Trong bài viết này, DanChuyenToan sẽ giúp độc giả tìm hiểu 10 dạng bài ập số phức đặc trưng nhất. Mỗi dạng bài đều có phương pháp giải riêng và các bài tập vận dụng có lời giải chi tiết.
Kiến thức cần nắm
1. Khái niệm
Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ). Khi đó:
+) a là phần thực, b là phần ảo.
+) i là đơn vị ảo, i2 = −1.
+) Nếu a = 0 thì z là số thuần ảo.
+) Nếu b = 0 thì z là một số thực.
2. Quan hệ giữa các tập hợp số
Tập số phức kí hiệu là ℂ.
Quan hệ các tập hợp số: ℕ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
3. Hai số phức bằng nhau
Cho z1 = a + bi và z2 = c + di (a, b, c, d ∈ ℝ). Khi đó:
4. Biểu diễn hình học của số phức
Biểu diễn hình học của số phức
Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bởi duy nhất một điểm
M (a, b) trên mặt phẳng tọa độ.
5. Mô-đun số phức
5.1. Khái niệm Mô-đun số phức
Độ dài của véc–tơ 
được gọi là mô-đun của số phức z và kí hiệu là |z|.
Từ định nghĩa, suy ra 
hay 
5.2. Tính chất
+) |z| ≥ 0, ∀z ∈ ℂ; |z| = 0 ⇔ z = 0.
+) |z.z’| = |z|. |z’|.
+) 
+) ||z| − |z’|| ≤ |z ± z’| ≤ |z| + |z’|.
6. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp
Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ).
Ta gọi a − bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là 
.
Vậy 
hay 
Chú ý: 
7. Phép toán trên số phức
7.1. Cộng, trừ hai số phức
Ta cộng (trừ) phần thực theo phần thực, phần ảo theo phần ảo.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i.
(a + bi) −(c + di) = (a − c) + (b − d) i.
7.2. Phép nhân hai số phức
Ta nhân phân phối, tương tự nhân hai đa thức. Lưu ý: i2 = −1.
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) i
7.3. Phép chia hai số phức
Cho hai số phức z1 = a + bi và z2 = c + di. Thực hiện phép chia 
, ta nhân thêm 
ở tử và mẫu.
Số phức nghịch đảo của z là 
Lũy thừa của đơn vị ảo:
i2 = −1.
i3 = −i
in = 1 nếu n chia hết cho 4.
in = i nếu n chia 4 dư 1
in = −1 nếu n chia 4 dư 2
in = −i nếu n chia 4 dư 3
8. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Xét phương trình ax2 + bx + c = 0, với a, b, c ∈ ℝ và a ≠ 0. Đặt ∆ = b2 – 4ac, khi đó:
Nếu ∆ ≥ 0 thì phương trình có nghiệm 
Nếu ∆ < 0 thì phương trình có nghiệm 
Định lý Viet: 
và 
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Thực hiện các phép toán của số phức, tìm phần thực phần ảo
Phương pháp giải
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’+ b’i trong đó a, b, a’, b’ ∈ ℝ. Khi đó
z + z’ = (a + a’) + (b + b’)i
z – z’ = (a – a’) + (b – b’)i
zz’ = aa’ – bb’ + (ab’ + a’b)i
Ví dụ:
Hai số phức z1 = 3 – 7i, z2 = 4 + 3i có
z1 + z2 = (3 + 4) + (–7 + 3)i = 7 – 4i
z1 – z2 = (3 – 4) – (–7 – 3)i = – 1 – 10i
z1 . z2 = [3.4 – (–7).3] + [3.3 + 4. (–7)] i = 33 – 19i
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tất cả các số phức z thỏa mãn 2z – 3(1 + i) = iz + 7 – 3i là
A. 
B. z = 4 – 2i
C. 
D. z = 4 + 2i
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Ta có: 2z – 3(1 + i) = iz + 7 – 3z ⇔ (2 – i)z = 10
Câu 2. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ) thỏa mãn z + 1 + 3i – |z|i = 0. Giá trị S = a – 3b là
A. 
B. S = 3
C. S = – 3
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Ta có: z + 1+ 3i – |z|i = 0
Câu 3. Tính C = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20.
