DanChuyenToan

Home » Toán lớp 7

Biểu thức đại số

Toán lớp 7

Bài viết này sẽ giúp bạn?

+) Trình bày được khái niệm biểu thức đại số.

+) Trình bày được cách tính giá trị của một biểu thức đại số.

+) Viết được biểu thức đại số theo yêu cầu.

+) Tính được giá trị của một biểu thức đại số và trình bày được lời giải.

Khái niệm về biểu thức đại số

Các biểu thức mà trong đó ngoài các số, các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, còn có cả các chữ (đại diện cho các số). Người ta gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số.

Ví dụ:

Biểu thức đại số biểu thị trung bình cộng của hai số a và b là \[\frac{{a + b}}{2}\]

Biểu thức đại số biểu thị lập phương của tổng hai số a và b là: (a + b)3

Giá trị của biểu thức đại số

Để tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay các giá trị cho trước đó vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính.

Tính giá trị biểu thức A = x + 2y tại x = 1 và y = 2.

Thay x = 1, y = 2 vào biểu thức A ta có:

A = 1 + 2 ⋅ 2 = 5

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Viết các biểu thức đại số theo cách diễn đạt cho trước

Phương pháp giải

Bước 1. Đọc đề bài để tìm các ẩn và phép tính có thể có.

Bước 2. Viết các biểu thức chứa ẩn tương ứng.

Ví dụ: Viết biểu thức đại số biểu thị tổng của a và b.

Ẩn: a và b.

Biểu thức đại số biểu thị tổng của a và b là: a + b

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Viết các biểu thức đại số theo các diễn đạt cho trước:

a) Hiệu của a và 2b;

b) Tổng của hai số tự nhiên liên tiếp.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức đại số cần tìm là: a – 2b

b) Biểu thức đại số cần tìm là:

n + (n + 1) = 2n + 1 (n ∈ ℕ)

Chú ý: Kí hiệu của hai số tự nhiên liên tiếp là n và n + 1 với n ∈ ℕ

Ví dụ 2. Hình chữ nhật lần lượt có độ lớn hai cạnh chiều rộng là a (cm) và chiều dài là b (cm). Viết biểu thức tính độ dài đường chéo hình chữ nhật trên.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Py–ta–go trong tam giác vuông, ta có độ lớn đường chéo hình chữ nhật là:

\[\sqrt {{a^2} + {b^2}} \]

Ví dụ 3. Một quả bưởi Năm roi giá 60 000 đồng, một kilôgam cam Canh giá 50 000 đồng. Viết biểu thức đại số cho số tiền ứng với x quả bưởi Năm roi và y kilôgam cam.

Hướng dẫn giải

x quả bưởi có giá là 60000x (đồng).

y kilôgam cam có giá là 50000y (đồng).

Biểu thức đại số cho số tiền ứng với x quả bưởi năm roi và y kg cam là:

60000x + 50000y (đồng).

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Viết biểu thức đại số biểu diễn diện tích hình vuông có cạnh a (cm).

Hướng dẫn giải

Biểu thức đại số biểu thị diện tích hình vuông có cạnh a (cm) là a2 (cm2)

Câu 2: Viết biểu thức đại số biểu thị chu vi hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là a và b.

Hướng dẫn giải

Biểu thức đại số biểu thị chu vi hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là a và b là: 2(a + b) (cm)

Câu 3: Bạn Tâm mua 5 quyển vở giá x đồng một quyển và 4 cái bút giá y đồng một cái. Viết biểu thức biểu thị số tiền Tâm phải trả.

Hướng dẫn giải

Biểu thức đại số biểu diễn cho số tiền cần phải trả là 5x + 4y (đồng)

Dạng 2. Tính giá trị biểu thức đại số

Phương pháp giải

Thay các giá trị của ẩn vào rồi tính toán, rút gọn.

