DanChuyenToan

Home » Toán lớp 11

Phương trình đưa về dạng ax + b = 0

Toán lớp 8

Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0

Tóm tắt lý thuyết

Sử dụng các quy tắc trong bài học trước để đưa phương trình đã cho về dạng ax + b = 0. Chú ý đến các kiến thức liên quan, bao gồm:

+) Các hằng đẳng thức đáng nhớ;

+) Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản;

+) Quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, chia với số khác 0.

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Sử dụng các phép biến đổi thường gặp để giải một số phương trình đơn giản

Các bước để giải phương trình:

Bước 1. Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc hoặc quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu;

Bước 2. Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang một vế;

Bước 3. Thu gọn, giải phương trình tìm được.

⊗ Chú ý: Để hai biểu thức A và B bằng nhau ta cho A = B và giải phương trình tìm được.

Bài tập mẫu

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

a) 5 + 3x = 4x – 9

b) 3,2x – 5(x – 0,2) = 5 + 0,2x

c) 1,5 – (x + 2) = –3(x + 0,1)

d) (x – 1) – (2x – 1) = x + 4

e) \[\frac{2}{3}\] – \[\frac{1}{2}\] (x + 2) = –x + 1

f) 3t – 4 + 13 + 2(t + 2) = –3t

Hướng dẫn giải

a) 5 + 3x = 4x – 9

⇔ 4x – 3x = 5 + 9

⇔ x = 14

b) 3,2x – 5(x – 0,2) = 5 + 0,2x

⇔ 3,2x – 5x – 0,2x = 5 – 1

⇔ –2x = 4

⇔ x = –2

c) 1,5 – (x + 2) = –3(x + 0,1)

⇔ –x + 3x = –0,3 – 1,5 + 2

⇔ 2x = \[\frac{1}{5}\]

⇔ x = \[\frac{1}{{10}}\]

d) (x – 1) – (2x – 1) = x + 4

⇔ x – 1 – 2x + 1 = x + 4

⇔ –2x = 4

⇔ x = –2

e) \[\frac{2}{3}\] – \[\frac{1}{2}\] (x + 2) = –x + 1

⇔ \[\frac{2}{3}\] – \[\frac{1}{2}\] x – 1 = –x + 1

⇔ \[\frac{1}{2}\] x = \[\frac{4}{3}\]

⇔ x = \[\frac{8}{3}\]

f) 3t – 4 + 13 + 2(t + 2) = –3t

⇔ 3t + 2t + 3t = 4 – 13 – 4

⇔ 8t = –13

⇔ t = \[ - \frac{{13}}{8}\]

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

a) 4 – 2x = x – 2

b) –3(x – 2) – (x + 1) = 5x – 4

c) x – 4x + 2x – 29 = 4x + 1

d) (2x – 1) – (4x – 1) = x + 6

e) \[\frac{4}{5} + \left( {x - \frac{3}{4}} \right) = \frac{1}{2}\left( {x + 1} \right)\]

f) 3u – 4 + 2u – 3 = u – 2

Hướng dẫn giải

a) 4 – 2x = x – 2 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2

b) –3(x – 2) – (x + 1) = 5x – 4

⇔ –3x + 6 – x – 1 = 5x – 4

⇔ 9x = 9

⇔ x = 1

c) x – 4x + 2x – 29 = 4x + 1

⇔ –5x = 30

⇔ x = –6

d) (2x – 1) – (4x – 1) = x + 6

⇔ 2x – 1 – 4x + 1 = x + 6

⇔ –3x = 6

⇔ x = –2

e) \[\frac{4}{5} + \left( {x - \frac{3}{4}} \right) = \frac{1}{2}\left( {x + 1} \right)\]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{4}{5} + x - \frac{3}{4} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}x = \frac{9}{{20}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{9}{{10}} \hfill \\ \end{gathered} \]

f) 3u – 4 + 2u – 3 = u – 2

⇔ 3u + 2u – u = –2 + 4 + 3

⇔ 4u = 5

⇔ u = \[\frac{5}{4}\]