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức cấp số nhân:
Ta có: C = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20
Ta có: (1 + i)2 = 2i
⇒ (1 + i)21 = (1 + i)20 . (1 + i) = (2i)10 . (1 + i) = −210. (1 + i) = −210 – i.210
Do đó: 
Câu 4. Tính tổng S = i + 2i2 + 3i3 + … + 2012.i2012
A. −1006 + 1006i
B. 1006 + 1006i
C. −1006 – 1006i
D. 1006 – 1006i
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Cách 1:
Ta có: iS = i2 + 2i3 + 3i4 + … + 2012.i2013
⇒ S – iS = i + i2 + i3 + … + i2012 – 2012.i2013
Dãy số i, i2, i3, …, i2012 là một cấp số nhân có công bội q = 1 và có 2012 số hạng, suy ra:
Do đó: S – iS = −2012.i2013 = –2012i
Cách 2: Dãy số 1, x, x2, …, x2012 là một cấp số nhân gồm 2013 số hạng và có công bội bằng x.
Xét x ≠ 1, x ≠ 0 ta có:
(1)
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được:
(2)
Nhân hai vế của (2) cho x ta được:
(3)
Thay x = i vào (3) ta được:
Với i2014 = −1, i2013 = i
Vậy 
Câu 5. Cho α, β hai số phức liên hiệp thỏa mãn 
và 
. Tính |α|.
A. 
B. 3
C. 2
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Đặt α = x + iy ⇒ β = x – iy với x, y ∈ ℝ
Không giảm tính tổng quát, ta có y ≥ 0.
Vì nên 
Do α, β hai số phức liên hợp nên α, β ∈ ℝ, mà 
do đó α3 ∈ ℝ.
Nhưng ta có α3 = x3 – 3xy2 + (3x2y – y3).i nên α3 ∈ ℝ khi và chỉ khi
3x2y – y3 = 0 ⇔ y (3x2 – y2) = 0 ⇒ x2 = 1
Vậy 
.
Câu 6. Tìm c biết a, b và c các số nguyên dương thỏa mãn: c = (a + bi)3 −107i.
A. 400
B. 312
C. 198
D. 123
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Ta có c = (a + bi)3 −107i = a3 – 3ab2 + i.(3a2b – b3 – 107).
Nên c là số nguyên dương thì 3a2b – b3 – 107 = 0 hay b (3a2 – b2) = 107.
Vì a, b ∈ Z+ và 107 số nguyên tố nên xảy ra:
b = 107; 3a2 – b2 ⇒ H26 (loại)
b = 1; 3a2 – b2 = 107 ⇒ a2 =36 ⇒ a = 6 (thỏa mãn)
Vậy nên c = a3 – 3ab2 = 63 – 3.6.12 = 198
Dạng 2. Tìm số phức liên hợp, tính môđun số phức
Phương pháp giải
Số phức z = a+ bi có 
và 
Chú ý: Nếu z = a + bi thì 
Ví dụ: Số phức liên hợp của số phức z = (2 – 3i)(3 + 2i) là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: z = (2 – 3i)(3 + 2i) = 6 – 5i – 6i2 = 12 – 5i ⇒
⟹ Chọn D
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho số phức z = a + bi, với a, b là các số thực thỏa mãn a + bi + 2i(a – bi) + 4 = i, với i là đơn vị ảo. Môđun của ω = 1 + z + z2 là
A. |ω| = 
B. |ω| = 
C. |ω| = 229
D. |ω| = 13
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta có a + bi + 2i(a – bi) + 4 = i
Suy ra z = 2 – 3i
Do đó ω = 1 + z + z2 = –2 – 15i.
Vậy 
Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn 
. Môđun của số phức 
.là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Ta có 
⇒ z = –1 – 2i ⇒ w = i. (–1 + 2i) + (–1 – 2i) = – 3 – 3i
⇒ 
Câu 3. Cho z1, z2 là các số phức thỏa mãn |z1| = |z2|= 1 và 
.
