Bài viết sau đây, Dân Chuyên Toán sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu một số dạng bài tập về Modun số phức thường gặp trong chương trình toán lớp 12 và đặc biệt là các dạng toán về biểu diễn số phức theo quỹ tích điểm.
Lý thuyết
Khái niệm Modun số phức
Mô đun của số phức: Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M (a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của vec tơ 
được gọi là mô đun của số phức z. Kí hiệu: 
.
Tính chất modun số phức
Chú ý: 
Lưu ý
|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| dấu bằng xảy ra ⇔ z1 = kz2 (k ≥ 0).
|z1 – z2| ≤ |z1| + |z2| dấu bằng xảy ra ⇔ z1 = kz2 (k ≤ 0).
|z1 + z2| ≥ ||z1| – |z2|| dấu bằng xảy ra ⇔ z1 = kz2 (k ≤ 0).
|z1 – z2| ≥ ||z1| – |z2|| dấu bằng xảy ra ⇔ z1 = kz2 (k ≥ 0).
|z1 + z2|2 + |z1 – z2|2 = 2 (|z1|2 + |z2|2)
Một số quỹ tích nên nhớ
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng
Phương pháp giải
TQ1: Cho số phức z thỏa mãn |z – a – bi| = |z|, tìm |z|Min. Khi đó ta có
Quỹ tích điểm M (x; y) biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với A (a; b)
TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện |z – a – bi| = |z – c – di|. Tìm |z|min. Ta có
Quỹ tích điểm M (x; y) biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với A (a; b), B (c; d)
Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản.
Ví dụ 1:
Cho số phức thỏa mãn điều kiện 
. Khi đó ta biến đổi
Cho số phức thỏa mãn điều kiện |iz – a – bi| = |z – c – di|. Khi đó ta biến đổi
Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.
TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z – a – bi| = R > 0 (|z – z0| = R). Tìm |z|Max, |z|Min. Ta có
Quỹ tích điểm M (x; y) biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (a; b) bán kính R
Lưu ý: Đề bài có thể ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi đưa về dạng cơ bản.
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 
(Chia hai vế cho |i|)
⇔ |a + b + ai| = R
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 
(Lấy liên hợp 2 vế)
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
Hay viết gọn 
(Chia cả hai vế cho |z0|)
Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.
TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z – c| + |z + c| = 2a, (a > c). Khi đó ta có
Quỹ tích điểm M (x; y) biểu diễn số phức z là Elip: 
TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z – z1| + |z – z2| = 2a
Thỏa mãn 2a > |z1 – z2|.
Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc
Ta có
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn |z – 2 – 3i| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của 
.
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Ta có 
Đặt 
, khi đó ⇔ |w – 3 + 2i| = 1
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn (I; 1) và |w| là khoảng cách từ gốc tọa độ đến 1 điểm trên đường tròn. Do đó giá trị lớn nhất của |w| chính là đoạn OQ 
.
Nhận xét: Ở đây ta sử dụng kiến thức sau: 
Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn |z – 6| + |z + 6| = 20. Gọi M, n lần lượt là mô đun lớn nhất và nhỏ nhất của z. Tính M – n
A. M – n = 2
B. M – n = 4
C. M – n = 7
D. M – n = 14
Hướng dẫn giải
Gọi z = x + yi, (x, y ∊ ℝ). Theo giả thiết, ta có |z – 6| + |z + 6| = 20.
Gọi M (x; y), F1 (6; 0) và F2 (–6; 0).
Khi đó (*) ⇔ MF1 +MF2 = 20 > F1F2 = 12 nên tập hợp các điểm E là đường elip (E) có hai tiêu điểm F1 và F2. Và độ dài trục lớn bằng 20.
Ta có c = 6; 2a = 20 ⇔ a = 10 và b2 = a2 – c2 = 64 ⇒ b = 8.
Do đó, phương trình chính tắc của (E) là 
.
Suy ra max |z| = OA = OA’ = 10 khi z = ± 10 và min |z| = OB = OB’ = 8 khi z = ±8i.
Vậy M – n = 2.
Nhận xét: Ở trên ta đã sử dụng định nghĩa (E) để nhận dạng được phương trình elip
Câu 3. Xét số phức z = a + bi (a, b ∊ ℝ) thỏa mãn 
. Tính P = a + b khi |z + 1 – 3i| + |z – 1 + i| đạt giá trị lớn nhất.