Tính giá trị của biểu thức A = 2x + 1 tại x = 1. Thay x = 1 vào biểu thức, ta có:

A = 2 ⋅ 1 + 1 = 3

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) 2x2 – 3x + 7 tại x = 3

b) 2y + 3 tại y = 2

Hướng dẫn giải

a) Thay x = 3 vào biểu thức, ta có:

2x2 – 3x + 7 = 2 ⋅ 32 – 3 ⋅ 3 + 7 = 16

b) Thay y = 2 vào biểu thức, ta có:

2y + 3 = 2 ⋅ 2 + 3 = 7

Ví dụ 2. Tính giá trị của các biểu thức:

a) x2y – 5 tại x = –2; y = 1

b) 15xy2z tại x = 2; y = –2; z = 3

Hướng dẫn giải

a) Thay x = –2; y = 1 vào biểu thức, ta có:

x2y – 5 = (–2)2 ⋅ 1 – 5 = –1

b) Thay x = 2; y = –2; z = 3 vào biểu thức, ta có:

15xy2z = 15 ⋅ 2 ⋅ (–2)2 ⋅ 3 = 30 ⋅ 4 ⋅ 3 = 360

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Tính giá trị của biểu thức:

P = 2x – 3y + 4z tại x = 1; y = 2; z = 3

Hướng dẫn giải

Thay x = 1; y = 2; z = 3 vào biểu thức P = 2x – 3y + 4z, ta được:

P = 2 ⋅ 1 – 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 = 8

Câu 2: Tính các giá trị của biểu thức:

P = 3x2 – 9 tại x = –1 và x = \[ - \frac{1}{2}\]

Hướng dẫn giải

Thay x = –1 vào biểu thức P = 3x2 – 9, ta được:

P = 3 ⋅ (–1)2 – 9 = –6

Thay x = \[ - \frac{1}{2}\] vào biểu thức P = 3x2 – 9, ta được:

\[P = 3 \cdot {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} - 9 = - \frac{{33}}{4}\]

Câu 3: Tính giá trị của biểu thức:

B = 2x2 + y tại x = 1 và y = 1.

Hướng dẫn giải

Thay x = 1 và y = 1 vào biểu thức B = 2x2 + y, ta được:

B = 2 ⋅ 12 + 1 = 3

Dạng 3. Tính giá trị biểu thức khi biết mối quan hệ giữa các biến

Phương pháp giải

Bước 1. Đọc kĩ bài viết và xác định các biến.

Bước 2. Viết biểu thức đại số thể hiện mối quan hệ giữa các biến.

Bước 3. Thay giá trị của các biến vào biểu thức đại số rồi tính toán ra kết quả.

Ví dụ: Một hình chữ nhật có chiều rộng x (cm), chiều dài lớn hơn chiều rộng 2 (cm). Tính diện tích hình chữ nhật khi x = 2 (cm)

Hướng dẫn giải

Ví dụ mẫu

Chiều rộng là x (cm).

Chiều dài hình chữ nhật là: x + 2 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là: x(x + 2) (cm)

Thay x = 2 vào biểu thức ta có:

x(x + 2) = 2(2 + 2) = 8 (cm2)

Vậy diện tích hình chữ nhật là 8 (cm2).

Ví dụ 1. Hình vuông có độ lớn một cạnh là x (cm), tam giác vuông cân có độ lớn cạnh góc vuông là y (cm). Tính tổng diện tích của hình vuông và của tam giác vuông cân khi x = 2 và y = 4.

Hướng dẫn giải

Diện tích của hình vuông cạnh là x (cm) là: x2 (cm2)

Diện tích của tam giác vuông cân có độ lớn cạnh góc vuông là y (cm) là: \[\frac{1}{2}\] y2 (cm2)

Tổng diện tích của hình vuông và của tam giác vuông cân là: \[{x^2} + \frac{1}{2}{y^2}\]

Thay x = 2 và y = 4 vào biểu thức, ta có:

\[{x^2} + \frac{1}{2}{y^2} = {2^2} + \frac{1}{2} \cdot {4^2} = 12\]

Vậy tổng diện tích của hình vuông và của tam giác vuông cân là 12 (cm2)

Ví dụ 2. Trong một ngày hè, buổi sáng nhiệt độ là x°C, buổi trưa tăng thêm y°C so với buổi sáng. Buổi chiều lúc mặt trời lặn nhiệt độ lại giảm đi z°C so với ban trưa. Viết biểu thức đại số biểu thị nhiệt độ lúc mặt trời lặn theo x, y, z và tính giá trị biểu thức đại số khi x = 30°C, y = 6°C, z = 10°C.

Hướng dẫn giải

Biểu thức đại số biểu thị nhiệt độ lúc mặt trời lặn theo x, y, z là: x + y – z (°C)

Giá trị biểu thức đại số khi x = 30°C, y = 6°C, z = 10°C là:

x + y – z = 30° + 6° – 10° = 26°C

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài là a (m), chiều rộng ngắn hơn chiều dài 8 (m), người ta đào một cái ao hình vuông có cạnh bằng b (m) (b < a – 8). Tính diện tích còn lại của khu vườn biết a = 50m, b = 10m.

