Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Ở bài viết này, VerbaLearn sẽ giúp bạn tổng hợp toàn bộ lý thuyết đại cương về đường thẳng – mặt phẳng trong không gian và một số dạng bài tập đặc trưng có lời giải.

Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

1. Mở đầu về hình học không gian

Đối tượng cơ bản

+) Điểm: kí hiệu A, B, C, …

+) Đường thẳng: kí hiệu a, b, c, d, …

+) Mặt phẳng: kí hiệu (P), (Q), (α), (β), …

Quan hệ cơ bản

+) Thuộc: kí hiệu ∈. Ví dụ A ∈ d, M ∈ (P) …

+) Chứa, nằm trong: kí hiệu ⊂. Ví dụ: d ⊂ (P), b ⊂ (α)

Hình biểu diễn của một hình trong không gian

+) Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng biểu diễn bởi đoạn thẳng.

+) Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau)

+) Hai đoạn thẳng song song hoặc bằng nhau được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng song song và bằng nhau.

+) Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn (– – – –) để biểu diễn cho những đường bị che khuất.

2. Các tính chất thừa nhận trong hình học không gian.

+) Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng cho trước.

+) Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

+) Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

+) Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

Từ tính chất này suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng chung là duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Đường thẳng chung đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.

+) Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

3. Điều kiện xác định mặt phẳng.

+) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

+) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

+) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau. Mặt phẳng hoàn toàn có thể mở rộng ra đến vô cực.

4. Hình chóp và hình tứ diện.

+) Cho đa giác A₁A₂A₃… A_n nằm trong mặt phẳng (α) và điểm S ∉ (α) Lần lượt nối điểm S với các đỉnh A₁A₂A₃… A_n ta được n tam giác SA₁A_2,SA₂A₃, … SA_nA₁. Hình gồm đa giác A₁A₂A₃… A_n và n tam giác SA₁A_2,SA₂A₃, … SA_nA₁được gọi là hình chóp, kí hiệu hình chóp này là S. A₁A₂A₃… A_n. Khi đó ta gọi:

– S là đỉnh của hình chóp.

– A₁A₂A₃… A_n là mặt đáy của hình chóp.

– Các tam giác SA₁A_2,SA₂A₃, … SA_nA₁được gọi là các mặt bên.

Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, …, lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, ….

+) Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm 4 tam giác ABC, ACD, BCD, ABD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn gọi là tứ diện) và được kí hiệu là ABCD.

– Các điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ diện.

– Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện.

– Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện của tứ diện.

– Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là các mặt của tứ diện.

Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.

Dạng 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

+) Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng

+) Đường thẳng nối hai điểm đó là giao tuyến của chúng.

Ví dụ

Ví dụ 1: Cho tứ diện SABC. Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên cạnh AB và BC sao cho MN không song song với AC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:

a) (SMN) và (SAC)

b) (SAN) và (SCM)

Lời giải

a) Trong (ABC), Gọi K = MN ∩ AC, ta có:

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng SK.

b) Trong (ABC), Gọi H = AN ∩ CM, ta có:

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng SH.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, trong đó mặt đáy ABCD có các cặp đối không song song. Gọi điểm M thuộc cạnh SA. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:

a) (SAC) và (SBD)

b) (SAB) và (SCD)

c) (MBC) và (SAD)

Lời giải

a) Trong (ABCD), gọi E = AC ∩ BD, ta có:

Vậy đường thẳng giao tuyến là SE.

b) Trong (ABCD), gọi F = AB ∩ CD, ta có:

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là SF.

c) Trong (ABCD), gọi K = AD ∩ CB, ta có

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là MK.

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho tứ diện SABC. Gọi K, M lần lượt là hai điểm trên cạnh SA và SC. Gọi N là trung điểm của cạnh BC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau

a) (SAN) và (ABM)

b) (SAN) và (BCK)

Lời giải.

a) Trong (SBC), gọi E = SN ∩ BM, ta có:

Vậy đường thẳng giao tuyến là AE.

b) Ta có:

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng là KN.

Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB //CD và AB > CD. Lấy điểm M trên đoạn BC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

a) (SAC) và (SBD)

b) (SAM) và (SBD)

c) (SAD) và (SBC)

d) (SDM) và (SAB)

Lời giải.

a) Trong (ABCD, gọi E = AC ∩ BD, ta có:

Vậy đường thẳng giao tuyến là SE.

b) Trong (ABCD), gọi K = AD ∩ CB, ta có:

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là SK.

c) Trong (ABCD), gọi F = AM ∩ DB, ta có :

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là SF.

d) Trong (ABCD), gọi H = DM ∩ AB, ta có:

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là SH.

Bài 3: Cho tứ diện SABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, SA.

a) Tìm giao tuyến SH của hai mặt phẳng (SCD) và (SAE)

b) Tìm giao tuyến CI của hai mặt phẳng (SCD) và (BFC)

c) SH và CI có cắt nhau không? Giải thích? Nếu có, gọi giao điểm đó là O, chúng minh IH // SC. Tính tỉ số .

Lời giải.

a) Trong (ABC), gọi H = AE CD

Ta có: giao tuyến của (SCD) và (SAE) là SH.

b) Trong (SAB), gọi I = SD ∩ BF.

Ta có: giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (BFC) là CI.

c) Ta có: CI và SH cùng nằm trong mặt phẳng (SCD)

Xét tam giác SCD có I ∈ SD; H ∈ CD nên CI và SH cắt nhau tại O.

Ta có: I là trọng tâm tam giác SAB suy ra

H là trọng tâm tam giác ABC, suy ra:

Suy ra:

Vậy:

Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α)

+) Tìm một mặt phẳng phụ (β) chứa d sao cho dễ tạo giao tuyến với (α) Mặt phẳng này thường xác định bởi d và một điểm của (α)

+) Tìm giao tuyến u của (α) và (β)

+) Trong (β), d cắt u tại I, mà u ⊂ (α) Vậy d cắt (α) tại I.

