Tổng hợp công thức nguyên hàm, bảng nguyên hàm đầy đủ, chi tiết & mở rộng. Giúp các em học sinh nắm vững trước khi làm bài tập. Bài học thuộc chương 3 của chương trình toán lớp 12, một trong những chuyên đề quan trọng trong các kì thi và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn.
Nguyên hàm và các tính chất
1. Khái niệm nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của ℝ). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x ∊ K.
- Định lý 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
- Định lý 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
Hai định lý trên cho thấy:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) + C, C ∊ ℝ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Kí hiệu:
Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)․dx = f(x)․dx.
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1
Tính chất 2
, k là hằng số khác 0.
Tính chất 3
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ
1. Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
2. Nguyên hàm của hàm số hợp (u = u(x))
, 
3. Nguyên hàm của hàm số hợp (u = ax + b; a ≠ 0)
![\[\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}(ax + b)}}dx = \frac{1}{a}} \tan (ax + b) + C\]](https://danchuyentoan.verbalearn.org/wp-content/uploads/2021/12/cong-thuc-nguyen-ham-433.svg){kind=small}
![\[\int {\frac{1}{{\sin (ax + b)}}dx = \frac{1}{a}} \ln \left| {\tan \frac{{ax + b}}{2}} \right| + C\]](https://danchuyentoan.verbalearn.org/wp-content/uploads/2021/12/cong-thuc-nguyen-ham-434.svg){kind=small}
![\[\int {\frac{1}{{\cos (ax + b)}}dx = \frac{1}{a}} \ln \left| {\tan \frac{{ax + b}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right| + C\]](https://danchuyentoan.verbalearn.org/wp-content/uploads/2021/12/cong-thuc-nguyen-ham-435.svg){kind=small}
Phương pháp tính nguyên hàm
1. Phương pháp cơ bản
Định lý 1: Nếu 
và u = u(x) có đạo hàm liên tục thì:
Hệ quả: Với u = ax + b (a ≠ 0) ta có
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lý 2: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì
Ở phần phân loại bài tập, chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ càng hơn phương pháp này.
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng các biến đổi sơ cấp
Phương pháp giải
Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa x, trong đó mỗi biểu thức chứa x là những dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm.
Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số 
là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có 
⟹ Chọn C
Câu 2. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x (x + 2)2019 là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
⟹ Chọn D
Câu 3. Nguyên hàm của hàm số 
là
A. 
B. 
C. ln (e2x + 1) + C
D. x – ln (e2x + 1) + C
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Do đó 
⟹ Chọn B
Câu 4. Nguyên hàm của hàm số 
là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
⟹ Chọn A
Chú ý: Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp: 
Lưu ý: 
Câu 5. Nguyên hàm của hàm số 
là
A. 2 ln|x – 3| – 3 ln|x + 2| + C
B. 3 ln|x – 3| + 2 ln|x – 2| + C
C. 2 ln|x + 3| + 3 ln|x + 2| + C
D. 2 ln|x – 3| + 3 ln|x – 2| + C
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Ta sẽ phân tích: 5x – 13 = A (x – 2) + B (x – 3) (1)
Thế x = 2 và x = 3 lần lượt vào (1) ta có B = 3 và A = 2.
Khi đó 
= 2 ln|x – 3| + 3 ln|x – 2| + C
⟹ Chọn D
Câu 6. Nguyên hàm của hàm số 
là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có 
⟹ Chọn C
Câu 7. Nguyên hàm của hàm số 
là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Ta phân tích 3x2 + 3x + 3 = A (x – 1)2 + B (x – 1) (x + 2) + C (x + 2).
Ta có thể dùng các giá trị riêng, tính ngay A = 1, C = 3 và B = 2.
(Thay x = –2 ⇒ A =1; x = 1 ⇒ C = 3 và x = 0 ⇒ B = 2).
Khi đó: 
=
⟹ Chọn A
Lưu ý: Ta có kiến thức tổng quát dùng cho các nguyên hàm hữu tỉ 
, với P(x) và Q(x) là các đa thức, cụ thể như sau:
Nếu deg (P(x)) ≥ deg (Q(x)) thì ta thực hiện phép chỉa P(x) cho Q(x) (ở đây, kí hiệu deg (P(x)) là bậc của đa thức P(x)).
