Tích phân: Định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính

Tích phân là một khái niệm toán học quan trọng cùng với phép tính nghịch đảo của nó là vi phân có vai trò quan trọng trong chương trình toán học 12. Bạn có thể hiểu đơn giản tính chất của tích phân là diện tích hay diện tích tổng quát hóa. Bài viết sau đây, DanChuyenToan sẽ cùng bạn đi tìm hiểu các công thức tích phân và một số loại bài tập tích phân thường gặp nhất.

Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a, b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a, b] của hàm số f(x), kí hiệu

Ta còn dùng kí hiệu để chỉ hiệu F(b) – F(a).

Vậy

Ta gọi là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi hoặc hoặc . Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a, b], thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S =

Tính chất của tích phân

Tính chất 1: (k: const)

Tính chất 2:

Tính chất 3: (a < c < b)

Phương pháp tính tích phân

1. Phương pháp đổi biến số

Định lý 1 (Đổi biến loại 1): Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử hàm số x = φ (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [⍺, β] sao cho φ (⍺) = a, φ (β) = b và a ≤ φ (t) ≤ b với mọi t ∊ [⍺, β]. Khi đó:

Định lý 2: (Đổi biến loại 2): Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử hàm số u(x) có đạo hàm liên tục và u(x) ∊ [⍺, β]. Giả sử ta có thể viết f(x) = g(u(x)). u’(x), x ∊ [a, b] với g(x) liên tục trên đoạn [⍺, β]. Khi đó ta có:

2. Phương pháp tích phân từng phần

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì

Phân loại bài tập

Dạng 1. Tích phân hữu tỉ

Phương pháp giải

Một số dạng cần nhớ

1)

2)

3)

4) thì đặt

Dạng tổng quát

Trường hợp 1: Nếu bậc của đa thức P(x) ≥ m + n + 1 ta chia tử cho mẫu để đưa về trường hợp 2

Trường hợp 2: Nếu bậc của đa thức P(x) < m + n + 2 ta sử dụng “Phương pháp giải hệ số bất định”

Bước 1: Phân tích:

Bước 2: Quy đồng mẫu và đồng nhất 2 vế để tìm các hệ số A_i, B_k, M, N

Bước 3: Thực hiện các dạng cơ bản.

Chú ý:

+ Đôi khi ta dùng Phương pháp giải thêm – bớt – tách sẽ ngắn gọn hơn.

+ Một số trường hợp ta đổi biến số nhầm giảm bớt bậc để đưa tích hàm hữu tỉ đơn giản hơn.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho . Tìm a.

A.

B. 2

C. 5

D.

Hướng dẫn giải

Ta có:

⟹ Chọn D

Câu 2. Cho , (a, b ∊ ℤ). Giá trị của 3a + 2b là

A. 0

B. 1

C. 8

D. 10

Hướng dẫn giải

Khi thấy những bài tích phân có dạng thì ta sẽ biến đổi

⇒ ta sẽ tìm được A và B.

Khi đó:

Áp dụng vào bài, ta có:

⟹ Chọn A

Câu 3. Tìm tất cả các số thức m dương thỏa mãn .

A. m = 3

B. m = 2

C. m = 1

D. m > 3

Hướng dẫn giải

Ta có:

Suy ra:

Ta thấy chỉ có m = 1 thỏa mãn (*).

⟹ Chọn C

Dạng 2. Tích phân có chứa căn thức

Phương pháp giải

Lớp bài toán 1: thỏa (p + 1) ⋮ k, khi đó ta đặt

Lớp bài toán 2: Đổi biến dạng lượng giác

Ta chú ý các nhận biết một số dấu hiệu và cách đổi biến tương ứng sau

Lớp bài toán 3:

Hướng 1: theo dạng 2

Hướng 2: Hữu tỉ hóa. Sử dụng các phép biển đổi Euler

Với a > 0, đặt

Với c > 0, đặt

Nếu ax² + bx + c có hai nghiệm x₁, x₂ thì đặt hoặc đặt

Chú ý:

ta biến đổi về dạng

ngoài cách giải chung bằng phép thế lượng giác ta còn có thể giải bằng phép thế đại số. Đặt hoặc hoặc t = mx + n hoặc

Với dạng ta thường nhóm biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức rồi đưa về dạng: hoặc

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong các tích phân sau, tích phân nào không cùng giá trị với

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đặt

Đổi cận x = 1 thì t = 1; x = 2 thì t = 4.