Ví dụ

Ví dụ 1: Cho tứ diện SABC có M là điểm nằm trên tia đối của tia SA, O là điểm nằm trong tam giác ABC. Tìm các giao điểm của

a) Đường thẳng BC và mặt phẳng (SOC)

b) Đường thẳng MO và mặt phẳng (SBC)

c) Đường thẳng AB và mặt phẳng (MOC)

d) Đường thẳng SB và mặt phẳng (MOC)

Lời giải

a) Trong mặt phẳng (ABC), kéo dài AO cắt BC tại I.

Ta có: ⇒ I là giao điểm của BC và (SOA)

b) Chọn mặt phẳng chứa MO là (SOA), ta có: (SOA) ∩ (SBC) = SI.

Trong (SOA) ≡ (SMI), gọi J là giao điểm của SI và MO.

Ta có: ⇒ J là giao điểm của MO và (SBC)

c) Trong mặt phẳng (ABC), kéo dài CO cắt AB tại K.

Ta có: ⇒ K là giao điểm của AB và (MOC)

d) Chọn mặt phẳng phụ chứa SB là (SAB), ta có: (SAB) ∩ (MOC) = MK.

Trong (SAB) ≡ (MAB), gọi H là giao điểm của SB và MK.

Ta có: ⇒ H là giao điểm của SB và (MOC)

Ví dụ 2: Cho tứ diện SABC có hai điểm M, N lần lượt thuộc hai cạnh SA, SB và O là điểm nằm trong tam giác ABC. Xác định giao điểm của

a) Đường thẳng AB và mặt phẳng (SOC)

b) Đường thẳng MN và mặt phẳng (SOC)

c) Đường thẳng SO và mặt phẳng (CMN)

Lời giải

a) Trong mặt phẳng (ABC), kéo dài CO cắt AB tại I.

Ta có: ⇒ I là giao điểm của AB và (SOC)

b) Chọn mặt phẳng phụ chứa MN là (SAB), ta có: (SAB) ∩ (SOC) = SI.

Trong (SAB), gọi K là giao điểm của SI và MN.

Ta có: ⇒ K là giao điểm của MN và (SOC)

c) Chọn mặt phẳng phụ chứa SO là (SIC), ta có: (SIC) ∩ (CMN) = KC.

Trong (SIC), gọi H là giao điểm của KC và SO.

Ta có: ⇒ H là giao điểm của SO và (CMN)

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm P trên cạnh sao cho PB > PD. Tìm giao điểm của

a) CD và (MNP)

b) AD và (MNP)

Lời giải.

a) Trong mặt phẳng (BCD), xét tam giác BCD có nên NP và DC cắt nhau giả sử tại Q.

Rõ ràng: Q ∈ CD theo cách dựng.

Lại có: Q ∈ NP ⊂ (MNP) nên Q ∈ (MNP)

Vậy: Q = CD ∩ (MNP)

b) Trong mặt phẳng (ACD) nối Q với M cắt AD tại E.

Dễ thấy: E ∈ AD theo cách dựng.

Lại có: E ∈ MQ ⊂ (MNP) nên E ∈ (MNP)

Vậy: E = AD ∩ (MNP)

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không song song với CD. Gọi O là điểm thuộc miền trong ∆BCD. Tìm giao điểm của

a) BD và (OMN)

b) BC và (OMN)

c) MN và (ABO)

d) AO và (BMN)

Lời giải.

Trong mặt phẳng (ACD), vì MN không song song với CD nên ta giả sử MN cắt CD tại E.

Trong mặt phẳng (BCD), nối E với O kéo dài cắt BD và BC lần lượt tại F và G.

a) Ta có: F ∈ OE ⊂ (OMN) và F ∈ Suy ra F = BD ∩ (OMN)

b) Theo cách dựng thì G ∈ BC và G ∈ OE ⊂ (OMN) Vậy G = BC ∩ (OMN)

Trong mặt phẳng (BCD) kéo dài BO cắt DC tại H.

Trong mặt phẳng (ADC) nối H với A cắt MN tại I.

Vì H ∈ BO ⊂ (ABO) nên AH ⊂ (ABO)

Suy ra: I ∈ (ABO)

Vậy: I = MN ∩ (ABO)

d) Trong mặt phẳng (ABH) nối B với I cắt AO tại J.

Rõ ràng J ∈ AO theo cách dựng và J ∈ BI ⊂ (BMN)

Vậy: J = AO ∩ (BMN)

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SB, N là trọng tâm OSCD. Xác định giao điểm của

a) MN và (ABCD)

b) MN và (SAC)

c) SC và (AMN)

d) SA và (CMN)

Lời giải.

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh SD và DC.

Trọng tâm của tam giác SCD là N = SJ ∩ CI

a) Trong mặt phẳng (ABCD) nối B với J cắt AC và AD lần lượt tại E và K.

Vì DK // BC nên theo hệ quả của Định lý Talet ta có:

Vậy ∆SCD và ∆SBK có chung đường trung tuyến là SJ.

Vì thế trọng tâm N của ∆SCD cũng là trọng tâm của ∆SBK.

Suy ra: K ∈ MN.

Lúc đó: K = MN ∩ (ABCD)

b) Trong mặt phẳng (SBJ) nối S với E cắt MN tại F. Ta có: F = MN ∩ (SAC)

c) Trong mặt phẳng (SCD) nối N với D kéo dài cắt SC tại H.

Vì D ∈ AK ⊂ (AMN) nên ND ⊂ (AMN)

Suy ra: H ∈ (AMN)

Vậy: H = SC ∩ (AMN)

d) Theo cách dựng ta thay IK = (CMN) ∩ (SAD)

Trong mặt phẳng (SAD) kéo dài IK cắt SA tại G.

