Ước chung và ước chung lớn nhất
+) Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.
+) Số lớn nhất trong các ước chung của a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.
+) Ta kí hiệu: tập hợp các ước chung của a và b là: ƯC(a; b),
tập hợp các ước chung lớn nhất của a và b kí hiệu: ƯCLN (a; b).
Ví dụ: ƯC(30; 48) = {1; 2; 3; 6}, ƯCLN(30; 48) = 6
Chú ý: Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.
+) Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.
+) Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.
+) Cách tìm ƯCLN:
Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố
Bước 2: Chọn ra các thừa số chung
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn. mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Tìm ước chung lớn nhất của các số cho trước.
Phương pháp giải.
Cách 1. Để tìm ƯCLN của các số cho trước ta thực hiện quy tắc 3 bước phía trên.
Chú ý: a ⋮ b ⇒ ƯCLN(a; b) = b
a ∶ b dư r thì ƯCLN(a; b) = ƯCLN(b; r)
Cách 2. Sử dụng thuật toán Ơclit
Bước 1. Lấy số lớn chia số nhỏ. Giả sử a = bx + r
+) Nếu r ≠ 0 ta thực hiện bước 2
+) Nếu r = 0 thì ƯCLN(a; b) = b
Bước 2. Lấy số chia, chia cho số dư,
+) Nếu r1 ≠ 0 ta thực hiện bước 3
+) Nếu r1 = 0 thì ƯCLN(a; b) = b
Bước 3. Quá trình này được tiếp tục cho đến khi được một phép chia hết.
Bài toán.
Bài 1. Tìm ƯCLN của các số
a) ƯCLN(18; 30)
b) ƯCLN(24; 48)
c) ƯCLN(18; 30; 15)
d) ƯCLN(24; 48; 36)
Hướng dẫn giải
a) ƯCLN(18; 30)
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố
18 = 2⋅32; 30 = 2⋅3⋅5
Từ đó ƯCLN(18; 30) = 2⋅3 = 6
b) ƯCLN(24; 48)
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố
24 = 23⋅3; 48 = 24⋅3
Từ đó ƯCLN(24; 48) = 23⋅3 = 24
c) ƯCLN(18; 30; 15)
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố
18 = 2⋅32; 30 = 2⋅3⋅5; 15 = 3⋅5
Từ đó ƯCLN(18; 30; 15) = 3
d) ƯCLN(24; 48; 36)
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố
24 = 23⋅3; 48 = 24⋅3; 36 = 22⋅32
Từ đó ƯCLN(24; 48; 36) = 22⋅3 = 12
Bài 2. Sử dụng thuật toán Ơclit để tìm
a) ƯCLN(174; 18)
b) ƯCLN(124; 16)
Hướng dẫn giải
a) Ta thực hiện theo các bước:
Lấy 174 chia cho 18 ta được 174 = 9⋅8 + 12
Lấy 18 chia cho 12 ta được 118 = 1⋅12 + 6
Lấy 12 chia cho 6 ta được 12 = 2⋅6 + 0
Vậy ta được ƯCLN(174; 18) = 16
b) Ta thực hiện theo các bước:
Lấy 124 chia cho 16 ta được 124 = 7⋅16 + 12
Lấy 16 chia cho 12 ta được 16 = 1⋅12 + 4
Lấy 12 chia cho 4 ta được 12 = 3⋅4 + 0
Vậy ta được ƯCLN(124; 16) = 4
Dạng 2. Tìm các ước chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp giải.
Bước 1. Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước.
Bước 2. Tìm các ước của ƯCLN này.
Bước 3. Chọn trong số đó các ước thỏa mãn điều kiện đã cho.
Lưu ý: nếu không có điều kiện gì của bài toán thì ước chung của hai hay nhiều số là ƯCLN của các số đó.
Cách tìm ước chung thông qua ƯCLN
Bước 1. Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước.
Bước 2. Tìm các ước của ƯCLN này.
Bài toán.
Bài 1. Tìm các ước chung của 24 và 180 thông qua tìm ƯCLN
Hướng dẫn giải
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
24 = 23⋅3; 180 = 22⋅32⋅5
Từ đó ƯCLN(24; 180) = 22⋅3 = 12
Mà Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.
Vậy ƯC(24; 180) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Bài 2. Tìm số tự nhiên x thỏa mãn 90 ⋮ x ; 150 ⋮ x và 5 < x < 30
Hướng dẫn giải
Số tự nhiên thỏa mãn 90 ⋮ x ; 150 ⋮ x nên x ∈ ƯCLN(90; 150)
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
90 = 2⋅32⋅5; 150 = 2⋅3⋅52
Từ đó ƯCLN(90; 150) = 2⋅3⋅5 = 30
Mà Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
Vì 5 < x < 30 nên x ∈ {6; 10; 15}
Bài 3. Tìm số tự nhiên a, b biết ƯCLN(a; b) = 3 và a⋅b = 891.
Hướng dẫn giải
Ta có: ƯCLN(a; b) = 3 nên a = 3k, b = 3m và ƯCLN(k; m) = 1
Giả sử a > b ⇒ k > m.
Ta có: a⋅b = 891 ⇒ 3k⋅3m = 891 ⇒ k⋅m = 32⋅11
TH1: k = 11, m = 9 ⇒ a = 33, b = 27
TH2: k = 99, m = 1 ⇒ a = 297, b = 3
Bài 4. Tìm số tự nhiên n để biểu thức ![\[A = \frac{{15}}{{2n + 1}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2024/03/uoc-chung-lon-nhat-1.svg)
có giá trị là một số tự nhiên.
