Bài viết này, DanChuyenToan sẽ giúp bạn tìm hiểu định nghĩa tích phân hàm ẩn, phân loại và một số bài tập mẫu thường gặp trong các đề thi thuộc chương trình toán lớp 12. Từ đó giúp bạn cũng cố kiến thức tích phân và thuần thục nhiều dạng bài khác nhau.
Định nghĩa tích phân hàm ẩn
Tích phân hàm ẩn là dạng tích phân mà ở đó hàm số bị ẩn đi và không được cho dưới dạng một công thức. Để tính được tích phân hàm ẩn, các bạn cần phân dạng chính xác và áp dụng các công thức phù hợp để giải quyết bài toàn một cách nhanh chóng nhất.
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Áp dụng các quy tắc và đạo hàm của hàm số hợp
Phương pháp giải
Quy tắc: Nếu u = u(x) và v = v(x) thì (uv)’ = u’v + uv’.
Nếu [f(x). g(x)]’ = h(x) thì f(x). g(x) = ∫h(x) dx.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn điều kiện f (1) = 3 và x (4 – f’(x)) = f(x) – 1, ∀x > 0. Giá trị của f (2) bằng
A. 6
B. 5
C. 3
D. 2
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết, ta có x (4 – f’(x)) = f(x) – 1 ⇒ x. f’(x) + f(x) = 4x + 1
⇒ [x. f(x)]’ = 4x + 1 ⇒ x. f(x) = ∫ (4x + 1) dx ⇒ x. f(x) = 2x2 + x + C.
Lại có f (1) = 3 ⇒ C = 0 ⇒ f(x) = 2x + 1 ⇒ f (2) = 5.
⟹ Chọn B
Câu 2. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (–1; +∞) và thỏa mãn 
với mọi x ∊ (–1; +∞). Giá trị của f (0) bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết, ta có
Lại có (*) thỏa mãn với mọi x ∊ (–1; +∞) nên thay x = 1 vào (*) ta có C = –2.
Suy ra 
. Do đó
⟹ Chọn A
Câu 3. Cho hàm số f(x) thỏa mãn [f’(x)]2 + f(x). f’’(x) = 4x3 + 2x với mọi x ∊ ℝ và f (0) = 0. Giá trị của f 2 (x) bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: [f’(x)]2 + f(x). f’’(x) = [f(x). f’(x)]’. Từ giả thiết ta có: [f(x). f’(x)]’ = 4x3 + 2x
Suy ra: f(x). f’(x) = ∫ (4x3 + 2x) dx = x4 + x2 + C. Với f (0) = 0 ⇒ C = 0
Nên ta có: f(x). f’(x) = x4 + x2
Suy ra: 
⟹ Chọn C
Câu 4. Cho hàm số f(x) thỏa mãn [x. f’(x)]2 + 1 = x2 [1 – f(x). f’’(x)] với mọi x dương. Biết f (1) = f’ (1) = 1. Giá trị f 2 (2) bằng
A. 
B. f 2 (2) = 2 ln2 + 2
C. f 2 (2) = ln2 + 1
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Do đó: 
Vì f (1) = f’ (1) = 1 ⇒ 1 = 2 + c1 ⇔ c1 = –1.
Nên 
Vì 
Vậy 
⟹ Chọn B
Câu 5. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn 3 f(x) + x. f’(x) ≥ x2018 ∀x ∊ [0;1]. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
.
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Xét hàm số: 
trên [0;1].
Ta có: g’(x) = 3x2 f(x) + x3 f’(x) – x2020 = x3. [3f(x) + x. f’(x) – x2018] ≥ 0 ∀x ∊ [0;1].
Do đó g(x) là hàm số không giản trên [0; 1], suy ra g(x) ≥ g (0) ∀x ∊ [0;1].
Hay 
Vậy 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Quy tắc: Nếu u = u(x) và v = v(x) thì 
với v ≠ 0.
Nếu 
thì 
Hệ quả: Nếu u = u(x) thì 
với u ≠ 0.