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

a) \[\frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{4} - \frac{1}{2} = \frac{{6x + 9}}{3} - 2\]

b) \[\frac{{2\left( {3x + 1} \right) + 1}}{4} - 5 = \frac{{2\left( {3x - 1} \right)}}{5} - \frac{{3x + 2}}{{10}}\]

c) \[\frac{x}{3} + \frac{{x - 2}}{4} = 0,5x - 2,5\]

d) \[\frac{{2x - 4}}{3} - 2x = - \frac{{6x + 3}}{5} + \frac{1}{{15}}\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{4} - \frac{1}{2} = \frac{{6x + 9}}{3} - 2\]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{6\left( {x - 3} \right) - 6}}{{12}} = \frac{{4\left( {6x + 9} \right) - 24}}{{12}} \hfill \\ \Leftrightarrow 6x - 18 - 6 = 24x + 36 - 24\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 18x = - 36 \hfill \\ \Leftrightarrow x = - 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

b) \[\frac{{2\left( {3x + 1} \right) + 1}}{4} - 5 = \frac{{2\left( {3x - 1} \right)}}{5} - \frac{{3x + 2}}{{10}}\]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{10\left( {3x + 1} \right) + 5 - 100}}{{20}} = \frac{{8\left( {3x - 1} \right) - 2\left( {3x + 2} \right)}}{{20}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 30x + 10 + 5 - 100 = 24x - 8 - 6x - 4 \hfill \\ \Leftrightarrow 12x = 73\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{{73}}{{12}} \hfill \\ \end{gathered} \]

c) \[\frac{x}{3} + \frac{{x - 2}}{4} = 0,5x - 2,5\]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{4x + 3\left( {x - 2} \right)}}{{12}} = \frac{{12\left( {0,5x - 2,5} \right)}}{{12}} \hfill \\ \Leftrightarrow 4x + 3x - 6 = 6x - 30\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = - 24 \hfill \\ \end{gathered} \]

d) \[\frac{{2x - 4}}{3} - 2x = - \frac{{6x + 3}}{5} + \frac{1}{{15}}\]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{5\left( {2x - 4} \right) - 30x}}{{12}} = \frac{{ - 3\left( {6x + 3} \right) + 1}}{{15}} \hfill \\ \Leftrightarrow 10x - 20 - 30x = - 18x - 9 + 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow - 2x = 12 \hfill \\ \Leftrightarrow x = - 6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

a) \[\frac{{5x - 3}}{2} - 3 = \frac{{2 + 5x}}{4}\]

b) \[\frac{{3\left( {x + 3} \right)}}{4} + \frac{1}{2} = \frac{{5x + 9}}{3} - \frac{{7x - 9}}{4}\]

c) \[2\left( {0,2 - 1,3x} \right) = \frac{{5x - 6}}{3} + 4\]

d) \[\frac{{7 - 3x}}{{12}} + \frac{3}{4} = 2\left( {x - 2} \right) + \frac{{5\left( {5 - 2x} \right)}}{6}\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{5x - 3}}{2} - 3 = \frac{{2 + 5x}}{4}\]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{2\left( {5x - 3} \right) - 12}}{4} = \frac{{2 + 5x}}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow 10x - 6 - 12 = 2 + 5x\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 5x = 20 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 4\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

b) \[\frac{{3\left( {x + 3} \right)}}{4} + \frac{1}{2} = \frac{{5x + 9}}{3} - \frac{{7x - 9}}{4}\]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{9\left( {x + 3} \right) + 6}}{{12}} = \frac{{4\left( {5x + 9} \right) - 3\left( {7x - 9} \right)}}{{12}} \hfill \\ \Leftrightarrow 9x + 27 + 6 = 20x + 36 - 21x + 27\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 10x = 30 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

c) \[2\left( {0,2 - 1,3x} \right) = \frac{{5x - 6}}{3} + 4\]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{6\left( {0,2 - 1,3x} \right)}}{3} = \frac{{5x - 6 + 12}}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 1,2 - 7,8x = 5x + 6 \hfill \\ \Leftrightarrow 12,8x = - 4,8\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = - \frac{3}{8} \hfill \\ \end{gathered} \]

