Ước và bội
+) Nếu có số tự nhiên a chia hết cho b thì ta nói a là bội của b, còn b là ước của a.
+) Tập hợp ước của a là: Ư(a), tập hợp các bội của b kí hiệu: B(b).
Ví dụ: Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
B(2) = {0; 2; 4; 6; 8;…; 2k;…}
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Nhận biết một số là ước (bội) của một số cho trước.
Phương pháp giải.
+) Để xét a có là ước của một số cho trước hay không, ta chia số đó cho a. Nếu chia hết thì a là ước của số đó.
+) Để xét b có là bội của một số khác 0 hay không, ta chia b cho số đó. Nếu chia hết thì b là bội của số đó.
Bài toán.
Bài 1. Cho các số sau 0; 1; 3; 14; 7; 10; 12; 5; 20, tìm các số:
a) Là Ư(6)
b) Là Ư(10)
Hướng dẫn giải
a) Vì trong các số đã cho 6 chia hết cho 1; 3 nên {1; 3} ∈ Ư(6)
b) Vì trong các số đã cho 10 chia hết cho 1; 5; 10 nên {1; 5; 10} ∈ Ư(10)
Bài 2. Cho các số sau 13; 19; 20; 36; 121; 125; 201; 205; 206, chỉ ra các số thuộc tập hợp sau:
a) Là B(3)
b) Là B(5)
Hướng dẫn giải
a) Vì trong các số đã cho 36; 201 chia hết cho 3 nên {36; 201} ∈ B(3)
b) Vì trong các số đã cho 20; 125; 205 chia hết cho 5 nên {20; 125; 205} ∈ B(5)
Dạng 2. Tìm tất cả các ước (bội) của một số.
Phương pháp giải.
+) Để tìm tất cả các ước của một số a ta làm như sau:
Bước 1: Chia a lần lượt cho các số 1; 2; 3;…; a
Bước 2: Liệt kê các số mà a chia hết. Đó là tất cả các ước của a
+) Để tìm bội của một số b (b ≠ 0) ta làm như sau:
Bước 1: Nhân b lần lượt cho các số 0; 1; 2; 3;…
Bước 2: Liệt kê các số thu được. Đó là tất cả các bội của b
Lưu ý: Nếu bài toán tìm ước (bội) của một số thỏa mãn điều kiện cho trước ta làm như sau:
Bước 1: Liệt kê các ước (bội) của số đó
Bước 2: Chọn ra các số thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài toán.
Bài 1.
a) Tìm tập hợp các ước của 6; 10; 12; 13
b) Tìm tập hợp các bội của 4; 7; 8; 12
Hướng dẫn giải
a) Ư(6) = {1; 2; 3; 6}
Ư(10) = {1; 2; 5; 10}
Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Ư(13) = {1; 13}
b) B(4) = {0; 4; 8; 12; 16;…}
B(7) = {0; 7; 14; 21; 28;…}
B(8) = {0; 8; 16; 24; 32;…}
B(12) = {0; 12; 24; 36; 48;…}
Bài 2. Tìm các số tự nhiên x sao cho
a) x ∈ Ư(12) và 2 ≤ x ≤ 8
b) x ∈ B(5) và 20 ≤ x ≤ 36
c) x ⋮ 5 và 13 < x ≤ 78
d) 12 ⋮ x và x > 4
Hướng dẫn giải
a) Ta có: Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Vì x ∈ Ư(12) và 2 ≤ x ≤ 8 nên x ∈ {2; 3; 4; 6}
b) Vì x ∈ B(5) nên x ∈ {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40;…}
Mặt khác: 20 ≤ x ≤ 36
⇒ x ∈ {20; 25; 30; 35}
c) Vì x ⋮ 5 nên x ∈ B(5)
Do đó x ∈ {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40;…}
Mặt khác: 13 < x ≤ 78
⇒ x ∈ {15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60; 65; 70; 75}
d) Vì 12 ⋮ x nên x ∈ Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Mặt khác: x > 4 nên x ∈ {6; 12}
Bài 3. Tìm tập hợp các số tự nhiên vừa là ước của 100 vừa là bội của 25.
Hướng dẫn giải
Gọi x là số tự nhiên cần tìm.
Ta có: Ư(100) = {1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100}
Vì x ∈ B(25) nên x ⋮ 25
⇒ x ∈ { 25; 50; 100}
Dạng 3. Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chia hết.
Phương pháp giải.
Áp dụng tính chất chia hết của một tổng (hiệu) và định nghĩa ước của một số tự nhiên.
Bài toán.