Giá trị của biểu thức P = |2z1 + z2| là
A. P = 2
B. P = 
C. P = 3
D. P = 1
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Đặt z1 = a1 + b1i; a1, b1 ∈ ℝ, z2 = a2 + b2i; a2, b2 ∈ ℝ
Suy ra a12 + b12 = a22 + b22 = 1 và 
Ta có 2z1 + z2 = 2a1 + a2 + (2b1 + b2)i
Suy ra P = |2z1 + z2| = 2
Dạng 3. Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức
Câu 1. Cho A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 
. Số phức có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình bình hành là
A. z = –6 – 4i
B. z = –6 + 3i
C. z = 6 – 5i
D. z = 4 – 2i
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Ta có: A là điểm biểu diễn của số phức 4 – 3i nên A(4; –3)
B là điểm biểu diễn của số phức (1 + 2i)i = –2 + i nên B(– 2; 1)
C là điểm biểu diễn của số phức 
nên C(0; –1)
Điều kiện để ABCD là hình bình hành là 
Câu 2. Cho tam giác ABC có ba đỉnh A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số phức z1= 2 – i, z2 = – 1 + 6i, z3 = 8 + i. Số phức z4 có điểm biểu diễn hình học là trọng tâm của tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. z4 = 3– 2i
B. |z4| = 5
C. (z4)2 = 13 + 12i
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Ta có A(2; –1), B(–1; 6), C(8; 1)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
⇒ G(3; 2) ⇔ z4 = 3 + 2i ⇒
Câu 3. Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn |z1| = 3, |z2|= 4 và |z1 − z2| = 5. Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1, z2 trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích S của ∆OAB (với O là gốc tọa độ) là
A. S = 
B. S = 6
C. S = 
D. S = 12
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Ta có: |z1| = OA = 3, |z2|= OB = 4 và |z1 − z2| = AB = 5
⇒ ∆OAB vuông tại O (vì OA2 + OB2 = AB2)
⇒ 
Dạng 4. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
Câu 1. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hướng dẫn giải
Đặt z = x + yi (x, y ∈ ℝ)
Ta có hệ phương trình 
Do đó z = 1 + i nên có một số phức thỏa mãn
Câu 2. Có bao nhiêu số phức z thỏa điều kiện 
và |z| = 2?
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Ta có 
Suy ra điểm M biểu diễn số phức z là giao của hai đường tròn
(C1): x2 + y2 = 4 và (C2): (x + 4)2 + y2 = 4
Vì I1I2 = R1 + R2 (I1, I2 là tâm của các đường tròn (C1), (C2) nên (C1) và (C2) tiếp xúc nhau).
Suy ra: Có một số phức z thỏa mãn yêu cầu
Câu 3. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn |z|(z – 6 – i) + 2i = (7 – i)z?
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Nhận xét: Từ giả thiết, ứng với mỗi |z| cho ta duy nhất một số phức z.
Đặt |z| = a ≥ 0, a ∈ ℝ, khi đó ta có
|z|(z – 6 – i) + 2i = (7 – i)
⇔ a(z – 6 – i) + 2i = (7 – i)z
⇔ (a – 7 – i)z = 6a + ai –2i
⇔ (a – 7 – i)z = 6a + (a – 2)i
⇔ |(a – 7 – i)|.|z| = |6a + (a – 2)i|
⇔ [(a – 7)2 + 1]a2 = 36a2 + (a – 2)3
⇔ a4 – 14a3 + 13a2 + 4a – 4 = 0 ⇔ (a – 1)(a3 – 13a2 + 4) = 0
Hàm số f(a) = a3 – 13a2 (a ≥ 0) có bảng biến thiên
Đường thẳng y = –4 cắt đồ thị hàm số f(a) tại hai điểm nên phương trình a3 – 13a2 + 4 = 0 có hai nghiệm khác 1 (do f(1) ≠0). Thay giá trị môđun của z vào giả thiết ta được 3 số phức thỏa mãn điều kiện
Câu 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn |z – (2m – 1) – i| = 10 và 
?
A. 40
B. 41
C. 165
D. 164
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Giả sử z = x + yi (x, y ∈ ℝ) và M(x, y) là điểm biểu diễn số phức z.
Ta có: |z – (2m – 1) – i| = 10 ⇔ |z – (2m – 1) – i|2 = 100
⇔ [x – (2m – 1)]2 + (y – 1)2 = 100
Khi đó điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn (C) có tâm I(2m – 1; 1), bán kính R = 10.
Lại có:
Khi đó điểm biểu diễn của số phức z cũng nằm trên đường thẳng ∆: 2x + 8y – 11 = 0
Có đúng hai số phức z thỏa mãn nếu đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt.