Nếu 
thì 
⟹ Chọn D
Câu 6. Cho hàm số f(x) thỏa mãn 
và f’(x) = 2x [f(x)]2, ∀x ∊ ℝ. Giá trị của f (1) bằng
A .
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có 
Lại có 
⟹ Chọn B
Câu 7. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn x2 f’(x) + f(x) = 0 và f(x) ≠ 0, ∀x ∊ (0; +∞). Tính f (2) biết f (1) = e.
A. f (2) = e2
B. 
C. f (2) = 2e2
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: f(x) ≠ 0, ∀x ∊ (0; +∞) ⇒ f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (0; +∞)
⇒ f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (1; 2) ⇒ f (1). f (2) > 0, ∀x ∊ (1; 2).
Mà f (1) = e > 0 nên f (2) > 0.
Do đó 
Suy ra 
⟹ Chọn D
Câu 8. Cho hàm số f(x) thỏa mãn 
và f’(x) = [x. f(x)]2 với mọi x ∊ ℝ. Giá trị f (2) bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết, ta có: 
Lại có 
⟹ Chọn B
Câu 9. Cho hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện f (1) = 2, f(x) ≠ 0, ∀x > 0 và (x2 + 1)2 f’(x) = [f(x)]2 (x2 – 1) với mọi x > 0. Giá trị của f (2) bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có 
Lấy tích phân 2 vế (*) trên [1; 2] ta được
Từ giả thiết, ta có: 
Lại có 
⟹ Chọn D
Câu 10. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f’(x) + 2x. f(x) = ex f(x) với f(x) ≠ 0, ∀x và f (0) = 1. Khi đó |f (1)| bằng
A. e + 1
B. ee – 2
C. e – 1
D. ee + 1
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết: f’(x) + 2x. f(x) = ex f(x), ta có
(vì f(x) ≠ 0, ∀x)
Mà f (0) = 1 nên C = –1. Khi đó, ta được: ln |f(x)| = ex – x2 – 1.
Thế x = 1, ta có: ln |f (1) | = e – 2 ⇒ |f (1) | = ee – 2.
⟹ Chọn B
Dạng 2. Phương pháp đổi biến
Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 1
Phương pháp giải
Cho 
, tính 
. Hoặc cho , tính .
Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t = u(x) và lưu ý cho học sinh tích phân của hàm số thì không phụ thuộc vào biến số.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho 
. Tính 
A. 16
B. 4
C. 32
D. 8
Hướng dẫn giải
Xét tích phân . Đặt 
. Khi x = 0 thì t = 0; khi x = 2 thì t = 4.
Do đó 
.
⟹ Chọn D
Câu 2. Cho 
. Tính 
bằng
A. I = 1
B. I = 2
C. I = 4
D. 
Hướng dẫn giải
Đặt 
; đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 4 ⇒ t = 2
⟹ Chọn C
Câu 3. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn 
và 
. Tính tích phân 
.
A. I = –2
B. I = 6
C. I = 9
D. I = 2
Hướng dẫn giải
Xét I = , đặt 
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 16 ⇒ t = 4 nên 
J = ; đặt sinx = u ⇒ cosx dx = du
Đổi cận: 
Vậy 
⟹ Chọn B
Câu 4. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa 
và 
. Tính 
.
A. 30
B. 32
C. 34
D. 36
Hướng dẫn giải
Xét . Đặt u = 2x ⇒ du = 2dx; x= 0 ⇒ u = 0; x = 1 ⇒ u = 2.
Nên 
.
Xét . Đặt v = 6x ⇒ dv = 6dx; x = 0 ⇒ v = 0; x = 2 ⇒ v = 12.
Nên 
.
Tính 
.
Đặt t = 5|x| + 2. Khi –2 < x < 0, t = –5x + 2 ⇒ dt = –5dx; x = –2 ⇒ t = 12; x = 0 ⇒ t = 2.
