Cực trị số phức: Các dạng toán Vận Dụng và Vận Dụng Cao

Cực trị số phức là một trong những dạng toán khó ở trong chương trình môn Toán THPT và thường được lựa chọn ở các câu VD – VDC mang tính phân loại thí sinh. Trong bài viết này, VerbaLearn sẽ giúp bạn tìm hiểu chi tiết thông qua phần phân tích và phân loại dạng toán.

Phân tích bài toán cực trị

[content_1]

Đề bài

(Câu 49 – Đề tham khảo 2021) Xét hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn |z₁| = 1, |z₂| = 2 và . Giá trị lớn nhất |3z₁ + z₂ – 5i| bằng

Phân tích hướng giải

Đối với dạng toán có yếu tố max – min trong số phức ta có 2 hướng tiếp cận chính như sau:

+) Hướng 1: Sử dụng các phép toán số phức liên quan tới môđun để đưa bài toán về hàm số một biến rồi khảo sát hoặc dùng các bất đẳng thức để đánh giá.

+) Hướng 2: Đưa về bài toán cực trị hình học quen thuộc

Căn cứ vào yêu cầu bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức |3z₁ + z₂ – 5i| có dạng môđun của một tổng, bài toán có thể được giải quyết nếu |3z₁ + z₂| là một hằng số, từ đó ta mạnh dạn đi tính |3z₁ + z₂| từ các giả thiết của bài toán. Sau đó ta sẽ sử dụng một trong 2 hướng kể trên hoặc tổng hợp các hướng để kết thúc bài toán.

Lời giải tham khảo

+) Trước hết ta tính |3z₁ + z₂| ta có một vài cách tính như sau

Cách 1: Tính toán trực tiếp

Đây là cách tiếp cận đơn giản nhất cho bài toán chỉ sử sụng những kiến thức cơ bản của số phức để biến đổi.

Đặt z₁ = a + bi, z₂ = c + di với a, b, c, d ∈ ℝ và i² = –1. Theo giả thiết ta suy ra

Khai triển và rút gọn a² – 2ac + c² + b² – 2bd + d² = 3 ⇒ ac + bd = 1

Ta có 3z₁ + z₂ = (3a + c) + (3b + d)i nên

|3z₁ + z₂|² = (3a + c)² + (3b + d)² = 9(a² + b²) + (c² + d²) + 6(ac + bd) = 19

Suy ra

Cách 2: Sử dụng các đẳng thức môđun

Để sử dụng cách này đòi hỏi các em phải có kỹ năng biến đổi phép toán trên số phức ở dạng hình thức. Ta có đẳng thức

Đẳng thức này ta được chứng minh nhờ hai tính chất cơ bản và

Thật vậy

(điều phải chứng minh).

Áp dụng đẳng thức trên ta được:

Lại có . Thay lại ta được

Cách 3: Sử dụng hình học

Để sử dụng được pháp pháp này các em cần phải vận dụng linh hoạt về biểu diễn hình học của số phức, kết hợp với kiến thức về vectơ hay hệ thức lượng trong tam giác… để giải quyết bài toán.

Gọi A, B, C, D là các điểm biểu diễn của z₁, z₂, 3z₁ – z₂ giả thiết trở thành

Khi đó |3z₁ + z₂| = CD

Sử dụng định lý Cosin trong tam giác OCD và để ý ta được

Suy ra

Tiếp theo ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức |3z₁ + z₂ – 5i|

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức tam giác ở dạng môđun

+) |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

+) |z₁ + z₂| ≥ ||z₁| – |z₂||. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ở dạng môđun ta có

Dấu bằng xảy ra khi

Cách 2: Sử dụng hình học

Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của 3z₁ + z₂, 5i suy ra như vậy M thuộc đường tròn tâm O bán kính và cần tìm giá trị lớn nhất MN.