Tức là 
Vậy có 41 giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5. Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn |z1|= 3, |z2| = 4, 
. Hỏi có bao nhiêu số z mà 
?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hướng dẫn giải
Đặt z1 = x + yi, z2 = c + di (x, y, c, d ∈ ℝ). Ta có:
|z1| = 3 ⇒ x2 + y2 = 9
|z2| = 4 ⇒ c2 + d2 = 16
⇒ x2 + y2 + c2 + d2 – 2xc – 2yd = 37 ⇔ xc + yd = –6
Lại có: 
Suy ra 
Mà 
Vậy có hai số phức z thỏa mãn
Câu 6. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn 
và 
. Số phần tử của S là
A. 2
B. 4
C. 1
D. 3
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Dễ thấy m > 0
Đặt z = a + bi; a, b ∈ ℝ ta có hệ phương trình
Phương trình a2 + b2 = 1 là đường tròn tâm O, bán kính R = 1
Phương trình 
là đường tròn tâm 
, bán kính R = m
Có duy nhất số phức thỏa mãn đề bài
⇔ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
⇔ Hai đường tròn này tiếp xúc với nhau
⇔ 
(thỏa mãn m > 0)
Vậy có hai số thực thỏa mãn.
Câu 7. Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| = 1 và 
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Đặt z = a + bi, (a, b ∈ ℝ). Ta có
Ta có hệ
Suy ra 
Vậy có 8 cặp số (a; b) do đó có 8 số phức thỏa mãn.
Dạng 5. Bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức
Phương pháp giải
Sử dụng các định nghĩa, tính chất hình học đã biết.
Cho trước các điểm cố định I, F1, F2; F1F2 = 2c (c > 0)
Tập hợp các điểm M thỏa mãn MI = R (R > 0) là đường tròn tâm I bán kính R
Tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a (a > c) là elip có hai tiêu điểm là F1, F2.
Tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1 = MF2 là đường trung trực của đoạn thẳng F1F2.
Ví dụ: Trên mặt phẳng Oxy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + 2 – 5i| = 4 là đường tròn tâm I(–2; 5), bán kính R = 2.
Bài tập vận dụng
Chú ý: Trong mặt phẳng Oxy, (x – a)2 + (y – b)2 = R2 là phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R > 0.
Câu 1. Xét các số phức z thỏa mãn 
là số thực. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, có tâm I(a; b) và bán kính R. Giá trị a + b + R rằng
A. 6
B. 4
C. 12
D. 24
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Đặt z = x + yi (x, y ∈ ℝ)
Vì 
là số thực nên
x(x – 6) + y(y + 8) = 0 ⇔ (x – 3)2 + (y + 4)2 = 25
Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là đường tròn có tâm I(3; –4), bán kính R = 5.
Vậy a + b + R = 4
Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn |z – 3| +|z + 3| = 10. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là
A. Một parabol
B. Một đường tròn
C. Một elip
D. Một hypebol
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Gọi z = x + yi (x, y ∈ ℝ) thì |z – 3| + |z + 3| = 10 ⇔ |(x – 3) + yi| + |(x + 3) + yi|= 10 (*)
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z và các điểm F1(3; 0), F2(–3; 0). Dễ thấy F1F2 = 6 = 2c
Khi đó: |z – 3| + |z + 3| = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10 = 2a
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là elip có hai tiêu điểm F1, F2, độ dài trục lớn là 2a = 10
Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 10 và 
. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm là
A. I(–3; –4)
B. I(3; 4)
C. I(1; –2)
D. I(6; 8)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta có
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn (C) có tâm I(–3; –4).
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 
là đường thẳng có phương trình
A. x – 2y + 1 = 0
B. x + 2y = 0
C. x – 2y = 0
D. x + 2y + 1= 0
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Đặt z = x + yi (x, y ∈ ℝ) ⇒ 
Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z.
Ta có
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng có phương trình là x – 2y = 0.
Câu 5. Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều |2 + z| = |i – z| là
A. Đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0
B. Đường thẳng 4x – 2y + 3= 0
C. Đường thẳng x + 2y – 3 = 0
D. Đường thẳng x + 9y – 3 = 0
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Cách 1: Đặt z = x + yi; (x, y ∈ ℝ) là số phức đã cho và M(x, y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức
Ta có 
Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng 4x +2y + 3 = 0
Cách 2: |z + 2| = |i – z| ⇔|z – (–2)| = |i – z| (*)
Đặt z = x + yi; (x, y ∈ ℝ) là số phức đã cho và M(x; y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức.
Điểm A biểu diễn số –2 tức A(–2; 0) và điểm B biểu diễn số phức i tức B(0; 1).
Khi đó (*) ⇔ MA = MB.
Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường trung trực của AB: 4x + 2y + 3 = 0.
