng bài này, bài học hôm nay VerbaLearn sẽ tổng hợp lại chi tiết các dạng toán và kiến thức liên quan đến GTLN, GTNN trong toán học và đặc biệt là chương trình toán lớp 12.
Lý thuyết
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
+) Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≤ M với mọi x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = M.
Kí hiệu: 
+) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≥ M với mọi x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = M.
Kí hiệu: 
⟹ Sơ đồ hệ thống hóa giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
Phân dạng bài tập
Thông thường đối với các bài giảng về giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất chỉ có cơ bản vài dạng bài tập. Tuy nhiên đối với một bài viết tổng quan về chuyên đề như này thì VerbaLearn chia thành 13 dạng từ cơ bản, vận dụng cho đến vận dụng cao. Nếu các dạng bài tập quá dài bạn đọc có thể tải các tài liệu về để xem một cách dễ dàng hơn.
Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên một khoảng
Phương pháp giải
Ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1. Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho khoảng)
- Bước 2. Tính y’ = f’(x); tìm các điểm mà đạo hàm bằng không hoặc không xác định.
- Bước 3. Lập bảng biến thiên
- Bước 4. Kết luận
Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải theo các bước như sau:
Bước 1. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên miền (a;b) ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 lập bảng giá trị)
Bước 2. Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất hiện là min.
– Ta thiết lập miền giá trị của biến x Start a End b Step 
(có thể làm tròn để Step đẹp).
Chú ý: Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx… ta chuyển máy tính về chế độ Radian.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hàm số 
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 
B. 
C.
D. Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất
Hướng dẫn giải
Chọn B
Tập xác định D = ℝ
Ta có f’(x) = -2x5 + 2x4 – x + 1 = – (x – 1)(2x4 + 1)
Khi đó f’(x) = 0 ⇔ – (x – 1)(2x4 + 1) = 0 ⇔ x = 1
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy tại x = 1
Câu 2. Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số 
trên khoảng (-∞; 1). Khi đó giá trị của biểu thức 
bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Chọn C
Hàm số liên tục trên khoảng (-∞; 1)
Ta có 
Khi đó f’(x) = 0 ⇔ 8x2 – 12x – 8 = 0 ⇔ 
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy 
Câu 3. Cho hàm số 
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. 
B. 
C. 
D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn giải
Chọn B
Tập xác định D = ℝ
Ta có 
Do đó y’ = 0 ⇔ 2x2 – 2 = 0 ⇔ x = ±1
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy tại x = 1
Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Phương pháp giải
- Bước 1. Tính f’(x)
- Bước 2. Tìm các điểm xi ∈ (a;b) mà tại đó f’(xi) = 0 hoặc f’(xi) không xác định
- Bước 3. Tính f(a), f(xi), f(b)
- Bước 4. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Khi đó 
và 
Chú ý:
– Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì 
– Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì 
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hàm số 
. Giá trị của 
bằng
A. 16
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có 
; do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-∞; 1); (1; +∞)
⇒ Hàm số nghịch biến trên [2; 3].
Do đó 
Vậy 
Câu 2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
. Giá trị của biểu thức P = M + m bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Chọn A
Tập xác định D = [-2; 2]
Ta có 
, x ∈ (-2; 2)
y’ = 0 ⇔ 
Vậy 
Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3 – 3x2 + m trên đoạn [0; 5] bằng 5 khi m bằng
A. 6
B. 10
C. 7
D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Hàm số xác định và liên tục trên D = [0; 5]
Ta có y’ = 0 ⇔ 6x2 – 6x = 0 ⇔ 
f (0) = m; f (1) = m – 1; f (5) = 175 + m
Dễ thấy f (5) > f (0) > f (1), ∀ m ∈ ℝ nên 
Theo đề bài 
⇔ m – 1 = 5 ⇔ m = 6
Câu 4. Gọi A, B là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 
trên đoạn [2; 3]. Tất cả các giá trị thực của tham số m để 
là
A. m = 1; m = -2
B. m = -2
C. m = ±2
D. m = -1; m = 2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [2; 3]
Ta có 
Do đó 
⇔ 3m2 + m – 6 = 0 ⇔ 
Câu 5. Biết hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(2m – 1) x + 1 (với m là tham số) trên đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn nhất bằng 6. Các giá trị của tham số m là
A. m = 1
B. m = 0
C. m = 3
D. m = -1
Hướng dẫn giải
Chọn D
y’ = 0 ⇔ 
Vì y(-2) = -1; y(0) = 1 và theo bài ra 
nên giá trị lớn nhất không đạt tại x = -2; x = 0.