Lúc đó: G = SA ∩ (CMN)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O. Trên SA, SB lần lượt lấy hai điểm

M và N.

a) Tìm giao điểm của SO và (CMN)

b) Tìm giao tuyến của (SAD) và (CMN)

Lời giải.

Trong mặt phẳng (SAC) nối S với O cắt MC tại I.

Trong mặt phẳng (SBD) kéo dài IN cắt SD tại J. Lúc đó:

a) I = SO ∩ (CMN)

b) J ∈ (SAD) ∩ (CMN)

Lại có: M ∈ (SAD) ∩ (CMN)

Vậy: JM = (SAD) ∩ (CMN)

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA, SD và P là điểm thuộc cạnh SB sao cho SP = 3PB.

a) Tìm giao điểm Q của SC và (MNP)

b) Tìm giao tuyến của (MNP) và (ABCD)

Lời giải.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Trong mặt phẳng (SBD) gọi I là giao điểm của NP với SO.

Lúc đó: I ∈ (MNP) và MI ⊂ (SAC)

a) Trong mặt phẳng (SAC) gọi Q là giao điểm của MI và SC.

Vì Q ∈ MI nên Q = SC ∩ (MNP)

b) Trong mặt phẳng (SAC) gọi G là giao điểm của MI và AC.

Lúc đó: G ∈ (MNP) ∩ (ABCD)

Trong mặt phẳng (SAB), vì nên MP và AB cắt nhau.

Gọi H là giao điểm của MP và AB.

Ta có: H ∈ (MNP) ∩ (ABCD)

Vậy: GH = (MNP) ∩ (ABCD)

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC, N là trung điểm của OB với O là giao điểm của AC và BD.

a) Tìm giao điểm I của SD với (AMN)

b) Tính tỉ số

Lời giải.

a) Trong mặt phẳng (ABCD) nối A với N kéo dài cắt DC tại J và cắt BC tại L.

Trong mặt phẳng (SDC) nối J với M kéo dài cắt SD tại I.

Vì J ∈ AN ⊂ (AMN) nên MJ ⊂ (AMN)

Suy ra: I ∈ (AMN)

Vậy: I = SD ∩ (AMN)

b) Trong mặt phẳng (ABCD), vì AB // DJ nên ∆NAB đồng dạng với ∆NJD. Suy ra:

Trên cạnh SD lấy điểm P sao cho I là trung điểm của SP.

Ta có: IM là đường trung bình của ∆SPC nên IM // PC ⇒ IM // IJ.

Áp dụng Định lý Talet trong ∆DIJ ta có:

và

Vậy:

Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh SA sao

MA = 2MS, K là trung điểm BC và D là điểm đối xứng của G qua A.

a) Tìm giao điểm H của SK với (MCD)

b) Tính tỉ số

Lời giải

a) Trong mặt phẳng (SDK) kéo dài DM cắt SK tại H.

Lúc đó H = SK ∩ (MCD)

b) Trong mặt phẳng (SDK) vẽ đường thẳng qua A và song song với SK cắt DH tại E.

Vì AE // SH nên theo Hệ quả của Định lý Talet ta có:

Trong ∆DHK ta có: AE // HK nên theo Định lý Talet thì:

Ta có:

Vậy:

Bài 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD.

a) Tìm giao điểm E của CD với (IJK) Chứng minh: DE = DC.

b) Tìm giao điểm F của AD với (IJK) Chứng minh: FA = 2FD và FK // IJ.

c) Gọi M và N là hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD. Tìm giao điểm của MN với (IJK)

Lời giải.

a) Trong mặt phẳng (BCD) kéo dài JK cắt CD tại E.

Lúc đó, dễ thấy E ∈ CD theo cách dựng.

Lại có: E ∈ KJ ⊂ (IJK)

Suy ra: E = CD ∩ (IJK)

Trong mặt phẳng (BCD) lấy điểm E’ thuộc đường thẳng DC sao cho D là trung điểm của E’C.

Xét ∆E’BC có BD và E’J là các đường trung tuyến.

Vì BK = 2KD nên K là trọng tâm ∆E’BC.

Suy ra E’, K, J thẳng hàng.

Từ đây có E’ = DC ∩ KJ.

Vậy E’ ≡ E. Suy ra DE = DC.

b) Trong mặt phẳng (ACD), nối I với E cắt AD tại F.

Lúc đó rõ ràng F ∈ AD và vì F ∈ EI ⊂ (IJK) nên F ∈ (IJK)

Vậy F = AD ∩ (IJK)

Trong ∆AEC, vì các điểm D, I lần lượt là trung điểm của EC và AC nên F = AD ∩ EI chính là trọng tâm của ∆AEC.

Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có: FA = 2FD.

Vì IJ là đường trung bình của tam giác ABC nên IJ // AB.

Mặt khác, vì nên theo Định lý Talet ta có: FK // AB.

Từ đó suy ra FK // IJ.

c) Trong mặt phẳng (BCD) nối B với N cắt KJ tại Q. Ta có: Q ∈ (IJK)

Trong mặt phẳng (ADC) nối A với N cắt EI tại P.

Vì (IJK) ≡ (IEJ) nên P ∈ EI ⊂ (IEJ) ⇒ P ∈ (IJK)

Trong mặt phẳng (ABN) nối P với Q cắt MN tại H.

Lúc đó, vì H ∈ PQ ⊂ (IJK) nên H ∈ (IJK)

Vậy H = MN ∩ (IJK)

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD // BC và AD = 2BC, E là trung điểm của SA. Gọi N là điểm thuộc đoạn AB sao cho NB = 2NA và M là điểm thuộc đoạn CD sao cho MD = 2MC.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (EMN) và (SAD)

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (EMN) và (SCD)

c) Tìm giao điểm của đường thẳng EM và mặt phẳng (SBC)

d) Tìm giao tuyến của (CDE) và (SAB) Giao tuyến này cắt SB tại P và cắt AB tại I. Chứng minh: 2SB = 3SP và S_∆IDE= 3S_∆ICP.