Tính
Đặt t = 5|x| + 2. Khi 0 < x < 2, t = 5x + 2 ⇒ dt = 5dx; x = 2 ⇒ t = 12; x = 0 ⇒ t = 2.
Vậy = 32.
Hoặc: Do hàm f (5|x| + 2) là hàm số chẵn nên 
⟹ Chọn B
Câu 5. Cho 
. Giá trị của 
bằng
A. 2
B. 
C. 
D. –2
Hướng dẫn giải
Đặt 
Đổi cận: 
Khi đó: 
⟹ Chọn C
Câu 6. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn 
. Tính tích phân 
.
A. I = 3 + 2 ln2 2
B. I = 2 ln2 2
C. I = ln2 2
D. I = 2 ln2
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Xét 
Đặt 
Xét 
Do đó 
⟹ Chọn B
Câu 7. Cho 
và 
. Tính 
.
A. 26
B. 22
C. 27
D. 15
Hướng dẫn giải
Đặt 
Ta có 
⟹ Chọn C
Câu 8. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và 
. Tính 
.
A. I = 6
B. I = 2
C. I = 3
D. I = 1
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Từ 
; Ta đặt t = tanx ta được 
Từ 
Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 2
Phương pháp giải
Tính 
, biết hàm số f(x) thỏa mãn: A.f(x) + B.u’. f(u) + C.f (a + b – x) = g(x).
Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai vế ta cần chú ý rằng:
Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B, C.
Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì 
Với 
thì 
Với 
thì 
Học sinh có thể nhớ công thức hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như dạng 1.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 1] thỏa mãn 
. Tính 
A. 2
B. 4
C. –1
D. 6
Hướng dẫn giải
Cách 1: (Dùng công thức)
Biến đổi 
với A = 1, B = –2.
Áp dụng công thức ta có: 
Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức)
Từ 
Đặt u = x3 ⇒ du = 3x2 dx; Với x = 0 ⇒ u = 0 và x = 1 ⇒ u = 1.
Khi đó 
thay vào (*), ta được:
⟹ Chọn B
Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 2] và thỏa mãn điều kiện f(x) + f (2 – x) = 2x. Tính giá trị của tích phân 
.
A. I = –4
B. 
C. 
D. I = 2
Hướng dẫn giải
Cách 1: (Dùng công thức)
Với f(x) + f (2 – x) = 2x ta có A = 1; B = 1, suy ra: 
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
Từ 
Đặt u = 2 – x ⇒ du = –dx; Với x = 0 ⇒ u = 2 và x = 2 ⇒ u = 0.
Suy ra 
Thay vào (*), ta được 
⟹ Chọn D
Câu 3. Xét hàm số liên tục trên [–1; 2] và thỏa mãn f(x) + 2xf (x2 – 2) + 3f (1 – x) = 4x3. Tính giá trị của tích phân 
.
A. I = 5
B. 
C. I = 3
D. I = 15
Hướng dẫn giải
Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)
Với: f(x) + 2xf (x2 – 2) + 3f (1 – x) = 4x3. Ta có:
A = 1; B = 1; C = 3 và u = x2 – 2 thỏa mãn 
. Khi đó áp dụng công thức ta có:
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
Từ f(x) + 2xf (x2 – 2) + 3f (1 – x) = 4x3.
Đặt u = x2 – 2 ⇒ du = 2xdx; với x = –1 ⇒ u = –1 và x = 2 ⇒ u = 2.
Khi đó 
Đặt t = 1 – x ⇒ dt = – dx; Với x = –1 ⇒ t = 2 và x = 2 ⇒ t = –1.
Khi đó 
Thay (1), (2) vào (*) ta được: 
⟹ Chọn C
Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 3
Phương pháp giải
Lần lượt đặt t = u(x) và t = v(x) để giải hệ phương trường hai ẩn (trong đó có ẩn f(x) để suy ra hàm số f(x) (nếu u(x) = x thì chỉ cần đặt một lần t = v(x)).
