Công thức logarit: Bảng tổng hợp công thức & phân dạng bài tập

Tóm tắt toàn bộ công thức logarit thương chương trình toán lớp 12 đầy đủ. Bảng công thức mà VerbaLearn tổng hợp giúp bạn ôn lại nhanh hơn. Xem thêm các dạng bài tập được đề cập trong bài viết sẽ giúp bạn đọc hiểu hơn về logarit và vận dụng một cách đơn giản hơn.

Định nghĩa về logarit

Định nghĩa

Cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab. Ta viết: α = log_ab = a ⇔ a^α = b

Tính chất

Cho a, b > 0, a ≠ 1, ta có:

– log_aa = 1, log_a1 = 0

– , log_a(a^α) = α

Công thức logarit

1. Logarit của một tích

Cho 3 số dương a, b₁, b₂ với a ≠ 1, ta có

log_a(b₁b₂) = log_ab₁ + log_ab₂

Logarit của một thương: Cho 3 số a, b₁, b₂ với a ≠ 1, ta có

Đặc biệt: với a, b > 0, a ≠ 1,

2. Logarit của lũy thừa

Cho a, b > 0, a ≠ 1, với mọi α, ta có

log_ab^α = α log_ab

Đặc biệt:

3. Công thức đổi cơ số

Cho 3 số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1 ta có:

Đặc biệt: và với α ≠ 0

4. Logarit thập phân và Logarit tự nhiên

Logarit thập phân là logarit cơ số 10. Viết : log₁₀b = log b = lg b

Logarit tự nhiên là logarit cơ số e. Viết : log_e b = ln b

Xem thêm

Phân dạng bài tập

Công thức logarit vận dụng vào nhiều dạng bài tập khác nhau như tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa logarit, biến đổi biểu thứ logarit, so sách biểu thức logarit. Các bài tập này đều là nền tảng cho phần hàm số logarit mà chúng ta sẽ được tìm hiểu ở những bài học tiếp theo.

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức logarit

Phương pháp giải

Biểu thức log_a f(x) xác định

Chú ý rằng: Khi giải bất phương trình Aⁿ > 0 cần nhớ:

– n là số tự nhiên lẻ thì Aⁿ > 0 ⇔ A > 0.

– n là số tự nhiên chẵn thì Aⁿ > 0 ⇔ A ≠ 0.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Với giá trị nào của x thì biểu thức A = log₂ (2x – 1) xác định?

D. x ∈ (-1; + ∞)

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: 2x – 1 > 0

⟹ Chọn A

Câu 2. Với giá trị nào của x thì biểu thức B = ln (4 – x²) xác định?

A. x ∈ [-2; 2]

B. x ∈ (-2; 2)

C. x ∈ ℝ \ [-2; 2]

D. x ∈ ℝ \ (-2; 2)

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: 4 – x² > 0 ⇔ -2 < x < 2

⟹ Chọn B

Câu 3. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

A. x ∈ (2; +∞)

B. x ∈ [0; +∞)

C. x ∈ [0; +∞) \ {2}

D. x ∈ (0; +∞) \ {2}

Hướng dẫn giải

Biểu thức A xác định

Vậy x ∈ [0; +∞) \ {2}

⟹ Chọn C

Câu 4. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

B. x ∈ (0; 2)

D. \ {1}

Hướng dẫn giải

Biểu thức D xác định

⟹ Chọn D

Câu 5. Với giá trị nào của m thì biểu thức xác định với mọi x ∈ (-3; +∞)?

A. m > -3

B. m < -3

C. m ≤ -3

D. m ≥ -3

Hướng dẫn giải

Biểu thức E xác định ⇔ x – m > 0 ⇔ x > m

Để E xác định với mọi x ∈ (-3; +∞) thì m ≤ -3

⟹ Chọn C

Câu 6. Với giá trị nào của m thì biểu thức xác định với mọi x ∈ [-4; 2]?