Bài 1. Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) 3 ⋮ n
b) 3 ⋮ (n + 1)
c) (n + 3) ⋮ (n + 1)
d) (2n + 3) ⋮ (n – 2)
Hướng dẫn giải
a) 3 ⋮ n ⇔ n ∈ Ư(3) = {1; 3}
Vậy n ∈ {1; 3}
b) 3 ⋮ (n + 1) ⇔ (n + 1) ∈ Ư(3) = {1; 3}
Vậy (n + 1) ∈ = {1; 3} ⇒ n ∈ {0; 2}
c) Ta có: (n + 3) ⋮ (n + 1) và (n + 1) ⋮ (n + 1)
Áp dụng tính chất chia hết của tổng (hiệu) ta có:
[(n + 3) – (n + 1)] ⋮ (n + 1)⇔ 2 ⋮ (n + 1)
⇔ (n + 1) ∈ Ư(2) = {1; 2}
Vậy n ∈ {1; 0}
d) Ta có: (2n + 3) ⋮ (n – 2) và (n – 2) ⋮ (n – 2)
Áp dụng tính chất chia hết của tổng (hiệu) ta có:
[(2n + 3) – 2(n – 2)] ⋮ (n – 2)⇔ 7 ⋮ (n – 2)
⇔ (n – 2) ∈ Ư(7) = {1; 7}
Vậy n ∈ {3; 9}
Dạng 4. Viết tập hợp các ước chung (bội chung) của hai hay nhiều số.
Phương pháp giải.
Bước 1. Viết tập hợp các ước (bội) của các số đã cho.
Bước 2. Tìm giao của các tập hợp đó.
Bài toán.
Bài 1. Viết các tập hợp sau:
a) ƯC(24; 40)
b) ƯC(20; 30)
c) BC(2; 8)
d) BC(10; 15)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
Ư(40) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}
ƯC(24; 40) = {1; 2; 4; 8}
b) Ta có:
Ư(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 30}
ƯC(20; 30) = {1; 2; 5; 10}
c) Ta có:
B(2) = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12;…}
B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48;…}
BC(2; 8) = {0; 8; 16; 24;…}
d) Ta có:
B(10) = {0; 10; 20; 30; 40; 50; 60;…}
B(15) = {0; 15; 30; 45; 60;…}
BC(10; 15) = {0; 30; 60; 90;…}
Dạng 5: Bài toán có lời văn.
Phương pháp giải.
Bước 1: Phân tích đề bài, chuyển bài toán về tìm ước (bội), ước chung, (bội chung) của các số cho trước.
Bước 2: Áp dụng cách tìm ước (bội), ước chung, (bội chung) của các số cho trước.
Bài toán.
Bài 1. Có 20 viên bi. Bạn Minh muốn chia đều số viên bi vào các hộp. Tìm số hộp và số viên bi trong mỗi hộp? Biết không có hộp nào chứa 1 hay 20 viên bi.
Hướng dẫn giải
Số hộp và số viên bi trong mỗi hộp phải là ước số của 20
Ta có: Ư(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}.
Vì không có hộp nào chứa 1 hay 20 viên bi, nên số viên bi trong mỗi hộp chỉ có thể là 2; 4; 5; 10 tương ứng với số hộp là 10; 5; 4; 2
Bài 2. Năm nay Bình 12 tuổi. Tuổi của mẹ Bình là bội số của tuổi Bình. Tìm tuổi của mẹ Bình biết tuổi của mẹ lớn hơn 30 và nhỏ hơn 45.
Hướng dẫn giải
Gọi x là số tuổi của mẹ Bình (x ∈ ℕ; 30 < x < 45)
Tuổi của mẹ Bình là bội số của tuổi Bình nên x ∈ B(12)
Mà 30 < x < 45 nên x = 36 thỏa mãn điều kiện.
Vậy mẹ Bình 36 tuổi.
Bài 3. Học sinh lớp 6A nhận được phần thưởng của nhà trường và mỗi em nhận được phần thưởng như nhau. Cô hiệu trưởng đã chia hết 129 quyển vở và 215 bút chì màu. Hỏi số học sinh lớp 6A là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Ta thấy số phần thưởng phải là ƯC(129; 215)
Có ƯC(129; 215) = {1; 43}
Vì số học sinh lớp 6A không thể bằng 1 nên số học sinh lớp 6A bằng 43
Bài 4. Tính số học sinh của một trường biết rằng mỗi lần xếp hàng 4, hàng 5, hàng 6, hàng 7 đều vừa đủ hàng và số học sinh của trường trong khoảng từ 415 đến 421.
Hướng dẫn giải
Gọi x là số học sinh của trường. (x ∈ ℕ; 415 < x < 421)
Vì mỗi lần xếp hàng 4, hàng 5, hàng 6, hàng 7 đều vừa đủ hàng nên x chia hết cho 4; 5; 6; 7.
Tức là x ∈ BC(4; 5; 6; 7) = {0; 420; 840;…}
Mà 415 < x < 421 nên x = 420
Vậy số học sinh của trường là 420 học sinh.