Các kết quả đặc biệt:
Cho A. f (ax + b) + B. f (–ax + c) = g(x) với A2 ≠ B2 khi đó 
Hệ quả 1 của (*): 
Hệ quả 2 của (*): 
với g(x) là hàm số chẵn.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và 
. Tính 
.
A. 
B. I = 1
C. 
D. I = –1
Hướng dẫn giải
Đặt 
khi đó điều kiện trở thành 
Hay 
, kết hợp với điều kiện . Suy ra:
⟹ Chọn A
Câu 2. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên 
thỏa mãn 
. Giá trị tích phân 
bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đặt 
Đổi cận: 
Ta có 
Suy ra
Vậy I =
⟹ Chọn A
Câu 3. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ \ {0} và thỏa mãn 
. Tính 
theo k.
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đặt 
. Đổi cận 
Khi đó 
Mà 
Nên 
Đặt 
. Đổi cận 
Khi đó 
⟹ Chọn A
Câu 4. Cho hàm số liên tục trên ℝ và thỏa mãn f(–x) + 2018 f(x) = 2x sinx. Tính giá trị của 
.
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Cách 1: (Dùng công thức)
Với f(–x) + 2018 f(x) = 2x sinx ta có A = 1; B = 2018
Suy ra 
⇒ Đáp án C
Cách 2:
Áp dụng hệ quả 2: với g(x) là hàm số chẵn.
Ta có f(–x) + 2018 f(x) = 2x sinx 
⟹ Chọn C
Câu 4. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn f(–x) + 2018 f(x) = ex. Tính giá trị của 
A. 
B. 
C. I = 0
D. 
Hướng dẫn giải
Cách 1: (Dùng công thức).
Với f(–x) + 2018 f(x) = ex ta có A = 1, B = 2018.
Suy ra 
Cách 2: (Dùng công thức)
Áp dụng Hệ quả 1:
Ta có:
⟹ Chọn A
Câu 5. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ, thỏa mãn 2 f(2x) + f (1 – x) = 12x2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ bằng 1 là
A. y = 2x + 2
B. y = 4x – 6
C. y = 2x – 6
D. y = 4x – 2
Hướng dẫn giải
Áp dụng kết quả
“Cho A. f (ax + b) + B. f (–ax + c) = g(x) với A2 ≠ B2 khi đó ”.
Ta có
Suy ra 
, khi đó phương trình tiếp tuyến cần lập là: y = 4x – 2.
⟹ Chọn D
Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 4
Phương pháp giải
Bài toán: Cho f(x). f (a + b – x) = k2, khi đó 
Chứng minh
Đặt 
và x = a ⇒ t = b; x = b ⇒ t = a.
Khi đó:
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương [0; 1]. Biết f(x). f (1 – x) = 1 với ∀x ∊ [0; 1]. Tính giá trị 
A. 
B. 
C. 1
D. 2
Hướng dẫn giải
Ta có 
Xét
Đặt t = 1 – x ⇔ x = 1 – t ⇒ dx = – dt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0.
Khi đó 
Mặt khác 
hay 2I = 1. Vậy I =
⟹ Chọn B
Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ, ta có f(x) > 0 và f (0). f (2018 – x) = 1. Giá trị của tích phân 
A. I = 2018
B. I = 0
C. I = 1009
D. I = 4016
Hướng dẫn giải
Ta có 
⟹ Chọn C
Câu 3. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm, liên tục trên ℝ và f(x) > 0 khi x ∊ [0; 5]. Biết f(x). f (5 – x) = 1. Tính tích phân 
.
A. 
B. 
C. 
D. I = 10
Hướng dẫn giải
Đặt x = 5 – t ⇒ dx = –dt
x = 0 ⇒ t = 5; x = 5 ⇒ t = 0.
⟹ Chọn C
Câu 4. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và f(x) > 0 khi x ∊ [0; a]. Biết f(x). f (a – x) = 1. Tính tích phân 
.
A. 
B. I = 2a
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
(1) Đặt t = a – x ⇒ dt = –dx Đổi cận:
(2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân)
⟹ Chọn A
Câu 5. Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0; a] thỏa mãn 
và 
, trong đó b, c là hai số nguyên dương và 
là phân số tối giản. Khi đó b + c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?