Khi deg (P(x)) < deg (Q(x)) thì ta quan sát mẫu số Q(x) ta tiến hành phân tích thành các nhân tử, sau đó, tách P(x) theo các tổ hợp của các nhân tử đó. Đến đây, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức (hoặc giá trị riêng) để đưa về dạng tổng của phân thức.
Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp
Trường hợp 1: 
Trường hợp 2: 
Ta đồng nhất thức mx + n = (Ax + Ba) x + Ad + Bb (1).
Cách 1: Phương pháp đồng nhất hệ số.
Đồng nhất đẳng thức, ta được 
. Suy ra A, B.
Cách 2: Phương pháp giá trị riêng.
Lần lượt thay 
vào hai vế của (1), tìm được A, B.
Trường hợp 3: 
Trường hợp 4: 
Lần lượt thay ; x = 0 vào hai vế của (*) để tìm A, B, C.
Trường hợp 5: 
với ∆ = b2 – 4ac < 0.
Trường hợp 6: 
Câu 8. Cho hàm số f(x) xác định trên ℝ\ 
thỏa mãn 
; f (0) = 1 và f (1) = 2. Giá trị của biểu thức P = f (–1) + f (3) là:
A. 3 ln5 + ln2
B. 3 ln2 + ln5
C. 3 + 2 ln5
D. 3 + ln15
Hướng dẫn giải
Vì 
Suy ra 
Do đó P = f (–1) + f (3) = 3 + ln 3 + ln 5 = 3 + ln15.
⟹ Chọn D
Câu 9. Cho hàm số f (x) xác định trên ℝ \ {–1; 1}, thỏa mãn 
; f (–3) + f (3) = 2 ln2 và 
. Giá trị của biểu thức P = f (–2) + f (0) + f (4) là:
A. 2 ln2 – ln5
B. 6 ln2 + 2 ln3 – ln5
C. 2 ln2 + 2 ln3 – ln5
D. 6 ln2 – 2 ln5
Hướng dẫn giải
Hay 
Theo bài ra, ta có: 
Do đó 
⟹ Chọn C
Câu 10. Nguyên hàm 
là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
⟹ Chọn A
Câu 11. Nguyên hàm của hàm số 
là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
⟹ Chọn B
Câu 12. Nguyên hàm của hàm số 
là:
A. –tan x – cot x + C
B. tan x – cot x + C
C. tan x + cot x + C
D. cot x – tan + C
Hướng dẫn giải
Ta có: 
⟹ Chọn B
Câu 13. Nguyên hàm của hàm số 
là:
A. 
B. tan 2x + C
C. cot 2x + C
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
=
⟹ Chọn D
Câu 14. Nguyên hàm của hàm số 
là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Từ tan3 x = tan x (1 + tan2 x) – tan x
Suy ra 
⟹ Chọn A
Câu 15. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x tanx thỏa mãn 
. Giá trị của 
là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Suy ra 
Theo giả thiết, ta có: 
Vậy 
Do đó 
⟹ Chọn D
Câu 16. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = cos4 2x thỏa mãn F (0) = 2019. Giá trị của 
là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Do đó 
Mà F (0) = 2019 nên ta có C = 2019.
Vậy 
Do đó =
⟹ Chọn C
Câu 17. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số 
, với 
, k ∊ ℤ và thỏa mãn 
. Giá trị của 
là:
A. 
B. 0
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta thấy: 
Theo giả thiết, ta có nên C = 1.
Vậy 
Do đó =
⟹ Chọn D
Chú ý: Với n ∊ ℕ*, ta có:
và 
Câu 18. Biết 
là phân số tối giản. Giá trị 2a – b là
A. 10
B. –4
C. 7
D. –3
Hướng dẫn giải
Vậy a = 1, b = 5. Nên 2a – b = –3.
⟹ Chọn D
Câu 19. Tìm một nguyên hàm của F(x) của hàm số f(x) = (1 + sinx)2 biết 
.
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Vậy
⟹ Chọn B
Câu 20. Cho 
và F (π) = a + b. Tính A = (a + b)6.
A. –2
B. 2
C. 1
D. –1
Hướng dẫn giải
Ta có 
⇒ F (π) = –1 = a + b ⇒ A = 1
⟹ Chọn C
Câu 21. Cho tích phân 
. Tính A = 12 cot2 2x theo a.
A. 4a2
B. 2a2
C. 3a2
D. a2
Hướng dẫn giải
Ta có: 
= tan x – cot x.
Theo đề: 
⟹ Chọn C
Câu 22. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số 
và 
. Tính 
.