Lời giải.

a) Trong mặt phẳng (ABCD) kéo dài MN và AD cắt nhau tại J.

Lúc đó: J ∈ AD ⊂ (SAD) và J ∈ MN ⊂ (EMN)

Vì thế: J ∈ (SAD) ∩ (EMN)

Dễ thấy: E ∈ (SAD) ∩ (EMN)

Vậy: EJ = (EMN) ∩ (SAD)

b) Trong mặt phẳng (SAD) kéo dài JE cắt SD tại Q.

Vì JE ⊂ (EJM) ≡ (EMN) nên Q ∈ (EMN)

Lúc đó: QM = (EMN) ∩ (SCD)

c) Trong mặt phẳng (SAB) kéo dài NE và SB cắt nhau tại K.

Lúc đó: K ∈ (EMN) ∩ (SBC)

Trong mặt phẳng (ABCD) kéo dài MN và BC cắt nhau tại H.

Ta có: H ∈ (EMN) ∩ (SBC)

Suy ra: GH = (EMN) ∩ (SBC)

Trong mặt phẳng (EMN) kéo dài KH và EM cắt nhau tại L.

Vì KH ⊂ (SBC) nên L ∈ (SBC)

Vậy L = EM ∩ (SBC)

d) Trong mặt phẳng (ABCD) kéo dài CD và AB cắt nhau tại I.

Lúc đó IE = (CDE) ∩ (SAB)

Trong mặt phẳng (ABCD) vì BC // AD nên áp dụng Định lý Talet với ∆IAD ta có:

Trong mặt phẳng (SAB) xét∆SIA có B và E lần lượt là trung điểm các cạnh IA và SA.

Lúc đó P = IE ∩ SB là trọng tâm ∆SIA.

Theo tính chất trọng tâm thì

Ta có:

Vậy: S_∆IDE = 3S_∆ICP.

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB đáy lớn và AB = 3CD. Gọi N là trung điểm của CD, M là điểm trên cạnh SB thỏa SM = 3MB, điểm I trên cạnh SA và thỏa AI = 3IS.

a) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với (SAD)

b) Gọi H là giao điểm của CB với (IMN) Tính tỉ số .

Lời giải

Trong mặt phẳng (SAB) vì nên IM và AB cắt nhau.

Gọi J là giao điểm của IM và AB.

Trong mặt phẳng (ABCD) nối J, N cắt AD tại P.

Trong mặt phẳng (IMN) nối M, N cắt IP tại K.

a) Theo cách dựng, dễ thấy K ∈

Vì K ∈ IP ⊂ (SAD) nên K ∈ (SAD)

Vậy K = MN ∩ (SAD)

b) Vì H là giao điểm của CB với (IMN) nên H = CB ∩ NJ.

Ta có:

Vì NC // BJ nên theo Hệ quả của Định lý Talet ta có:

Trong mặt phẳng (SAB) vẽ đường thẳng qua B và song song với SA cắt IJ tại O.

Vì BO // SI nên áp dụng Hệ quả Định lý Talet ta có:

Vì BO // AI nên áp dụng Định lý Talet trong ∆JAI ta có:

Từ đó có:

Dạng 3. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (α)

Phương pháp giải: Ta tìm các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau của mặt phẳng (α) với các mặt của hình chóp cho đến khi khép kín thành một đa giác phẳng. Đa giác đó là thiết diện cần tìm và các đoạn giao tuyến chính là các cạnh của thiết diện.

Ví dụ

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD, trên các đoạn CA, CB, BD lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho MN không song song với AB. Gọi (α) là mặt phẳng xác định bởi ba điểm M, N, P. Xác định thiết diện tạo bởi (α) và tứ diện ABCD?

Lời giải

Trong mặt phẳng (ABC), do MN và AB không song song nên chúng cắt nhau giả sử tại E.

Khi đó: điểm E nằm ngoài đoạn AB.

Trong mặt phẳng (ABD), gọi Q là giao điểm của EP và AD. Ta có:

+) (MNP) ∩ (ABC) = MN.

+) (MNP) ∩ (BCD) = MP. M

+) (MNP) ∩ (ABD) = PQ.

+) (MNP) ∩ (ACD) = QN.

Vậy thiết diện cắt tứ diện ABCD bởi mặt phẳng (α) là tứ giác MNQP.

Hãy thiết diện cắt tứ diện ABCD bởi mặt mặt phẳng (MNP) là tứ giác MNQP

Ví dụ 2: Cho tứ diện SABC và O là một điểm thuộc miền trong tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh SA và SC không song song với AC. Xác định thiết diện cắt tứ diện SABC bởi mặt phẳng (MNO)

Lời giải

Trong mặt phẳng (SAC), do MN và AC không song song nên chúng cắt nhau giả sử tại E.

Khi đó: điểm E nằm ngoài đoạn AC.

Trong mặt phẳng (ABC), gọi P, Q lần lượt là giao điểm của EO với BC và AB. Ta có:

+) (MNO) ∩ (SAC) = MN.

+) (MNO) ∩ (SBC) = NP.

+) (MNO) ∩ (ABC) = PQ.

+) (MNO) ∩ (SAB) = QM.

Vậy thiết diện cắt tứ diện SABC bởi mặt phẳng (MNO) là tứ giác MNPQ.

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC. Trên các cạnh SA, SB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không song song với AB. Gọi P là điểm thuộc miền trong tam giác ABC. Xác định giao tuyến của (MNP) và (ABC) từ đó suy ra thiết diện khi cắt hình chóp S.ABC bởi mặt phẳng (MNP)

Lời giải.

