Hệ thức lượng trong tam giác bao gồm định lý cosin, định lý sin, công thức tính đường trung tuyến, công thức tính diện tích, công thức hê rông và các hệ quả đi kèm. Việc nắm vững các công thức hệ thức lượng giúp tìm chính xác độ dài, diện tích hoặc yếu tố nào đó của tam giác nhanh chóng hơn.
![Hệ thức lượng trong tam giác](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/03/he-thuc-luong-trong-tam-giac.png)
Hệ thức lượng trong tam giác
[content_1]Cho tam giác ABC, BC = a, CA = b, Ab = c, S là diện tích tam giác. Giả sử ha, hb, hc lần lượt là độ dài các đường cao đi qua ba đỉnh A, B, C; ma, mb, mc lần lượt là các đường trung tuyến đi qua ba đỉnh A, B, C. R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Ta có kết quả sau đây:
Định lí cosin
a2 = b2 + c2 – 2bc.cos A
b2 = c2 + a2 – 2ca.cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab.cos C
⟹ Hệ quả của định lí cosin
Định lí sin
Công thức diện tích
–
–
–
– với
Công thức Hê – Rông
Công thức trung tuyến
Phân dạng bài tập
[content_2]Dạng 1. Giải tam giác
Phương pháp
Đề bài yêu cầu: Tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác.
Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin, các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho tam giác có ABC có AB = 4, AC = 6, . Tính độ dài cạnh BC.
Hướng dẫn giải
Câu 2. Cho tam giác ABC có a = 7; b = 8; c = 5. Tính
Hướng dẫn giải
Câu 3. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là AB = 2, BC = 5, CA = 6. Tính độ dài đường trung tuyến MA, với M là trung điểm của BC.
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tình độ dài trung tuyến ta có:
Câu 4. Tam giác ABC vuông tại A có AC = 6cm, BC = 10cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Do tam giác ABC vuông tại A có AC = 6cm, BC = 10cm nên
Diện tích tam giác ABC là
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là
Câu 5. Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, cos A = . Tính độ dài đường cao ha của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Theo định lí hàm cos ta có:
Ta lại có:
Diện tích tam giác ABC là:
Vì nên
Vậy
Câu 6. Cho ΔABC có BC = a, . Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Theo định lý sin trong tam giác ta có:
⟹ Chọn D.
Câu 7. Tam giác ABC có a = 8, c = 3, . Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu?
A. 49
B. 97
C. 7
D. 61
Hướng dẫn giải
b2 = c2 + a2 – 2ca.cos B
= 82 + 32 – 2.8.3.cos 60° = 49
⇒ b = 7
⟹ Chọn C.
Câu 8. Cho ΔABC có a = 4, c = 5, . Tính diện tích tam giác ABC.
A. S = 10
B. S =15
C. S = 5
D. S = 20
Hướng dẫn giải
Diện tích tam giác ABC là
⟹ Chọn C.
Câu 9. Một tam giác có ba cạnh là 52, 56, 60. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là
A. 65,4
B. 40
C. 32,5
D. 65,8
Hướng dẫn giải
Ta có:
Áp dụng hệ thức Hê – rông ta có:
Mặt khác:
⟹ Chọn C.
Câu 10. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 60°. Biết CA = 200 (m), CB =180 (m). Khoảng cách AB bằng bao nhiêu?
A. 228 (m).
B. (m)
C. 112 (m).
D. 168 (m).
Hướng dẫn giải
AB2 = CA2 + CB2 – 2CA.CB.cos 60° = 36400
⇒ AB = (m).
⟹ Chọn B.
Câu 11. Tam giác ABC có góc A nhọn, AB = 5, AC = 8, diện tích bằng 12. Tính độ dài cạnh BC.
A. 2
B. 4
C. 5
D. 3
Hướng dẫn giải
Ta có:
⟹ Chọn C.
Câu 12. Tam giác ABC có AB = 4, AC = 6 và trung tuyến BM = 3. Tính độ dài cạnh BC.
A.
B.
C. 4
D. 8
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B.
Câu 13. Tam giác ABC có AB = 4, AC =10 và đường trung tuyến AM = 6. Tính độ dài cạnh BC.
A. 6
B. 5
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
⟹ Chọn D.