A. P = 8
B. P = 10
C. P = 4
D. P = 6
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Gọi M (a; b) là điểm biểu diễn của số phức z.
Theo giả thiết ta có: 
⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (4; 3) bán kính 
Gọi 
Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại D
Ta có: Q2 = MA2 + MB2 + 2MA.MB
⇔ Q2 ≤ MA2 + MB2 + MA2 + MB2 = 2 (MA2 + MB2)
Vì ME là trung tuyến trong ∆MAB
Mặt khác 
Cách 2: Đặt z = a + bi. Theo giả thiết ta có: (a – 4)2 + (b – 5)2 = 5.
Đặt 
. Khi đó:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
Dấu bằng xảy ra khi 
.
Câu 4. Xét số phức z thỏa mãn thỏa mãn 
. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z – 1 + i|. Tính P = m + M.
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Gọi A là điểm biểu diễn số phức z, E (–2; 1), F (4; 7) và N (1; –1).
Từ AE + AF = và 
nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF.
Gọi H là hình chiếu của N lên EF, ta có 
. Suy ra P = NH + NF ⇒ .
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn |z – 2 – 2i| = 1. Số phức z – i có mô đun nhỏ nhất là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Cách 1:
Đặt w = z – i ⇒ z = w + i.
Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn hình học của số phức w.
Từ giả thiết |z – 2 – 2i| = 1 ta được:
|w + i – 2 – 2i| = 1 ⇔ |w – 2 – i| = 1 ⇔ | (x – 2) + (y – 1) i| = 1 ⇔ (x – 2)2 + (y – 1)2 = 1.
Suy ra tập hợp những điểm M (x; y) biểu diễn cho số phức w là đường tròn (C) có tâm I (2; 1) bán kính R = 1.
Giả sử OI cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B với A nằm trong đoạn thẳng OI.
Ta có |w| = OM
Mà OM + MI ≥ OI ⇔ OM + MI ≥ OA + AI ⇔ OM ≥ OA
Nên |w| nhỏ nhất bằng 
.
Cách 2:
Từ |z – 2 – 2i| = 1 ⇒ (a – 2)2 + (b – 2)2 = 1 với z = a + bi (a, b ∊ ℝ)
a – 2 = sinx; b – 2 = cosx ⇒ a = 2 + sinx, b = 2 + cosx
Khi đó: 
Nên |z – i| nhỏ nhất 
khi 
Ta được 
Cách 3:
Sử dụng bất đẳng thức ||z1| – |z2|| ≤ |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|
Câu 6. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 
với z là số phức khác 0 và thỏa mãn |z| ≥ 2. Tính tỉ số 
.
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Ta có 
Vậy
Câu 7. Xét tất cả các số phức z thỏa mãn |z – 3i + 4| = 1. Giá trị nhỏ nhất của |z2 + 7 – 24i| nằm trong khoảng nào?
A. (0; 1009)
B. (1009; 2018)
C. (2018; 4036)
D. (4036; +∞)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Ta có 1 = |z – 3i + 4| ≥ ||z| – |3i – 4|| = ||z| – 5| ⇒ –1 ≤ |z| ≤ –5 ⇒ 4 ≤ z ≤ 6.
Đặt z0 = 4 – 3i ⇒ |z0| = 5; z02 = 7 – 24i.
Ta có 
Mà 
Suy ra 
Hàm số xảy ra khi và chỉ khi 
Do đó |z2 + 7 – 24i| nằm trong khoảng (1009; 2018).
Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn 
. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = |z – 2 – 2i|. Đặt A = M + m. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Giá sử: z = x + yi, (x, y ∊ ℝ) ⇒ N (x; y): điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Ta có
⇒ |x| + |y| = 2 ⇒ N thuộc các cạnh của hình vuông BCDF (hình vẽ).
với I (2; 2)
Từ hình ta có: E (1; 1)
và 
Vậy 
.
Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn |z – 3 + 4i| = 2 và w = 2z + 1 – i. Khi đó |w| có giá trị lớn nhất bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Theo bất đẳng thức tam giác ta có
Vậy giá trị lớn nhất của |w| là .