A. (11; 12)
B. (0; 9)
C. (7; 21)
D. (2017; 2020)
Hướng dẫn giải
Cách 1: Đặt t = a – x ⇒ dt = –dx
Đổi cận x = 0 ⇒ t = a; x = a ⇒ t = 0.
Lúc đó 
Suy ra
Do đó 
Cách 2: Chọn f(x) = 1 là một hàm thỏa các giả thiết.
Dễ dàng tính được
⟹ Chọn B
Câu 6. Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên [–1; 1] và f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ. Biết 
và 
. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. 
B. 
C. 
Hướng dẫn giải
Nhớ 2 tính chất sau để làm trắc nghiệm nhanh
Nếu hàm số f(x) ‘chẵn’ thì 
Nếu hàm f(x) ‘lẻ’ thì 
Nếu chứng minh thì như sau:
Đặt 
. Đặt t = –x ⇒ dt = –dx
Đổi cận
(Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân) 
(Do f(x) là hàm chẵn ⇒ f(–x) = f(x))
Vậy 
Đặt 
. Đặt t = –x ⇒ dt = –dx
Đổi cận:
(Do tích phân không phụ thuộc vào biến số tích phân) 
(Do f(x) là hàm chẵn ⇒ g(–x) = –g(x))
Vậy 
Từ (1) và (2)
Chọn B
⟹ Chọn B
Câu 7. Cho hàm số y = f(x) là hàm lẻ và liên tục trên [–4; 4] biết 
và 
. Tính 
.
A. I = –10
B. I = –6
C. I = 6
D. I = 10
Hướng dẫn giải
Cách 1: Sử dụng công thức 
và tính chất 
với f (0) là hàm lẻ trên đoạn [–a; a].
Áp dụng ta có:
Suy ra: 
Cách 2: Xét tích phân .
Đặt –x = t ⇒ dx = –dt.
Đổi cận: khi x = –2 thì t = 2; khi x = 0 thì t = 0 do đó
.
Do hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nên f (–2x) = –f (2x).
Do đó 
Xét 
Đặt 
Đổi cận: khi x = 1 thì t = 2; khi x = 2 thì t = 4 do đó
Do 
⟹ Chọn B
Câu 8. Cho hàm số chẵn y = f(x) liên tục trên ℝ và 
. Giá trị của 
bằng:
A. 8
B. 2
C. 1
D. 16
Hướng dẫn giải
Ta có 
(1)
Xét 
:
Đặt t = –x ⇒ dt = –dx. Đổi cận: x = –1 ⇒ t = 1 và x = 0 ⇒ t = 0. Khi đó
Vì y = f(x) là hàm số chẵn trên ℝ nên f (–2t) = f (2t), ∀t ∊ ℝ.
Do đó 
. Thay vào (1) thu được
⟹ Chọn D
Câu 9. Cho f(x) là hàm số chẵn liên tục trong đoạn [–1; 1] và 
. Kết quả 
bằng
A. I = 1
B. I = 3
C. I = 2
D. I = 4
Hướng dẫn giải
Xét 
Đặt x = –t ⇒ dx = –dt, đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = –1 ⇒ t = 1
Lại có 
Suy ra: 
⟹ Chọn A
Câu 10. Cho y = f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên ℝ. Biết 
. Giá trị của 
bằng
A. 1
B. 6
C. 4
D. 3
Hướng dẫn giải
Cách 1: Sử dụng tính chất hàm số chẵn
Ta có: 
, với f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên [–a; a].
Áp dụng ta có:
Cách 2: Do 
và 
Mặt khác 
và y = f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên ℝ ⇒ f (–x) = f(x) ∀x ∊ ℝ.
Xét 
. Đặt t = –x ⇒ dx = –dt.