A. 
B. 
C. 0
D. 1
Hướng dẫn giải
Ta có
d (cos2 x + 4 sin2 x) = (–2 sinx cosx + 8sinx cosx) dx = 6 sinx cosx dx = 3 sin2x dx
.
Do đó = 
Vậy 
⟹ Chọn B
Câu 23. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số 
trên khoảng 
thỏa mãn F (2) = 0. Khi đó phương trình F(x) = x có nghiệm là:
A. x = 0
B. x = 1
C. x = –1
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Mặt khác: 
Vậy 
Xét phương trình F(x) = x 
⟹ Chọn D
Câu 24. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số 
trên khoảng (0; +∞) và 
. Tổng S = F (1) + F (2) + F (3) + … + F (2019) là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Phân tích 
Khi đó 
Mặt khác 
Vậy 
Do đó S = F (1) + F (2) + F (3) + … + F (2019) = 
⟹ Chọn C
Câu 25. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục xác định trên ℝ thỏa mãn 
, f(x) > 0 và 
, ∀ x ∊ ℝ. Giá trị f (1) là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Suy ra 
Theo giả thiết , suy ra 
Với C = 3 thì 
Vậy 
⟹ Chọn D
Câu 26. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [–2; 1] thỏa mãn f (0) = 3 và (f(x))2. f’(x) = 3x2 + 4x + 2. Giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [–2; 1] là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: (f(x))2. f’(x) = 3x2 + 4x + 2 (*)
Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức (*) ta được:
⇔ f 3(x) = 3x3 + 6x2 + 6x + 3C
Theo giả thiết, ta có f (0) = 3 nên
(f (0))3 = 3 (03 + 2. 02 + 2. 0 + C) ⇔ 27 = 3C ⇔ C = 9 ⇒ f 3(x) = 3x3 + 6x2 + 6x + 27
Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = 3x3 + 6x2 + 2x + 27 trên đoạn [–2; 1].
Ta có g’(x) – 9x2 + 12x + 6 > 0, ∀ x ∊ [–2; 1] nên đồng biến trên đoạn [–2; 1].
Vậy 
⟹ Chọn C
Dạng 2. Phương pháp đổi biến dạng 1, đặt u = u(x)
Phương pháp giải
Định lí: Cho 
và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
Các bước thực hiện đổi biến:
Xét 
Bước 1
Đặt u = u(x), suy ra du = u’(x) dx
Bước 2
Chuyển nguyên hàm ban đầu về ẩn u ta được 
, trong đó F(u) là một nguyên hàm của hàm số f(u).
Bước 3
Trả về biến x ban đầu, ta có nguyên hàm cần tìm là I = F(u(x)) + C
Hệ quả: nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K và a, b ∊ ℝ; a ≠ 0 ta có: 
Bài tập vận dụng
Câu 1. Nguyên hàm F(x) của hàm số 
, biết 
là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dãn giải
Đặt u = x3 + 1 ta có 
Suy ra 
Do đó 
Mặt khác nên C = 0. Vậy 
⟹ Chọn D
Lưu ý: Ta có thể viết như sau: 
Chú ý: Với các viết 
, ta có tính nguyên hàm đã cho một cách đơn giản và nhanh gọn.
Câu 2. Nguyên hàm 
là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đặt u = 1 + 3 cosx, ta có du = –3 sinx dx hay 
.
Khi đó 
Vậy =
⟹ Chọn C
Câu 3. 
, (a, b ∊ ℤ+). Tìm tỉ lệ 
.
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đặt 
Và 
thì 
⟹ Chọn B
Câu 4. Cho 
và 
.
Tính A = a2 + b2 + 2018.
A. 2018
B. 2016
C. 2022
D. 2020
Hướng dẫn giải
Đặt u = cos x ⇒ –du = sinx dx.
A = a3 + b3 + 2018 = (a + b)2 – 2ab (a + b) + 2018 = 2018.
⟹ Chọn A
Chú ý: Với a > 0 và m, n ∊ ℤ; n > 0 ta luôn có: 
Câu 5. Nguyên hàm 
là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đặt 
. Suy ra x = u2 – 1 và dx = 2udu.
Khi đó 
Vậy
⟹ Chọn D
Câu 6. Nguyên hàm 
là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Xét 
Đặt 
. Suy ra x2 = u2 – 9 và xdx = udu.