d) \[\frac{{7 - 3x}}{{12}} + \frac{3}{4} = 2\left( {x - 2} \right) + \frac{{5\left( {5 - 2x} \right)}}{6}\]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{7 - 3x + 9}}{{12}} = \frac{{24\left( {x - 2} \right) + 10\left( {5 - 2x} \right)}}{{12}} \hfill \\ \Leftrightarrow 7 - 3x + 9 = 24x - 48 + 50 - 20x\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow - 7x = - 14 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Ví dụ 5. Tìm các giá trị của x sao cho hai biểu thức A và B sau đây có giá trị bằng nhau:

a) A = 2(x – 3) + 5x(x – 1) và B = 5x2

b) A = 5x(x + 1) và B = 5x2 + 3(x – 2)

c) A = (x – 3)(x + 3) + 3x2 và B = (2x – 1)2 + x

d) A = (x + 2)3 – (x – 6)3 và B = 6(2x – 1)(2x + 1)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: A = B

⇔ 2(x – 3) + 5x(x – 1) = 5x2

⇔ 2x – 6 + 5x2 – 5x = 5x2

⇔ –3x = 6

⇔ x = –2.

b) Ta có: A = B

⇔ 5x(x + 1) = 5x2 + 3(x – 2)

⇔ 5x2 + 5x = 5x2 + 3x – 6

⇔ 2x = –6

⇔ x = –3.

c) Ta có: A = B

⇔ (x – 3)(x + 3) + 3x2 = (2x – 1)2 + x

⇔ x2 – 9 + 3x2 = 4x2 – 4x + 1 + x

⇔ 3x = 10

⇔ x = \[\frac{{10}}{3}\]

d) Ta có: A = B

⇔ (x + 2)3 – (x – 6)3 = 6(2x – 1)(2x + 1)

⇔ x3 + 6x2 + 12x + 8 – (x3 – 18x2 + 108x – 216) = 6(4x2 – 1)

⇔ –96x = –230

⇔ x = \[\frac{{115}}{{48}}\]

Ví dụ 6. Tìm các giá trị của x sao cho hai biểu thức A và B sau đây có giá trị bằng nhau:

a) A = 2x(x + 5) và B = (x + 3)2 + (x – 1)2 + 20

b) A = (x – 2)(x + 3) + 2x và B = (x – 2)2 + 4

c) A = (2x – 1)(2x + 1) – x2 và B = x(3x + 4) + x – 2

d) A = (x + 3)3 – (x – 1)3 và B = 3(2x – 3)(2x + 3)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: A = B

⇔ 2x(x + 5) = (x + 3)2 + (x – 1)2 + 20

⇔ 2x2 + 10x = x2 + 6x + 9 + x2 – 2x + 1 + 20

⇔ 6x = 30

⇔ x = 5.

b) Ta có: A = B

⇔ (x – 2)(x + 3) + 2x = (x – 2)2 + 4

⇔ x2 + 3x – 2x – 6 + 2x = x2 – 4x + 4 + 4

⇔ 7x = 14

⇔ x = 2.

c) Ta có: A = B

⇔ (2x – 1)(2x + 1) – x2 = x(3x + 4) + x – 2

⇔ 4x2 – 1 – x2 = 3x2 + 4x + x – 2

⇔ 5x = 1

⇔ x = 15.

d) Ta có: A = B

⇔ (x + 3)3 – (x – 1)3 = 3(2x – 3)(2x + 3)

⇔ x3 + 9x2 + 27x + 27 – (x3 – 3x2 + 3x – 1) = 3(4x2 – 9)

⇔ 24x = –55

⇔ x = \[ - \frac{{55}}{{24}}\]

Dạng 2. Phương trình có chứa tham số

+) Thực hiện quy tắc chuyển vế đổi dấu, quy tắc nhân, hằng đẳng thức, quy đồng mẫu rồi khử mẫu,… để biến đổi phương trình về dạng ax + b = 0.

+) Nếu giá trị x0 là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) thì A(x0) = B (x0).

Bài tập mẫu

Ví dụ 1. Cho phương trình 3(a – 2)x + 2a(x – 1) = 4a + 3 (1).

a) Giải phương trình (1) với a = –2.

b) Tìm a để phương trình (1) có nghiệm x = 1.