Câu 14. Tam giác ABC có . Tính cạnh AB.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
⟹ Chọn B.
Câu 15. Tam giác ABC có . Tính cạnh AC.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
⟹ Chọn A.
Câu 16. Tam giác ABC có các góc . Tính tỉ số
.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
⟹ Chọn C.
Câu 17. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB = c và cos (A + B) = .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Do đó:
⟹ Chọn B.
Câu 18. Tam giác ABC có các góc . Tính tỉ số
.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
⟹ Chọn A.
Câu 19. Tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, BC = 6. Tính cos (B + C).
A. 0,125
B. –0,25
C. –0,125
D. 0,75
Hướng dẫn giải
Ta có: c = AB = 4, b = AC = 5, a = BC = 6.
Để ý
⟹ Chọn C.
Câu 20. Tam giác có ba cạnh lần lượt là 2, 3, 4. Góc bé nhất của tam giác có sin bằng bao nhiêu?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Góc bé nhất ứng với cạnh có số đo bé nhất.
Giả sử: a = 2, b = 3, c = 4.
Ta có:
Do đó:
⟹ Chọn A.
Câu 21. Tam giác có ba cạnh lần lượt là 3, 8, 9. Góc lớn nhất của tam giác có cosin bằng bao nhiêu?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Góc lớn nhất tương ứng với cạnh lớn nhất:
⟹ Chọn B.
Câu 22. Hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là trung điểm cạnh BC, F là trung điểm cạnh AE. Tìm độ dài đoạn thẳng DF.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Dùng công thức độ dài trung tuyến:
⟹ Chọn A.
Câu 23. Tam giác ABC có BC =12, CA = 9, AB = 6. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 4. Tính độ dài đoạn thẳng AM
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D.
Câu 24. Tam giác ABC vuông tại A có AB = AC = a. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho . Độ dài AM bằng bao nhiêu?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B.
Câu 25. Tam giác ABC cos (A + B) = , AC = 4, BC = 5. Tính cạnh AB.
A. 3
B. 9
C. 11
D. 6
Hướng dẫn giải
Vì trong tam giác ABC ta có A + B bù với góc C nên
⟹ Chọn D.
Câu 26. Tam giác ABC có AB = 7, AC = 5 và cos (B + C) = . Tính BC.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Vì trong tam giác ABC ta có B + C bù với góc A nên
⟹ Chọn A.
Câu 27. Tam giác ABC có BC = , AC = 3 và cot C = 2. Tính cạnh AB.
A. 6
B.
C. 9
D.
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết cot C = 2, ta suy ra C là góc nhọn
⟹ Chọn B.
Câu 28. Tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và tan A = . Tính cạnh BC.
A.
B.
C.
D. 7
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết tan A = , ta suy ra A là góc tù
⟹ Chọn C.
Câu 29. Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, cạnh CA = b. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng:
A. 60°
B. 90°
C. 150°
D. 120°
Hướng dẫn giải
Diện tích của tam giác ABC là
S lớn nhất khi sin C lớn nhất, hay
⟹ Chọn B.
Câu 30. Cho tam giác MPQ vuông tại P. Trên cạnh MQ lấy hai điểm E F, sao cho các góc bằng nhau. Đặt MP = q, PQ = m, PE = x, PF = y. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?
A. ME = EF = FQ
B. ME2 = q2 + x2 – xq
C. MF2 = q2 + y2 – yq
D. MQ2 = q2 + m2 – 2qm
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết, suy ra:
Tam giác MPF có:
⟹ Chọn C.
Câu 31. Tính góc C của tam giác ABC biết a ≠ b và a(a2 – c2) = b(b2 – c2).
A. C = 150°
B. C = 120°
C. C = 60°
D. C = 30°
Hướng dẫn giải
Ta có:
Do đó: C = 120°
⟹ Chọn B.
Câu 32. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB = 12 và cot (A + B) = .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có: cot (A + B) = nên cot C =
, suy ra: 3cos C = –sin C
Mà
⟹ Chọn A.
Câu 33. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB = 10 và tan (A + B) = .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có: tan (A + B) = nên tan C =
, suy ra: 3sin C = –cos C
Mà
⟹ Chọn D.