Khi đó 
Vậy
⟹ Chọn A
Câu 7. Nguyên hàm 
là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
⟹ Chọn B
Câu 8. Nguyên hàm 
là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Xét 
Đặt 
Suy ra
Lưu ý:
⟹ Chọn C
Câu 9. Xét nguyên hàm 
. Đặt 
, khẳng định nào sau đây sai?
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đặt 
Khi đó 
⟹ Chọn C
Câu 10. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2 2x. cos3 2x thỏa 
. Giá trị F (2019π) là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đặt 
Ta có 
Vậy 
Do đó
⟹ Chọn A
Câu 11. Biết rằng 
(với C là hằng số). Gọi S là tập nghiệm của phương trình g(x) = 0. Tổng các phần tử của S bằng:
A. 0
B. 
C. –3
D. 
Hướng dẫn giải
Vì x (x + 1) (x + 2) (x + 3) + 1 = (x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) + 1 = [(x2 + 3x) + 1]2 nên ta đặt u = x2 + 3x, khi đó du = (2x + 3) dx
Nguyên hàm ban đầu trở thành 
Suy ra 
Vậy 
Do đó 
Tổng giá trị các phần tử của S bằng –3.
⟹ Chọn C
Câu 12. 
. Tính F (1), biết rằng F(x) không chứa hệ số tự do.
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đặt 
⟹ Chọn A
Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến dạng 2
Phương pháp giải
Ta đã biết các đẳng thức sau:
sin2 t + cos2 t = 1, với mọi t ∊ ℝ.
(k ∊ ℤ)
(k ∊ ℤ)
Với các bài toán sau đây thì ta không thể giải quyết ngay bằng nguyên hàm cơ bản cũng như đổi biến số ở dạng 1, đòi hỏi người học phải trang bị tư duy đổi biến theo kiểu “lượng giác hóa” dựa vào các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản và một số biến đổi thích hợp, cụ thể ta xem các nguyên hàm sau đây:
- Bài toán 1: Tính
- Bài toán 2: Tính
- Bài toán 3: Tính
- Bài toán 4: Tính
- Bài toán 5: Tính
Các kỹ thuật đổi biến dạng 2 thường gặp và cách xử lí
Bài toán 1: Tính
Đặt x = |a| sint, với 
hoặc x = |a| cost với t ∊ (0; π)
Bài toán 2: Tính
Đặt x = |a| tant, với
Bài toán 3: Tính
Đặt x = a cos2t với 
Bài toán 4: Tính
Đặt x = a + (b – a) sin2 t với 
Bài toán 5: Tính
Đặt 
với 
Bài tập vận dụng
Câu 1. Nguyên hàm 
là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đặt x = 2 sint với . Ta có cost > 0 và dx = 2 costdt.
Khi đó 
vì cost > 0, ∀
Suy ra 
Từ 
và 
Vậy =
⟹ Chọn D
Câu 2. Nguyên hàm 
là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đặt x = cost, t < 0 < π ⇒ dx = –sint dt
Khi đó 
Vậy =
⟹ Chọn B
Câu 3. Nguyên hàm 
là:
A. arctan x + C
B. arccot x + C
C. arcsin x + C
D. arccos x + C
Hướng dẫn giải
Đặt x = tant với , ta có dx = (1 + tan2 t) dt.
Khi đó 
Vậy = arctan x + C
⟹ Chọn A
Dạng 4. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
Phương pháp giải
Với u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm trên khoảng K thì ta có: (u. v)’ = u’v. v’u
Viết dưới dạng vi phân d (uv) = vdu + udv
Khi đó lấy nguyên hàm hai vế ta được: 
Từ đó suy ra 
(1)
Công thức (1) là công thức nguyên hàm từng phần.
Dấu hiệu nhận biết phải sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.
Bài toán: Tìm 
, trong đó u(x) và v(x) là hai hàm số có tính chất khác nhau, chẳng hạn:
u(x) là hàm số đa thức, v(x) là hàm số lượng giác.
u(x) là hàm số đa thức, v(x) là hàm số mũ.
u(x) là hàm số logarit, v(x) là hàm số đa thức.
u(x) là hàm số mũ, v(x) là hàm số lượng giác.
Phương pháp nguyên hàm từng phần
Bước 1: Đặt 
Bước 2: Áp dụng công thức (1), ta được:
Lưu ý: Đặt u(x) (ưu tiên) theo thứ tự: “Nhất lốc, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”. Tức là, nếu có logarit thì ưu tiên đặt u là logarit, không có logarit thì ưu tiên u là đa thức,… thứ tự ưu tiên sắp xếp như thế.