Suy ra 
⟹ Chọn D
Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 5
Phương pháp giải
Bài toàn: Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn g [f(x)] = x và g(t) là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc nghịch biến) trên ℝ. Hãy tính tích phân 
”
Cách giải:
Đặt y = f(x) ⇒ x = g(y) ⇒ dx = g’(y) dy
Đổi cận 
Suy ra 
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hàm số liên tục trên ℝ thỏa mãn f 3 (x) + f(x) = x, ∀x ∊ ℝ. Tính 
A. I = 2
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đặt y = f(x) ⇒ x = y3 + y ⇒ dx = (3y2 + 1) dy
Đổi cận 
Khi đó 
⇒ Đáp án D.
⟹ Chọn D
Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn 2f 3 (x) – 3f 2 (x) + 6f(x) = x, ∀x ∊ ℝ. Tính tích phân 
.
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đặt y = f(x) ⇒ x = 2y3 – 3y2 + 6y ⇒ dx = 6 (y2 – y + 1) dy.
Đổi cận: với x = 0 ⇒ 2y3 – 3y2 + 6y = 0 ⇔ y = 0 và x = 5 ⇒ 2y3 – 3y2 + 6y = 5 ⇔ y = 1.
Khi đó 
.
⟹ Chọn B
Câu 3. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn x + f 3 (x) + 2f(x) = 1, ∀x ∊ ℝ. Tính 
.
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đặt y = f(x) ⇒ x = –y3 – 2y + 1 ⇒ dx = (–3y2 – 2) dy.
Đổi cận: Với x = –2 ⇒ –y3 – 2y + 1 = –2 ⇔ y = 1; x = 1 ⇒ –y3 – 2y + 1 = 1 ⇔ y = 0.
Khi đó 
⟹ Chọn A
Dạng 3. Phương pháp từng phần
Phương pháp giải
Tích phân từng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà giả thiết hoặc kết luận có một trong các tích phân sau:
hoặc 
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hàm số f(x) thỏa mãn 
và 2f (1) – f (0) = 2. Tính 
.
A. I = 8
B. I = –8
C. I = 4
D. I = –4
Hướng dẫn giải
A = . Đặt u = x + 1 ⇒ du = dx, dv = f’(x) dx chọn v = f(x)
⟹ Chọn B
Câu 2. Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f (x3 + 3x + 1) = 3x + 2, ∀x ∊ ℝ. Tính 
.
A. 
B. 
C. 
D. –1761
Hướng dẫn giải
Đặt 
Từ 
, suy ra 
Đặt 
Đổi cận: Với t = 1 ⇒ 1 = x3 + 3x + 1 ⇔ x = 0 và t = 5 ⇒ x3 + 3x + 1 = 5 ⇔ x = 1.
Khi đó 
⟹ Chọn C
Câu 3. Cho hàm số y = f(x) với f (0) = f (1) = 1. Biết rằng 
, a, b ∊ ℝ. Giá trị của biểu thức a2019 + b2019 bằng
A. 22018 + 1
B. 2
C. 0
D. 22018 – 1
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Ta có 
Đặt u = f(x), dv = ex dx; ta có du = f’(x)dx, v = ex.
Khi đó 
Theo đề bài , a, b ∊ ℝ suy ra a = 1, b = –1.
Do đó a2019 + b2019 = 12019 + (–1)2019 = 0.
Cách 2:
Ta có 
Theo đề bài , a, b ∊ ℝ suy ra a = 1, b = –1.
Do đó a2019 + b2019 = 12019 + (–1)2019 = 0.
⟹ Chọn C
Câu 4. Cho hàm số f(x) và g(x) liên tục, có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn f’ (0). f’ (2) ≠ 0 và g(x) f’(x) = x (x – 2) ex. Tính giá trị của tích phân 
?
A. –4
B. e – 2
C. 4
D. 2 – e
Hướng dẫn giải
Ta có: g(x) f’(x) = x (x – 2) ex ⇒ g (0) = g (2) = 0 (vì f’ (0). f’ (2) ≠ 0)
⟹ Chọn C
Câu 5. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên 
thỏa mãn 
và 
. Tích phân 
bằng:
A. 4
B. 