Do đó giá trị lớn nhất đạt tại y(-1) hoặc y(1 – 2m).
Ta có y(-1) = -3m + 3; y(1 – 2m) = (1 – 2m)2(m – 2) + 1
Trường hợp 1: Xét -3m + 3 = 6 ⇔ m = -1
Thử lại với m = -1, ta có y’ = 0 ⇔ 
nên m = -1 là một giá trị cần tìm.
Trường hợp 2: Xét 
Vì 
⇒ m – 2 < 0 ⇒ (1 – 2m)2(m – 2) < 0 nên (1) vô nghiệm
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [a; b]
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
– Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử thứ tự là M, m.
– Bước 2.
+) Tìm 
+) Tìm 
Trường hợp 1: M․m < 0 ⇒ = 0
Trường hợp 1: m ≥ 0 ⇒ = m
Trường hợp 1: M ≤ 0 ⇒ = |M| = -M
– Bước 3. Kết luận.
* Tìm tham số để GTLN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [α, β] bằng k. Thực hiện theo các bước sau:
– Bước 1. Tìm 
– Bước 2. Xét các trường hợp
+) |A| = k tìm m, thử lại các giá trị m đó
+) |B| = k tìm m, thử lại các giá trị m đó
Bài tập vận dụng
Câu 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x3 – 9x2 + 24x – 68| trên đoạn [-1; 4] bằng
A. 48
B. 52
C. -102
D. 0
Hướng dẫn giải
Chọn A
Bảng biến thiên của hàm số y = x3 – 9x2 + 24x – 68 trên đoạn [-1; 4]
![Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [a; b]](https://danchuyentoan.verbalearn.org/wp-content/uploads/2021/06/tim-gia-tri-lon-nhat-nho-nhat-cua-ham-so-7.png)
Suy ra bảng biến thiên của hàm số y = |x3 – 9x2 + 24x – 68| trên đoạn [-1; 4] là
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x3 – 9x2 + 24x – 68| trên đoạn [-1; 4] bằng 48.
Cách khác: Theo trường hợp 3 thì M = -48 < 0 ⇒ min y = 48
Câu 2. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 
trên đoạn [1; 2] bằng 2.
Số phần tử của tập S là
A. 3
B. 1
C. 4
D. 2
Hướng dẫn giải
Chọn D
Xét hàm số 
Ta có 
Mặt khác 
Do đó 
– Trường hợp 1:
+) Với 
(loại)
+) Với 
(thỏa mãn)
– Trường hợp 2:
+) Với 
(thỏa mãn)
+) Với 
(loại)
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.
Câu 3. Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = |¼ x4 – 14x2 + 48x + m – 30| trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng
A. 108
B. 120
C. 210
D. 136
Hướng dẫn giải
Chọn D
Xét hàm số g(x) = ¼ x4 – 14x2 + 48x + m – 30 trên đoạn [0; 2]
Ta có g’(x) = x3 – 28x + 48 ⇒ g’(x) = 0 ⇔ 
Để 
⇒ m ∈ {0; 1; 2; …; 15; 16}
Tổng các phần tử của S là 136.