Câu 10. Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M và M’. Số phức z (4 + 3i) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là N và N’. Biết rằng M, M’, N, N’ là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z + 4i – 5|.
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Gọi z = x + yi, trong đó x, y ∊ ℝ. Khi đó 
, M (x; y), M’ (x; –y).
Ta đặt w = z (4 + 3i) = (x + yi) (4 + 3i) = (4x – 3y) + (3x + 4y) i ⇒ N (4x – 3y; 3x + 4y). Khi đó:
Ta có M và M’; N và N’ từng cặp đối xứng nhau qua trục Ox. Do đó, để chúng tạo thành một hình chữ nhật thì yM = yN hoặc yM = yN’. Suy ra y = 3x + 4y hoặc y = –3x – 4y. Vậy tập hợp các điểm M là hai đường thẳng d1: x + y = 0 và d2: 3x + 5y = 0.
Đặt 
. Ta có P = MA với A (5; –4).
Pmin ⇔ MAmin ⇔ MA = d (A; d1) hoặc MA = d (A; d2). Mà 
.
Vậy Pmin = d (A; d1) =
Câu 11. Biết số phức z thỏa mãn |iz – 3| = |z – 2 – i| và |z| có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức z bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Đặt z = x + yi (x, y ∊ ℝ).
Khi đó 
Lại có 
Thay (1) vào (2) ta được:
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
Thay 
vào (1) suy ra 
Vậy phần thực của số phức z là .
Câu 12. Xét các số phức z thỏa mãn |z – 1 – 3i| = 2. Số phức z mà |z – 1| nhỏ nhất là
A. z = 1 + 5i
B. z = 1 + i
C. z = 1 + 3i
D. z = 1 – i
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Gọi z = x + yi (x, y ∊ ℝ). Khi đó M (x; y) là điểm biểu diễn của số phức z.
Theo bài ra ta có |z – 1 – 3i| = 2 ⇔ (x – 1)2 + (y – 3)2 = 4.
Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I (1; 3) bán kính R = 2.
Khi đó 
|z – 1| nhỏ nhất khi I’M ngắn nhất hay I, M, I’ thẳng hàng, M nằm giữa I và I’.
Phương trình đường thẳng II’ là x = 1.
Tọa độ giao điểm của đường thẳng II’ với đường tròn tâm I bán kính R = 2 là M1 (1; 1) và M1 (1; 5).
Thử lại ta thấy M1 (1; 1) thỏa mãn. Vậy z = 1 + i.
Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn 
. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = |z – 2 – 2i|. Đặt A = M + m. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Đặt z = x + yi và gọi M (x; y) là điểm biểu diễn của z = x + iy
Ta có ⇔ |x| + |y| = 2
Gọi A (2; 2) và P = MA
Theo hình vẽ, min P = d (A, ∆), với ∆: x + y = 2 và 
, với E (0; –2)
Vậy 
Câu 14. Trong các số phức z thỏa mãn 
, số phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Gọi z = x + yi, (x, y ∊ ℝ) được biểu diễn bởi điểm M (x; y).
⇔ | (x – 1) + (y + 1) i| = | (x + 1) – (y + 2) i|
Cách 1:
Suy ra 
khi 
Vậy phần ảo của số phức z có mô đun nhỏ nhất là .
Cách 2:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 4x + 2y + 3 = 0.
Ta có |z| = OM. |z| nhỏ nhất ⇔ OM nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của O trên d.
Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: 
Vậy phần ảo của số phức z có mô đun nhỏ nhất là .
Nhận xét: Ta có thể tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z như sau:
Gọi M biểu diễn số phức z, điểm A (1; –1) biểu diễn số phức 1 – i, điểm B (–1; –2) biểu diễn số phức –1 – 2i.
Khi đó (*) ⇔ MA ≡ MB. Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình d: 4x + 2y + 3 = 0.
Câu 15. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn 
. Giá trị nhỏ nhất của |z1 – z2| là
A. 
B. 
C. 1
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Giả sử z1 = x1 + y1i với x1; y2 ∊ ℝ. Khi đó:
⇒ Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z1 là đường thẳng ∆: x – y + 3 = 0.
Giả sử z2 = x2 + y2i với x2; y2 ∊ ℝ. Ta có:
⇒ Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức z2 là đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 2y + 3 = 0 có tâm I (2; –1) và bán kính 
.
