Ở bài viết này, VerbaLearn sẽ tổng hợp toàn bộ lý thuyết và 3 dạng bài tập cơ bản chủ đề hai đường thẳng vuông góc trong không gian.
Lý thuyết hai đường thẳng vuông góc trong không gian
1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Trong không gian, cho 
và 
là hai vectơ khác vectơ – không. Lấy một điểm A bất kì, gọi B, C là hai điểm sao cho 
. Khi đó, ta gọi 
là góc giữa hai vectơ và , kí hiệu 
.
Trong không gian, cho và là hai vectơ khác vectơ – không. Tích vô hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu là 
, và được tính bởi công thức
Trong trường 
hoặc 
, ta quy ước 
.
2. Góc giữa hai đường thẳng
Định nghĩa 1
Vectơ 
khác vectơ – không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng d.
Chú ý:
1) Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ 
với k ≠ 0 cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
2) Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương của nó.
3) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.
Định nghĩa 2
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.
Chú ý:
1) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
2) Nếu và lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b, đồng thời 
thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng α nếu 0° ≤ α ≤ 90° và bằng 180° − α nếu 90° < α ≤ 180°.
3) Nếu a và b là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°.
3. Hai đường thẳng vuông góc với nhau
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°. Gọi 
lần lượt là hai vectơ chỉ phương của đường thẳng a và b. Ta nói a vuông góc với b trong không gian khi: 
.
Dạng 1. Xác định góc giữa hai vectơ
Phương pháp giải
Ta xác định một điểm cho trước trên hình làm điểm gốc và dời các vectơ cần tính góc về điểm gốc đó.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây:
1) 
và 
2) 
và 
Lời giải
1) Dựng 
. Ta có:
2) Dựng 
. Ta có:
Câu 2. Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính góc giữa hai vectơ 
và 
.
Lời giải
Gọi α là góc giữa hai vectơ và , ta có:
Có: 
Mặt khác ta có:
Vậy: 
Cách khác: Gọi N là trung điểm của AC, ta dễ dàng chứng minh được ∆SMN đều.
Có 
Dạng 2. Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Phương pháp giải
Ta thường có hai phương pháp để giải quyết cho dạng toán này.
+) Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng, kết hợp sử dụng hệ thức lượng trong tam giác (định lý cos, công thức trung tuyến).
+) Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hương của hai vectơ.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây
1) AB và A’D’
2) AD và A’C’
3) BC’ và B’D’
Lời giải
1) Ta có A’D’ // AD nên
2) Ta có A’C’ // AC nên
3) Ta có B’D’ // BD nên
Ta có 
nên ∆BDC’ đều, suy ra 
Vậy (BC’, B’D’ ) = 60°.
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = 
và BC = 2a. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và SB.
Lời giải
Ta có SAB và SAC là tam giác đều, ABC và SBC là tam giác vuông cân cạnh huyền BC.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, AB, BC.
Ta có MN // SB, NP // AC nên (AC, SB) = (NP, MN).
Nên ∆SAP vuông cân tại P
⇒ 
Vậy ∆MNP đều
⇒ 
Cách khác:
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh là 2a, tam giác SBC vuông cân tại S, SA = 2a.
1) Tính góc giữa hai đường thẳng SB và AC.
2) Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Tính góc tạo bởi AG và SC.
Lời giải.
1) Gọi M, N, P là trung điểm của SA, AB, BC
Ta có MN // SB, NP // AC nên (SB, AC) = (MN, NP).
∆ABC đều nên 
∆SBC vuông cân tại S nên 
Mặt khác có 
nên ∆SAP vuông tại P.
2) Ta có:
Có 
Câu 4. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho BM = 3AM. Tính góc tạo bởi hai đường thẳng CM và BD.
Lời giải.
Kẻ MN // BD, N ∈ AD, ta có (CM, BD) = (CM, MN).
Do ABCD là tứ diện đều nên ta có:
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, các tam giác SAB và SAD cùng vuông góc tại A. Biết rằng 
, gọi M là trung điểm của cạnh SB.
1) Tính góc tạo bởi hai vectơ 
và 
.
2) Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AM và SC.