Trong mặt phẳng (SAB), do MN không song song với AB nên chúng cắt nhau giả sử tại E.

Khi đó: E nằm ngoài đoạn AB.

Trong mặt phẳng (ABC), Gọi K, H lần lượt là giao điểm của EP với các đoạn BC, AC (Vì P thuộc miền trong tam giác (ABC)) Khi đó ta có:

+) (MNP) ∩ (SAB) = MN.

+) (MNP) ∩ (SBC) = NK.

+) (MNP) ∩ (ABC) = KH.

+) (MNP) ∩ (SAC) = HM.

Vậy thiết diện cắt hình chóp S.ABC bởi mặt phẳng (MNP) là tứ giác MNKH.

Bài 2: Cho tứ diện SABC. Gọi K, N lần lượt là trung điểm của SA, BC và M là điểm thuộc đoạn sao cho 3SM = 2MC.

a) Tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (KMN)

b) Mặt phẳng (KMN) cắt AB tại I. Tính tỉ số

ĐS:

Lời giải.

a) Trong mặt phẳng (SAC), vì nên KM không song song với AC.

Gọi E là giao điểm của KM và AC.

Trong mặt phẳng (ABC), gọi I là giao điểm của EN và AB

Khi đó: I là giao điểm của AB với (KMN) Ta có:

+) (KMN) ∩ (SAC) = MK.

+) (KMN) ∩ (SAB) = KI.

+) (KMN) ∩ (ABC) = IN.

+) (KMN) ∩ (SBC) = NM.

Vậy thiết diện cắt tứ diện SABC bởi mặt phẳng (KMN) là tứ giác MNIK.

b) Trên SC lấy điểm P sao cho M là trung điểm cua SP. Khi đó ta có:

+) AP // KM theo tính chất đường trung bình của tam giác SAP nên AP // EM

+) Gọi H là trung điểm của AB, khi đó NH // AC (Tính chất đường trung bình)

Do đó:

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang thỏa mãn AB // CD, AB > CD. Gọi

I, J theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB, SC.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với (AIJ)

c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AIJ)

Lời giải.

a) Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) có S là một điểm chung.

Lại có: AD // BC theo giả thiết và S ∉ (ABCD) nên giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng d đi qua S và song song với AD, BC.

b) Do IJ là đường trung bình của tam giác SBC nên IJ // BC mà I ∉ (ABCD) ⇒ IJ // AD.

Vì vậy A, D, I, J xác định mặt phẳng (ADJI) hay D ∈ (AIJ)

Mặt khác: D ∈ SD nên D là giao điểm của SD với (AIJ)

c) Từ kết quả trên ta có:

+) (AIJ) ∩ (ABCD) = AD.

+) (AIJ) ∩ (SCD) = DJ.

+) (AIJ) ∩ (SBC) = JI.

+) (AIJ) ∩ (SAB) = IA.

Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AIJ) là hình thang ADJI.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD. Lấy một điểm M thuộc miền trong tam giác SBC. Lấy điểm N thuộc miền trong tam giác SCD.

a) Tìm giao điểm của MN và mặt phẳng (SAC)

b) Tìm giao điểm của SC và mặt phẳng (AMN)

c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN)

Lời giải.

a) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của AC và EF.

Khi đó: SO = (SAC) ∩ (SEF)

Trong mặt phẳng (SEF), gọi {I} = MN ∩ SO.

Ta có: I ∈ SO ⇒ I ∈ (SAC)

Mà: I ∈ MN nên {I} = MN ∩ (SAC)

b) Theo chứng minh trên ta suy ra AI = (AMN) ∩ (SAC)

Trong mặt phẳng (SAC), gọi P là giao điểm của AI và SC.

Khi đó: do P ∈ AI ⇒ P ∈ (AMN)

Mà: P ∈ SC nên {P} = SC ∩ (AMN)

c) Do M, P ∈ (SBC) nên trong mặt phẳng (SBC), gọi R là giao điểm của PM với SB.

Ta có: PM ⊂ (AMN) nên R ∈ (AMN)

Tương tự, trong mặt phẳng (SCD), gọi Q là giao điểm của PN với SD ta có: Q ∈ (AMN) Vì vậy:

+) (AMN) ∩ (SAB) = AR.

+) (AMN) ∩ (SBC) = RP.

+) (AMN) ∩ (SCD) = PQ.

+) (AMN) ∩ (SAD) = QA.

Vậy thiết diện cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt phẳng (AMN) là tứ giác ARPQ.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của

G là trọng tâm tam giác SAD.

a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) Chứng minh I thuộc đường thẳng CD và IC = 2ID.

b) Tìm giao điểm J của AD và (OMG) Tính tỉ số

ĐS:

c) Tìm giao điểm K của SA và (OMG) Tính tỉ số

ĐS:

d) Tìm thiết diện cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt phẳng (OMG)

Lời giải.

a) Gọi E, N lần lượt là trung điểm của AD, SA.

Ta có: M là trung điểm của SB, G là trọng tâm của tam giác SAD.

Trong mặt phẳng (SBE) có suy ra MG và BE không song song.

Do đó: MG và BE cắt nhau.

Lại do: BE ⊂ (ABCD), {I} = MG ∩ (ABCD) nên I ∈ BE.

Vậy: giao điểm I của MG và (ABCD) là giao điểm I của MG và BE.

Do MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN // AB ⇒ MN // CD.

Suy ra: MN, CD xác định mặt phẳng (MNDC)

Lại do: G là trọng tâm tam giác SAD nên G ∈ ND ⇒ G ∈ (MNDC), I ∈ MG ⇒ I ∈ (MNDC)

Mặt khác: (MNDC) ∩ (ABCD) = CD, I ∈ (MNDC), I ∈ (ABCD) nên I ∈ CD.