A. m ≥ 2

C. m > 2

D. m≥ -1

Hướng dẫn giải

Biểu thức F xác định ⇔ (3 – x)(x + 2m) > 0 ⇔ -2m < x < 3, với

Để f(x) xác định với mọi x ∈ [-4; 2] thì [-4; 2] ⊂ (-2m; 3) ⇔ -2m < -4 ⇔ m > 2

Kết hợp với điều kiện, suy ra m > 2 thoả mãn.

⟹ Chọn C

Câu 7. Có bao nhiêu số nguyên a để biểu thức G = log₂ (ax² – 4x + 1) có nghĩa với mọi x ∈ ℝ?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 0

Hướng dẫn giải

Biểu thức G xác định với mọi x ∈ ℝ ⇔ ax² – 4x + 1 > 0, ∀ x ∈ ℝ

Vì a ∈ ℤ nên a ∈ {1; 2; 3}

⟹ Chọn A

Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức logarit

Bài tập vận dụng

Câu 1. Rút gọn biểu thức (a > 0, a ≠ 1, b > 0) ta được

A. P = a³b^-2

B. P = a³b

C. P = a²b³

D. P = ab²

Hướng dẫn giải

HS có thể sử dụng MTCT: Gán a = 2, b = 5 ta được và thay a = 2, b = 5 vào 4 đáp án để so sánh.

⟹ Chọn A

Câu 2. Cho a = log₂5. Ta phân tích được (m, n, k ∈ ℤ). Tính m² + n² + k²?

A. 13

B. 10

C. 22

D. 14

Hướng dẫn giải

Ta có:

⇒ m = n = 3, k = 2 ⇒ m² + n² + k² = 22

⟹ Chọn C

Câu 3. Giá trị của biểu thức nằm trong khoảng nào sau đây?

A. (2; 5)

B. (0;1)

C. (1; 3)

D. (2; 3)

Hướng dẫn giải

HS có thể sử dụng MTCT: Gán a = 2 . Tính và thay a = 2 vào 4 đáp án để so sánh.

⟹ Chọn A

Câu 4. Cho số thực x thỏa mãn: (a > 0, a ≠ 1). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. x < 0

B. x > 2

C. 1 < x < 2

D. 0 < x < 1

Hướng dẫn giải

Ta có:

⟹ Chọn C

Câu 5. Cho 0 < a ≠ 1, biểu thức có giá trị bằng bao nhiêu?

A. 25

B. 625

C. 5

D. 5⁸

Hướng dẫn giải

Ta có:

⟹ Chọn A

Câu 6. Tính giá trị biểu thức

A. A = 3log₃7

B. A = log₃7

C. A = 2log₃7

D. A = 4log₃7

Hướng dẫn giải

Ta có:

= -log₃7 + 2log₃7 + 2log₃7 = 3log₃7

⟹ Chọn A

Câu 7. Biểu thức có giá trị bằng

B. -2

C. 1

D.-1

Hướng dẫn giải

Ta có:

HS có thể sử dụng MTCT: Chuyển máy tính về đơn vị Rad (Shift + Mode + 4). Sau đó nhập được kết quả bằng -1.

⟹ Chọn D

Câu 8. Cho lg x = a, ln10 = b , với 0 < x ≠ 1. Tính log_10e (x) bằng

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Dạng 3: Biểu diễn logarit theo các logarit đã biết

Phương pháp giải

Để giải quyết bài toán biểu diễn logarit theo các logarit đã biết, chúng ta có thể sử dụng một trong hai cách:

– Cách 1: Sử dụng các tính chất của logarit.

– Cách 2: Sử dụng MTCT.

Bài toán minh hoạ: Cho log₂3 = a, log₂5 = b. Biểu diễn log₃20 theo a, b .