Câu 34. Tam giác ABC có .Tính cạnh BC. cos 4
A. 7
B. 5
C. 3
D. 2
Hướng dẫn giải
Do đó:
⟹ Chọn B.
Câu 35. Cho tam giác cân ABC có và AB = AC = a. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho
. Tính độ dài AM
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C.
Dạng 2. Hệ thức liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác, nhận dạng tam giác
[content_3]Phương pháp giải
Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin, các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho tam giác ABC thỏa . Tam giác ABC là tam giác gì?
Hướng dẫn giải
Ta có:
Tam giác ABC cân tại A.
Câu 2. Chứng minh trong tam giác ABC ta có: ha = 2R.sin B.sin C
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có:
Do đó: ha = 2R.sin B.sin C ⇔ ha = b.sin C ( đúng)
Câu 3. Cho tam giác ABC. Chứng minh S =R.r (sin A + sin B + sin C)
Hướng dẫn giải
Ta có:
Câu 4. Cho tam giác ABC thỏa . Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vì tam giác ABC cân có 1 góc bằng 60° nên tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 5. Chứng minh trong tam giác ABC ta có: sin B.cos C + sin C.cos B = sin A
Hướng dẫn giải
Câu 6. Cho tam giác ABC, chọn công thức đúng trong các đáp án sau:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Theo công thức đường trung tuyến ta có:
⟹ Chọn C.
Câu 7. Trong tam giác ABC, câu nào sau đây đúng?
A. a2 = b2 + c2 + 2bc.cos A
B. a2 = b2 + c2 – 2bc.cos A
C. a2 = b2 + c2 + bc.cos A
D. a2 = b2 + c2 – bc.cos A
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí hàm số cos tại đỉnh A ta có:
a2 = b2 + c2 – 2bc.cos A
⟹ Chọn B.
Câu 8. Nếu tam giác ABC có a2 < b2 + c2 thì:
A. là góc tù
B. là góc vuông
C. là góc nhọn
D. là góc nhỏ nhất
Hướng dẫn giải
Ta có:
Do a2 < b2 + c2 nên cos A > 0
⟹ Chọn C.
Câu 9. Tam giác ABC có ba cạnh thoả mãn điều kiện (a + b + c)(a + b – c) = 3ab. Khi đó số đo của là:
A. 120°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
Hướng dẫn giải
Ta có: (a + b + c)(a + b – c) = 3ab
⇔ (a + b)2 – c2 = 3ab
⇔ a2 + b2 – c2 = ab.
Theo hệ quả của định lí hàm cosin:
⟹ Chọn D.
Câu 10. Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Sử dụng công thức trung tuyến, ta có:
⟹ Chọn D.
Câu 11. Cho tam giác ABC thỏa mãn c = a.cos B. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tam giác ABC là tam giác cân
B. Tam giác ABC là tam giác nhọn
C. Tam giác ABC là tam giác vuông
D. Tam giác ABC là tam giác tù
Hướng dẫn giải
Ta có:
Theo định lí pi-ta-go tam giác ABC vuông tại A.
⟹ Chọn C.
Câu 12. Diện tích S của tam giác sẽ thỏa mãn hệ thức nào trong hai hệ thức sau đây?
I) S2 = p(p – a)(p – b)(p – c)
II) 16S2 = (a + b + c)(a + b – c)(a – b + c)( –a + b + c)
A. Chỉ I
B. Chỉ II
C. Cả I và II
D. Không có
Hướng dẫn giải
Ta có: I) đúng vì là công thức Hê-rông tính diện tích tam giác.
Khi đó:
Do đó II) đúng
⟹ Chọn C.
Câu 13. Cho tam giác ABC, các đường cao ha, hb, hc thỏa mãn hệ thức 3ha = 2hb + hc. Tìm hệ thức giữa a, b, c.
A.
B. 3a = 2b + c
C. 3a = 2b – c
D.
Hướng dẫn giải
Kí hiệu S = S∆ABC
Ta có:
⟹ Chọn D.
Câu 14. Trong tam giác ABC, hệ thức nào sau đây sai?
A.
B.
C. a = 2R.sin A
D. b = R.tan B
Hướng dẫn giải
Theo định lí hàm số sin ta có:
Suy ra:
⟹ Chọn D.