Khoảng cách từ I đến ∆ là: 
⇒ đường thẳng ∆ và đường tròn C không có điểm chung.
Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z1 – z2 là đoạn thẳng MN. ⇒ |z1 – z2| nhỏ nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất.
Dễ thấy 
.
Câu 16. Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn 
và |z + 1 + mi| = |z + m + 2i|, (trong đó m ∊ ℝ). Gọi z1, z2 là hai số phức thuộc S sao cho |z1 – z2| lớn nhất, khi đó giá trị của |z1 + z2| bằng
A. 2
B. 10
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Đặt z = x + yi, (x, y ∊ ℝ). Khi đó
⇔ (x – 1)2 + y2 = 34; |z + 1 + mi| = |z + m + 2i| ⇔ 2 (m – 1) x + 2 (2 – m) y + 3 = 0.
Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là giao điểm của đường tròn (C): (x – 1)2 + y2 = 34 và đường thẳng d: 2 (m – 1) x + 2 (2 – m) y + 3 = 0.
Gọi A, B là hai điểm biểu diễn z1 và z2. Suy ra (C) ∩ d = {A; B}.
Mặt khác 
do đó 
.
Từ đó ta có 
nên 
Vậy |z1 + z2| = 2.
Câu 17. Cho hai số phức z, w thỏa mãn 
. Biết rằng |z – w| đạt giá trị nhỏ nhất khi z = z0, w = w0. Tính |3z0 – w0|.
A. 
B. 
C. 1
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Ta có:
, suy ra tập hợp điểm biểu diễn M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm 
, bán kính 
.
, suy ra tập hợp điểm biểu diễn N biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm 
, bán kính 
.
Ta có min |z – w| – min MN.
Mặt khác IM + MN + NJ ≥ IJ ⇒ MN ≥ IJ – IM – NJ hay 
.
Suy ra 
khi I, M, N, J thẳng hàng và M, N nằm giữa I, J (Hình vẽ).
Cách 1:
Khi đó ta có: 
và 
Mặt khác 
Suy ra 
Cách 2:
Ta có 
Do đó 
Cách 3:
Suy ra 
Câu 18. Cho hai số phức z và w thỏa mãn z + 2w = 8 – 6i và |z – w| = 4. Giá trị lớn nhất của biểu thức |z| + |w| bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Giả sử M, N lần lượt là các điểm biểu diễn cho z và w. Suy ra 
, |z – w| = MN = 4 và Ò = 2OI = 10.
Đặt 
. Dựng hình bình hành OMFE
Ta có 
Suy ra 
, dấu “=” xảy ra khi 
Vậy (a + b) max =
Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn |z| = |z + 1| + |z2 – z + 1|. Tính M.m
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Thay |z|2 = 1 vào P ta có
Mặt khác 
Đặt 
do |z| = 1 nên điều kiện t ∊ [–2; 2].
Suy ra 
Xét hàm số 
với t ∊ [–2; 2].
với t > 1. Suy ra f’ (t) > 0 với t > 1.
với t < 1. Suy ra 
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra 
tại 
và 
tại 
Vậy M. m =
Câu 20. Cho hai số phức z và ⍵ = a + bi thỏa mãn 
; 5a – 4b – 20 = 0. Giá trị nhỏ nhất của |z – ⍵| là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Đặt 
, vì 
nên tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thuộc elip có 
Tập hợp các điểm N biểu diễn số phức ⍵ thuộc đường thẳng ∆: 5x – 4y – 20 = 0.
Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm M ∊ (E) và N ∊ ∆ sao cho MN nhỏ nhất.
Đường thẳng d song song với ∆ có dạng d: 5x – 4y + c = 0, (c ≠ –20).
d tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi 
Với 
Với 
Vậy min (MN) =
Câu 21. Gọi z = a + bi (a, b ∊ ℝ) là số phức thỏa mãn điều kiện 
và có mô đun nhỏ nhất. Tính S = 7a + b?
A. 7
B. 0
C. 5
D. –12
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Gọi M (a; b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.
A (1; 2) là điểm biểu diễn số phức (1 + 2i)
B (–2; 3) là điểm biểu diễn số phức (–2 + 3i), 
.