Câu 6. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 
là
A. Đường thẳng x + y + 3 = 0
B. Đường thẳng x – 2y + 3= 0
C. Đường thẳng x + 2y + 3 = 0
D. Đường thẳng x – y – 1 = 0
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Giả sử z = x + yi (x, y ∈ ℝ), điểm M(x, y) biểu diễn z. Theo bài ra ta có:
Suy ra M thuộc đường thẳng có phương trình x – y – 1 = 0.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường thẳng có phương trình x – y – 1 = 0
Dạng 6. Giải phương trình. Tính toán biểu thức nghiệm số phức
Phương pháp giải
Cho phương trình
az2 + bz + c = 0 (a, b, c ∈ ℝ; a ≠ 0)
Giải phương trình bậc hai với hệ số thực
Áp dụng các phép toán trên tập số phức để biến đổi biểu thức
Ví dụ: Xét phương trình z2 – 2z + 5 = 0
a) Giải phương trình trên tập số phức
b) Tính |z1| + |z2|
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ∆’ = 1 – 5 = –4 = (2i)2
Phương trình có hai nghiệm là z1 = 2 + 2i; z2 = 2 – 2i
b) Ta có 
Suy ra 
Bài tập
Câu 1. Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình z2 + 1= z (z ∈ ℂ)?
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta có z2 + 1 = z (z ∈ ℂ)
Câu 2. Phương trình z2 + az + b = 0 (a, b ∈ ℝ) có nghiệm phức là 3 + 4i. Giá trị của a + b bằng
A. 31
B. 5
C. 19
D. 29
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Cách 1: Do z = 3 + 4i là nghiệm của phương trình z2 + az + b = 0 nên ta có:
(3 + 4i)2 + a(3 + 4i) + b = 0 ⇔ (3a + b – 7) + (4a + 24)i =0
Do đó a + b = 19
Cách 2: Vì z1 = 3 + 4i là nghiệm phương trình z2 + az + b = 0 nên z2 = 3 – 4i cùng là nghiệm của phương trình đã cho
Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có 
Chú ý: Nếu z0 là nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thực thì 
cũng là nghiệm của phương trình.
Câu 3. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z2 + 6z + 34 = 0. Giá trị của |z0 + 2 − i| = 0 là
A. 
B. 17
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta có: ∆’ = −25 = (5i)2. Phương trình có hai nghiệm là z = −3 + 5i; z = −3 – 5i
Do đó 
Câu 4. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z2 – 2z + 5 =0. Tọa độ điểm biểu diễn số phức 
trên mặt phẳng phức là
A. P(3; 2)
B. N(1; −2)
C. Q(3; −2)
D. M(1; 2)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta có 
Theo yêu cầu của bài toán ta chọn z1 = 1− 2i. Khi đó:
Vậy điểm biểu diễn của số phức là P(3; 2)
Câu 5. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 −4z – 5 = 0. Giá trị biểu thức (z1 – 1)2019 + (z2 – 1)2019 bằng
A. 21009
B. 21010
C. 0
D. −21010
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Xét phương trình
Khi đó ta có: (z1 – 1)2019 + (z2 – 1)2019 = (1 + i)2019 + (1 – i)2019
= (1 + i)[(1 + i)2]1009 + (1 – i)[(1 – i)2]1009
= (1 + i)(2i)1009 + (1 – i)(−2i)1009
= (2i)1009 [(1 + i) – (1 – i)] = (2i)1010 = (i2)505. 21010 = −21010
Dạng 7. Định lý Vi-ét và ứng dụng trong phương trình số phức
Phương pháp giải
Định lý Vi-ét: Cho phương trình az2 + bz + c = 0; a, b, c ∈ ℝ; a ≠ 0 có hai nghiệm phức z1, z2 thì
Ví dụ: Phương trình z2 − 4z + 24 = 0 có hai nghiệm phức z1, z2 nên z1 + z2 = 4; z1.z2= 24
Chú ý: Học sinh nhầm lẫn: 
Bài tập vận dụng
Câu 1. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 2z + 5 = 0. Giá trị của biểu thức z12 + z22 bằng
A. 14
B. −9
C. −6
D. 7
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Gọi z1, z2 là nghiệm của phương trình z2 − 2z + 5 = 0.
Theo định lý Vi-ét, ta có 
Suy ra z12 + z22 = (z1 + z2)2 – 2z1z2 = 22 – 2.5 = −6
Câu 2. Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là 1 + 2i?