Câu 4. Biết giá trị lớn nhất của hàm số 
bằng 18.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 0 < m < 5
B. 10 < m < 15
C. 5 < m < 10
D. 15 < m < 20
Hướng dẫn giải
Chọn D
Xét hàm số 
liên tục trên tập xác định [-2; 2]
Ta có 
Do đó 
khi x = -2, suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằng 
Theo bài ra = 18 ⇔ m = 15,5. Vậy 15 < m < 20
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để GTLN của hàm số y = |f(x) + g(m)| trên đoạn [a; b] đạt GTNN
Phương pháp giải
Thực hiện các bước sau
– Bước 1. Tìm 
– Bước 2. Gọi M là giá trị lớn nhất của số y = |f(x) + g(m)| thì
M = max{|α + g(m)|; |β + g(m)|}≥ 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi |α + g(m)| = |β + g(m)|
Áp dụng bất đẳng thức 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [α + g(m)]․[β + g(m)] ≥ 0
– Bước 3. Kết luận 
khi 
Bài tập vận dụng
Câu 1. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y = |x2 + 2x + m – 4| trên đoạn [-2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt f(x) = x2 + 2x
Ta có f’(x) = 2x + 2
f’(x) = 0 ⇔ x = -1 ∈ [-2; 1]
f (-2) = 0; f (1) = 3; f (-1) = -1
Do đó 
Suy ra 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
⇒ m = 3 (thỏa mãn)
Câu 2. Để giá trị lớn nhất của hàm số 
đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Chọn A
Tập xác định D = [0; 2]
Đặt 
, x ∈ D
Ta có 
⇒ f’(x) = 0 ⇔ x = 1
f (0) = 0; f (2) = 0; f (1) = 1
Suy ra 
Dấu bằng xảy ra ⇔ 
(thỏa mãn)
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất khi
Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x, m) = |x2 – 2x + 5| + mx đạt giá trị lớn nhất bằng
A. 2
B. 5
C. 8
D. 9
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có min f (x, m) ≤ f (0, m) = 5, ∀ m ∈ ℝ
Xét m = 2 ta có f (x, 2) = |x2 – 2x + 5| + 2x ≥ x2 – 2x + 5 + 2x ≥ 5, ∀ x ∈ ℝ
Dấu bằng xảy ra tại x = 0. Suy ra min f (x, 2) = 5, ∀ x ∈ ℝ
Do đó 
⇒ max (min f (x, m)) = 5, đạt được khi m = 2
Tổng quát: y = |ax2 + bx + c| + mx
Trường hợp 1: a․c > 0 ⇒ max (miny) = c
Đạt được khi m = -b
Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x, m) = |x2 – 4x – 7| đạt giá trị lớn nhất bằng
A. 7
B. -7
C. 0
D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn C
Phương trình x2 – 4x – 7 luôn có hai nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2
– Trường hợp 1: Nếu m ≥ 0
Ta có min f (x, m) ≤ f (x1, m) = mx1 ≤ 0, ∀ m ∈ ℝ
Xét m = 0 ta có f (x, 0) = |x2 – 4x – 7| ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ
Dấu bằng xảy ra tại x = x1, 2. Suy ra min f (x, m) = 0, ∀ x ∈ ℝ
Do đó 
⇒ max (min f (x, m)) = 0, đạt được khi m = 0
– Trường hợp 2: Nếu m < 0
Ta có min f (x, m) ≤ f (x2, m) = mx2 < 0, ∀ m ∈ ℝ ⇒ max (min f (x, m)) < 0
So sánh cả hai trường hợp thì max (min f (x, m)) = 0 khi m = 0
Trường hợp 2: a․c < 0 ⇒ max (miny) = 0
Đạt được khi m = 0
Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất khi cho đồ thị hoặc bảng biến thiên
Câu 1. Hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình bên dưới
Biết f (-4) > f (8), khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên ℝ bằng
A. 9
B. f (-4)
C. f (8)
D. -4
Hướng dẫn giải
Chọn C
Từ bảng biến thiên ta có f(x) ≥ f (-4) ∀ m ∈ (-∞; 0] và f(x) ≥ f (8), ∀ m ∈ (0; +∞)
Mặt khác f (-4) > f (8) suy ra x ∈ (-∞; +∞) thì f(x) ≥ f (8)
Vậy 
Câu 2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp 
và có bảng biến thiên như sau
Khẳng định đúng là
A. 
; không tồn tại 
B. ; 
C. ; 
D. 
; không tồn tại 
Hướng dẫn giải
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên thì 
Câu 3. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1; 3] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-1; 3]. Giá trị của M – m bằng
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị suy ra
M = f (3) = 3; m = f (2) = -2
Vậy M – m = 5
Câu 4. Cho đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ
Hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng [1; 3] tại x0. Khi đó giá trị của x02 – 2x0 + 2019 bằng bao nhiêu?
