Hàm số đồng biến trên R và Hàm số nghịch biến trên R

Phân dạng và phương pháp giải bài tập tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R theo mức độ từ cơ bản đến nâng cao trong toán 12. Để làm chủ được dạng toán này, đầu tiên bạn cần nắm vững các định lí về tính đơn điệu của hàm số thông qua các bài học cùng chuyên đề.

Hàm đơn điệu trên R khi nào?

Hàm số đơn điệu trên R tức hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên R. Để có được điều này, người ta thường xét đạo hàm của hàm số đó. Nếu đạo hàm của hàm số dương trên R thì hàm số đồng biến trên R. Ngược lại nếu hàm số luôn âm trên R thì hàm số nghịch biến. Dựa vào tính chất này ta dễ dàng tìm được vùng điều kiện của tham số m theo yêu cầu bài toán.

Hàm số đa thức bậc chẵn (2, 4, 6, …) không thể đơn điệu trên ℝ. Do đó, với dạng toán tìm m để hàm đơn điệu trên ℝ ta chỉ xét với các hàm số đa thức bậc lẻ.

Tìm m để hàm số đồng biến trên R, nghịch biến trên R

Để giải quyết dạng toán biện luận m để hàm số đơn điệu trên R, ta thực hiện theo 3 bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số

2. Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm

3. Biện luận các khoảng âm dương của đạo hàm

4. Biện luận và kết luận các khoảng của tham số m theo đề bài

Dưới đây là 3 dạng toán đặc trưng về hàm số đồng biến, nghịch biến trên R theo từng loại hàm số.

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Hàm số bậc nhất đồng biến nghịch biến trên R

[content_2]

Phương pháp giải

Xét hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0), ta có 2 trường hợp như sau:

• Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi a > 0
• Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi a < 0

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm m để hàm số f(x) = (m + 3)x + 4 đồng biến trên R.

A. m ≥ -3

B. m > -3

C. m < 2

D. m ≤ -3

Lời giải

Ta có f’(x) = m + 3

Để hàm số f(x) đồng biến trên R thì f’(x) > 0 với mọi x ϵ R

⇔ m + 3 > 0

⇔ m > -3

Chọn đáp án B. m > -3

Câu 2. Tìm m để hàm số f(x) = -3mx + 4 nghịch biến trên R.

A. m > 0

B. m ≥ -3

C. m < 0

D. m ≤ -3

Lời giải

Ta có f’(x) = -3m

Để hàm số f(x) nghịch biến trên R thì f’(x) < 0 với mọi x ϵ R

⇔ -3m < 0

⇔ m > 0

Chọn đáp án A. m > 0

Dạng 2. Hàm số bậc ba đồng biến nghịch biến trên R

Phương pháp giải

Xét hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

Đạo hàm y’ = 3ax² + 2bx + c

Trường hợp 1: a = 0 (nếu có tham số), hàm số trở về dạng bậc chẵn và không bao giờ đơn điệu trên ℝ.

Trường hợp 2: a ≠ 0

Hàm số đồng biến trên ℝ:

Hàm số nghịch biến trên ℝ:

Kết hợp với yêu cầu đề bài, ta kết luận được các khoảng giá trị của tham số m.

Bài tập vận dụng

Câu 1.  Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = (m² – 1) x³ + (m – 1) x² – x + 4 nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Lời giải

Chọn C

TH1: m = 1. Ta có: y = -x + 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên ℝ. Do đó nhận m = 1.

TH2: m = -1. Ta có: y = – 2x² – x + 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên ℝ. Do đó loại m = -1.

TH3: m ≠ 1.

Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞) ⇔ y’ ≤ 0 ∀ x ∊ ℝ.Dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên ℝ.

⇔ 3(m² – 1) x² + 2(m – 1) x – 1 ≤ 0 ∀ x ∊ ℝ

Vì m ∊ ℤ nên m = 0

Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1.

Câu 2. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số  m để hàm số y = ⅓ (m² – m) x³ + 2mx² + 3x – 2 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)?

A. 4

B. 5

C. 3

D. 0

Lời giải

Chọn A

y’ = (m² – m) x² + 4mx + 3

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞; +∞) ⇔ y’ ≥ 0 ∀ x ∊ ℝ.

+ Với m = 0 ta có y’ = 3 > 0, ∀ x ∊ ℝ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞).

+ Với m = 1 ta có y’ = 4x + 3 > 0 ⇔ x > -¾ ⇒ m = 1 không thỏa mãn.

+ Với ta có y’ ≥ 0 ∀ x ∊ ℝ

Tổng hợp các trường hợp ta được -3 ≤ m ≤ 0

Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {-3; -2; -1; 0}

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra.

Câu 3. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số sau đồng biến trên (–∞; +∞): 

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn B

Ta có: y’ = (m – 1)x2 + 2mx + 3m – 2

Xét khi m = 1, ta có y’ = 2x + 1.

Nên hàm số đã cho không là hàm đồng biến trên (–∞; +∞).

⇒ m = 1 không thỏa mãn.

Xét khi m ≠ 1, ta có hàm số đồng biến trên (–∞; +∞).

Vậy: m ≥2.

Câu 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số sau đồng biến trên R: 

A. 6

B. Vô số

C. 5

D. 7

Lời giải

Chọn D

Ta có: y’ = mx2 – 4mx + 3m + 6

Trường hợp 1: Nếu m = 0 ⇒ y’ = 6 > 0, ∀x ∈ ℝ

⇒ Hàm số đồng biến trên ℝ nên m = 0 thỏa mãn.

