Hàm số đồng biến nghịch biến: Lý thuyết & bài toán đặc trưng

Tìm hiểu lý thuyết và 3 dạng toán phổ biến về hàm số đồng biến nghịch biến: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến, điều kiện tham số m thỏa mãn. Bài viết giúp đi thẳng vào vấn đề khi nào thì hàm đồng biến và khi nào thì hàm nghịch biến? Mang đến những mẹo làm bài tập cực nhanh ứng dụng trong trắc nghiệm.

Lý thuyết hàm đồng biến, nghịch biến

Khái niệm

Tính đồng biến (hay còn gọi là tính tăng), tính nghịch biến (hay còn gọi là tính giảm) là các tính chất của một hàm số. Nếu hàm số tăng hoặc giảm trong một đoạn thì gọi chung là đơn điệu trong đoạn đó. Trong trường hợp tăng nghiêm ngặt (đang tăng – ngày càng tăng) hoặc giảm nghiêm ngặt (đang giảm – ngày càng giảm) thì gọi chung là đơn điệu nghiêm ngặt. ^{[1]Trần Văn Hạo và đồng nghiệp, Giải tích 12, Trang 4 – Phần Tính đơn điệu của hàm số}

Để xác định hàm số đồng biến nghịch biến khi nào ta thường tìm đạo hàm của hàm số đó. Nếu đạo hàm dương trong khoảng nào thì hàm số đồng biến trong khoảng đó, trường hợp ngược lại hàm số âm trong khoảng nào thì nghịch biến trong khoảng đó. ^{[2]Trần Văn Hạo và đồng nghiệp, Giải tích 12, Trang 5 – Phần Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm}

Định nghĩa

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và y = f(x) là một hàm số xác định trên K.

Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu: ∀ x₁, x₂ ∊ K, nếu x₁ < x₂ thì f(x₁) < f (x₂). ^{[3]Phan Đức Chinh, Toán lớp 9 – Tập 1, Trang 44, 2011 [4]Trần Văn Hạo, Đại số 10 – Tập 1, Trang 36, 2010}

Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu: ∀ x₁, x₂ ∊ K, nếu x₁ < x₂ thì f(x₁) > f (x₂). ^{[3]Phan Đức Chinh, Toán lớp 9 – Tập 1, Trang 44, 2011 [4]Trần Văn Hạo, Đại số 10 – Tập 1, Trang 36, 2010}

Điều kiện

Định lí 1: Điều kiện đủ để hàm số đồng biến nghịch biến

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

• Nếu f’(x) > 0, ∀ x ∊ K thì hàm số f đồng biến trên K. ^{[5]Trần Văn Hạo và đồng nghiệp, Giải tích 12, Trang 6 – Định lí thừa nhận}
• Nếu f’(x) < 0, ∀ x ∊ K thì hàm số f nghịch biến trên K. ^{[5]Trần Văn Hạo và đồng nghiệp, Giải tích 12, Trang 6 – Định lí thừa nhận}
• Nếu f’(x) = 0, ∀ x ∊ K thì hàm số f không đổi trên K.

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thuyết “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f’(x) > 0, ∀ x ∊ (a;b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]. Ta thường biểu diễn qua bảng biến thiên như sau:

Định lí 2: Điều kiện cần để hàm số đồng biến nghịch biến

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

• Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ K
• Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ K

Định lí 3. (Mở rộng của định lí 1)

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

• Nếu f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ K và f’(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.
• Nếu f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ K và f’(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f nghịch biến trên K.

Tính chất

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và y = f(x) là một hàm số xác định trên K. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K. Từ đó ta sẽ có những tính chất như sau:

Tính chất 1

Nếu hàm số f(x) và g(x) cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số f(x) + g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu f(x) – g(x)

Tính chất 2

Nếu hàm số f(x) và g(x) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số f(x)․g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số f(x) và g(x) không là các hàm số dương trên D.

Tính chất 3

Cho hàm số u = u(x) xác định với x ∊ (a;b) và u(x) ∊ (c;d). Hàm số f [u(x)] cũng xác định với x ∊ (a;b). Ta có nhận xét sau:

• Giả sử hàm số u = u(x) đồng biến với x ∊ (a;b). Khi đó, hàm số f [u(x)] đồng biến với x ∊ (a;b) ⇔ f(u) đồng biến với u(x) ∊ (c;d)
• Giả sử hàm số u = u(x) nghịch biến với x ∊ (a;b). Khi đó, hàm số f [u(x)] nghịch biến với x ∊ (a;b) ⇔ f(u) nghịch biến với u(x) ∊ (c;d)

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số

Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x)

– f’(x) > 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.