C. 
D. 6
Hướng dẫn giải
Ta có: . Đặt 
⟹ Chọn B
Câu 6. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn 
; f (2) = 2. Tính 
.
A. I = –5
B. I = –10
C. I = 5
D. I = 10
Hướng dẫn giải
Xét 
Đặt u = x và 
, ta được du = dx và 
Vì 
Đặt 2t = 2x – 4 ⇒ 2dt = 2dx ⇔ dt = dx
Đổi cận:
Vậy I = –10.
Trường hợp riêng:
Khi đề bài cho biết giá trị f(a), f(b), 
(với u(x) là một biểu thức chứa x đã tường minh), để tìm f(x) trước tiên ta đi tìm 2 số α, β sao cho 
, rồi suy ra f’(x) = – α. u(x) – β, sau đó nguyên hàm hai vế tìm f(x)
⟹ Chọn B
Câu 7. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [0; 2], thỏa các điều kiện f (2) = 1 và 
. Giá trị của 
:
A. 1
B. 2
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đặt 
Ta lại có: 
Do đó: 
(Vì 
)
Vậy 
⟹ Chọn C
Câu 8. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn f (1) = 0, 
và 
. Tích phân 
bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có:
Mặt khác:
Khi đó:
Vì 
nên 
Dấu “=” xảy ra 
Khi đó: 
⟹ Chọn A
Dạng 4. Phương trình vi phân tiếp tuyến cấp 1
Phương pháp giải
Bài toán 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f’(x) + p(x). f(x) = h(x)
Tìm P(x) = ∫p(x)dx
Nhân hai vế với 
ta được
Lấy tích phân hai vế ta được f(x) ep(x) ∫q(x) ep(x)dx. Từ đó suy ra f(x).
Hệ quả 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f’(x) + f(x) = h(x)
Phương pháp
Nhân hai vế với ex ta được ex. f’(x) + ex. f(x) = ex. h(x) ⇔ [ex. f(x)]’ = ex. h(x)
Suy ra ex. f(x) = ∫ex. h(x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f(x)
Hệ quả 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f’(x) – f(x) = h(x)
Phương pháp
Nhân hai vế với e–x ta được e–x. f’(x) – e–x. f(x) = e–x. h(x) ⇔ [e–x. f(x)]’ = e–x. h(x)
Suy ra e–x. f(x) = ∫e–x. h(x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f(x)
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f (0) = 4 và f(x) + f’(x) = x3, ∀x ∊ ℝ. Giá trị của f (1) bằng
A. 
B. –10
C. –2
D. 
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta ex. f(x) + ex. f’(x) = x3 ex ⇒ [ex. f(x)]’ = x3 ex ⇒ ex f(x) = ∫x3exdx
⇒ ex f(x) = x3 ex – 3∫x2exdx = x3ex – 3x2ex + 6∫xexdx = x3ex = 3x2ex + 6 (x – 1) ex + C
Lại có 
⟹ Chọn D
Câu 2. Cho f(x) thỏa mãn 
và 
, ∀x ∊ ℝ. Tính 
.
A. 
B. I = 2e – 1
C. 
