Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Bài viết này sẽ giúp bạn?

+) Nhận biết và nắm được cách xác định số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn.

+) Hiểu được khái niệm làm tròn số qua các ví dụ, nắm được cách quy ước làm tròn số và ý nghĩa của việc làm tròn số trong thực tiễn.

+) Phân biệt được số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn.

+) Giải thích được một phân số được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn.

+) Viết được một phân số dưới dạng số thập phân và ngược lại.

+) Vận dụng các quy ước làm tròn số để làm tròn số trong giải bài tập và trong thực tiễn.

Lí thuyết số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn

+) Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

Ngược lại, mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn biểu diễn một số hữu tỉ.

$\frac{3}{4} = 0,75$ là số thập phân hữu hạn

+) Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

$\frac{{20}}{3} = 6,666... = 6,\left( 6 \right)$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kì 6

Quy ước làm tròn số

+) Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại. Trường hợp số nguyên, ta thay các chữ số bỏ đi bằng các chữ số 0.

+) Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cộng thêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại. Trường hợp số nguyên, ta thay các chữ số bỏ đi bằng các chữ số 0.

Ví dụ:

Ti vi loại 20 in-sơ có nghĩa là đường chéo của ti vi dài 20 in-sơ.

Từ đó ta có thể xác định được đường chéo của ti vi theo các đơn vị đo độ dài đã học.

Như vậy: 20 in ≈ 50,8 cm

Sơ đồ hệ thống hóa

Phân dạng bài tập

Dạng 1: Nhận biết một phân số được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn

Phương pháp giải

Bước 1. Viết phân số dưới dạng phân số tối giản với mẫu dương.

Bước 2. Phân tích mẫu dương đó ra thừa số nguyên tố.

Bước 3. Nếu mẫu này không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn; nếu mẫu này có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ: Phân số $\frac{{11}}{{ - 30}}$ được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn hay viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?

Hướng dẫn giải

Bước 1. Ta có: $\frac{{11}}{{ - 30}} = \frac{{ - 11}}{{30}}$

Bước 2. Ta có: 30 = 5⋅2⋅3

Bước 3. Mẫu này có ước nguyên tố 3 khác 2 và 5 nên phân số $\frac{{11}}{{ - 30}}$ viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ mẫu

Ví dụ: Trong các phân số sau đây phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn? Giải thích.

$\frac{1}{4};\frac{6}{{ - 110}};\frac{9}{{ - 45}}$

Hướng dẫn giải

+) Xét phân số $\frac{1}{4}$ có mẫu 4 = 2² không có ước nguyên tố khác 2 và 5 nên phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

+) Xét phân số $\frac{6}{{ - 110}}$

Ta có: $\frac{6}{{ - 110}} = \frac{{ - 6}}{{110}} = \frac{{ - 3}}{{55}}$ . Mẫu 55 = 11⋅5 có ước nguyên tố 11 khác 2 và 5 nên phân số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

+) Xét phân số $\frac{9}{{ - 45}}$

Ta có: $\frac{9}{{ - 45}} = \frac{{ - 9}}{{45}} = \frac{{ - 1}}{5}$ . Mẫu phân số này không có ước nguyên tố khác 2 và 5 nên phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Dạng 2: Viết một tỉ số hoặc một phân số dưới dạng số thập phân

Phương pháp giải

Để viết phân số dưới dạng số thập phân, ta thực hiện phép chia tử cho mẫu.

Nếu phép chia đến một lúc chấm dứt, ta nói biểu diễn thập phân này là số thập phân hữu hạn.

Nhưng cũng có những phân số mà phép chia tử cho mẫu không bao giờ chấm dứt. Khi đó, ta nói biểu diễn thập phân này là số thập phân vô hạn.

Ví dụ: Viết các phân số $\frac{3}{{20}}$ và $\frac{5}{{12}}$ dưới dạng số thập phân.

Ta có: 3 ∶ 20 = 0,15

Ta nói là biểu diễn số thập phân hữu hạn của phân số $\frac{3}{{20}}$

5 ∶ 12 = 0,416666…

Khi đó, ta nói 0,416666… là số thập phân vô hạn.

Có thể viết gọn: 0,416666… = 0,41(6)

Ta nói 0,416666… là số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kì 6.