⟹ Chọn A

Câu 2. Tính tích phân ta được là phân số tối giản. Giá trị bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đặt

Đổi biến: u (0) = 1; u (3) = 2

Khi đó ta có:

Do đó: a = 116, b = 15. Suy ra: =

⟹ Chọn A

Câu 3. Kết quả của tích phân là phân số tối giản. Giá trị P = a² + b² bằng

A. 2786

B. 2785

C. 2685

D. 2885

Hướng dẫn giải

Đặt

Với x = 0 ⇒ t = 1; x = 0 ⇒ t = 3

Vậy

Suy ra: a = 52, b = 9. Do đó: S = 2785.

⟹ Chọn B

Câu 4. Tính tích phân: được kết quả I = a ln3 + b ln5, (a, b ∊ ℤ). Tổng a + b là

A. 2

B. 3

C. –1

D. 1

Hướng dẫn giải

Đặt

Đổi cận: x = 1 ⟶ u = 2; x = 5 ⟶ u = 4

Vậy

Do đó a = 2; b = –1. Suy ra: a + b = 1.

⟹ Chọn D

Dạng 3. Tích phân lượng giác

Phương pháp giải

Nguyên hàm cơ bản cần nhớ với mọi số thức k ≠ 0

Mốt số lớp bài toán thường gặp

Lớp bài toán 1: Đưa về một hàm số lượng giác

I = ∫f (sinx) cosxdx = ∫f (t)dt

I = ∫f (cosx) sinxdx = –∫f (t)dt

Lớp bài toán 2: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng

∫sinax.sinbx dx

∫cosax.cosbx dx

∫sinax.cosbx dx

Cách giải: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng:

Lớp bài toán 3: ∫sinⁿ xdx; ∫cosⁿ xdx (n ∊ ℕ; n ≥ 2)

Cách giải:

Nếu n chẵn thì dùng công thức hạ bậc để hạ đến hết bậc:

Nếu n lẻ thì tách ra lấy một thừa số và sử dụng các công thức:

cosxdx = d (sinx); sinxdx = –d (cosx)

Lớp bài toán 4:

Cách giải:

Đặt

Lớp bài toán 5:

Cách giải

Biến đổi: Tử = A (mẫu) + B (đạo hàm mẫu) + C rồi đưa về dạng 4 nếu C ≠ 0.

Chú ý: Trên đây chỉ là một vài trường hợp thường gặp. Trong thực tế có thẻ gặp nhiều dạng khác nữa, đòi hỏi phải linh hoạt vận dụng các kiến thức về lượng giác và các Phương pháp giải tính nguyên hàm tích phân.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho tích phân . Giá trị a³ + b³ +1.

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Câu 2. Cho tích phân . Giá trị bằng

A. 11

B.

C. 4

D. 7

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Câu 3. Cho tích phân . Giá trị A = 4a + 8b bằng

A. 0

B. 2

C. 1

D. –1

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Câu 4. Cho tích phân . Giá trị sin⁶ a + cos⁶ a bằng

A.

B.

C. 1

D.

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Câu 5. Cho tích phân . Giá trị A = 6a + 15b bằng

A. 11

B. 4

C. 7

D. 3

Hướng dẫn giải

Ta có:

Trong đó:

Xét

Đặt t = sin x, suy ra . Khi đó:

Vậy

⟹ Chọn A

Dạng 4. Tích phân từng phần

Phương pháp giải

Cho u = u(x), v = v(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) ta có:

∫udv = uv – ∫vdu

Chú ý: Cho dãy “ưu tiên” các loại hàm như sau ‘logarit → đa thức → mũ, lượng giác’ và P(x), Q(x) là 2 trong các loại hàm số đó. Khi cần tính ∫P(x).Q(x) dx ta chọn từng phần theo nguyên tắc sau

Chọn u = Hàm được ưu tiên hơn

dv = phần còn lại

Ví dụ ∫ (2x + 1) ln (x – 1) dx ta chọn

Bài tập vận dụng

Câu 1. Kết quả phân tích , (b ∊ ℤ). Giá trị 3 + b là

A. 3

B. 4

C. 5

D. 7

Hướng dẫn giải

Tính

Tính

Xem:

Dùng công thức tích phân từng phần

Vậy:

⟹ Chọn C

Câu 2. Biết rằng tích phân , (a, b ∊ ℤ⁺). Giá trị ab bằng

A. 1

B. –1

C. –15

D. 20

Hướng dẫn giải

Đặt u = (2x + 1) ⇒ du = 2dx

dv = e^x dx ⇒ v = e^x

⟹ Chọn A

Câu 3. Tìm số thực m > 1 thỏa mãn

A. m = 2e

B. m = e

C. m = e²

D. m = e + 1

Hướng dẫn giải

Đặt

⟹ Chọn B

Câu 4. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng (0; +∞) và . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. I = F (6) – F (1)

B. I = F (6) – F (3)

C. I = F (9) – F (3)

D. I = F (4) – F (2)

Hướng dẫn giải

Xét

Đặt t = 3x ⇒ dt = 3dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 3, x = 3 ⇒ t = 9.

Suy ra:

⟹ Chọn C

Câu 5. Đặt , k nguyên dương. Ta có I_k < e – 2 khi:

A. k ∊ {1; 2}

B. k ∊ {2; 3}

C. k ∊ {4; 1}

D. k ∊ {3; 4}

Hướng dẫn giải

Đặt

Do k nguyên dương nên k ∊ {1; 2}.

⟹ Chọn A

Câu 6. Cho tích phân . Giá trị A = 8a + b bằng

A. –3

B. 0

C. 1

D. 2

Hướng dẫn giải

Tính

Đặt , chọn

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 7. Cho tích phân . Giá trị bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đặt , chọn v = –cotx.

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 8. Cho tích phân .

Giá trị A = 32a + 4b + 2c bằng

A. –3

B. 2

C. –2

D. 1

Hướng dẫn giải

Tính

Đặt u = x ⇒ du = dx; dv = (tan² x + 1) dx, chọn v = tanx.

Vậy

Do đó:

⟹ Chọn C

Dạng 5. Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải

Bài toán: Tính tích phân

(với g(x) là biểu thức chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối)

Phương pháp chng

Xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên [a; b]

Dựa vào dấu để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng (sử dụng tính chất 3 để tách)

Tính mỗi tích phân thành phần.

Đặc biệt: Tính tích phân

Cách giải

Cách 1:

Cho f(x) = 0 tìm nghiệm trên [a; b]

Xét dấu của f(x) trên [a; b], dựa vào dấu của f(x) để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng (sử dụng tính chất 3 để tách)

Tính mỗi tích phân thành phần.

Cách 2:

Cho f(x) = 0 tìm nghiệm trên [a; b] giả sử các nghiệm đó là x₁; x₂; … x_n

(với x₁ < x₂ < … < x_n).

Khi đó:

Tính mỗi tích phân thành phần

Bài tập vận dụng

Câu 1. là phân số tối giản. Giá trị a + b bằng

A. 11

B. 25

C. 100

D. 50

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Câu 2. , (a ∊ ℕ^*). Hỏi a³ là bao nhiêu?

A. 27

B. 64

C. 125

D. 8

Hướng dẫn giải

Ta có:

Với

Với thì

Với thì

⟹ Chọn D

Câu 3. Biết , với a, b là các số nguyên. Giá trị S = a – b bằng

A. 9

B. 11

C. 5

D. –3

Hướng dẫn giải

Ta có:

⟹ Chọn B

Câu 4. Cho tích phân và . Giá trị của a và b lần lượt là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Câu 5. Tính tích phân , a > 0 ta được kết quả I = f(a). Khi đó tổng có giá trị bằng:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

TH1: Nếu a ≥ 1 khi đó

TH2: Nếu 0 < a < 1 khi đó

Khi đó

⟹ Chọn B

Câu 6. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa và . Giá trị bằng

A. 30

B. 32

C. 34

D. 36

Hướng dẫn giải

Xét

Đặt u = 2x ⇒du = 2dx; x = 0 ⇒u = 0; x = 1 ⇒ u = 2.

Nên

Xét

Đặt v = 6x ⇒ dv = 6dx; x = 0 ⇒ v = 0; x = 2 ⇒ u = 2.

Nên

Xét

Tính

Đặt t = 5|x| + 2.

Khi –2 < x < 5, t = 5x + 2 ⇒ dt = 5dx; x = 2 ⇒ t = 12; x = 0 ⇒ t = 2.

Vậy = 32.