Câu 15. Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức b + c = 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. cos B + cos C = 2cos A
B. sin B + sin C = 2sin A
C. sin B + sin C = sin A
D. sin B + cos C = 2sin A
Hướng dẫn giải
Ta có:
Mà: b + c = 2a
⇔ 2R.sin B + 2R.sin C = 4R.sin A
⇔ sin B + sin C = 2sin A
⟹ Chọn B.
Câu 16. Tam giác ABC có thì câu nào sau đây đúng?
A. a2 = b2 + c2 – 3bc
B. a2 = b2 + c2 + bc
C. a2 = b2 + c2 +3bc
D. a2 = b2 + c2 – bc
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí hàm số cos tại đỉnh A ta có:
a2 = b2 + c2 – 2bc.cos A
⇒ a2 = b2 + c2 – 2bc.cos120°
⇒ a2 = b2 + c2 + bc
⟹ Chọn B.
Câu 17. Trong tam giác ABC, điều kiện để hai trung tuyến vẽ từ A và B vuông góc với nhau là:
A. 2a2 = 2b2 + 5c2
B. 3a2 = 3b2 + 5c2
C. 2a2 = 2b2 + 3c2
D. a2 = b2 + 5c2
Hướng dẫn giải
Vì hai trung tuyến vẽ từ A và B vuông góc với nhau nên ∆ABG vuông tại G với G là trọng tâm tam giác ABC.
Khi đó:
⟹ Chọn D.
Câu 18. Trong tam giác ABC, nếu có a2 = bc thì:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
⟹ Chọn B.
Câu 19. Trong tam giác ABC, nếu có 2ha = hb + hc thì:
A.
B. 2sin A = sin B + sin C
C. sin A = 2sin B + 2sin C
D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
⟹ Chọn A.
Câu 20. Trong tam giác ABC, câu nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vì
⟹ Chọn C.
Câu 21. Tam giác ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + b + c)(a + b – c) = 3ab. Tính số đo của góc C.
A. 45°
B. 60°
C. 120°
D. 30°
Hướng dẫn giải
Ta có: (a + b + c)(a + b – c) = 3ab
⇔ (a + b)2 – c2 = 3ab
⇔ a2 + b2 – c2 = ab
Mà:
⟹ Chọn B.
Câu 22. Cho tam giác ABC, xét các bất đẳng thức sau:
I) |a – b| < c
II) a < b + c
III) ma + mb + mc < a + b + c
Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?
A. Chỉ I, II
B. Chỉ II, III
C. Chỉ I, III
D. Cả I, II, III
Hướng dẫn giải
Ta có: I) và II) đúng vì đây là bất đẳng thức tam giác
Ta có:
Vì
Tương tự ta có:
Do đó: ma + mb + mc < a + b + c
Vậy III) Đúng.
⟹ Chọn D.
Câu 23. Tam giác ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện . Tính số đo của góc A.
A. 45°
B. 60°
C. 120°
D. 30°
Hướng dẫn giải
Ta có:
Mà
⟹ Chọn D.
Câu 24. Tam giác ABC, a.cos B = b.cos A. Tam giác ABC là tam giác gì?
A .Tam giác vuông
B. Tam giác đều
C. Tam giác vuông cân
D. Tam giác cân
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy tam giác ABC cân.
⟹ Chọn D.
Câu 25. Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = b, AB = c. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho góc . Tính tỉ số
.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Do đó:
⟹ Chọn B.
Câu 26. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu a2 > b2 + c2 thì A là góc tù
B. Nếu tam giác ABC có một góc tù thì a2 > b2 + c2
C. Nếu a2 < b2 + c2 thì A là góc nhọn
D. Nếu a2 = b2 + c2 thì A là góc vuông
Hướng dẫn giải
Ta có:
Do đó:
– a2 > b2 + c2 thì cos A < 0 do đó A là góc tù nên A đúng
– a2 < b2 + c2 thì cos A > 0 do đó A là góc nhọn nên C đúng
– a2 = b2 + c2 thì cos A = 0 do đó A là góc vuông nên D đúng
– Nếu tam giác ABC có góc B tù thì b2 > a2 + c2; nếu góc C tù thì c2 > a2 + b2 do đó B sai
⟹ Chọn B.
