Hàm số lũy thừa: Tổng hợp lý thuyết & dạng bài tập đặc trưng

Hàm số lũy thừa thuộc chương 2 của đại số toán 12. Ở bài học dưới đây, chúng ta sẽ tìm hiểu cơ bản thế nào là hàm lũy thừa, các công thức cần nhờ về tập xác định đạo hàm và một vài dạng toán thường gặp trong các đề thi. Ngoài ra, cuối bài giảng VerbaLearn còn giúp bạn đọc tổng hợp một số tài liệu có hướng dẫn giải hay nhất cho mảng kiến thức này.

Lý thuyết hàm số luỹ thừa

1. Định nghĩa

Hàm số y = x^α, với α ∈ ℝ, được gọi là hàm số lũy thừa.

2. Tập xác định

Có 3 trường hợp về TXĐ

– D = ℝ nếu α là số nguyên dương.

– D = ℝ \ {0} với α nguyên âm hoặc bằng 0

– D = (0; +∞) với α không nguyên.

3. Đạo hàm

Hàm số y = x^α, với α ∈ ℝ có đạo hàm với mọi x > 0 và (x^α)’ = α․x^α-1

4. Tính chất của hàm số luỹ thừa

Xem thêm

Chương trình toán lớp 12

Phân dạng bài tập hàm số lũy thừa

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số luỹ thừa

Phương pháp giải

Xét hàm số y = [f(x)]^α:

– Khi α nguyên dương: hàm số xác định khi và chỉ khi f(x)xác định.

– Khi α nguyên âm: hàm số xác định khi và chỉ khi f(x) xác định và f(x) ≠ 0.

– Khi α không nguyên: hàm số xác định khi và chỉ khi f(x) xác định và f(x) > 0.

Lưu ý: Theo định nghĩa, đẳng thức chỉ xảy ra nếu x > 0. Do đó hàm số không đồng nhất với hàm số (n ∈ ℕ^*)

Như vậy, cần nhớ lại:

, (n ∈ ℕ^*): Hàm số xác định khi và chỉ khi f(x) xác định và f(x) ≥ 0.

, (n ∈ ℕ^*): Hàm số xác định khi f(x) xác định.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Với x là số thực tuỳ ý, xét các mệnh đề sau

1) xⁿ = x․x…․x (n ∈ ℕ, n ≥ 1)

2) (2x – 1)⁰ = 1

Số mệnh đề đúng là:

A. 3

B. 4

C. 1

D. 2

Hướng dẫn giải

Ta thấy xⁿ = x․x…․x (n ∈ ℕ, n ≥ 1) là mệnh đề đúng.

Ta thấy (2x – 1)⁰ = 1 là mệnh đề sai vì phải có thêm điều kiện 2x – 1 ≠ 0

Ta thấy là mệnh đề sai vì phải có thêm điều kiện 4x + 1 ≠ 0

Ta thấy là mệnh đề sai vì phải có thêm điều kiện .

Vậy chỉ có 1 mệnh đề đúng.

⟹ Chọn C

Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y = (x² – 1)^-2

A. D = ℝ

B. D = (-∞; -1) ∪ (1; +∞)

C. D = (-1; 1)

D. D = ℝ \ {±1}

Hướng dẫn giải

Hàm số y = (x² – 1)^-2 có số mũ là số nguyên âm nên xác định khi x² – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1.

Vậy D = ℝ \ {±1} là tập xác định của hàm số đã cho.