Lời giải.
1) Có:
Do ABCD là hình vuông nên
Vậy:
2) ∆SAB vuông tại A nên
Có: 
Nên: 
Câu 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh B’C’ sao cho B’N = 2C’N. Tính cos của góc tạo bởi hai đường thẳng DM và AN.
Lời giải.
Ta có:
Vậy 
nên:
Có:
Dạng 3. Sử dụng tính chất vuông góc trong mặt phẳng.
Phương pháp giải
Để chứng minh hai đường thẳng ∆ và ∆’ vuông góc với nhau ta có thể sử dụng tính chất vuông góc trong mặt phẳng, cụ thể:
+) Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi 
+) Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi AB2 + AC2 = BC2.
+) Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi trung tuyến xuất phát từ A có độ dài bằng nửa cạnh BC.
+) Nếu tam giác ABC cân tại A thì đường trung tuyến xuất phát từ A cũng là đường cao của tam giác.
Ngoài ra, chúng ta cũng sử dụng tính chất: Nếu d ⊥ ∆ và ∆’ // d thì ∆’ cũng vuông góc với đường thẳng ∆.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD, 
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AB và CD.
Lời giải.
Từ giả thiết suy ra các tam giác ABC, ABD đều nên DM = CM, do đó ∆MCD cân tại M.
Từ đó suy ra MN ⊥ CD.
Mặt khác ∆BCD = ∆ACD nên BN = AN, do đó ∆NAB cân tại N.
Từ đó suy ra NM ⊥ AB.
Vậy MN là đường vuông góc chung của AB và CD.
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có 
. Cho H là trung điểm AC. Chứng minh rằng:
1) SH ⊥ AC.
2) AB ⊥ BC.
Lời giải
1) Do tam giác SAC cân tại S và H là trung điểm AC nên SH ⊥ AC.
2) Do SA = SB = a và 
nên ∆SAB đều.
Từ đó suy ra: AB = a (1)
Áp dụng định lý hàm số cos cho các tam giác SAC ta có:
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác SBC
Ta có BC2 = SB2 + SC2 = 2a2 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra AC2 = AB2 + BC2 ⇒ AB ⊥ BC.
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Chứng minh rằng SA ⊥ SC.
Lời giải
Ta có ABCD là hình thoi, gọi O là giao điểm của AC và BD
Suy ra O là trung điểm của AC, BD.
Xét các tam giác SBD và CBD, ta có:
Từ đó suy ra 
Vậy tam giác SAC vuông tại S hay SA ⊥ SC.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và SA = SB = SC = SD. Chứng minh rằng SO ⊥ AB và SO ⊥ AD.
Lời giải.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Do ∆SAB = ∆SCD nên ta suy ra SM = SN.
Xét tam giác cân SMN có O là trung điểm MN, suy ra SO ⊥ MN.
Mặt khác AD // MN nên AD ⊥ SO.
Tương tự ta chứng minh được AB ⊥ SO.
Câu 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có M, N lần lượt là trung điểm BC, C’D’. Chứng minh rằng AM ⊥ B’N.
Lời giải.
Gọi K là trung điểm CD, khi đó BK // B’N. Ta sẽ chứng minh BK ⊥ AM.
Gọi I là giao điểm của BK và AM. Do ∆ABM = ∆BCK nên:
Do đó BK ⊥ AM tại I.
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và có tất cả các cạnh đều bằng a. Cho M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD, chứng minh rằng MN ⊥ SC.
Lời giải.
Từ giả thiết ta có:
Mặt khác MN // SA ⇒ MN ⊥ SC.
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều và 
. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng SH ⊥ AK.
Lời giải.
Ta có: AK // HC, do đó chỉ cần chứng minh SH ⊥ HC.
Do ∆SAB đều cạnh 2a nên:
Ta có: HC2 = HB2 + BC2 = a2 + 4a2 = 5a2.
Từ đó suy ra: SH2 + HC2 = 3a2 + 5a2 = 8a2 = SC2.
Theo định lý Pitago ta có SH ⊥ HC.
Câu 8. Cho tứ diện ABCD có AB = x, tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a. K là trung điểm AB và I là điểm bất kì trên cạnh CD, chứng minh rằng IK ⊥ AB.