Mà: AD // BC nên ED // BC

b) Dễ thấy I ∈ (OMG)

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi J’ là giao điểm của AD và OI.

Vì OI ⊂ (OMG) ⇒ J’ ∈ (OMG) nên AD ∩ (OMG) = {J’}.

Mà J là giao điểm của AD và (OMG) (gt) nên J’ ≡ J.

Vậy J là giao điểm cua IO và AD.

Dễ thấy J là trọng tâm ∆IAC nên

c) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi F là giao điểm của BI và AC suy ra (SBI) ∩ (SAC) = SF.

Trong mặt phẳng (SBI), gọi H là giao điểm của MI và SF.

Ta có: H ∈ MG ⇒ OH ⊂ (OMG) và H thuộc (SAC)

Trong mặt phẳng (SAC), gọi K’ là giao điểm của OH và SA.

Khi đó: do K’ ∈ OH ⇒ K ∈ (OMG) ⇒ SA ∩ (OMG) = {K’} hay K’ ≡ K.

Vậy: K là giao điểm của OH với SA.

Lại có: K, G, J là các điểm chung của hai mặt phẳng (OMG) và (SAD) nên K, G, J thẳng hàng.

Gọi Q là trung điểm của SD, vì J là trọng tâm ∆IAC. Xét ∆SAD có:

d) Từ chứng minh trên ta suy ra

+) (OMG) ∩ (SAB) = KM.

+) (OMG) ∩ (SBC) = MP.

+) (OMG) ∩ (ABCD) = PJ.

+) (OMG) ∩ (SAD) = JK.

Vậy thiết diện cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt phẳng (OMG) là tứ giác KMPJ.

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SD và OC.

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt phẳng (SAC) và (ABCD)

b) Tìm giao điểm của SA với mặt phẳng (MNP)

c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (MNP) Tính tỉ số mà mặt phẳng (MNP) chia các canh SA, BC và CD.

ĐS:

Lời giải.

Do M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

Suy ra: MN // BD.

Ta có: (PMN) ∩ (SBD) = MN.

Trong mặt phẳng (SBD), gọi I là giao điểm của MN và SO.

Khi đó: vì I ∈ SO ⇒ I ∈ (SAC),

P ∈ AC ⇒ P ∈ (SAC) suy ra (PMN) ∩ (SAC) = PI.

Hai mặt phẳng (PMN) và (ABCD) có P là một điểm chung.

Mà MN // BD, P ∉ MN, P ∉ BD nên giao tuyến của (PMN) và (ABCD) là đường thẳng qua P, song song với MN và song song với BD, cắt các cạnh BC, CD lần lượt tại H và K.

b) Trong mặt phẳng (SAC), gọi E là giao điểm của PI và SA. Ta có:

+) E ∈ PI, PI ⊂ (PMN) ⇒ E ∈ (PMN)

+) Mà E ∈ SA nên E là giao điểm của SA với (PMN)

c) Ta có: (PMN) lần lượt giao với các cạnh SA, SB, BC, CD, SD tại các điểm E, M, H, K, N nên:

+) (PMN) ∩ (SAB) = EM.

+) (PMN) ∩ (SBC) = MH.

+) (PMN) ∩ (ABCD) = HK.

+) (PMN) ∩ (SCD) = KN.

+) (PMN) ∩ (SAD) = NE.

Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (PMN) là ngũ giác EMHKN.

Vì MN là đường trung bình trong tam giác ABD nên I là trung điểm của SO.

Trong tam giác SOC có IP là đường trung bình nên IP // SC.

Do đó: trong tam giác SAC có PE // SC suy ra

Lại có: P là trung điểm của OC, HK qua P và HK // BD nên HK là đường trung bình của tam giác BCD.

Do đó:

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Trên các cạnh SB, SD ta lần lượt lấy các điểm M, N sao cho

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (SCD)

b) Tìm giao điểm I của SC và mặt phẳng (AMN) Suy ra thiết diện của mặt phẳng (AMN) và

hình chóp S.ABCD.

c) Gọi K là giao điểm của IN và CD. Tính tỉ số .

ĐS:

Lời giải.

a) Trong mặt phẳng (SBD) Theo bài ra ta có:

Do đó: MN cắt BD giả sử tại E.

Hai mặt phẳng (AMN) và (ABCD) có hai điểm chung A và E nên (AMN) ∩ (ABCD) = AE.

Trong mặt phẳng (ABCD), GQI K là giao điểm của AE và CD. Khi đó:

+) K ∈ AE ⇒ K ∈ (AMN)

+) K ∈ CD ⇒ K ∈ (SCD) Suy ra K là một điểm chung của (AMN) và (SCD)

+) Mặt khác (AMN) và (SCD) có điểm N chung (vì N ∈ SD)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (SCD) là đường thẳng KN.

b) Trong mặt phẳng (SCD), gọi I là giao điểm của KN và SC.

Khi đó: I ∈ KN ⇒ I ∈ (AMN)

Vậy I là giao điểm của SC và (AMN)

Do (AMN) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm A, M, I, N nên:

+) (AMN) ∩ (SAB) = AM.

+) (AMN) ∩ (SBC) = MI.

+) (AMN) ∩ (SCD) = IN.

+) (AMN) ∩ (SAD) = NA.

Suy ra thiết diện của mặt phẳng (AMN) và hình chóp S.ABCD là tứ giác AMIN.

Ta có: K ∈ CD và K, I, N thẳng hàng.

Lấy điểm P trên cạnh SB sao cho PD // MN.

Khi đó ta có:

Vì: BM = 2SM.

Xét tam giác BME, ta cũng có PD // ME nên

Xét tam giác ABE, có KD // AB nên

Suy ra:

Dạng 4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Phương pháp giải

Giả sử chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng

+) Xét hai mặt phẳng (P) và (Q) Chứng minh ba điểm I, J, K là ba điểm chung của (P) và (Q)

+) Khi đó I, J, K thuộc giao tuyến của (P) và (Q) hay I, J, K thẳng hàng.