Hướng dẫn giải

a) Khi a = –2 thì phương trình (1) trở thành:

3(–2 – 2)x + 2(–2)(x – 1) = 4(–2) + 3

⇔ –16x = –9

⇔ x = \[\frac{9}{{16}}\]

b) Vì phương trình (1) có nghiệm x = 1 nên

3(a – 2) ⋅ 1 + 2a(1 – 1) = 4a + 3 ⇔ a = –9.

Vậy để phương trình (1) có nghiệm x = 1 thì a = –9.

Ví dụ 2. Cho phương trình 2ax – 3(a + 1)x = a – 2 (1).

a) Giải phương trình (1) với a = 3.

b) Tìm a để phương trình (1) có nghiệm x = –2.

Hướng dẫn giải

a) Khi a = 3 thì phương trình đã cho trở thành

2 ⋅ 3x – 3(3 + 1)x = 3 – 2

⇔ –6x = 1

⇔ x = \[ - \frac{1}{6}\]

b) Vì phương trình (1) có nghiệm x = –2 nên

2a ⋅ (–2) – 3(a + 1) ⋅ (–2) = a – 2 ⇔ a = –8.

Vậy để phương trình (1) có nghiệm x = –2 thì a = –8.

Ví dụ 3. Cho phương trình

\[\begin{gathered} \frac{{7x - 108}}{8} - 2\left( {x - 9} \right) = - \frac{1}{4}\left( {x + 3} \right){\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ 2\left( {a - 1} \right)x + a\left( {x - 1} \right) = 3a\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \]

a) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm duy nhất đó.

b) Giải phương trình (2) khi a = 2.

c) Tìm giá trị của a để phương trình (2) có một nghiệm bằng \[\frac{1}{2}\] nghiệm của phương trình (1).

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\[\begin{gathered} \frac{{7x - 108}}{8} - 2\left( {x - 9} \right) = - \frac{1}{4}\left( {x + 3} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{7x - 108 - 16\left( {x - 9} \right)}}{8} = \frac{{ - 2\left( {x + 3} \right)}}{8} \hfill \\ \Leftrightarrow 7x - 16x + 2x = - 6 + 108 - 144\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow - 7x = - 42 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 6.

b) Khi a = 2 thì phương trình (2) trở thành

2(2 – 1)x + 2(x – 1) = 3 ⋅ 2

⇔ 4x = 8

⇔ x = 2.

Vậy khi a = 2 thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất là x = 2.

c) Theo đề ta suy ra phương trình (2) có một nghiệm bằng 3 nên

2(a – 1) ⋅ 3 + a(3 – 1) = 3a

⇔ 5a = 6

⇔ a = \[\frac{6}{5}\]

Ví dụ 4. Cho phương trình

\[\begin{gathered} \frac{{2x - 1}}{4} - 2\left( {x - 3} \right) = - \frac{1}{4}\left( {x + 5} \right){\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ 3\left( {a - 1} \right)x + a\left( {x - 1} \right) = 4a\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \]

a) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm duy nhất đó.

b) Giải phương trình (2) khi a = 2.

c) Tìm giá trị của a để phương trình (2) có một nghiệm bằng \[\frac{1}{4}\] nghiệm của phương trình (1).

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\[\begin{gathered} \frac{{2x - 1}}{4} - 2\left( {x - 3} \right) = - \frac{1}{4}\left( {x + 5} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{2x - 1 - 8\left( {x - 3} \right)}}{4} = \frac{{ - \left( {x + 5} \right)}}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow - 5x = - 28\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{{28}}{5} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = \[\frac{{28}}{5}\]

b) Khi a = 2 thì phương trình (2) trở thành

3(2 – 1)x + 2(x – 1) = 4 ⋅ 2

⇔ 3x + 2(x – 1) = 8

⇔ x = 2.