A. z2 – 2z + 3 = 0
B. z2 + 2z + 5 = 0
C. z2 – 2z + 5 = 0
D. z2 + 2z + 3 = 0
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau nên phương trình bậc hai có nghiệm 1 + 2i thì nghiệm còn lại là 1 – 2i.
Khi đó tổng và tích của hai nghiệm lần lượt 2; 5
Vậy số phức 1 + 2i là nghiệm của phương trình z2 − 2z + 5 = 0
Chúng ta có thể giải từng phương trình:
z2 − 2z + 3 = 0 
z2 + 2z + 5 = 0 ⇔ (z + 1)2 = 4i2 ⇔ z + 1 = ± 2i ⇔ z = −1 ± 2i
z2 − 2z + 5 = 0 ⇔ (z − 1)2 = 4i2 ⇔ z − 1 = ± 2i ⇔ z = 1 ± 2i
z2 + 2z + 3 = 0 
Câu 3. Kí hiệu z1, z2 là nghiệm phức của phương trình 2z2 + 4z + 3 = 0. Tính giá trị biểu thức P = |z1z2 + i(z1 + z2)|
A. P = 1
B. P = 
C. P = 
D. P = 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Ta có z1, z2 là hai nghiệm của phương trình 2z2 + 4z + 3 = 0
Theo định lý Vi-ét ta có 
Ta có 
Câu 4. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 4z + 7 = 0. Giá trị của P = z13 + z23 bằng
A. −20
B. 20
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Theo định lý Vi-ét ta có 
Suy ra z13 + z23 = (z1 + z2)( z12 – z1z2 + z22) = (z1 + z2) ((z1 + z2)2 – 3z1z2) = 4.(42 – 3.7) = −20
Cách khác:
Ta có 
Do đó: 
Câu 5. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z2 − 2z + 27 = 0. Giá trị của z1|z2| + z2|z1| bằng
A. 2
B. 6
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Áp dụng định lý Vi-ét, ta có 
và z1.z2 = 9
Mà 
Do đó 
Câu 6. Cho số thực a > 2 và gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 2z + a = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. z1 + z2 là số thực
B. z1 − z2 là số ảo
C. 
là số ảo
D. là số thực
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Ta có 
. Đáp án A đúng
Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm là số phức liên hợp. Gọi z1= x + yi; x, y ∈ ℝ là một nghiệm, nghiệm còn lại là z2 = x – yi
Suy ra z1 − z2 = 2yi là số ảo. Đáp án B đúng
Vậy C là đáp án sai và D đúng
Dạng 8. Phương trình số phức quy về phương trình bậc hai
Phương pháp giải
Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức
Nắm vững cách giải một số phương trình quy về bậc hai, hệ phương trình đại số bậc cao;…
Ví dụ: Giải phương trình: z4 – z2 – 6 = 0 trên tập số phức
Hướng dẫn giải
Đặt z2 = t, ta có phương trình
Với t = 3 ta có 
Với t = −2 ta có 
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm 
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình 2z4 – 3z2 – 2 = 0 là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta có 
Khi đó, tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình đã cho bằng 
Câu 2. Kí hiệu z1, z2, z3, z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z4 + 4z2 – 5 = 0. Giá trị của |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z4|2 bằng
A. 
B. 12
C. 0
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Ta có 
Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là 
Do đó 
Câu 3. Gọi z1, z2, z3, z4 là các nghiệm phức của phương trình (z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = 0. Giá trị của biểu thức S = |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z4|2 là
A. S = 18
B. S = 16
C. S = 17
D. S = 15
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Ta có (z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = 0
Đặt t = z2 + z, ta có 
Suy ra 
Suy ra 
Câu 4. Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình 
. Khi đó |z1 + z2| bằng
A. 1
B. 4
C. 8
D. 2
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Điều kiện: z ≠ 0
Ta có: 
Vậy 
Câu 5. Cho số thực a, biết rằng phương trình z4 + az2 + 1 = 0 có bốn nghiệm z1, z2, z3, z4 thỏa mãn (z12 + 4)(z22 + 4) (z32 + 4) (z42 + 4) = 441. Tìm a
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Nhận xét z2 + 4 = z2 – (2i)2 = (z + 2i)(z – 2i)
Đặt f(x) = z4 + az2 + 1, ta có:
Theo giải thiết, ta có 
Dạng 9. Phương pháp hình học trong cực trị số phức
Phương pháp giải
Bước 1: Chuyển đổi ngôn ngữ bài toán số phức sang ngôn ngữ hình học.