Hướng dẫn giải

Cách 1: Sử dụng các tính chất của logarit

Ta có: log₃20 = log₃(2²․5) = 2 log₃2 + log₃5

Cách 2: Sử dụng MTCT (Casio 570 hoặc Vinacal)

Bước 1: (Gán 3 giá trị log₂3 và log₂ vào các biến A, B và C trong máy tính)

Bước 2: (Thử đáp án)

⟹ Chọn B

Bài tập vận dụng

Câu 1. Giả sử đặt a = log₂3, b = log₅3. Hãy biểu diễn log₆45 theo a và b.

Hướng dẫn giải

Ta có

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 2. Giả sử đặt log₁₂6 = a, log₁₂7 = b. Hãy biểu diễn log₂7 theo a và b.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta có

Vậy

Cách 2: Ta có

⟹ Chọn B

Câu 3. Cho số thực dương b thỏa mãn b ≠ 1và các số thực a, c, x thỏa mãn: log_b3 = a; log_b6 = c và 3^x = 6. Hãy biểu diễn x theo a và c.

C. a + c

Hướng dẫn giải

Ta có 3^x = 6 ⇔

Vậy x =

⟹ Chọn D

Câu 4. Cho log₂3 = a, log₃5 = b, log₇2 = c. Hãy tính log₁₄₀63 theo a, b, c

Hướng dẫn giải

Ta có

⟹ Chọn A

Câu 5. Cho (a, b, c ∈ ℤ). Tính tổng a + b + c.

A. -4

B. 2

C. 0

D. 1

Hướng dẫn giải

Ta có

Vậy ⇒ a + b + c = 2 – 2 + 1 = 1

⟹ Chọn D

Câu 6. Cho các số dương a, b thỏa mãn 4a² + 9b² = 13ab. Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau.

Hướng dẫn giải

Ta có 4a² + 9b² = 13ab ⇔ (2x + 3b)² = 25ab

Lấy logarit cơ số 10 cho hai vế ta được:

2log (2x + 3b) = log (25ab) ⇔ 2log (2x + 3b) = 2log5 + log a + log b

⇔

⟹ Chọn C

Thủ thuật casio dùng với công thức logarit

1. Phương pháp hệ số hóa biến

Phương pháp giải

– Bước 1 : Dựa vào hệ thức điều kiện buộc của đề bài chọn giá trị thích hợp cho biến

– Bước 2 : Tính các giá trị liên quan đến biến rồi gắn vào A, B, C nếu các giá trị tính được lẻ

– Bước 3 : Quan sát 4 đáp án và chọn đáp án chính xác

Bài tập vận dụng

Câu 1. Đặt a = log₂3, b = log₅3. Hãy biểu diễn log₆45 theo a và b

Hướng dẫn giải

Phương pháp casio

Tính giá trị của a = log₂3. Vì giá trị của a ra một số lẻ vậy ta lưu a vào A

Tính giá trị của b = log₅3 và lưu vào B

Bắt đầu ta kiểm tra tính đúng sai của đáp án A. Nếu đáp án A đúng thì hiệu phải bằng 0. Ta nhập hiệu trên vào máy tính Casio và bấm nút =

Kết quả hiển thị của máy tính Casio là 1 giá trị khác 0 vậy đáp án A sai

Tương tự như vậy ta kiểm tra lần lượt từng đáp án và ta thấy hiệu bằng 0

Vậy

⟹ Chọn C

Phương pháp tự luận

Ta có

Vậy

⟹ Chọn C

Bình luận

Cách tự luận trong dạng bài này chủ yếu để kiểm tra công thức đổi cơ số:

Công thức 1: (với a ≠ 1)

Công thức 2: (với b > 0, b ≠ 1)

Cách Casio có vẻ nhiều thao tác nhưng dễ thực hiện và độ chính xác 100%. Nếu tự tin cao thì làm tự luận, nếu tự tin thấp thì nên làm Casio vì làm tự luận mà biến đổi sai 1 lần thôi rồi làm lại thì thời gian còn tốn hơn cả làm theo Casio

Câu 2. Cho log₉ x = log₁₂ y = log₁₆ (x + y). Giá trị của tỉ số là ?