Vậy khi a = 2 thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất là x = 2.

c) Theo đề ta suy ra phương trình (2) có nghiệm bằng \[\frac{7}{5}\] nên

\[\begin{gathered} 3\left( {a - 1} \right)\frac{7}{5} + a\left( {\frac{7}{5} - 1} \right) = 4a \hfill \\ \Leftrightarrow 21\left( {a - 1} \right) + 2a = 20a\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 3a = 21 \hfill \\ \Leftrightarrow a = 7\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Dạng 3. Tìm điều kiện để biểu thức chứa ẩn ở mẫu xác định

\[\frac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}}\] xác định khi và chỉ khi B(x) ≠ 0.

Bài tập mẫu

Ví dụ 1. Tìm điều kiện của x để giá trị mỗi phân thức sau xác định

a) \[\frac{{4x}}{{5\left( {2x + 1} \right)}}\]

b) \[\frac{3}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: 5(2x + 1) ≠ 0 ⇔ x ≠ \[ - \frac{1}{2}\].

b) ĐKXĐ: (x – 2)(x + 3) ≠ 0 ⇔ x ≠ 2; x ≠ –3.

Ví dụ 2. Tìm điều kiện của x để giá trị mỗi phân thức sau xác định

a) \[\frac{1}{{ - 3\left( {x - 3} \right)}}\]

b) \[\frac{{4x - 2}}{{2\left( {x - 1} \right)}}\]

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: –3(x – 3) ≠ 0 ⇔ x ≠ 3.

b) ĐKXĐ: 2(x – 1) ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.

Dạng 4. Một số bài toán đưa về giải phương trình bậc nhất một ẩn

Dựa vào các dữ kiện của bài toán để lập phương trình bậc nhất một ẩn.

Bài tập mẫu

Ví dụ 1. Một nhóm phượt thủ khởi hành từ Hà Nội đi Sa Pa với vận tốc trung bình 36 km/h. Sau đó 1 giờ, một nhóm phượt thủ khác cũng khởi hành từ Hà Nội đi Sa Pa, cùng đường với nhóm đi trước, với vận tốc trung bình 54 km/h. Hãy viết phương trình biểu thị việc hai nhóm phượt thủ gặp nhau x giờ, kể từ khi nhóm thứ hai khởi hành. Tìm x.

Hướng dẫn giải

Quãng đường đi được đến lúc gặp nhau của nhóm phượt thủ đi trước là 36(x + 1).

Quãng đường đi được đến lúc gặp nhau của nhóm phượt thủ đi sau là 54x.

Hai nhóm phượt thủ gặp nhau khi quãng đường đi bằng nhau nên ta có phương trình:

54x = 36(x + 1) ⇔ x = 2.

Vậy hai nhóm gặp nhau khi nhóm thứ hai đi được 2 giờ.

Ví dụ 2. Một xe máy khởi hành từ thành phố Hồ Chí Minh đi Cần Thơ với vận tốc trung bình 40 km/h. Sau đó 2 giờ, một ô tô cũng khởi hành từ thành phố Hồ Chí Minh đi Cần Thơ, cùng đường với nhóm đi trước, với vận tốc trung bình 60 km/h. Hãy viết phương trình biểu thị việc ô tô gặp xe máy sau y giờ, kể từ khi ô tô khởi hành. Tìm y.

Hướng dẫn giải

Quãng đường đi được của xe máy đến lúc gặp nhau là 40(y + 2).

Quãng đường đi được của ô tô đến lúc gặp nhau là 60y.

Ô tô gặp xe máy khi quãng đường đi bằng nhau nên ta có phương trình

60y = 40(y + 2) ⇔ y = 4.

Vậy xe máy và ô tô gặp nhau khi ô tô đi được 4 giờ.

Ví dụ 3. Bằng cách đặt ẩn phụ, giải các phương trình sau

a) \[\frac{{5\left( {3x - 7} \right)}}{5} - 4 = \frac{{2\left( {3x - 7} \right)}}{5} + 8\]

b) \[\left( {x\sqrt 3 - 1} \right)\left( {4 + 2\sqrt 2 } \right) = 4x\sqrt 3 - 2\sqrt 2 \]

Hướng dẫn giải

a) Đặt \[u = \frac{{3x - 7}}{5}\], khi đó phương trình trở thành:

5u – 4 = 2u + 8 ⇔ u = 4.