Bước 2: Sử dụng một số kết quả đã biết để giải bài toán hình học.
Bước 3: Kết luận cho bài toán số phức.
Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn 
. Giá trị nhỏ nhất của |z + 3i| bằng
A. 3
B. 
C. 
D. 2
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Giả sử z = x + yi (x, y ∈ ℝ) ⇒ 
Khi đó 
Gọi M(x, y); A(0; −3) lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z; −3i thì |z + 3i| = MA
Parabol y = x2 có đỉnh tại điểm O(0; 0), trục đối xứng là đường thẳng x = 0. Hơn nữa, điểm A thuộc trục đối xứng của parabol, nên ta có: MA ≥ OA = 3. Suy ra minMA = 3 khi M ≡ O. Vậy min |z + 3i| = 3, khi z = 0.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn |z – 3 − 4i| = 1. Môđun lớn nhất của số phức z bằng
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Gọi M(x; y), I(3; 4) là các điểm biểu diễn lần lượt cho các số phức z; 3 + 4i.
Từ giả thiết |z – 3 – 4i| = 1 ⇒ MI = 1.
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(3; 4), bán kính r = 1.
Mặt khác |z| = OM. Mà OM đạt giá trị lớn nhất OI + r, khi M là giao điểm của đường thẳng OM với đường tròn tâm I(3; 4), bán kính r = 1. Hay 
Do đó, max|z| = OI + r = 5 + 1 = 6, khi 
Nhận xét:
OI – r ≤ OM =|z| ≤ OI + r
Câu 2. Trong các số phức z thỏa mãn |z – 2 − 4i| = |z – 2i|, số phức z có môđun nhỏ nhất là
A. z = 2 – 2i
B. z = 1 + i
C. z = 2 + 2i
D. z = 1 − i
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Đặt z = x + yi (x, y ∈ ℝ).
Khi đó |z – 2 − 4i| = |z – 2i| ⇔ x + y – 4 = 0 (d).
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng d.
Do đó |z| = OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O trên d.
Suy ra M(2; 2) hay z = 2 + 2i.
Nhận xét:
Trong tất cả các đoạn thẳng kẻ từ điểm O đến đường thẳng d, đoạn vuông góc OM ngắn nhất.
Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn |z + 3| + |z – 3| = 10. Giá trị nhỏ nhất của |z| là
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Cách 1:
Gọi F1(–1; 0), F2(3; 0), có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z.
Theo công thức trung tuyến thì 
Ta có 
Đẳng thức xảy ra khi 
Khi z = 4i hoặc z = –4i
Cách 2:
Gọi F1(–3; 0), F2(3; 0), M(x, y); (x, y ∈ ℝ) lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức –3; 3; z.
Ta có F1F2 = 2c = 6 ⇒ c = 3.
Theo giả thiết ta có MF1 + MF2 = 10, tập hợp điểm M là đường elip có trục lớn 2a = 10 ⇒ a = 5; trục bé 
Mặt khác OM = |z| nhỏ nhất bằng 4 khi z = 4i hoặc z = –4i
Vậy giá trị nhỏ nhất của |z| bằng 4.
Nhận xét:
+) Với mọi số thực a, b ta có bất đẳng thức 
+) Với mọi điểm M nằm trên elip đoạn OM ngắn nhất là đoạn nối O với giao điểm của trục bé với elip.
Câu 4. Xét số phức z thỏa mãn 4|z + i| + 3|z – i| = 10. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z| là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Gọi A(0; –1), B(0; 1) đoạn thẳng AB có trung điểm O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z.
Theo công thức trung tuyến 
Theo giả thiết 4MA + 3MB = 10. Đặt 
Khi đó
Ta có 
Do 
Dạng 10. Phương pháp đại số trong cực trị số phức
Phương pháp giải
Các bất đẳng thức thường dùng
Cho các số phức z1, z2 ta có:
a) |z1| + |z2| ≥ |z1 + z2| (1)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
b) |z1 + z2| ≥ ||z1| − |z2|| (2)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
Cho các số thực a, b, x, y ta có 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho số phức z = a + (a −3)i, (a ∈ ℝ). Giá trị của a để khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức z đến gốc tọa độ là nhỏ nhất bằng
A. 
B. 