Hướng dẫn giải

Diện tích còn lại của khu vườn là:

a(a – 8) – b2

Thay a = 50m, b = 10m vào biểu thức, ta được:

50 ⋅ (50 – 8) – 102 = 2000 (m2)

Câu 2. Tính giá trị của các biểu thức đại số:

a) M = x2(x + y) – y2(x + y) + x2 – y2 + 2(x + y) + 3 biết x + y + 1 = 0

b) M = x4 – xy3 + x3y – y4 – 1 biết x + y = 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có: x + y + 1 = 0 ⇒ x + y = –1

Khi đó:

M = x2(x + y) – y2(x + y) + x2 – y2 + 2(x + y) + 3

= (x + y)(x2 – y2) + (x2 – y2) + 2(x + y) + 3

= (x2 – y2)(x + y + 1) + 2(x + y) + 3

Thay x + y = –1 vào biểu thức, ta được:

M = (x2 – y2)(–1 + 1) + 2 ⋅ (–1) + 3

= (x2 – y2) ⋅ 0 – 2 + 3

= 1

b) Ta có: x + y = 0 ⇒ y = –x

Thay y = –x vào biểu thức, ta được:

M = x4 – x(–x)3 + x3(–x) – (–x)4 – 1

= x4 + x4 – x4 – x4 – 1

= –1

Dạng 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phương pháp giải

Áp dụng linh hoạt các tính chất sau để áp dụng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

+) A2n ≥ 0, ∀A, n ∈ ℕ* và A2n ≤ 0, ∀A, n ∈ ℕ*

+) |A| ≥ 0, ∀A và –|A| ≤ 0, ∀A

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) P = |x – 10| + (x – y)2 + 10

b) P = (x – y)4 + 2019

Hướng dẫn giải

a) P = |x – 10| + (x – y)2 + 10

Ta có: |x – 10| ≥ 0 và (x – y)2 ≥ 0, ∀x; y ∈ ℝ

⇒ |x – 10| + (x – y)2 + 10 ≥ 10

⇒ P ≥ 10

Dấu “ =” xảy ra khi x – 10 = 0 và x – y = 0. Suy ra x = y = 10.

Vậy Pmin = 10 khi x = y = 10.

b) P = (x – y)4 + 2019

Ta có: (x – y)4 ≥ 0, ∀x; y ∈ ℝ

⇒ (x – y)4 + 2019 ≥ 2019

⇒ P ≥ 2019

Vậy Pmin = 2019 khi x = y.

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) P = –(x – 5)6 + 1

b) P = –|x – 1| – (y + 2)2 + 2019

Hướng dẫn giải

a) P = –(x – 5)6 + 1

Ta có: –(x – 5)6 ≤ 0, ∀x; y ∈ ℝ

⇒ –(x – 5)6 + 1 ≤ 1

⇒ P ≤ 1

Vậy Pmax = 1 khi x – 5 = 0 ⇒ x = 5

b) P = –|x – 1| – (y + 2)2 + 2019

Ta có: –|x – 1| ≤ 0 và –(y + 2)2 ≤ 0 với mọi x, y

⇒ –|x – 1| – (y + 2)2 + 2019 ≤ 2019

⇒ P ≤ 2019

Vậy Pmax = 2019 khi x = 1 và y = –2

Bài tập tự luyện dạng 4

Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức:

Câu 1. \[A = {\left( {2x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2017\]

Hướng dẫn giải

Với x; y ∈ ℝ ta có: \[{\left( {2x - 3} \right)^2} \geqslant 0;{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} \geqslant 0\]

Do đó: \[{\left( {2x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2017 \geqslant 2017\]

Vậy min A bằng 2017 khi \[x = \frac{3}{2};y = \frac{1}{2}\]

Câu 2. B = 2(x + 1)2 + |–3(x2 – 1)|

Hướng dẫn giải

Với x; y ∈ ℝ ta có:

2(x + 1)2 ≥ 0; |–3(x2 – 1)| ≥ 0

Do đó: B = 2(x + 1)2 + |–3(x2 – 1)|

Vậy min B = 0 khi x = –1.

Câu 3. \[C = \frac{{ - 1}}{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}}\]

Hướng dẫn giải

Với x; y ∈ ℝ ta có:

\[\begin{gathered} 2{\left( {x + 1} \right)^2} \geqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 1 \geqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}} \leqslant 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{{ - 1}}{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}} \geqslant - 1 \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy min C = –1 khi x = –1.