– f’(x) < 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.

Các quy tắc

– Tính f’(x), giải phương trình f’(x) = 0 tìm nghiệm.

– Lập bảng xét dấu f’(x)

– Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số f(x) đồng biến trên tập số thực ℝ, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Với mọi x₁ > x₂ ∊ ℝ ⇒ f (x₁) < f (x₂)

B. Với mọi x₁, x₂ ∊ ℝ ⇒ f (x₁) > f (x₂)

C. Với mọi x₁, x₂ ∊ ℝ ⇒ f (x₁) < f (x₂)

D. Với mọi x₁ < x₂ ∊ ℝ ⇒ f (x₁) < f (x₂)

Hướng dẫn giải

Ta có: f(x) đồng biến trên tập số thực ℝ.

⇒ x₁ < x₂ ∊ ℝ ⇒ f (x₁) < f (x₂)

⟹ Chọn D

Câu 2. Cho hàm số f(x) = -2x³ + 3x² – 3x và 0 ≤ a < b. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số nghịch biến trên ℝ

B. f (a) > f (b)

C. f (b) < 0

D. f (a) < f (b)

Hướng dẫn giải

Ta có: f’(x) = -6x² + 6x – 3 < 0, ∀ x ∊ ℝ

⇒ Hàm số nghịch biến trên ℝ.

0 ≤ a < b ⇒ f (0) ≥ f (a) > f (b)

⟹ Chọn D

Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số m

Phương pháp giải

– Để hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) thì f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ (a;b).

– Để hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ (a;b).

*) Riêng hàm số: . Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau:

– Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì y’ > 0, ∀ x ∊ D.

– Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì y’ < 0, ∀ x ∊ D.

– Để hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) thì

– Để hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) thì

*) Tìm m để hàm số bậc 3 y = ax³ + bx² + cx + d đơn điệu trên ℝ

– Tính y = 3ax² + 2bx + c là tam thức bậc 2 có biệt thức ∆.

– Để hàm số đồng biến trên ℝ

– Để hàm số nghịch biến trên ℝ

Chú ý

Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d

– Khi a > 0 để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho |x₁ – x₂| = k.

– Khi a < 0 để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho |x₁ – x₂| = k.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Hàm số y = x³ – 3x² + (m – 2) x + 1 luôn đồng biến khi:

A. m ≥ 5

B. m ≤ 5

C.

D.

Hướng dẫn giải

Ta có: y’ = 3x² – 6x + m – 2

Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ = 3x² – 6x + m – 2 ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

⇔ ∆’ ≤ 0 ⇔ 15 – 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ 5

⟹ Chọn A

Câu 2. Hàm số y = ⅓x³ – mx² – (3m + 2) x + 1 đồng biến trên ℝ khi m bằng

A.

B.

C. -2 ≤ m ≤ -1

D. -2 < m < -1

Hướng dẫn giải

Ta có: y’ = x² – 2mx – 3m + 2

Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ = x² – 2mx – 3m + 2 ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

⇔ ∆’ ≤ 0 ⇔ m² + 3m + 2 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ -1

⟹ Chọn C

Dạng 3. Xét tính đơn điệu hàm số trùng phương

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x) = 0. Tìm các điểm x_i (i= 1, 2,… n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = x⁴ – 2x² + 1

Hàm số xác định với mọi x ∊ ℝ

y’ = 4x³ – 4x = 4x (x² – 1)

Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1; +∞).
• Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0;1)

Câu 2. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = -x⁴ + x² – 2

Hàm số xác định với mọi x ∊ ℝ

y’ = -4x³ + 2x = 2x (-2x² + 1)

Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc hoặc

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

Hàm số đồng biến trên các khoảng và

Hàm số nghịch biến trên các khoảng và

Câu 3. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = ¼x⁴ + 2x² – 1

Hàm số xác định với mọi x ∊ ℝ

y’ = x³ + 4x = x (x² + 4)

Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 (do x² + 4 = 0 vô nghiệm)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

• Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)
• Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0)

Tài liệu tham khảo

Thầy Tú dạy toán