A. 2018
B. 2019
C. 2021
D. 2022
Hướng dẫn giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị của hàm số y = f’(x) ta có bảng biến thiên như sau
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng [1; 3] tại x0 = 2
Vậy x02 – 2x0 + 2019 = 2019
Dạng 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Phương pháp giải
Ghi nhớ: Điều kiện của các ẩn phụ
– Nếu 
⇒ -1 ≤ t ≤ 1
– Nếu 
⇒ 0 ≤ t ≤ 1
– Nếu 
⇒ 0 ≤ t ≤ 1
Nếu t = sinx ± cosx = 
- Bước 1. Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ
- Bước 2. Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số theo ẩn phụ
- Bước 3. Kết luận (Chọn đáp án)
Bài tập vận dụng
Câu 1. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 2cos2x + 2sinx là
A. 
; m = -4
B. M = 4; m = 0
C. M = 0; 
D. M = 4;
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có y = 2cos2x + 2sinx = 2(1 – 2sin2x) + 2sinx = -4sin2x + 2sinx + 2
Đặt t = sin x, t ∈ [-1; 1], ta được y = -4t2 + 2t +2
Ta có y’ = 0 ⇔ -8t + 2 = 0 ⇔ t = ¼ ∈ (-1; 1)
Vì 
nên ; m = -4
Câu 2. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
bằng
A. 
B. 
C. 
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt t = |cosx| ⇒ 0 ≤ t ≤ 1, ta được 
với 0 ≤ t ≤ 1
Vì 
, ∀ t ∈ [0; 1] nên 
Suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng
Câu 3. Giá trị lớn nhất M của hàm số 
là
A. 
B. M = 3
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt t = cos2x ⇒ 0 ≤ t ≤ 1, ta được 
với t ∈ [0; 1]
Ta có 
Vì 
nên
Câu 4. Cho hàm số 
(với m là tham số thực). Giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi m bằng
A. 
B. 
C.
D. 
Hướng dẫn giải
Chọn A
Xét 
Đặt t = sinx ⇒ -1 ≤ t ≤ 1, ta được 
với t ∈ [-1; 1]
Ta có 
Vì 
nên 
Hay 
Mặt khác 
Do đó 
Dấu bằng đạt được khi 
Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |1 + 2cosx| + |1 + 2sinx| bằng
A. 
B. 
C. 1
D. 
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có P2 = 6 + 4(sinx + cosx) + 2|1 + 2(sinx + cosx) + 4sinx․cosx|
Đặt t = sinx + cosx = 
với 
Xét y = P2 = 6 + 4t + 2 |2t2 + 2t – 1| = 
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra 
Câu 6. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = sinx + cos2x trên đoạn [0; π] là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt t = sinx ⇒ cos2x = 1 – 2sin2x = 1 – 2t2 , với x ∈ [0; π] ⇒ t ∈ [0; 1]
Ta được f(t) = -2t2 + t + 1 với t ∈ [0; 1]
Ta có f’(t) = -4t + 1 = 0 ⇔ t = ¼ ∈ (0; 1)
Do f (0) = 1; 
; f (1) = 0 nên 
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
Dạng 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khác
Câu 1. Giá trị lớn nhất của hàm số 
bằng
A. 
B. -5
C. 
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn A
Do 
Đặt 
Khi đó y = 4t3 + 6t – 1 với t ∈ 
Vì y’ = 12t2 + 6 > 0, ∀ t nên hàm số đồng biến trên
Do đó 
Câu 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
lần lượt là
A. 2; 
B. 4; 2
C. 4; 
D. 4;
Hướng dẫn giải
Chọn D
Tập xác định D = [1; 9]
Ta có 
⇒ x = 5 ∈ (1; 9)
Vì y (1) = y (9) = ; y (5) = 4 nên max y = 4; min y = .
Nhận xét: với hàm số 
(-a ≤ x ≤ b; a + b ≥ 0) thì
Suy ra 
dấu bằng luôn xảy ra.
Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 
bằng
A. 
B. -2
C. -4
D. 2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Tập xác định của hàm số là D = [-1; 3]
Đặt 
Do 
, ∀ x ∈ [-1; 3], từ đó suy ra -2 ≤ t ≤ 2
Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
trên đoạn [-2; 2].
Ta có g’(t) = t + 1 = 0 ⇔ t = -1 ∈ (-2; 2)
Lại có g (-2) = -2; g (2) = 2; g (-1) =
Suy ra giá trị nhỏ nhất bằng
Nhận xét: Với hàm số 
(-a ≤ x ≤ b; a + b ≥ 0) thì
Dạng 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến
Câu 1. Cho biểu thức 
với x2 + y2 ≠ 0. Giá trị nhỏ nhất của P bằng
A. 3
B. 
C. 1
D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Nếu y = 0 thì P = 1 (1)
Nếu y ≠ 0 thì 
Đặt 
, khi đó 
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có P = f(t) ≥ (2)
Từ (1) và (2) suy ra có P = f(t) ≥ ⇒ min P =
Câu 2. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 
lần lượt là
A. 
và 1
B. 0 và 1
C. 
và 1
D. 1 và 2
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có 
Đặt t = xy ta được 
Vì x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ t ≥ 0
Mặt khác 
Khi đó, bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
trên 
Xét hàm số xác định và liên tục trên
Ta có 
với ∀ t ∈ 
⇒ Hàm số g(t) nghịch biến trên đoạn
Do đó 
Câu 3. Cho x, y là các số thực thỏa mãn (x – 3)2 + (y – 1)2 = 5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
bằng
A. 3
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Chọn A
(x – 3)2 + (y – 1)2 = 5 ⇒ x2 + y2 – 6x – 2y + 5 = 0
Đặt t = x + 2y
(12 + 22)․[(x – 3)2 + (y – 1)2] ≥ [(x – 3) + (2y – 2)]2
Ta được 
Xét 
Vì f (0) = 4; f (10) = ; f (1) = 3 ⇒ min P = 3 khi t = 1.
Câu 4. Gọi x0, y0, z0 là ba số thực dương sao cho biểu thức 
đạt giá trị nhỏ nhất.
Tổng x0 + y0 + z0 bằng
A. 3
B. 1
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
Đặt x + y + x = t. Khi đó 
Ta có 
Bảng biến thiên
Suy ra 
. Dấu “=” xảy ra 
Do đó 
Câu 5. Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 
. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = 3x2y – xy2 – 2x3 + 2x bằng
A. 8
B. 0
C. 12
D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn B
Với điều kiện bài toán x, y > 0 và x2 – xy + 3 = 0 
Lại có 
Từ đó 
Xét hàm số 
Suy ra hàm số đồng biến trên 
⇒ f (1) ≤ f(x) ≤ 
⇒ -4 ≤ f(x) ≤ 4 ⇒ max P + min P = 4 + (-4) = 0
Câu 6. Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 9] và x ≥ y, x ≥ z. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
bằng
A. 
B. 
C. 
D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn C
Thật vậy 
đúng do ab ≥ 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1.
Áp dụng bất đẳng thức trên 
Đặt 
. Xét hàm số 
trên đoạn [1; 3]
f’(t) = 0 ⇔ t4 – 2t3 – 24t2 – 2t + 100 = 0
⇔ (t – 2)(t3 – 24t – 50) = 0 ⇔ t = 2 do t3 – 24t – 50 < 0, ∀ x ∈ [1; 3]
Bảng biến thiên
Suy ra 
khi và chỉ khi 
Dạng 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(u(x)), y = f(u(x)) ± h(x)… khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f(x).
Phương pháp
Thực hiện theo một trong hai cách
Cách 1:
Bước 1. Đặt t = u(x).
Đánh giá giá trị của t trên khoảng K.
Chú ý: Có thể sử dụng khảo sát hàm số, bất đẳng thức để đánh giá giá trị của t = u(x).
– Bước 2. Từ bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số cho ta giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(t).
– Bước 3. Kết luận.