Ví dụ

Ví dụ 1: Cho tứ diện SABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy M, N, P sao cho MN cắt AB tại I, NP cắt BC tại J và MP cắt AC tại K. Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Lời giải

Xét hai mặt phẳng (ABC) và (MNP) Ta có

+) (1)

+) (2)

+) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra I, J, K cùng thuộc đường thẳng giao tuyến của (ABC) và (MNP)

Vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O hai điểm, M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD, điểm P thuộc SC và không là trung điểm của SC.

a) Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng (MNP)

b) Tìm giao điểm Q của SA với mặt phẳng (MNP)

c) Gọi F, G, H lần lượt là giao điểm của QM và AB, QP và AC, QN và AD. Chứng minh ba điểm F, G, H thẳng hàng.

Lời giải

a) Trong mặt phẳng (SBD), gọi I = SO ∩ MN. Ta có:

b) Trong mặt phẳng (SAC), gọi Q = SA ∩ IP. Ta có:

c) Xét hai mặt phẳng (ABCD) và (MNPQ) Ta có:

⇒ F ∈ (ABCD) ∩ (MNPQ) (1)

⇒ G ∈ (ABCD) ∩ (MNPQ) (2)

⇒ H ∈ (ABCD) ∩ (MNPQ) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra F, G, H cùng thuộc đường thẳng giao tuyến của (ABCD) và (MNPQ)

Vậy ba điểm F, G, H thẳng hàng.

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm

a) Tìm giao tuyến của (ADN) và (ABP)

b) Gọi I = AG ∩ MP và J = CM ∩ AN. Chứng minh D, I, J thẳng hàng.

Lời giải.

a) Ta có: A ∈ (ADN) ∩ (ABP) (1)

Mặt khác:

⇒ G ∈ (ADN) ∩ (ABP) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (ADN) ∩ (ABP) = AG.

b) Xét hai mặt phẳng (CDM) và (ADN) Ta có:

+) D ∈ (CDM) ∩ (ADN) (3)

⇒ I ∈ (CDM) ∩ (ADN) (4)

⇒ J ∈ (CDM) ∩ (ADN) (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra D, I, J thẳng hàng.

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có K là trung điểm của AB. Lấy I, J lần lượt thuộc AC, BD sao cho IA = 2IC và JB = 3JD

a) Tìm giao điểm E của AD và (IJK)

b) Tìm giao tuyến d của (IJK) và (BCD)

c) Gọi O là giao điểm của d với CD. Chứng minh I, O, E thẳng hàng.

d) Tính các tỉ số và

ĐS: và

Lời giải

a) Trong (ABD), gọi AD ∩ KJ = E. Ta có:

b) Trong (ABC), gọi KI ∩ BC = F. Ta có:

⇒ I ∈ (IJK) ∩ (BCD) (1)

⇒ F ∈ (IJK) ∩ (BCD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (IJK) ∩ (BCD) = FJ hay d ≡ FJ.

c) Trong (BCD), O = FJ ∩ CD.

Xét hai mặt phẳng (IJK) và (ACD) Ta có:

⇒ I ∈ (IJK) ∩ (ACD) (3)

⇒ O ∈ (IJK) ∩ (ACD) (4)

⇒ E ∈ (IJK) ∩ (ACD) (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra I, O, E thẳng hàng.

d) Áp dụng định lí Menelaus trong các tam giác sau.

Tam giác ABC có K, I, F thẳng hàng

⇒ C là trung điểm của BF.

Tam giác BCD có F, O, J thẳng hàng

Tam giác ABD có K, J, E thẳng hàng

Tam giác AIE có C, O, D thẳng hàng

Vậy: và

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD là đáy lớn và AD = 2BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC và O = AC ∩ BD.

a) Tìm giao tuyến của (ABN) và (SCD)

ĐS: (ABN) ∩ (SCD) = EN với E = AB ∩ CD

b) Tìm giao điểm P của DN và (SAB)

ĐS: P = DN ∩ SE

c) Gọi K = AN ∩ DM. Chứng minh S, K, O thẳng hàng. Tính tỉ số .

ĐS:

Lời giải.

a) Ta có: N ∈ (ABN) ∩ (SCD)

Trong (ABCD), gọi AB ∩ CD = E

⇒ E ∈ (ABN) ∩ (SCD)

Suy ra: (ABN) ∩ (SCD) = EN.

b) Trong (SCD), gọi DN ∩ SE = P

⇒ P = DN ∩ (SAB) A

c) Xét hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) có:

+) S ∈ (SAC) ∩ (SBD) (1)

⇒ K ∈ (SAC) ∩ (SBD) (2)

⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra S, K, O thẳng hàng.

Vì AD // BC nên ∆OAD ∼ ∆OCB

Áp dụng định lí Menenalus vào ∆SOC có A, K, N thẳng hàng

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC.

a) Tìm giao tuyến của (BMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SBC)

ĐS: (BMN) ∩ (SAB) = BM và (BMN) ∩ (SBC) = BN

b) Tìm I = SO ∩ (BMN) và K = SD ∩ (BMN)

ĐS: SO ∩ MN = I và SD ∩ BI = K

c) Tìm E = AD ∩ (BMN) và F = CD ∩ (BMN)

ĐS: MK ∩ AD = E và NK ∩ CD = F

d) Chứng minh rằng ba điểm B, E, F thẳng hàng.