Sử dụng kết quả quen thuộc ta được

Dấu bằng xảy ra khi M, O, N theo thứ tự thẳng hàng hay

Một cách tổng quát ta có thể xây dựng bài toán max – min liên quan các yếu tố của số phức theo các dạng sau:

Xem thêm

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Sử dụng biến đổi đại số kết hợp với các bất đẳng thức quen thuộc để đánh giá

[content_2]

Phương pháp giải

Đẳng thức Môđun:

Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ & i² = –1) môđun của z ký hiệu là |z| và

+) với m, n ∈ ℝ và z₁, z₂ ∈ ℂ

+) với z, z₁, z₂ ∈ ℂ

+) với z₁, z₂ là các số phức khác 0

Bất đẳng thức thường dùng

+) Bất đẳng thức tam giác ở dạng môđun

|z₁| + |z₂| ≥ |z₁ + z₂|. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

||z₁| – |z₂|| ≤ |z₁ + z₂|. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

+) Bất đẳng thức Bunhiacopxky (ax + by)² ≤ (a² + b²)(x² + y²) dấu “=” xảy ra

Bài tập vận dụng

Câu 1. Xét các số phức z₁, z₂ thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức T = |z₁| + |z₂| bằng

A. 4

D. 5

Phân tích tìm lời giải : Tương tự như đề minh họa khi biết ta có thể tính được m²|z₁|² + n²|z₂|² = p, đến đây dùng bất đẳng thức Bunhiacopxky là có thể đánh giá được T = |z₁| + |z₂|.

Hướng dẫn giải

Nhận xét và

Ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy giá trị lớn nhất của T bằng 4.

Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn |z – 1 – i| = 5. Biết biểu thức T = 2|z – 8i| – |z – 7 – 9i| đạt giá trị lớn nhất khi z = x + yi (x, y ∈ ℝ). Khi đó giá trị x – 2y bằng

A. 9

B. 8

C. 7

D. 6

Phân tích tìm lời giải: Để đơn giản ta đặt u = z – 1 – i, khi đó |u| = 5 và cần tìm giá trị lớn nhất của T = 2|u + 1 – 7i| – |u – 6 – 8i|. Ta nghĩ đến bất đẳng thức tam giác ở dạng môđun, tuy nhiên có một trở ngại ở đây là hệ số của z không giống nhau do vậy ta sẽ tìm cách để đưa về hệ số giống nhau.

Hướng dẫn giải

Gọi u = a + bi (a, b ∈ ℝ & i² = –1), giả thiết suy ra a² + b² – 25 = 0

Từ đó

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Từ u = 4 – 3i ⇒ z = 5 – 2i. Vậy x – 2y = 9.

Ngoài ra ta có thể sử dụng công thức cân hệ số để biến đổi, tuy nhiên công thức này không thực sự phổ biến. Áp dụng công thức với z₁, z₂ là các số phức khác 0

Ta có

Câu 3. (Đề thi thử sở GD & ĐT Hải phòng 2021) Xét hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn |z₂ + 6 – 8i| = 7 – |z₂| và |z₁ – z₂| = 3. Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = |z₁ + 2z₂ + 21 – 3i|. Khi đó M² – n² bằng

A. 220

B. 124

C. 144

D. 225

Phân tích tìm lời giải: Biểu thức cần đánh giá của bài này tương tự như đề tham khảo tuy nhiên giả thiết cho rất khó để tính được |z₁ + 2z₂|. Tinh ý một chút các em sẽ phát hiện ra |6 – 8i| = 10 = 7 + 3 và như vậy ta lại có thể dùng bất đẳng thức tam giác ở dạng môđun.

Hướng dẫn giải

Giả thiết suy ra

Suy đẳng thức tương đương

+ ) Nếu z₂ = 0 suy ra

+) Trường hợp z₂ ≠ 0, z₁ + 6 – 8i = kz₂, k ≤ 0 thay vào ta được

Khi đó . Đặt

Thay vào ta được

Khảo sát hàm số theo biến x ta được

Như vậy ta được do đó M² – n² = 144

Câu 4. Xét số phức z thoả mãn . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z – 1 + 5i|. Khi đó M² – 2m² thuộc khoảng

A. (0; 13)

B. [13; 40)

C. [40; 55)

D. [55: 70)

Phân tích tìm lời giải: Giả thiết bài toán sẽ trở nên quen thuộc nếu các em để ý

Hướng dẫn giải

Khai thác giả thiết, ta có:

+) Trường hợp 1:

+) Trường hợp 2: |z| + |3i – z| = 3

Đặt z = x + yi (x, y ∈ ℝ) và i² = –1, khi đó

Ta có

Do đó suy ra

Vậy

Khảo sát hàm số với 0 ≤ y ≤ 3

Ta được . Suy ra M² – 2m² = 55

Dạng 2. Sử dụng biểu diễn hình học của số phức đưa về các bài toán cực trị quen thuộc

[content_3]

Phương pháp giải

Các quỹ tích cơ bản

Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x, y ∈ ℝ) và i² = –1

Một số kết quả quan trọng cần nhớ

Gọi điểm biểu diễn của số phức z, z₀ lần lượt là M, A. Khi đó |z – z₀| = MA

Một số bất đẳng thức hình học thường dùng:

Cho M di động trên đường thẳng ∆, A là điểm cố định.