Hướng dẫn giải
Để A là một số tự nhiên thì 2n + 1 phải là ước của 15
Ta có: Ư(15) = {1; 3; 5; 15}.
Do đó:
+) Với 2n + 1 = 1 ⇒ n = 0, A = 15
+) Với 2n + 1 = 3 ⇒ n = 1, A = 5
+) Với 2n + 1 = 5 ⇒ n = 2, A = 3
+) Với 2n + 1 = 15 ⇒ n = 7, A = 1
Bài 5. Tìm số tự nhiên x, y
a) (x + 1)(y – 5) = 6
b) (2x + 1)(2y – 1) = 15
Hướng dẫn giải
a) (x + 1)(y – 5) = 6 = 2⋅3 = 3⋅2 = 6⋅1 = 1⋅6
Ta có bảng sau:
Vậy (x; y) = {(1; 8), (2; 7), (5; 6), (0; 11)}
b) (2x + 1)(2y – 1) = 15 = 1⋅15 = 3⋅5 = 5⋅3 = 15⋅1
Ta có bảng sau:
Vậy (x; y) = {(0; 8), (1; 3), (2; 2), (7; 1)}
Dạng 3. Bài toán có lời văn đưa về tìm ƯCLN
Phương pháp giải.
Bước 1: Phân tích đề bài; suy luận để đưa về việc tìm ƯCLN của hai hay nhiều số
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 bước để tìm ƯCLN đó
Bài toán.
Bài 1. Cô giáo chủ nhiệm muốn chia 24 quyển vở, 48 bút bi và 36 gói bánh thành một số phần thưởng như nhau để trao trong dịp sơ kết học kì. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng? Khi đó mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, bút bi và gói bánh.
Hướng dẫn giải
Gọi a là số phần thưởng để cô giáo chủ nhiệm trao trong dịp sơ kết học kì (a ∈ ℕ*; a < 24)
Để số phần thưởng là nhiều nhất thì a phải là số lớn nhất sao cho 24 ⋮ a; 48 ⋮ a; 36 ⋮ a
Tức là a = ƯCLN(24; 48; 36).
Ta có: 24 = 23⋅3; 48 = 24⋅3; 36 = 22⋅32
Từ đó ƯCLN(24; 48; 36) = 22⋅3 = 12 ⇒ a = 12
Vậy có thể chia được nhiều nhất 12 phần thưởng.
Trong đó có 2 quyển vở, 4 bút bi, 3 gói bánh.
Bài 2. Một hình chữ nhật có chiều dài 150 m và chiều rộng 90 m được chia thành các hình vuông có diện tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh hình vuông lớn nhất trong cách chia trên? (số đo cạnh là số tự nhiên với đơn vị là m)
Hướng dẫn giải
Để chia hình chữ nhật thành các hình vuông có diện tích bằng nhau thì độ dài mỗi cạnh hình vuông phải là ước chung của 150 và 90
Do đó độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là ƯCLN (90; 150) = 30
Vậy độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là 30 m
Dạng 4. Chứng minh hai hay nhiều số là các số nguyên tố cùng nhau.
Phương pháp giải.
Bước 1: Gọi d là ƯCLN của các số.
Bước 2: Dựa vào cách tìm ƯCLN và các tính chất chia hết của tổng (hiệu) để chứng minh d = 1
Bài toán.
Bài 1. Chứng minh 22 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Hướng dẫn giải
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
22 = 2⋅11⋅1; 5 = 1⋅5
Từ đó ƯCLN(22; 5) = 1
Vậy 22 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, các số sau là các số nguyên tố cùng nhau.
a) n + 1 và n + 2
b) 2n + 2 và 2n + 3
c) 2n + 1 và n + 1
d) n + 1 và 3n + 4
Hướng dẫn giải
a) Gọi d = ƯCLN(n + 1; n + 2)
⇒ n + 2 ⋮ d; n + 1 ⋮ d
⇒ (n + 2) – (n + 1) ⋮ d
⇒ 1 ⋮ d
⇒ d = 1
Từ đó ƯCLN(n + 1; n + 2) = 1
Vậy n + 1 và n + 2 là các số nguyên tố cùng nhau với mọi n ∈ ℕ.
b) Gọi d = ƯCLN(2n + 2; 2n + 3)
⇒ 2n + 2 ⋮ d; 2n + 3 ⋮ d
⇒ (2n + 3) – (2n + 2) ⋮ d
⇒ 1 ⋮ d
⇒ d = 1
Từ đó ƯCLN(2n + 2; 2n + 3) = 1
Vậy 2n + 2 và 2n + 3 là các số nguyên tố cùng nhau với mọi n ∈ ℕ.
c) Gọi d = ƯCLN(2n + 1; n + 1)
⇒ 2n + 1 ⋮ d; n + 1 ⋮ d
⇒ 2n + 1 ⋮ d; 2(n + 1) ⋮ d
⇒ 2n + 2 – (2n + 1) ⋮ d
⇒ 1 ⋮ d
⇒ d = 1
Từ đó ƯCLN(2n + 1; n + 1) = 1
d) Gọi d = ƯCLN(n + 1; 3n + 4)
⇒ n + 1 ⋮ d; 3n + 4 ⋮ d
⇒ 3(n + 1) ⋮ d; 3n + 4 ⋮ d
⇒ 3n + 4 – (3n + 3) ⋮ d
⇒ 1 ⋮ d
⇒ d = 1
Từ đó ƯCLN(n + 1; 3n + 4) = 1