⟹ Chọn B

Dạng 6. Tích phân siêu việt

Bài tập vận dụng

Câu 1. Xét tích phân . Sử dụng Phương pháp giải đổi biến số với u = x², tích phân I được biến đổi thành dạng nào sau đây:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Đặt

Với x = 1 ⇒ u = 1 và

Khi đó

⟹ Chọn C

Câu 2. Biết rằng , (a, b, c ∊ ℤ). Giá trị của S = a + b + c bằng

A. 3

B. 2

C. 0

D. 4

Hướng dẫn giải

Đặt

Do đó a = 1; b = –1; c = 0 ⇒ S = 0.

⟹ Chọn C

Câu 3. Cho tích phân , (a, b ∊ ℕ^*). Giá trị S = cos [(a + b) π] + sin [(a – b) π] bằng

A. 0

B. –1

C. 1

D. –4

Hướng dẫn giải

Đặt thì t = 2; x = 3⁸ thì t = 3.

S = cos [(a + b) π] + sin [(a – b) π] = –1.

⟹ Chọn B

Câu 4. Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tính bằng:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Do là một nguyên hàm của hàm số nên

Tính . Đặt

Khi đó:

⟹ Chọn A

Câu 5. Cho hàm số y = f(x) và f (0) = f (1) = 1. Biết rằng: . Tính Q = a²⁰¹⁷ + b²⁰¹⁷.

A. Q = 2²⁰¹⁷ + 1

B. Q = 2

C. Q = 0

D. Q = 2²⁰¹⁷ – 1

Hướng dẫn giải

Đặt

Do đó a = 1, b = –1.

Suy ra Q = a²⁰¹⁷ + b²⁰¹⁷ = 1²⁰¹⁷ + (–1)²⁰¹⁷ = 0.

Vậy Q = 0.

⟹ Chọn C

Câu 6. Tính tích phân

A. I = 0

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Tính tích phân

Đặt x = –t ⇒ dx = –dt. Khi x = –2 thì t = 2; khi x = 2 thì t = –2.

Ta có

⟹ Chọn C

Câu 7. Biết với m, n, p là các số nguyên dương. Tính tổng S = m + n + p.

A. S = 6

B. S = 5

C. S = 7

C. S = 8

Hướng dẫn giải

Ta có

Tính

Đặt

Đổi cận: Khi x = 0 thì t = π + e; khi x = 1 thì t = π + 2e.

Khi đó . Vậy S = 7.

⟹ Chọn C

Câu 8. Cho y = f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên ℝ. Biết . Giá trị của bằng

A. 1

B. 6

C. 4

D. 3

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Do và

Mặt khác và y = f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên ℝ

⇒ f(–x) = f(x) ∀x ∊ ℝ.

Xét I = . Đặt t = –x ⇒ dx = – dt

⟹ Chọn D

Câu 9. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn . Tính tích phân .

A. I = 3 + 2ln² 2

B. I = 2ln² 2

C. I = ln² 2

D. I = 2ln 2

Hướng dẫn giải

Ta có

Xét

Đặt

Xét

Do đó

⟹ Chọn B

Dạng 7. Tích phân hàm ẩn

Phương pháp giải

Phương pháp giải chung cho loại toán này là áp dụng kỹ thuật đổi biến, Phương pháp giải từng phần và kỹ thuật đạo hàm…, ngoài ra có một vài dạng đặc trưng sau:

Loại 1: Biểu thức tích phân đưa về dạng: u(x). f’(x) + u’(x) f(x) = h(x)

Cách giải

Ta có u(x) f’(x) + u’(x) f(x) = [u(x) f(x)]’

Do đó u(x) f’(x) + u’(x) f(x) = h(x) ⇔ [u(x) f(x)]’ = h(x)

Suy ra u(x) f(x) = ∫h(x) dx

Suy ra ta được f(x)

Loại 2: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f’(x) + f(x) = h(x)

Cách giải

Nhân hai vế với e^x ⇒ e^x. f’(x) + e^x. f(x) = e^x. h(x) ⇔ [e^x. f(x)]’ = e^x. h(x)

Suy ra e^x. f(x) = ∫e^x h(x) dx

Suy ra được f(x)

Loại 3: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f’(x) – f(x) = h(x)

Cách giải

Nhân hai vế với e^–x ⇒ e^–x. f’(x) + e^–x. f(x) = e^–x. h(x) ⇔ [e^–x. f(x)]’ = e^–x. h(x)

Suy ra e^–x. f(x) = ∫e^–x h(x) dx

Suy ra được f(x)

Loại 4: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f’(x) + p(x) f(x) = h(x)

Cách giải

Nhân hai vế với

Suy ra

Suy ra được f(x)

Công thức

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], thỏa mãn 3 f(x) + x f’(x) = x²⁰¹⁸ với mọi x ∊ [0; 1]. Tính .