Còn đối với nguyên hàm 
ta chỉ cần Chọn một hằng số thích hợp. Điều này sẽ được làm rõ qua các Bài tập minh họa ở cột bên phải.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Kết quả nguyên hàm 
là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đặt 
Khi đó 
⟹ Chọn D
Chú ý: Thông thường thì với 
Tuy nhiên trong trường hợp này, ta để ý 
mang lại sự hiệu quả.
Câu 2. Kết quả nguyên hàm 
là:
A. (tanx + 2). ln (sinx + 2 cosx) – x + 2 ln |cosx| + C
B. (tanx + 2). ln (sinx + 2 cosx) – x – 2 ln |cosx| + C
C. (tanx + 2). ln (sinx + 2 cosx) – x + 2 ln (cosx) + C
D. (cotx + 2). ln (sinx + 2 cosx) – x – 2 ln |cosx| + C
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Đặt 
Khi đó 
= (tanx + 2). ln (sinx + 2 cosx) – x – 2 ln |cosx| + C
Chú ý: Ở bài tập này, Chọn v = tanx + 2 có thể rút gọn được ngay tử và mẫu trong nguyên hàm 
Câu 3. Kết quả nguyên hàm 
là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Phân tích: Ở đây ta sẽ ưu tiên u = x2 là đa thức, tuy nhiên vì bậc của u là 2 nên ta sẽ từng phần hai lần mới thu được kết quả. Nhằm tiết kiệm thời gian, tôi gợi ý với phương pháp “sơ đồ đường chéo” cụ thể như sau:
Bước 1: Chia thành 3 cột:
Cột 1: Cột u luôn lấy đạo hàm đến 0.
Cột 2: Dùng để ghi rõ dấu của các phép toán đường chéo.
Cột 3: Cột dv luôn lấy nguyên hàm đến khi tương ứng với cột 1.
Bước 2: Nhân chéo kết quả của hai cột với nhau. Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu (+), sau đó đan dấu (–), (+), (–), … rồi cộng các tích lại với nhau.
Tính nguyên hàm bằng phương pháp sơ đồ đường chéo
Khi đó: 
⟹ Chọn D
Chú ý:
Kĩ thuật này rất đơn giản và tiết kiệm nhiều thời gian.
Trong kĩ thuật tìm nguyên hàm theo sơ đồ đường chéo, yêu cầu độc giả cần tính toán chính xác đạo hàm và nguyên hàm ở hai cột 1 và 3. Nếu nhầm lẫn thì rất đáng tiếc.
Câu 4. Nguyên hàm 
là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Nếu làm thông thường thì từng phần 4 lần ta mới thu được kết quả. Ở đây, chúng tôi trình bày theo sơ đồ đường chéo cho kết quả và nhanh chóng hơn.
Vậy
⟹ Chọn A
Câu 5. Nguyên hàm 
là:
A. 2ex (sinx + cosx) + C
B. 2ex (sinx – cosx) + C
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Phân tích: Sự tồn tại của hàm số mũ và lượng giác trong cùng một nguyên hàm sẽ rất dễ gây cho người học sự nhầm lẫn, nếu ta sẽ không biết điểm dừng thì có thể sẽ bị lạc vào vòng luẩn quẩn. Ở đây, để tìm được kết quả thì ta phải từng phần hai lần như trong bài tập 3. Tuy nhiên, với sơ đồ đường chéo thì sao? Khi nào sẽ dừng lại?
Khi đó, ta sẽ có thể kết luận 
Hay 2I = ex sinx – ex. cos x. Vậy
⟹ Chọn C
Chú ý: Chỉ dừng lại khi đạo hàm của nó có dạng giống dòng đầu tiên. Dòng cuối thu được 
Câu 6. Tìm 
, trong đó v(x) là hàm đa thức, n ∊ ℕ* và a, b ∊ ℝ; a ≠ 0
Hướng dẫn giải
Phân tích: Vì ưu tiên u(x) = lnn (ax + b) nên 
và tiếp tục đạo hàm thì cột 1 sẽ không về 0 được, vì vậy phải chuyển lượng 
từ cột 1 sang nhân với v(x) ở cột 3 để rút gọn bớt; tiếp tục quá trình như thế nào cho đến khi đạo hàm cột 1 về 0, và chú ý sử dụng quy tắc đan dấu bình thường.