Ví dụ: Viết các số sau dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn:

$\frac{{63}}{{40}};\frac{6}{{11}};\frac{{13}}{3};\frac{{21}}{{90}};\frac{8}{{13}}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} 63:40 = 1,575 \Rightarrow \frac{{63}}{{40}} = 1,575 \hfill \\ 6:11 = 0,\left( {54} \right) \Rightarrow \frac{6}{{11}} = 0,\left( {54} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 13:3 = 4,\left( 3 \right) \Rightarrow \frac{{13}}{3} = 4,\left( 3 \right) \hfill \\ 21:90 = 0,2\left( 3 \right) \Rightarrow \frac{{21}}{{90}} = 0,2\left( 3 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 8:13 = 0,\left( {615384} \right) \Rightarrow \frac{8}{{13}} = 0,\left( {615384} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Dạng 3: Viết số thập phân dưới dạng phân số tối giản

Bài toán 1. Viết số thập phân hữu hạn dưới dạng phân số tối giản

Phương pháp giải

Bước 1. Viết số thập phân hữu hạn dưới dạng một phân số có tử là số nguyên tạo bởi phần nguyên và phần thập phân của số đó, mẫu là một lũy thừa của 10 với số mũ bằng số chữ số ở phần thập phân của số đã cho.

Bước 2. Rút gọn phân số nói trên.

Ví dụ: Viết số 2,25 dưới dạng phân số tối giản.

Bước 1: Ta có: $2,25 = \frac{{225}}{{{{10}^2}}} = \frac{{225}}{{100}}$

Bước 2: $2,25 = \frac{{225}}{{{{10}^2}}} = \frac{{225}}{{100}} = \frac{9}{4}$

Vậy $2,25 = \frac{9}{4}$

Ví dụ mẫu

Ví dụ: Viết các số thập phân hữu hạn sau đây dưới dạng phân số tối giản.

a) 0,22

b) 0,15

c) –8,125

d) –1,19

Hướng dẫn giải

a) $0,22 = \frac{{22}}{{{{10}^2}}} = \frac{{22}}{{100}} = \frac{{11}}{{50}}$

b) $0,15 = \frac{{15}}{{{{10}^2}}} = \frac{{15}}{{100}} = \frac{3}{{20}}$

c) $- 8,125 = \frac{{ - 8125}}{{{{10}^3}}} = \frac{{ - 8125}}{{1000}} = - \frac{{65}}{8}$

d) $- 1,19 = \frac{{ - 119}}{{{{10}^2}}} = \frac{{ - 119}}{{100}}$

Bài toán 2. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản

Phương pháp giải

Để giải dạng toán này cần có kiến thức bổ sung sau đây:

+) Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy.

Ví dụ: 0,(21)

+) Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là tạp nếu chu kì không bắt đầu ngay sau dấu phẩy. Phần thập phân đứng trước chu kì gọi là phần bất thường.

Ví dụ: 0,3(21) trong đó chữ số 3 là phần bất thường

Xét số thập phân với phần nguyên là 0, người ta đã chứng minh được các quy tắc sau:

+) Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn dưới dạng phân số, ta lấy chu kì làm tử số, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì.

Ví dụ: $0,\left( {21} \right) = \frac{{21}}{{99}} = \frac{7}{{33}}$

+) Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp dưới dạng phân số, ta lấy số gồm phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9 và 0 trong đó số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì.

Ví dụ: $0,3\left( {21} \right) = \frac{{321 - 3}}{{990}} = \frac{{318}}{{990}} = \frac{{53}}{{165}}$

Chú ý: Nếu phần nguyên khác 0, thì ta chuyển phần thập phân sang phân số rồi cộng với phần nguyên.

Ví dụ: $1,\left( 3 \right) = 1\frac{3}{9} = 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

Ví dụ mẫu

Ví dụ: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản.

a) 0,(6)

b) 2,2(1)

c) –8,(13)

Hướng dẫn giải

a) $0,\left( 6 \right) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

b) $2,2\left( 1 \right) = 2 + \frac{{19}}{{90}} = \frac{{199}}{{90}}$

c) $- 8,\left( {13} \right) = - 8\frac{{13}}{{99}} = \frac{{805}}{{99}}$

Dạng 4: Làm tròn số

Phương pháp giải

Quy ước làm tròn số

+) Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại. Trường hợp số nguyên, ta thay các chữ số bỏ đi bằng các chữ số 0.

+) Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cộng thêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại.

Trường hợp số nguyên, ta thay các chữ số bỏ đi bằng các chữ số 0.

Ví dụ:

354,452 ≈ 354,45 (chính xác đến chữ số thập phân thứ hai).

3214 ≈ 3200 (chính xác đến hàng trăm).

Ví dụ:

354,452 ≈ 354,5 (chính xác đến chữ số thập phân thứ nhất).

354,452 ≈ 400 (chính xác đến hàng trăm).

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Làm tròn các số 5724; 991,23 đến hàng chục.

Hướng dẫn giải

5724 ≈ 5720; 991,23 ≈ 990

Ví dụ 2. Làm tròn các số 6251; 73,83 đến hàng trăm.

Hướng dẫn giải

6251 ≈ 6300; 73,83 ≈ 100

Ví dụ 3. Làm tròn các số 55,2173; 0,346 đến chữ số thập phân thứ hai.

Hướng dẫn giải

55,2173 ≈ 55,22; 0,346 ≈ 0,35

Thầy Tú dạy toán