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết 3 f(x) + x f’(x) = x²⁰¹⁸, nhân hai vế cho x² ta được

3x² f(x) + x³ f’(x) = x²⁰²⁰ ⇔ [x³ f(x)]’ = x²⁰²⁰.

Suy ra

Thay x = 0 vào hai vế ta được C = 0 ⇒

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 2. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 4], thỏa mãn với mọi x ∊ [0; 4]. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

B. e⁴ f (4) – f (0) = 3e

C. e⁴ f (4) – f (0) = e⁴ – 1

D. e⁴ f (4) – f (0) = 3

Hướng dẫn giải

Nhân hai vế cho e^x để thu dược đạo hàm đúng, ta được

Suy ra

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 3. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ, thỏa mãn f’(x) – 2018 f(x) = 2018 x²⁰¹⁷ e^2018x với mọi x ∊ ℝ và f (0) = 2018. Giá trị f (1) bằng

A. 2018e^–2018

B. 2017e²⁰¹⁸

C. 2018e²⁰¹⁸

D. 2019e²⁰¹⁸

Hướng dẫn giải

Nhân hai vế cho e^–2018x để thu được đạo hàm đúng, ta được

f’(x) – 2018 f(x) = 2018 x²⁰¹⁷ e^2018x ⇔ [f(x) e^–2018x]’ = 2018 x²⁰¹⁷.

Suy ra f(x) e^–2018 = ∫2018x²⁰¹⁷ dx = x²⁰¹⁸ +C.

Thay x = 0 vào hai vế ta được C = 2018 ⇒ f(x) = (x²⁰¹⁸ + 2018) e^2018x.

Vậy f (1) = 2019 e²⁰¹⁸.

⟹ Chọn D

Câu 4. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ, thỏa mãn và f (0) = –2. Giá trị f (1) bằng

A. e

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Nhân hai vế cho để thu được đạo hàm đúng, ta được

Suy ra

Thay x = o vào hai vế ta được

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 5. xét hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn . Tích phân bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Ta có: (1).

Đặt t = 1 – x, thay vào (1), ta được: hay (2).

Từ (1) & (2), ta được:

Do đó, ta có:

Cách 2: Công thức

Lấy tích phân 2 vế ta được

Chú ý: Ta có thể dùng công thức . Khi đó:

Từ suy ra

⟹ Chọn C

Câu 6. Cho . Giá trị theo a là

A. 2a

B. 4a

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đặt t = x² + 1 ⇒ dt = 2x dx.

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 2.

Khi đó:

⟹ Chọn C

Dạng 8. Bất đẳng thức tích phân

Phương pháp giải

Áp dụng các bất đẳng thức:

Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì

Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và m ≤ f(x) ≤ M thì

Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a; b] thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f(x) = k. g(x).

Bất đẳng thức AM – GM

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], thỏa mãn f (1) = 0, và . Giá trị phân bằng

A. 1

B.

C.

D. 4

Hướng dẫn giải

Dùng tích phân từng phần ta có . Kết hợp với giả thiết f (1) = 0, ta suy ra

Theo Holder

Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có f’(x) = kx³, thay vào ta được k = –7.

Suy ra

⟹ Chọn B

Câu 2. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], thỏa mãn f (1) = 1, và . Giá trị f (2) bằng

A. 2

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Theo Holder

Vậy

⟹ Chọn D

Câu 3. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], thỏa mãn f (1) = 2, f (0) = 0 và . Tích phân bằng

A. 0

B. 1011

C. 2018

D. 2022

Hướng dẫn giải

Theo Holder

Vậy f(x) = 2x ⇒ = 1011.

⟹ Chọn B

Câu 4. Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm f’(x) liên tục trên [0; 1], thỏa mãn f (1) = e f (0) và . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Ta có

Mà nên dấu “=” xảy ra, tức là

Theo giả thiết f (1) = e f (0) nên ta có

⟹ Chọn C

Câu 5. Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương trên [0; 1], có đạo hàm dương và liên tục trên [0; 1], thỏa mãn f (0) = 1 và . Giá trị bằng

A.

B. 2 (e² – 1)

C.

D.

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số dương ta có

Suy ra

Mà nên dấu “=” xảy ra, tức là

Theo giả thiết

⟹ Chọn A

Tài liệu tham khảo

Thầy Tú dạy toán