ĐS: B, E, F là điểm chung của (ABCD) và (MNP)

Lời giải.

a) Ta có: (BMN) ∩ (SAB) = BM

và (BMN) ∩ (SBC) = BN

b) Trong (SAC), gọi SO ∩ MN = I

⇒ I = SO ∩ (BMN)

Trong (SBD), gọi SD ∩ BI = K

⇒ K = SD ∩ (BMN)

c) Trong (SAD), gọi MK ∩ AD = E

⇒ E = AD ∩ (BMN)

Trong (SCD), gọi NK ∩ CD = F

⇒ F = CD ∩ (BMN)

d) Xét hai mặt phẳng (ABCD) và (BMN) có:

⇒ B ∈ (ABCD) ∩ (BMN) (1)

⇒ E ∈ (ABCD) ∩ (BMN) (2)

⇒ F ∈ (ABCD) ∩ (BMN) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra B, E, F thẳng hàng.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I và J là hai điểm trên hai cạnh AD, SB.

a) Tìm giao tuyến của (SBI) và (SAC) Tìm giao điểm K của IJ và (SAC)

b) Tìm giao tuyến của (SBD) và (SAC) Tìm giao điểm L của DJ và (SAC)

c) Gọi O = AD ∩ BC, M = OJ ∩ SC. Chứng minh rằng A, K, L, M thẳng hàng.

ĐS: A, K, L, M là điểm chung của (SAC) và (AOJ)

Lời giải.

a) Ta có: S ∈ (SBI) ∩ (SAC)

Trong (ABCD), gọi BI ∩ AC = E

⇒ E ∈ (SBI) ∩ (SAC)

Suy ra: (SBI) ∩ (SAC) = SE

Trong (SBI), gọi IJ ∩ SE = K

⇒ K = IJ ∩ (SAC)

b) Ta có: S ∈ (SBD) ∩ (SAC)

Trong (ABCD), gọi AC ∩ BD = F

⇒ F ∈ (SBD) ∩ (SAC)

Suy ra: (SBD) ∩ (SAC) = SF.

Trong (SBD), gọi DJ ∩ SF = L

⇒ L = DJ ∩ (SAC)

c) Xét (SAC) và (AOJ) có:

+) A ∈ (SAC) ∩ (AOJ) (1)

⇒ K ∈ (SAC) ∩ (AOJ) (2)

⇒ L ∈ (SAC) ∩ (AOJ) (3)

⇒ M ∈ (SAC) ∩ (AOJ) (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra A, K, L, M thẳng hàng.

Bài 6: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC, BD lần lượt lấy ba điểm E, F, G sao cho AB = 3AE, AC = 2AF, DB = 4DG

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (EFG) và (BCD)

b) Tìm giao điểm H của đường thẳng CD với (EFG). Tính tỉ số .

ĐS:

c) Tìm giao điểm I của đường thẳng AD với (EFG). Tính tỉ số

ĐS:

d) Chứng minh ba điểm F, H, I thẳng hàng.

e) Gọi J là trung điểm của BC, AJ cắt EF tại K. Tính tỉ số .

ĐS:

Lời giải.

a) Trong (ABC), gọi EF ∩ BC = M

⇒ (EFG) ∩ (BCD) = MG

b) Trong (BCD), gọi MG ∩ CD = H

⇒ H = CD ∩ (EFG)

Áp dụng định lí Menenalus với các tam giác sau.

Tam giác ABC có E, F, M thẳng hàng

Tam giác BCD có M, H, G thẳng hàng

c) Trong (ABD), gọi AD ∩ EG = I

⇒ I = AD ∩ (EFG)

Tam giác ABD có E, G, I thẳng hàng

d) Xét hai mặt phẳng (ACD) và (EFG) có

⇒ F ∈ (ACD) ∩ (EFG) (1)

⇒ H ∈ (ACD) ∩ (EFG) (2)

⇒ I ∈ (ACD) ∩ (EFG) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra F, H, I thẳng hàng.

e) Tam giác AJC có K, F, M thẳng hàng

Dạng 5. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp: Tìm giao của hai đường thẳng, sau đó chứng minh đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.

Ví dụ

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Lấy M, N, P lần lượt trên các cạnh AB, AC, BC sao cho MN cắt BC tại I, MP cắt AD tại J. Chứng minh PI, NJ, CD đồng quy

Lời giải

Trong (BCD): Gọi K = PI ∩ CD

⇒

⇒ K ∈ (MIJ) ∩ (ACD)

⇒ K ∈ NJ.

Vậy PI, NJ, CD đồng quy tại K.

Bài tập áp dụng

Bài 1; Cho hình chóp S.ABCD có AB không song song CD. Gọi M là trung điểm SC và O là giao điểm của AC và BD.

a) Tìm giao điểm N của SD và (MAB)

b) Chứng minh ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy.

Lời giải.

a) Trong (SAC): Gọi K = AM ∩ SO.

Trong (SBD): Gọi N = BK ∩ SD

⇒

⇒ N = SD ∩ (MAB)

b) Ta có: K = AM ∩ SO ⇒ SO, AM đi qua K.

Mà: N = BK ∩ SD ⇒ BN cũng đi qua K.

Vậy ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy tại K.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD. Trên cạnh SC lấy một điểm E không trùng với S và C.

a) Tìm giao điểm F của đường thẳng SD và (ABE)

b) Giả sử AB không song song CD. Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, EF đồng quy.

Lời giải.

a) Trong (ABCD): Gọi I = AC ∩ BD.

Trong (SAC): Gọi J = AE ∩ SI.

Trong (SBD): Gọi F = BJ ∩ SD

⇒

⇒ F = SD ∩ (ABE)

b) Ta có:

⇒ (ABE) ∩ (SCD) = EF

Trong (ABCD): Gọi K = AB ∩ CD

⇒

⇒ K ∈ (ABE) ∩ (SCD)

⇒ K ∈ EF.

Vậy AB, CD, EF đồng quy tại K.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Lấy điểm M trên cạnh SC. Gọi N giao điểm của SB và (ADM) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh SO, AM, DN đồng quy.

Lời giải.