Suy ra: \[\frac{{3x - 7}}{5} = 4 \Leftrightarrow 3x - 7 = 20 \Leftrightarrow x = 9\]

b) Ta có:

\[\begin{gathered} \left( {x\sqrt 3 - 1} \right)\left( {4 + 2\sqrt 2 } \right) = 4x\sqrt 3 - 2\sqrt 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x\sqrt 3 - 1} \right)\left( {4 + 2\sqrt 2 } \right) = 4x\sqrt 3 - 4 + 4 - 2\sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x\sqrt 3 - 1} \right)\left( {4 + 2\sqrt 2 } \right) = 4\left( {x\sqrt 3 - 1} \right) + 4 - 2\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \]

Đặt \[u = x\sqrt 3 - 1\], khi đó phương trình trở thành:

\[\begin{gathered} u\left( {4 + 2\sqrt 2 } \right) = 4u + 4 - 2\sqrt 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 4u + 2\sqrt 2 u = 4u + 4 - 2\sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow u = \sqrt 2 - 1 \hfill \\ \end{gathered} \]

Suy ra: \[x\sqrt 3 - 1 = \sqrt 2 - 1 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\]

Ví dụ 4. Bằng cách đặt ẩn phụ, giải các phương trình sau:

a) \[\frac{{7\left( {22x + 5} \right)}}{3} - 9 = \frac{{6\left( {22x + 5} \right)}}{3} + 22\]

b) \[\left( {x\sqrt 5 - 2} \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = x\sqrt 5 - \sqrt 2 \]

Hướng dẫn giải

a) Đặt \[u = \frac{{22x + 5}}{3}\], khi đó phương trình trở thành:

7u – 9 = 6u + 22 ⇔ u = 31.

Suy ra: \[\frac{{22x + 5}}{3} = 31 \Leftrightarrow 22x + 5 = 93 \Leftrightarrow x = 4\]

b) Ta có:

\[\begin{gathered} \left( {x\sqrt 5 - 2} \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = x\sqrt 5 - \sqrt 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x\sqrt 5 - 2} \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = x\sqrt 5 - 2 + 2 - \sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Đặt \[u = x\sqrt 5 - 2\], khi đó phương trình trở thành

\[\begin{gathered} u\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = u + 2 - \sqrt 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 u = 2 - \sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow u = \sqrt 2 - 1 \hfill \\ \end{gathered} \]

Suy ra: \[x\sqrt 5 - 2 = \sqrt 2 - 1 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 5 }}\]

Bài tập về nhà

Bài 1. Giải các phương trình sau

a) 2 + 3x = 5x – 3

b) (3x – 5) – 2(2x + 1) = x + 2

c) x + 2x – 3x – 9 = 2x + 3

d) (5x + 2) – 4(3x + 1) = –2x + 8

e) \[\frac{3}{2} + \frac{4}{3}\left( {3x - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{3}x + 2\]

f) u + 2 – 2u + 3 = 3u – 4

Hướng dẫn giải

a) 2 + 3x = 5x – 3 ⇔ 2x = 5 ⇔ x = \[\frac{5}{2}\]

b) (3x – 5) – 2(2x + 1) = x + 2

⇔ 2x = –9

⇔ x = \[ - \frac{9}{2}\]

c) x + 2x – 3x – 9 = 2x + 3

⇔ –2x = 12

⇔ x = –6

d) (5x + 2) – 4(3x + 1) = –2x + 8

⇔ –5x = 10

⇔ x = –2

e) \[\frac{3}{2} + \frac{4}{3}\left( {3x - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{3}x + 2\]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{3}{2} + 4x - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}x + 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{11}}{3}x = \frac{7}{6}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{7}{{22}} \hfill \\ \end{gathered} \]

f) u + 2 – 2u + 3 = 3u – 4

⇔ 4u = 9

⇔ u = \[\frac{9}{4}\]