Cách 2:
– Bước 1. Tính đạo hàm y’ = u’(x)․f’(u(x)).
– Bước 2. Tìm nghiệm y’ = u’(x)․f’(u(x)) = 0
– Bước 3. Lập bảng biến thiên
– Bước 4. Kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x), y = f(u(x)), y = f(u(x)) ± h(x)…
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số y = f (|x – 1|) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 2] bằng
A. f (-2)
B. f (2)
C. f (1)
D. f (0)
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt t =|x – 1|, ∀ x ∈ [0; 2] ⇒ t ∈ [0; 1]
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y = f(t) có giá trị nhỏ nhất 
Câu 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau. Khi đó hàm số y = f (2 – x2) đạt giá trị nhỏ nhất trên 
bằng
A. f (-2)
B. f (2)
C. f (1)
D. f (0)
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt t = 2 – x2. Từ x ∈ ⇔ 0 ≤ x2 ≤ 2 ⇔ 2 ≥ 2 – x2 ≥ 0 ⇒ t ∈ [0; 2]
Dựa vào đồ thị, hàm số y = f(t) có giá trị nhỏ nhất 
Câu 3. Cho hàm số y = f(x) = ax4 + bx2 + c xác định và liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên sau
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x + 3) trên đoạn [0; 2] là
A. 64
B. 65
C. 66
D. 67
Hướng dẫn giải
Chọn C
Hàm số có dạng f(x) = ax4 + bx2 + c. Từ bảng biến thiên ta có
⇒ f(x) = x4 – 2x2 + 3
Đặt t = x + 3, x ∈ [0; 2] ⇒ t ∈ [3; 5]
Dựa vào đồ thị, hàm số y = f(t) đồng biến trên đoạn [3;5].
Do đó 
Dạng 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(u(x)), y = f(u(x)) ± h(x)… Khi biết đồ thị của hàm số y = f’(x)
Câu 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên ℝ. Biết rằng đồ thị hàm số y = f’(x) như dưới đây.
Lập hàm số g(x) = f(x) – x2 – x.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. g(-1) > g(1)
B. g(-1) = g(1)
C. g(1) = g(2)
D. g(1) > g(2)
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có g’(x) = f’(x) – 2x – 1
Từ đồ thị hàm số y = f’(x) và đường thẳng y = 2x + 1 ta có g’(x) = 0
⇔ f’(x) = 2x + 1 ⇒ 
Bảng biến thiên
Ta chỉ cần so sánh trên đoạn [-1; 2]. Đường thẳng y = 2x + 1 là đường thẳng đi qua các điểm A(-1; -1), B(1; 3), C(2; 5) nên đồ thị hàm số y = f’(x) và đường thẳng y = 2x + 1 cắt nhau tại 3 điểm.
Dạng 11. Ứng dụng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong các bài toán thực tế
Câu 1. Một chất điểm chuyển động theo quy luật s = 3t2 – t3. Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc v (m/s) của chất điểm chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
A. t = 2s
B. t = 5s
C. t = 1s
D. t =3s
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có v(t) = s’(t) = 6t – 3t2 ⇒ v(t) = -3(t – 1)2 + 3 ≤ 3, ∀ t ∈ ℝ
Giá trị lớn nhất của v(t) = 3 khi t = 1.
Câu 2. Một vật chuyển động theo quy luật s = -⅓t3 + 6t2 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. 180 (m/s)
B. 36 (m/s)
C. 144 (m/s)
D. 24 (m/s)
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có v(t) = s’(t) = -t2 + 12t
v’(t) = -2t + 12 = 0 ⇔ t = 6
Vì v (6) = 36; v (0) = 0; v (7) = 35 nên vận tốc lớn nhất đạt được bằng 36 (m/s).
Câu 3. Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được cho bởi công thức 
(mg/L). Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?
A. 4 giờ
B. 1 giờ
C. 3 giờ
D. 2 giờ
Hướng dẫn giải
Chọn B
Xét hàm số (t > 0)
Bảng biến thiên
Với t = 1 (giờ) thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.