⟹ Chọn D

Câu 3. Tập xác định của hàm số y = (x² + x – 12)^-3 là

A. D = (-4; 3)

B. D = ℝ \ {-4; 3}

C. D = ℝ \ (-4; 3)

D. D = (-∞; -4) ∪ (3; +∞)

Hướng dẫn giải

Do số mũ là số nguyên âm nên ta có điều kiện x² + x – 12 ≠ 0

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = ℝ \ {-4; 3}

⟹ Chọn B

Câu 4. Hàm số y = (4x² – 1)^-4 có tập xác định là

A. D = [0; +∞)

C. D = ℝ

Hướng dẫn giải

Điều kiện: 4x² – 1 ≠ 0 nên tập xác định của hàm số là

⟹ Chọn B

Câu 5. Tập xác định của hàm số y = x^(sin2020^π⁾ là

A. D = ℝ

B. D = (0; +∞)

C. D = ℝ \ {0}

D. D = [0; +∞)

Hướng dẫn giải

Ta có y = x^(sin2020^π⁾ = x⁰ nên tập xác định là D = ℝ \ {0}

⟹ Chọn C

Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y = x²^π^{– 3}

A. D = ℝ

B. D = (0; +∞)

C. D = ℝ \ {0}

D. D = [0; +∞)

Hướng dẫn giải

Hàm số y = x²^π^{– 3}có số mũ không nguyên nên xác định khi x > 0.

Vậy tập xác định D = (0; +∞)

⟹ Chọn B

Câu 7. Tập xác định của hàm số là

A. D = [2; +∞)

B. D = (2; +∞)

C. D = (-∞; 2)

D. D = (-∞; 2]

Hướng dẫn giải

Hàm số có số mũ không nguyên nên xác định khi 2 – x > 0 ⇔ x < 2

Vậy tập xác định là D = (-∞; 2)

⟹ Chọn C

Câu 8. Tìm tập xác định D của hàm số

A. D = (-5; -1) ∪ (1; 5)

B. D = [-5; -1) ∪ (1; 5]

C. D = [-5; 5]

D. D = (-∞; -1) ∪ (1; +∞)

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định khi

Vậy tập xác định là D = [-5; -1) ∪ (1; 5]

⟹ Chọn B

Câu 9. Tìm tập xác định D của hàm số

A. D = (-∞; -1) ∪ (3; +∞) \ {-1}

B. D = (-∞; -1) ∪ (3; +∞)

C. D = (1; 3)

D. D = [1; 3]

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định khi

Vậy tập xác định là D = (-∞; -1) ∪ (3; +∞) \ {-1}

⟹ Chọn A

Câu 10. Tìm tập xác định D của hàm số

A D = (-5; 5) \ {3}

B D = (-5; 5) \ {±3}

C D = [-5; 5]

D D = (-5; 5) \ {-3}

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định khi

Vậy tập xác định là D = (-5; 5) \ {±3}

⟹ Chọn B

Dạng 2. Đạo hàm và đồ thị của hàm số luỹ thừa

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số sau.

a) y = x⁹

b) y = x^-4

Hướng dẫn giải

a) TXĐ: D = ℝ. y’ = 9x⁸

b) TXĐ: D = ℝ \ {0}.

c) TXĐ: D = (1; +∞).

d) TXĐ:

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) trên [3; 15]

b) trên [0; 1]

Hướng dẫn giải

a) , ∀ x ∈ [3; 15] ⇒ Hàm số luôn ĐB trên [3; 15]

Vậy

b) , ∀ x ∈ [0; 1] ⇒ Hàm số luôn NB trên [0; 1]

Vậy

Câu 3. Trong các đồ thị dưới đây, đồ thị nào là đồ thị của hàm số ?

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho có tập xác định D = (0; +∞) nên loại đáp án A và C.

Vì nên chọn đáp án B.

⟹ Chọn B

Câu 4. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 2x tại một điểm. Tìm tọa độ điểm giao điểm đó.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm

Vậy tọa độ giao điểm là

⟹ Chọn B

Câu 5. Cho α là một số thực và hàm số đồng biến trên (0; +∞). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. α < 1

D. α > 1

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết, hàm số đồng biến trên (0; +∞) nên

y’ > 0, ∀ x ∈ (0; +∞)

⟹ Chọn B

Câu 6. Cho hàm số (C): . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀ có hoành độ x₀ = 1

A .

C. y = πx – π + 1

Hướng dẫn giải

TXĐ: D = (0; +∞)

và y₀ = y (1) = 1

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀ có dạng:

⟹ Chọn B

Câu 7. Hình vẽ dưới đây là đồ thị các hàm số y = x^a, y = x^b, y = x^c trên miền (0; +∞). Hỏi trong các số a,b,c số nào nhận giá trị trong khoảng (0;1)?