Bài 2. Giải các phương trình sau

a) \[\frac{{3x + 2}}{2} - \frac{{3x + 1}}{6} = \frac{5}{3} + 2x\]

b) \[\frac{{x + 2}}{3} - \frac{{3x - 1}}{5} = - 2\]

c) \[\frac{x}{{20}} - \frac{{x - 10}}{{25}} = - 2\]

d) \[\frac{{x + 1}}{{11}} - \frac{{2x - 5}}{{15}} = \frac{{3x - 47}}{{17}} - \frac{{4x - 59}}{{19}}\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{{3x + 2}}{2} - \frac{{3x + 1}}{6} = \frac{5}{3} + 2x\]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{3\left( {3x + 2} \right) - \left( {3x + 1} \right)}}{6} = \frac{{10 + 12x}}{6}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 9x + 6 - 3x - 1 = 10 + 12x \hfill \\ \Leftrightarrow 6x = - 5\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = - \frac{5}{6} \hfill \\ \end{gathered} \]

b) \[\frac{{x + 2}}{3} - \frac{{3x - 1}}{5} = - 2\]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{5\left( {x + 2} \right) - 3\left( {3x - 1} \right)}}{{15}} = \frac{{ - 30}}{{15}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 5x + 10 - 9x + 3 = - 30 \hfill \\ \Leftrightarrow - 4x = - 43\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{{43}}{4} \hfill \\ \end{gathered} \]

c) \[\frac{x}{{20}} - \frac{{x - 10}}{{25}} = - 2\]

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{5x - 4\left( {x - 10} \right)}}{{100}} = \frac{{ - 200}}{{100}} \hfill \\ \Leftrightarrow 5x - 4x + 40 = - 200\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = - 240 \hfill \\ \end{gathered} \]

d)

\[\begin{gathered} \frac{{x + 1}}{{11}} - \frac{{2x - 5}}{{15}} = \frac{{3x - 47}}{{17}} - \frac{{4x - 59}}{{19}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\frac{{x + 1}}{{11}} - 1} \right) - \left( {\frac{{2x - 5}}{{15}} - 1} \right) = \left( {\frac{{3x - 47}}{{17}} + 1} \right) - \left( {\frac{{4x - 59}}{{19}} + 1} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{x - 10}}{{11}} - \frac{{2\left( {x - 10} \right)}}{{15}} - \frac{{3\left( {x - 10} \right)}}{{17}} + \frac{{4\left( {x - 10} \right)}}{{19}} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 10} \right)\left( {\frac{1}{{11}} - \frac{2}{{15}} - \frac{3}{{17}} + \frac{4}{{19}}} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = 10 \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài 3. Tìm các giá trị của x sao cho hai biểu thức A và B sau đây có giá trị bằng nhau

a) A = 2x(x – 5) – (x + 3)2 và B = –2x – x(5 – x)

b) A = 2(26 – x) – 4x(x + 5) và B = 2x + 1 – (2x – 1)2

c) A = (x + 1)2 + (x – 1)2 và B = 2x(x + 1) – 6

Hướng dẫn giải

a) Ta có: A = B

⇔ 2x(x – 5) – (x + 3)2 = –2x – x(5 – x)

⇔ 2x2 – 10x – (x2 + 6x + 9) = –2x – 5x + x2

⇔ – 9x = 9

⇔ x = –1

b) Ta có: A = B

⇔ 2(26 – x) – 4x(x + 5) = 2x + 1 – (2x – 1)2

⇔ 52 – 2x – 4x2 – 20x = 2x + 1 – (4x2 – 4x + 1)

⇔ – 28x = –52

⇔ x = \[\frac{{13}}{7}\]

c) Ta có: A = B

⇔ (x + 1)2 + (x – 1)2 = 2x(x + 1) – 6

⇔ x2 + 2x + 1 + x2 – 2x + 1 = 2x2 + 2x – 6

⇔ 2x = 8

⇔ x = 4

Bài 4. Cho phương trình (a – 4)x + a(x + 3) = a + 1 (1)

a) Giải phương trình (1) với a = 3

b) Tìm a để phương trình (1) có nghiệm x = –2

Hướng dẫn giải

a) Khi a = 3 thì phương trình (1) trở thành

(3 – 4)x + 3(x + 3) = 3 + 1

⇔ 2x = –5

⇔ x = \[ - \frac{5}{2}\]