D. I = 2e + 1
Hướng dẫn giải
Ta có (e3x f(x))’ = e3x (f’(x) + 3x2 f(x)) = e3x (15x4 + 12x) e–3x = 15x4 + 12x
Do đó: e3x f(x) = ∫ (15x4 + 12x) dx = 3x5 + 6x2 + C ⇒ f(x) = (3x5 + 6x2 + C) e–3x
Vì ⇒ C = 0 ⇒ f(x) = (3x5 + 6x2) e–3x
Khi đó 
⟹ Chọn C
Câu 3. Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai và liên tục trên ℝ thỏa mãn f’ (0) = f (0) = 1 và f(x) + 2 f’(x) + f’’(x) = x3 + 2x2, ∀x ∊ ℝ. Tích phân 
bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Theo giả thiết ta có:
f(x) + f’(x) + (f’(x) + f’’(x)) = x3 + 2x2 ⇔ f(x) + f’(x) + (f(x) + f’(x))’ = x3 + 2x2
⇔ ex (f(x) + f’(x)) + ex (f(x) + f’(x))’ = ex (x3 + 2x2) ⇔ (ex (f(x) + f’(x))’ = ex (x3 + 2x2)
⇔ ex (f(x) + f’(x)) = ∫ex (x3 + 2x2) dx = ex (x3 – x2 + 2x – 2) + C
Mặt khác f (0) = f’ (0) = 1 nên 1 + 1 = –2 + C ⇔ C = 4 ⇔ ex (f(x) + f’(x)) = ex (x3 – x2 + 2x – 2) + 4
Do đó (ex f(x))’ = ex (x3 – x2 + 2x – 2) + 4
⇒ ex f(x) = ∫ [ex (x3 – x2 + 2x – 2) + 4] dx = ex (x3 – 4x2 + 10x – 12) + 4x + C
f (0) = 1 ⇔ C = 13 ⇔ f(x) = (4x + 13) e–x + x3 – 4x2 + 10x – 12
⟹ Chọn A
Câu 4. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], f (0) = 1 và f’(x) = f(x) + ex + 1, ∀x ∊ [0; 1]. Tính 
A. 2e – 1
B. 2 (e – 1)
C. 1 – e
D. 1 – 2e
Hướng dẫn giải
Ta có f’(x) = f(x) + ex + 1 ⇔ f’(x) – f(x) = ex + 1 ⇔ e–x f’(x) – e–x f(x) = 1 + e–x
⇔ [e–x f(x)]’ = 1 + e–x ⇒ e–x f(x) = x – e–x + C ⇒ f(x) = xex – 1 + Cex.
Do f (0) = 1 ⇒ C = 2 ⇒ f(x) = (x + 1) ex – 1.
Do đó 
⟹ Chọn B
Câu 5. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn f’(x) = f(x) + x2 ex + 1, với mọi x ∊ ℝ, f (0) = –1. Tính f (3)?
A. 6e3 + 3
B. 6e2 + 3
C. 3e2 – 1
D. 9e3 – 1
Hướng dẫn giải
Ta có: f’(x) – f(x) = x2 ex + 1 ⇔ e–x f’(x) = x2 + e–x ⇔ (e–x f(x))’ = x2 + e–x.
Do đó 
⟹ Chọn D
Câu 6. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn 
, ∀x ∊ ℝ và f (1) = 4. Giá trị f (5) bằng
A. 3e12 – 1
B. 5e17
C. 5e17 – 1
D. 3e12
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Xét 
Đặt 
⟹ Chọn B
Câu 7. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn f (1) = e và (x + 2) f(x) = x f’(x) – x3 với mọi x ∊ ℝ. Tính f (2).
A. 4e2 + 4e – 4
B. 4e2 – 2e – 4
C. 2e3 – 2e + 2
D. 4e2 – 4e + 2
Hướng dẫn giải
Biến đổi giả thiết 
Mà 
Vậy f (2) = –4 + 4e (e + 1) = 4e2 + 4e – 4.
⟹ Chọn A
Câu 8. Cho hàm số y = f(x) có f’(x) liên tục trên nửa khoảng [0; +∞) thỏa mãn 
. Khi đó
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Nhân hai vế giả thiết với e3x ta được 
Lấy tích phân từ 0 đếm 1 hai vế ta được 
⟹ Chọn C
Câu 9. Trong những hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [0; 1] thỏa mãn 3f(x) + x. f’(x) ≥ x2018. Giá trị nhỏ của 
là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
P(x) = 3ln x ⇒ eP(x) = x3.
Nhân hai vế của (*) cho x3 ta được x3 f’(x) + 3x2 f(x) ≥ x2019 ⇒ (x3 f(x))’ ≥ x2020, đúng ∀x ∊ [0; 1]
Lấy tích phân từ 0 đến 2 vế có 
⟹ Chọn A