Lời giải.
Xét các tam giác ACI và BCI, ta có:
Từ đó suy ra: ∆ACI = ∆BCI ⇒ IB = IC.
Xét tam giác cân IAB, ta có K là trung điểm AB nên IK ⊥ AB.
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 2a, AB = BC = a. SA ⊥ AD và SA ⊥ AC. Chứng minh rằng SC ⊥ DC.
Lời giải.
Gọi I là trung điểm AD ⇒ ABCI là hình vuông cạnh a, do đó ∆CID vuông cân tại I. Từ đó ta có CD2 = 2a 2. (1)
Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác SAC, SAD ta có:
SD2 = SA2 + AD2 = SA2 + 4a2 (2)
SC2 = SA2 + AC2 = SA2 + 2a2 (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra
SD2 = SC2 + CD2 ⇒ SC ⊥ CD.
Dạng 4. Hai đường thẳng song song cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba
Phương pháp giải
Để chứng minh đường thẳng a ⊥ b, ta chứng minh a // a’ , ở đó a’⊥ b.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có AB = AC. Lấy M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SB và SC. Chứng minh rằng AM vuông góc với NP.
Lời giải
Do N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC nên NP là đường trung bình của tam giác SBC, từ đó suy ra NP // BC (1)
Mặt khác, do tam giác ABC cân tại A, suy ra trung tuyến AM ⊥ BC (2)
Từ (1), (2) suy ra AM ⊥ NP.
Câu 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều. Lấy M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với B’C’.
Lời giải
Do tứ giác BB’C’C là hình bình hành nên BC // B’C’ (1)
Mặt khác, do tam giác ABC đều nên AM ⊥ BC (2)
Từ (1), (2) suy ra AM ⊥ B’C’.
Câu 3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Trên cạnh B’C’ lấy điểm P sao cho C’P = x (0 < x < a). Trên cạnh C’D’ lấy điểm Q sao cho C’Q = x. Chứng minh rằng MN vuông góc với PQ.
Lời giải.
Do tứ giác BB’D’D là hình chữ nhật, suy ra BD // B’D’ (1)
Do ABCD là hình vuông, suy ra BD ⊥ AC (2)
Từ (1) (2) suy ra B’D’⊥ AC (3)
Theo bài ra ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN // AC (4)
Mặt khác, ta có 
, suy ra PQ // B’D’ (5)
Từ (3), (4), (5) ta có MN ⊥ PQ.
Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm hai đáy. Chứng minh rằng GG’ vuông góc với BC.
Lời giải.
Dễ dàng chứng minh được GG’ // MM’ và MM’ ⊥ BC.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Câu 5. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, AD và AC. Chứng minh rằng MN vuông góc với PQ.
Lời giải.
Theo giả thiết ta có ∆ABC = ∆ABD
Từ đó ta có MC = MD, suy ra ∆MCD cân tại M, suy ra MN ⊥ CD (1)
Cũng theo giả thiết ta có PQ là đường trung bình của tam giác ACD, suy ra PQ // CD (2)
Từ (1) (2) suy ra điều phải chứng minh.
Câu 6. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a (a > 0). Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AD. Biết rằng 
. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD.
Lời giải.
Lấy P là trung điểm của AC.
Theo tính chất đường trung bình ta có 
và 
(*)
Từ đó ta có MP2 + NP2 = 2a2 = MN2
Vậy tam giác MNP vuông tại P suy ra MP ⊥ NP. (**)
Từ (*), (**) ta có AB ⊥ CD.
Câu 7. Cho tứ diện ABCD, có AB = CD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, M thuộc cạnh AC sao cho AC = 3AM, các điểm N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Chứng minh rằng MG vuông góc với NP.
Lời giải.
Lấy E, F lần lượt là trung điểm của AC, BD.
Ta có 
, suy ra MG // EF (1)
Mặt khác theo tính chất đường trung bình ta có
Từ đó suy ra tứ giác ENFP là hình thoi, suy ra EF ⊥ NP (2)
Từ (1) và (2) suy ra MG ⊥ NP.