MA ≥ d(A; ∆), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AM ⊥ ∆

Cho M di động trên đường tròn (I; R), A là điểm cố định.

MA ≤ AI + R, dấu “=” xảy ra

MA ≥ |AI – R|, dấu “=” xảy ra

Cho M di động trên Elip (E) có trục lớn ∆, độ dài 2a, tâm I, A là điểm cố định trên trục lớn

MA ≤ AI + a, dấu “=” xảy ra

MA ≥ |AI – a|, dấu “=” xảy ra

Cho M di động trên đường thẳng ∆ và A, B là hai điểm cố định khác phía với ∆

MA + MB ≥ AB dấu “=” xảy ra ⇔ M = AB ∩ ∆

Cho M di động trên đường thẳng ∆ và A, B là hai điểm cố định cùng phía với ∆

MA + MB ≥ AB’ dấu “=” xảy ra ⇔ M = AB’ ∩ ∆ trong đó B’ đối xứng với B qua ∆

Cho M di động trên đường thẳng ∆ và A, B là hai điểm cố định cùng phía với ∆

|MA + MB| ≤ AB dấu “=” xảy ra ⇔ M = AB ∩ ∆

Cho M di động trên đường thẳng ∆ và A, B là hai điểm cố định khác phía với ∆

MA + MB ≤ AB’ dấu “=” xảy ra ⇔ M = AB’ ∩ ∆ trong đó B’ đối xứng với B qua ∆

Bài tập vận dụng

Câu 1. Xét hai số phức z, ω thoả mãn và |ω – 3 + 4i| = 2. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = |z – ω| bằng

A. 5

B. 8

C. 10

Phân tích tìm lời giải: Ta thấy như vậy điểm biểu diễn của hai số phức đều nằm trên đường tròn và ta đưa về bài toán hình học quen thuộc: Tìm hai điểm trên hai đường tròn sao cho khoảng cách giữa chúng là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z, có tâm O(0; 0), bán kính R₁ = 1. Gọi N là điểm biểu diễn của số phức ω

|ω – 3 + 4i| = 2 ⇒ N ∈ (C₂): (x – 3)² + (y + 4)² = 4, có tâm I(3; –4), bán kính R₂ = 2

Do OI = 5 > R₁ + R₂ ⇒ (C₁); (C₂) nằm ngoài nhau

P = |z – ω| = MN. Ta có P – R₁ – R₂ = MN – OM – IN ≤ ON – IN ≤ OI = 5 ⇒ P ≤ 8

Dấu bằng xảy ra M, O, I, N theo thứ tự thẳng hàng.

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 8.

Câu 2. (Đề tham khảo 2018) Xét số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ) thỏa mãn . Khi |z + 1 – 3i| + |z – 1 + i| đạt giá trị lớn nhất thì giá trị P = a + b bằng

A. P = 8

B. P = 10

C. P = 4

D. P = 6

Phân tích tìm lời giải: Ta thấy điểm biểu diễn của số phức M(a; b) đường tròn. Với biểu thức cần đánh giá có dạng MA + MB thì ta có thể nghĩ đến bất đẳng thức

Bunhiacopxky để đưa về bình phương độ dài và dùng công thức đường trung tuyến hay sử dụng tâm tỷ cự của một họ điểm để đánh giá tiếp.

Hướng dẫn giải

Gọi M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z.

Theo giả thiết ta có:

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(4; 3) bán kính

Gọi

Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại D

⇔ Q² ≤ (MA + MB)² ≤ 2(MA² + MB²)

Vì ME là trung tuyến trong ∆MAB

Mặt khác:

Câu 3. (Đề thi thử THPT Trần Nhân Tông – Quảng Ninh 2019) Xét số phức z thỏa mãn

. Giá trị lớn nhất của |z – 1 – 3i| bằng

Phân tích tìm lời giải: Trước hết ta biến đổi các biểu thức môđun để đưa về dạng quen thuộc.

Nhận xét với mọi số phức u, v ta có

Giả thiết

Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z, A(–1; –1), B(2; 5), I(1; 3)

Giả thiết trở thành . Giá trị cần đánh giá nằm ở vế phải tương tự như.

Ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxky để đưa về bình phương độ dài, tuy nhiên cần lựa chọ hệ số thích hợp để đánh giá được vế phải. Rất may ta có được nên MA² + 2MB² = 3MI² + IA² + 2IB². Từ đó ta chọn được hệ số cho bất đẳng thức Bunhiacopxky.

Lời giải:

Giả thiết

Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z, A(–1; –1), B(2; 5), I(1; 3)

Giả thiết trở thành . Ta thấy từ đó ta có đánh giá sau

Dấu bằng xảy ra

Mà nên hai đường tròn luôn cắt nhau hay luôn tồn tại M.

Vậy giá trị lớn nhất của

Câu 4. (Đề thi thử Chuyên Hà Tĩnh Lần 2 – 2021) Xét số phức z thay đổi thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

Phân tích tìm lời giải: Làm đẹp lại giả thiết ta thấy rằng điểm M biểu diễn của số phức z thuộc đường tròn tâm . Biểu thức cần đánh giá là S = MA + MB + MC thấy rằng A, B, C ∈ (I; R) hơn nữa ∆ABC đều, đến đây ta sử dụng một kết quả quen thuộc nếu M thuộc cung nhỏ AB thì MC = MA + MB từ đó ta chỉ việc đánh giá MC.

Hướng dẫn giải

Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z.

⇒ M thuộc đường tròn tâm

Gọi . Ta thấy A, B, C ∈ (I; R) và ∆ABC đều

Không mất tính tổng quát, giả sử M thuộc cung nhỏ AB

Lấy điểm E ∈ MC sao cho MB = ME do (cùng chắn cung BC)

Nên MB = ME = BE (∆BME đều)

Xét ∆BCE và ∆BAM có:

Từ đó suy ra được ∆BCE = ∆BAM (c.g.c) ⇒ MA = EC

Mà MC = ME + EC ⇒ MC = MA + MB

Dấu “=” xảy ra khi M, I, C thẳng hàng

Chú ý: Bạn nào chuyên sâu hơn có thể sử dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp AMBC

AB.MC = AC.MB + BC.MA cũng suy ra được MC = MA + MB (do ∆ABC đều).

Câu 5. Xét số phức z thỏa mãn |z + 1 – i| + |z – 3 + i| = 6. Giá trị lớn nhất của T = |z + 2i| bằng

Phân tích tìm lời giải: Nhìn vào giả thiết ta thấy rằng tập hợp các điểm biểu diễn của z số là đường Elíp, do đó ta đưa về bài toán đánh giá khoảng cách từ một điểm cụ thể đến một điểm thay đổi trên đường Elíp. Khó khăn gặp phải ở đây là ta phải đưa phương trình đường Elíp về dạng chính tắc để thuận tiện cho việc tính toán. Ta xét cách đổi biến sau

Đặt z = u + a + bi; a, b ∈ ℝ. Khi đó |u + a + 1 + (b – 1)i| + |u + a – 3 +(b + 1)i| = 6

Ta chọn a, b sao cho ta được |u + (2 – i)| + |u – (2 – i)| = 6

Đến đây chỉ việc chia 2 vế cho |2 + i| ta sẽ đưa được Elíp về dạng chính tắc.

Hướng dẫn giải

Ta có

Đặt ta sẽ đưa về

Như vậy ta được tập hợp điểm biểu diễn của t là một đường Elíp có trục lớn , tiêu cự 2c = 2, do đó suy ra phương trình đường Elíp:

Từ cách đặt thay vào

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn của t, M(x; y) ∈ (E) và A(0; –1) khi đó

Lại có

Khảo sát hàm số ta được giá trị lớn nhất của f(y) là

Thay vào ta được giá trị lớn nhất của T là

Dạng 3: Một vài cách hỏi khác cho bài toán số phức ở mức độ VD–VDC

Quan sát đề tham khảo và đề thi chính thức qua các năm gần đây chúng ta thấy rằng các câu ở mức độ vận dụng cao thường không dập khuôn theo đề tham khảo mà chỉ liên quan đến đề tham khảo ở mảng kiến thức nhất định, vì vậy ngoài việc nắm chắc kiến thức cơ bản, thành thạo các bài toán gốc các em còn phải rèn luyện thêm tư duy nhạy bén để xử lý được các bài toán một cách nhanh nhất. Dưới đây là một vài dạng toán khác liên quan tới câu số phức mức độ vận dụng cao.

Câu 6. (Đề thi thử sở GD & ĐT Hà nội 2021) Xét hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn |z₁| = |z₁ + z₂| = 3 và . Giá trị của biểu thức bằng