Trường hợp 2: Nếu m ≠ 0, hàm số đã cho đồng biến trên ℝ.

Mà: m ∈ ℤ ⇒ m ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Từ hai trường hợp trên ta được m ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [–2020; 2020] sao cho hàm số f(x) = (m – 1)x3 + (m – 1)x2 + (2x + 1)x + 3m – 1 đồng biến trên ℝ.

A. 2018

B. 2020

C. 2019

D. 2021

Lời giải

Chọn B

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: f'(x) = 3(m – 1)x2 + 2(m – 1)x + 2m + 1

Để hàm số đã cho đồng biến trên ℝ thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ (*).

(Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn x ∈ ℝ)

Trường hợp 1: m – 1 = 0 ⇔ m = 1

Ta có: f'(x) = 3 > 0, ∀x ∈ ℝ 

Nên hàm số đồng biến trên ℝ ⇒ m = 1 (nhận).

Trường hợp 2: m ≠ 1

Để hàm số đã cho đồng biến trên ℝ thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ.

Kết hợp 2 trường hợp ⇒ : có 2020 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6. Cho hàm số y = f(x) = x3 + mx2 + 2x + 3. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên ℝ là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn D

Ta có: f'(x) = 3x2 + 2mx + 2

Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

Câu 7. Cho hàm số y = –x3 – mx2 + (4m + 9)x + 5 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên ℝ?

A. 0

B. 6

C. 5

D. 7

Lời giải

Chọn D

Ta có: y’ = –3x2 – 2mx + 4m + 9

Hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔ y’ ≤ 0, ∀x ∈ ℝ (Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn x ∈ ℝ).

⇔ –3x2 – 2mx + 4m + 9 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ

⇔ ∆’ ≤ 0 (do a = –3 < 0)

⇔ m2 + 3(4m + 9) ≤ 0

⇔ m2 + 12m + 27 ≤ 0

⇔ –9 ≤ m ≤ –3

Vậy: có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.

Câu 8. Giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để f(x) = 2mx3 – 6x2 + (2m – 4)x + 3 + m nghịch biến trên ℝ là?

A. –3

B. 2

C. 1

D. –1

Lời giải

Chọn D

Ta có: f'(x) = 6mx2 – 12x + 2m – 4

+) Với m = 0 ⇒ f'(x) = –12x – 4 ⇒ f'(x) ≤ 0 ⇔ ∀x ∈ (không thỏa mãn)

+) Với m ≠ 0. Hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔ f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của tham số m là –1.

Câu 9. Tìm các giá trị thực của m để hàm số đồng biến trên ℝ.

A. [4; +∞)

B. (4; +∞)

C. (–∞; 4)

D. (–∞; 4]

Lời giải

Chọn A

Tập xác định của hàm số: D = ℝ

Ta có: y’ = x2 – 4x + m

Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y’ = x2 – 4x + m ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số sau nghịch biến trên ℝ: 

A. 6

B. 4

C. 5

D. 3

Lời giải

Chọn D

Ta có: y’ = –x2 – 2(m – 1)x + m – 7 

Hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔ f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ

Do m ∈ ℕ* nên m ∈ {1; 2; 3}

Vậy có 3 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dạng 3. Hàm số bậc lẻ đồng biến nghịch biến trên R

Phương pháp giải

Để hàm số y = f(x) đơn điệu trên ℝ cần phải thỏa mãn 2 điều kiện:

• Hàm số y = f(x) xác định trên ℝ.
• Hàm số y = f(x) có đạo hàm không đổi dấu trên ℝ.

So sánh cả 2 điều kiện trên ta xác định được tham số m sao cho hàm số đơn điệu trên ℝ.

Để hàm số đồng biến trên ℝ thì:

Để hàm số nghịch biến trên ℝ thì:

Bài tập vận dụng

Câu 1. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)?

A.

B. y = x³ + x

C. y = -x³ – 3x

D.

Lời giải

Chọn B

Vì y = x³ + x ⇒ y’ = 3x² + 1 > 0 ∀ x ∊ ℝ

Câu 2. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)?

A. y = x⁴ + 3x²

B.

C. y = 3x³ + 3x – 2

D. y = 2x³ – 5x + 1

Lời giải

Chọn C

Hàm số y = 3x³ + 3x – 2 có TXĐ D = ℝ

y’ = 9x² + 3 > 0 ∀ x ∊ ℝ

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)

Câu 3. Gọi S  là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên ℝ. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng

A.

B. 2

C.

D.

Lời giải

Ta có

f(x) = m²x⁴ – mx² + 20x – (m² – m – 20) = m²(x⁴ – 1) – m(x² – 1) + 20(x + 1)

= m²(x + 1)(x – 1)(x² + 1) – m(x – 1)(x + 1) + 20(x + 1)

= (x + 1)[m²(x – 1)(x² + 1) – m(x – 1) + 20]

f’(x) = 0

Ta có f’(x) = 0 có một nghiệm đơn là x = -1, do đó nếu (*) không nhận x = -1 là nghiệm thì f’(x) đổi dấu qua x = -1. Do đó để f(x) đồng biến trên ℝ thì f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ hay (*) nhận x = -1 làm nghiệm (bậc lẻ).

Suy ra m²(-1 – 1)(1 + 1) – m(-1 – 1) + 20 = 0 ⇔ -4m² + 2m + 20 = 0

Tổng các giá trị của m là .

Tài liệu tham khảo