Câu 4. Người ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 
m3. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là 600.000 đồng/ m2. Hãy xác định kích thước của bể sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó là:
A. 75 triệu đồng
B. 85 triệu đồng
C. 90 triệu đồng
D. 95 triệu đồng
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi x (m) là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2x (m) và h (m) là chiều cao bể
Bể có thể tích bằng 
Diện tích cần xây 
Xét hàm 
Bảng biến thiên
Do đó 
Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng Smin = 150 Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là 150 × 600.000 = 90.000.000 đồng.
Câu 5. Bác Hoàng có một tấm thép mỏng hình tròn, tâm O, bán kính 4 dm. Bác định cắt ra một hình quạt tròn tâm O, quấn rồi hàn ghép hai mép của hình quạt tròn lại để tạo thành một đồ vật dạng mặt nón tròn xoay (tham khảo hình vẽ). Dung tích lớn nhất có thể của đồ vật mà bác Hoàng tạo ra bằng bao nhiêu? (bỏ qua phần mối hàn và độ dày của tấm thép)
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Chọn A
Khi hàn hai mép của hình quạt tròn, độ dài đường sinh của hình nón bằng bán kính của hình quạt tròn, tức là OA = 4dm
Thể tích của hình nón 
với 0 < h < 4
Ta có 
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra thể tích lớn nhất của hình nón là
Câu 6. Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là 2πm3. Hỏi bán kính đáy R và chiều cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất
A. 
; h = 8m
B. R = 1m; h = 2m
C. R = 2m; 
D. R = 4m; 
Hướng dẫn giải
Chọn B
Từ giả thiết ta có 
Diện tích toàn phần của thùng phi là 
Xét hàm số 
với R ∈ (0; +∞)
Ta có 
f’(R) = 0 ⇔ R = 1
Bảng biến thiên
Suy ra diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất khi R = 1 ⇒ h = 2
Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất khi làm thùng phi thì R = 1m; h = 2m
Câu 7. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ. Khoảng cách từ C đến B là 1 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)
A. 120 triệu đồng
B. 164,92 triệu đồng
C. 114,64 triệu đồng
D. 106,25 triệu đồng
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi M là điểm trên đoạn thẳng AB để lắp đặt đường dây điện ra biển nối với điểm C
Đặt AM = x ⇒ BM = 4 – x ⇒ 
, x ∈ [0; 4]
Khi đó tổng chi phí lắp đặt là 
(đơn vị: triệu đồng)
Ta có 
Do đó chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc là 114,64 triệu đồng.
Dạng 12. Tìm m để F(x; m) = 0 có nghiệm trên tập D
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
– Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng f(x) = g(m)
– Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D
– Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A(m) sao cho đường thẳng y = g(m) cắt đồ thị hàm số y = f(x)
– Bước 4. Kết luận
Chú ý:
+) Nếu hàm số y = f(x) liên tục và có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì phương trình f(x) = g(m) có nghiệm khi và chỉ khi
+) Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện sao cho đường thẳng y = g(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại k điểm phân biệt.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn [-100; 100] để phương trình 
có nghiệm thực?
A. 100
B. 101
C. 102
D. 103
Hướng dẫn giải
Chọn D
Điều kiện x ≥ -1
Đặt 
Ta được phương trình 2t = t2 – 1 + m ⇔ m = -t2 + 2t + 1
Xét hàm số f(t) = -t2 + 2t + 1, t ≥ 0
f’(t) = -2t + 2 = 0 ⇔ t = 1
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi m ≤ 2 ⇒ -100 ≤ m ≤ 2
Vậy có 103 giá trị nguyên m thỏa mãn
Câu 2. Cho phương trình 
(m là tham số). Biết rằng tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 
là đoạn [a; b]. Giá trị của biểu thức T = -a + 2b là
A .T = 4
B. 
C. T = 3
D. 