Vậy khi a = 3 thì phương trình (1) có nghiệm là x = \[ - \frac{5}{2}\]

b) Vì phương trình (1) có nghiệm x = –2 nên

(a – 4) ⋅ (–2) + a ⋅ (–2 + 3) = a + 1

⇔ –2a = –7

⇔ a = \[\frac{7}{2}\]

Bài 5. Cho phương trình

\[\begin{gathered} \frac{{3x + 1}}{2} - 2\left( {x - 3} \right) = 3\left( {x + 2} \right){\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ 2\left( {a - 1} \right)x - 3a\left( {x - 1} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \]

a) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm duy nhất đó

b) Giải phương trình (2) khi a = 2

c) Tìm giá trị của a để phương trình (2) có một nghiệm bằng 7 lần nghiệm của phương trình (1)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\[\begin{gathered} \frac{{3x + 1}}{2} - 2\left( {x - 3} \right) = 3\left( {x + 2} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{3x + 1 - 4\left( {x - 3} \right)}}{2} = \frac{{6\left( {x + 2} \right)}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow - 7x = - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{7} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = \[\frac{1}{7}\]

b) Khi a = 2 thì phương trình (2) trở thành

2(2 – 1)x – 3 ⋅ 2(x – 1) = 2 ⇔ –4x = –4 ⇔ x = 1.

Vậy khi a = 2 thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất là x = 1.

c) Theo đề phương trình (2) có nghiệm bằng 1 nên

2(a – 1) ⋅ 1 – 3a(1 – 1) = a ⇔ a = 2.

Bài 6. Tìm điều kiện của x để giá trị mỗi phân thức sau xác định

a) \[\frac{{3x - 6}}{{2\left( { - x + 3} \right)}}\]

b) \[\frac{{12x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}\]

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: 2(–x + 3) ≠ 0 ⇔ x ≠ 3.

b) ĐKXĐ: (x + 1)(x – 4) ≠ 0 ⇔ x ≠ –1; x ≠ 4.

Bài 7. Một xe máy khởi hành từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc trung bình 40 km/h. Sau 1 giờ một ô tô cũng khởi hành từ thành phố A đến thành phố B cùng đường với xe máy và với vận tốc trung bình là 52 km/h. Hãy viết phương trình biểu thị việc ô tô gặp xe máy sau x giờ, kể từ khi ô tô khởi hành. Tìm x.

Hướng dẫn giải

Quãng đường xe máy đi được đến lúc gặp nhau là 40(x + 1).

Quãng đường ô tô đi được đến lúc gặp nhau là 52x.

Ô tô gặp xe máy khi quãng đi được bằng nhau nên ta có phương trình

52x = 40(x + 1) ⇔ x = \[\frac{{10}}{3}\]

Vậy ô tô và xe máy gặp nhau sau khi ô tô đi được \[\frac{{10}}{3}\] giờ.

Bài 8. Bằng cách đặt ẩn phụ, giải các phương trình sau

a) \[\frac{{12\left( {10x + 3} \right)}}{7} - 5 = \frac{{8\left( {10x + 3} \right)}}{7} + 1\]

b) \[\left( {x\sqrt 2 + 1} \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right) = 3x\sqrt 2 + \sqrt 3 \]

Hướng dẫn giải

a) Đặt \[u = \frac{{10x + 3}}{7}\], phương trình trở thành

12u – 5 = 8u + 1 ⇔ 4u = 6 ⇔ u = \[\frac{3}{2}\]

Suy ra:

\[\frac{{10x + 3}}{7} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2\left( {10x + 3} \right) = 21 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\]

b) Ta có:

\[\begin{gathered} \left( {x\sqrt 2 + 1} \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right) = 3x\sqrt 2 + \sqrt 3 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x\sqrt 2 + 1} \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right) = 3x\sqrt 2 + 3 - 3 + \sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x\sqrt 2 + 1} \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right) = 3\left( {x\sqrt 2 + 1} \right) - 3 + \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \]

Đặt \[u = x\sqrt 2 + 1\], phương trình trở thành

\[\begin{gathered} u\left( {3 + \sqrt 3 } \right) = 3u - 3 + \sqrt 3 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt 3 u = \sqrt 3 - 3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow u = 1 - \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \]

Suy ra: \[x\sqrt 2 + 1 = 1 - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\]