Dạng 3: Ứng dụng hệ thức lượng trong thực tế
[content_4]Phương pháp giải
Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin, các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 60°. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30 km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ 40 km/h. Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km ?
Hướng dẫn giải
Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: S1 = 30 × 2 = 60 km
Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: S2 = 40 × 2 = 80 km
Vậy sau 2h hai tàu cách nhau là:
Câu 2. Từ một đỉnh tháp chiều cao CD = 80m, người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các góc nhìn là 72°12′ và 34°26′ so với phương nằm ngang. Ba điểm A, B, D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB (chính xác đến hàng đơn vị)?
Hướng dẫn giải
Trong tam giác vuông CDA:
Trong tam giác vuông CDB:
Suy ra khoảng cách AB = 116,7 – 25,7 = 91m
Câu 3. Cho tam giác ABC có a = 13, b = 8, c = 7. Tính góc A, suy ra S, ha, R, r, ma.
Hướng dẫn giải
Câu 4. Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và cos A = . Tính cạnh BC, và độ dài đường cao kẻ từ A.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí cosin ta có:
Vì sin2 A + cos2 A = 1 nên
Theo công thức tính diện tích ta có:
Mặt khác:
Từ (1) và (2) suy ra:
Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là
Câu 5. Cho tam giác ABC có AB = 10, AC = 4 và .
a) Tính chu vi của tam giác
b) Tính tan C
Hướng dẫn giải
a) Theo định lí cosin ta có:
BC2 = 102 + 42 – 2.10.4.cos 60° = 76
⇒ BC ≈ 8,72
Suy ra chu vi tam giác là:
2p ≈ 10 + 4 + 8,72 = 22,72
b)
Kẻ đường cao BH ta có:
AH = AB.cos 60° = 5
⇒ HC = 5 – 4 = 1
BH = AB.sin 60° =
Vậy
Câu 6. Giải tam giác ABC biết .
Hướng dẫn giải
Ta có:
Theo định lí sin ta có:
Câu 7. Giải tam giác ABC, biết:
Hướng dẫn giải
Ta có:
Suy ra tam giác ABC cận tại A ⇒ b = c = 4,5
Theo định lí sin ta có:
Câu 8. Cho tam giác ABC cân tại A biết . Tính R, r, cạnh c, b, suy ra S.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí sin:
Câu 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính bằng 3, biết . Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Theo định lí sin ta có:
Theo công thức đường trung tuyến ta có:
Theo công thức tính diện tích tam giác ta có:
Câu 10. Cho tam giác ABC thỏa mãn sin2 A = sin B.sin C. Chứng minh rằng
a) a2 = bc
b)
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng định lí sin ta có:
Suy ra:
b) Áp dụng định lí cosin và câu a) ta có:
Câu 11. Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và trung tuyến AM = AB = c chứng minh rằng:
a) a2 = 2(b2 – c2)
b) sin2 A = 2(sin2 B – sin2 C)
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng công thức đường trung tuyến
Ta có:
b) Theo định lí sin ta có:
Thay vào (*) ta có đpcm
Câu 12. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là b2 + c2 = 5a2.
Hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Khi đó hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau khi và chỉ khi tam giác GBC vuông tại G
Mặt khác theo công thức đường trung tuyến ta có:
Suy ra:
Câu 13. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
a) a = b.cos C + c.cos B
b) sin A = sin B.cos C + sin C.cos B
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng định lí cosin ta có:
b)
Câu 14. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: ha = 2R.sin B.sin C
Hướng dẫn giải
Câu 15. Tìm tính chất đặc biệt của tam giác ABC biết: 2a.cos A = b.cos C + c.cos B
Hướng dẫn giải
Yêu cầu bài toán tương đương với:
Câu 16. Nhận dạng tam giác ABC biết:
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí cosin ở (1) và thế vào (2)
Kết luận: Tam giác ABC đều.
Câu 17. Nhận dạng tam giác ABC biết: a.sin A + b.sin B + c.sin C = ha + hb + hc.
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức diện tích ta có:
Suy ra:
Vậy tam giác ABC đều.
Câu 18. Cho tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC cân nếu ha = c.sin A
Hướng dẫn giải
Sử dụng công thức (*) thay ha = c.sin A vào (*) được:
b.ha = a.ha ⇔ a = b
Suy ra tam giác ABC cân tại C.