C. a = 1
D. a = 2
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Đẳng thức xảy ra khi 
. Hay 
Câu 2. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z – 2 – 4i| = |z – 2i|, số phức z có môđun nhỏ nhất là
A. z = 1 + 2i
B. z = −1 – I
C. z = 2 + 2i
D. z = −1 + i
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Gọi z = a + bi (a, b ∈ ℝ)
Suy ra 
Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn 
, biết 
đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của |z| bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Gọi z = a + bi (z ≠ 2i) (a, b ∈ ℝ)
Suy ra 
Vậy 
Câu 4. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 – z2 = 3 + 4i và |z1 + z2| = 5. Giá trị lớn nhất của biểu thức |z1| +|z2| là
A. 5
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Ta có 2(|z1|2 + |z2|2) = |z1 + z2|2 + |z1 – z2|2 = 52 + 32+ 42 = 50
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có:
Gọi z1 = x + yi, z2= z + bi; x, y, a, b ∈ ℝ
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
và 
. Hay 
Thay z1, z2 vào giả thiết thỏa mãn
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức |z1| +|z2| bằng
Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz.
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = |1 + z| + 3|1 – z| bằng
A. 
C. 
B. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta có 
Đẳng thức xảy ra khi
Vậy 
Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz.
Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn |z – 1 + 2i| = 2. Giá trị lớn nhất của |z + 3 – i| bằng
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Ta có |z + 3 – i| = |( z – 1 + 2i) + (4 – 3i) ≤ |z – 1 + 2i| + |4 – 3i| = 7
Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy giá trị lớn nhất của |z + 3 – i| bằng 7.
Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức |z1| + |z2| ≥ |z1 + z2|.
Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn |z – 3 + 4i| = 4. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun số phức z. Giá trị của M. m bằng
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta có: |z| = |(z – 3 + 4i) + (3 −4i)| ≤ |z – 3 + 4i| + |3 −4i| = 4 + 5 = 9 = M
Đẳng thức xảy ra khi 
Mặt khác |z| = |(z – 3 + 4i) + (3 −4i)| ≥ ||z – 3 +4i| − |3 −4i|| = |4 – 5| = 1 = m.
Đẳng thức xảy ra khi 
Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức.
|z1| + |z2| ≥ |z1 +z2| và ||z1| − |z2|| ≤ |z1 – z2|.
Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn |z2 + 4| = |z(z + 2i)|. Giá trị nhỏ nhất của |z + i| bằng
A. 2
B. 
C. 1
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Ta có: |z2 + 4| = |z (z + 2i)| ⇔ |(z + 2i)(z – 2i)| = |z (z + 2i)|
⇔ |z + 2i|.|z – 2i| = |z|.|z + 2i|
Do đó 
Chú ý: Với mọi số phức z1, z2: |z1.z2| = |z1|.|z2|.
Câu 9. Tìm số phức z thỏa mãn 
là số thực và |z| đặt giá trị nhỏ nhất
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Gọi z = a + bi; a,b ∈ ℝ.
Ta có: 
Do đó là số thực ⇔ 2a+ b – 2 = 0 ⇔ b = 2 – 2a
Khi đó 
Đẳng thức xảy ra khi 
. Vậy
Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = |z + i| + |z – 2 – i|.
A. maxT = 
B. maxT = 4
C. maxT = 
D. maxT = 8
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Đặt z = x + yi (x, y ∈ ℝ), ta có
Lại có:
Kết hợp với (*) ta được:
Đặt T = x + y, khi đó 
với t ∈ [–1; 3]
Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số
Ta có 
Mà 
Vậy max f(t) = f(1) = 4.
Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có
Đẳng thức xảy ra khi t = 1
Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z + 1| + |z2 + z + 1|. Khi đó giá trị của M + m bằng
A. 5
B. 6
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Đặt z = a + bi (a, b ∈ ℝ) và t = |z + 1|. Khi đó
Ta có:
(với 0 ≤ t ≤ 2, do a2 ≤ 1).
Xét hàm số f (t) = t + |t2 – 1| với t ∈ [0; 2]
Trường hợp 1: 
Và có f (0) = f (1) = 1 nên 
Trường hợp 2:
t ∈ [1; 2] ⇒ f(t) = t + t2 – 1 = t2 + t – 1, f ’(t) = 2t + 1 > 0, ∀ t ∈ [1; 2]
Do đó hàm số luôn đồng biến trên [1; 2] ⇒ 
Vậy 
.