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt 
Xét hàm số 
trên đoạn
Vì 
nên t ∈ [1; 3]
Yêu cầu của bài toán tương đương với phương trình m(t + 1) = t2 – 2 có nghiệm thuộc đoạn [1; 3] ⇔ 
có nghiệm thuộc đoạn [1; 3] (1)
Xét hàm số 
trên đoạn [1; 3]
, ∀ t ∈ [1; 3] khi hàm số đồng biến trên đoạn [1; 3]
Để phương trình (1) đã cho có nghiệm thì 
Vậy 
⇒ T = 4
Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của tham số m để hệ phương trình 
(x, y ∈ ℝ) có nghiệm là m0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. m0 ∈ (-20; -15)
B. m0 ∈ (-12; -8)
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có 
Từ (1) suy ra y = 2 – x thay vào (2) ta được (2) ⇒ x4 + (2 – x)4 = m (3)
Xét hàm số f(x) = x4 + (2 – x)4 có tập xác định D = ℝ
f’(x) = 4x3 – 4(2 – x)3 ⇒ f’(x) = 0 ⇔ x3 = (2 – x)3 ⇔ x = 2 – x ⇔ x = 1
Bảng biến thiên
Hệ đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm thực
Dựa vào bảng biến thiên ta được m ≥ 2 ⇒ m0 = 2 ⇒
Dạng 13. Tìm m để bất phương trình F(x; m) > 0; F(x; m) ≥ 0; F(x; m) < 0; F(x; m) ≤ 0 có nghiệm trên tập D.
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
- Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng g(m) > f(x) hoặc g(m) ≥ f(x) hoặc g(m) < f(x) hoặc g(m) ≤ f(x)
- Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D
- Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m
- Bước 4. Kết luận
Chú ý: Nếu hàm số f(x) liên tục và có giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất trên D thì
+) Bất phương trình g(m) ≤ f(x) có nghiệm trên D ⇔ g(m) ≤ max f(x)
+) Bất phương trình g(m) ≤ f(x) nghiệm đúng ∀ x ∈ D ⇔ g(m) ≤ min f(x)
+) Bất phương trình g(m) ≥ f(x) có nghiệm trên D ⇔ g(m) ≥ min f(x)
+) Bất phương trình g(m) ≥ f(x) nghiệm đúng ∀ x ∈ D ⇔ g(m) ≥ max f(x)
Bài tập vận dụng
Câu 1. Các giá trị của tham số m để bất phương trình 
có nghiệm trên khoảng (-∞; 1) là
A. m < 5
B. m ≤ -3
C. m ≤ 1
D. m ≥ 3
Hướng dẫn giải
Chọn B
Bất phương trình đã cho tương đương với 
Xét hàm số 
trên khoảng (-∞; 1)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, để bất phương trình có nghiệm trên khoảng (-∞; 1) thì m ≤ -3
Câu 2. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m ∈ [0; 2019] để bất phương trình 
nghiệm đúng với mọi x ∈ [-1;1]. Số các phần tử của tập S là
A. 1
B. 2020
C. 2019
D. 2
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt 
, với x ∈ [-1;1] ⇒ t ∈ [0;1]
Bất phương trình đã cho trở thành t3 – t2 + 1 – m ≤ 0 ⇔ m ≥ t3 – t2 + 1 (1)
Yêu cầu của bài toán tương đương với bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi t ∈ [0;1]
Xét hàm số f(t) = t3 – t2 + 1 ⇒ f’(t) = 3t2 – 2t
f’(t) = 0 ⇔ 
Vì f (0) = f (1) = 1; 
nên 
Do đó bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi t ∈ [0;1] khi và chỉ khi m ≥ 1
Mặt khác m là số nguyên thuộc [0; 2019] nên m ∈ {1; 2; 3; …; 2019}
Vậy có 2019 giá trị của m thỏa mãn bài toán.
Câu 3. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [-1; 3] và có đồ thị như hình vẽ.
Bất phương trình 
có nghiệm thuộc [-1; 3] khi và chỉ khi
A. m ≤ 7
B. m ≥ 7
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Chọn A
Xét hàm số 
trên đoạn [-1; 3]
Ta có 
Dấu bằng xảy ra khi x = 3
Suy ra 
tại x = 3 (1)
Mặt khác dựa vào đồ thị của f(x) ta có 
tại x = 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
tại x = 3
Vậy bất phương trình có nghiệm thuộc [-1; 3] khi và chỉ khi 
⇔ m ≤ 7
Tài liệu tham khảo GTLN GTNN của hàm số