Bài tập 6.1: Kết quả nguyên hàm 
là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Vậy =
⟹ Chọn A
Chú ý: chuyển lượng 
bên cột 1 sang nhân với 
ta thu được kết quả 
. Khi đó bên cột 1 còn lại 1, đạo hàm của nó bằng 0; bên cột 3 có nguyên hàm của là 
.
Câu 6.2. Kết quả nguyên hàm 
là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Vậy
⟹ Chọn B
Chú ý:
Chuyển 
, nhân với (2x2 – x) thu được (6x – 3).
Chuyển 
, nhân với (3x2 – 3x) thu được (6x – 6).
Chuyển 
, nhân với (3x2 – 6x) thu được (3x – 6).
Câu 7. Cho F(x) = (x – 1) ex là một nguyên hàm f(x) e2x. Biết rằng hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ. Nguyên hàm của hàm số f’(x) e2x là:
A. (2 – x) ex + C
B. (2 + x) ex + C
C. (1 – x) ex + C
D. (1 + x) ex + C
Hướng dẫn giải
Ta có F’(x) = f(x) e2x ⇔ ex + (x – 1) ex = f(x). e2x ⇔ f(x). e2x = x. ex.
Xét 
Đặt 
Do đó 
Vậy 
⟹ Chọn A
Dạng 5. Các bài toán thực tế ứng dụng nguyên hàm
Phương pháp giải
Ý nghĩa vật lí của đạo hàm:
Một chất điểm chuyển động theo phương trình S = S(t), với S(t) là quãng đường mà chất điểm đó đi được trong thời gian t, kể từ thời điểm ban đầu.
Gọi v(t) và a(t) lần lượt là vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t, ta có:
v(t) = S’ (t) và a(t) = v’(t).
Từ đó ta có: 
và 
Bài tập vận dụng
Câu 1. Một vật chuyển động với gia tốc 
, trong đó t là khoảng thời gian tính từ thời điểm ban đầu. Vận tốc ban đầu của vật là. Hỏi vận tốc của vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu?
A. 10 m/s
B. 15,2 m/s
C. 13,2 m/s
D. 12 m/s
Hướng dẫn giải
Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức: 
Vì vận tốc ban đầu (lúc t = 0) của vật là v0 = 6 m/s nên:
v (0) = 3 ln|0 + 1| + C = 6 ⇔ C = 6 ⇒ v(t) = 3 ln|t + 1| + 6.
Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là: v (10) = 3 ln|10 + 1| + 6 ≈ 13,2 (m/s).
⟹ Chọn C
Câu 2. Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc 
, trong đó t là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát. Hỏi vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu?
A. 5,6 m/s
B. 6,51 m/s
C. 7,26 m/s
D. 6,8 m/s
Hướng dẫn giải
Vận tốc v(t) chính là nguyên hàm của gia tốc a(t) nên ta có:
Tại thời điểm ban đầu (t = 0) thì vận động viên ở tại vị trí xuất phát nên vận tốc lúc đó là:
Vậy công thức vận tốc là 
Vận tốc của vận động viên tại giây thứ 5 là v (5) = 6,51 m/s.
⟹ Chọn B
Chú ý: Gia tốc của vật chuyển động là 
. Ta tính 
, kết hợp với điều kiện vận tốc ban đầu v0 = 6 m/s. Suy ra công thức tính vận tốc v(t) tại thời điểm t và tính được v(10).
Câu 3. Một nhà khoa học tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đát với vận tốc ban đầu là 20 m/s. Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Hỏi sau 2s thì tên lửa đạt đến tốc độ là bao nhiêu?
A. 0,45 m/s
B. 0,4 m/s
C. 0,6 m/s
D. 0,8 m/s
Hướng dẫn giải
Xem như tại thời điểm t0 = 0 thì nhà khoa học phóng tên lửa với vận tốc đầu 20 m/s. Ta có s (0) = 0 và v (0) = 20.
Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường tại mọi thời điểm t là sn (t) = –9,8 m/s2.
Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc nên ta có vận tốc của tên lửa tại thời điểm t là 
Do v (0) = 20 nên –9,8t + C1 = 20 ⇔ C1 = 20 ⇒ v(t) = –9,8t + 20.
Vậy vận tốc của tên lửa sau 2s là v (2) = –9,8. 2 + 20 = 0,4 (m/s).
⟹ Chọn B
