Làm chủ phần Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Trong bài viết này Dân Chuyên Toán sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Từ đó ứng dụng vào giải một số dạng bài tập như: Khai phương một thương, chia các căn bậc hai, rút gọn và tính giá trị của biểu thức, …

Tổng quan lý thuyết

Định lí

Với số a không âm và số b dương, ta có:

$\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$

Áp dụng

Muốn khai phương một thương $\frac{a}{b}$ , trong đó a ≥ 0 và b ≥ 0, ta có thể lần lượt khai phương số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.

Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.

Chú ý

Với các biểu thức A ≥ 0 và B > 0, ta có:

$\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Khai phương một thương

Phương pháp giải

Dựa vào quy tắc khai phương một thương:

Với a ≥ 0; b > 0 thì $\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tính

a) $\sqrt {\frac{4}{{25}}:\frac{{49}}{{121}}}$

b) $\sqrt {\frac{{ - 36a}}{{49}}}$ với a < 0

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt {\frac{4}{{25}}:\frac{{49}}{{121}}} = \sqrt {\frac{4}{{25}}} :\sqrt {\frac{{49}}{{121}}} = \frac{2}{5}:\frac{7}{{11}} = \frac{{22}}{{35}}$

b) $\sqrt {\frac{{ - 36a}}{{49}}} = \frac{{\sqrt { - 36a} }}{{\sqrt {49} }} = \frac{{\sqrt {36} \cdot \sqrt { - a} }}{{\sqrt {49} }} = \frac{{6\sqrt { - a} }}{7}$

Lưu ý: Vì a < 0 nên $\sqrt { - a}$ có nghĩa.

Câu 2. Tính

a) $\sqrt {\frac{{{{65}^2} - {{52}^2}}}{{225}}}$

b) $\sqrt {\frac{{11}}{9}:1,44 - \frac{7}{9}:1,44}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt {\frac{{{{65}^2} - {{52}^2}}}{{225}}}$

$\begin{gathered} = \sqrt {\frac{{\left( {65 - 52} \right)\left( {65 + 52} \right)}}{{225}}} = \sqrt {\frac{{13 \cdot 117}}{{225}}} \hfill \\ = \sqrt {\frac{{13 \cdot 13 \cdot 9}}{{{{15}^2}}}} = \frac{{13 \cdot 3}}{{15}} = \frac{{39}}{{15}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) $\sqrt {\frac{{11}}{9}:1,44 - \frac{7}{9}:1,44}$

$\begin{gathered} = \sqrt {\left( {\frac{{11}}{9} - \frac{7}{9}} \right):\frac{{144}}{{100}}} = \sqrt {\frac{4}{9}:\frac{{144}}{{100}}} \hfill \\ = \sqrt {\frac{4}{9}} :\sqrt {\frac{{144}}{{100}}} = \frac{2}{3}:\frac{{12}}{{10}} = \frac{5}{9}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 3. Đẳng thức $\sqrt {\frac{{x - 5}}{{y + 2}}} = \frac{{\sqrt {x - 5} }}{{\sqrt {y + 2} }}$ đúng với những giá trị nào của x và y?

Hướng dẫn giải

Theo định lí khai phương một thương thì

$\sqrt {\frac{{x - 5}}{{y + 2}}} = \frac{{\sqrt {x - 5} }}{{\sqrt {y + 2} }}$

khi x − 5 ≥ 0 và y + 2 > 0 hay x ≥ 5 và y > −2.

Dạng 2. Chia các căn bậc hai

Phương pháp giải

Dựa vào quy tắc chia các căn bậc hai:

Với a ≥ 0; b > 0 thì $\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }} = \sqrt {\frac{a}{b}}$

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tính

a) $\sqrt {45} :\sqrt {80}$

b) $\sqrt {{{\left( {2 \cdot 3} \right)}^5}} :\sqrt {{2^3} \cdot {3^5}}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt {45} :\sqrt {80} = \sqrt {\frac{{45}}{{80}}} = \sqrt {\frac{9}{{16}}} = \frac{3}{4}$

b) $\sqrt {{{\left( {2 \cdot 3} \right)}^5}} :\sqrt {{2^3} \cdot {3^5}} = \sqrt {\frac{{{2^5} \cdot {3^5}}}{{{2^3} \cdot {3^5}}}} = \sqrt {{2^2}} = 2$

Câu 2. Tính

a) $\sqrt {54} :\sqrt 2 :\sqrt 3$

b) $\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {75} }}:\frac{{\sqrt {52} }}{{\sqrt {117} }}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt {54} :\sqrt 2 :\sqrt 3$

$= \sqrt {54:2} :\sqrt 3 = \sqrt {27:3} = \sqrt 9 = 3$

b) $\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {75} }}:\frac{{\sqrt {52} }}{{\sqrt {117} }}$

$= \sqrt {\frac{3}{{75}}} :\sqrt {\frac{{52}}{{117}}} = \sqrt {\frac{1}{{25}}} :\sqrt {\frac{4}{9}} = \frac{1}{5}:\frac{2}{3} = \frac{3}{{10}}$

Câu 3. Thực hiện các phép tính

a) $\left( {\sqrt {45} - \sqrt {125} + \sqrt {20} } \right):\sqrt 5$

b) $\left( {2\sqrt {18} + 3\sqrt 8 - 6\sqrt 2 } \right):\sqrt 2$

Hướng dẫn giải

a) $\left( {\sqrt {45} - \sqrt {125} + \sqrt {20} } \right):\sqrt 5$

$= \sqrt 9 - \sqrt {25} + \sqrt 4 = 3 - 5 + 2 = 0$

b) $\left( {2\sqrt {18} + 3\sqrt 8 - 6\sqrt 2 } \right):\sqrt 2$

$= 2\sqrt 9 + 3\sqrt 4 - 6 = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 - 6 = 6$

Dạng 3. Rút gọn, tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giải

– Tìm điều kiện của biến để căn thức có nghĩa.

– Áp dụng quy tắc khai phương môt thương hoặc quy tắc chia các căn bậc hai để rút gọn.

– Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn ròi thực hiện các phép tính.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Rút gọn biểu thức $\frac{{\sqrt {{3^{16}} - {3^{12}}} }}{{\sqrt {{3^{12}} - {3^8}} }}$

Hướng dẫn giải

$\frac{{\sqrt {{3^{16}} - {3^{12}}} }}{{\sqrt {{3^{12}} - {3^8}} }} = \frac{{\sqrt {{3^{12}}\left( {{3^4} - 1} \right)} }}{{\sqrt {{3^8}\left( {{3^4} - 1} \right)} }} = \sqrt {{3^4}} = 9$

Câu 2. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau với x = 6:

$A = \frac{{\sqrt {{{165}^2} - {{124}^2}} }}{{\sqrt {369} }} \cdot x$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} A{\text{ }} = \frac{{\sqrt {{{165}^2} - {{124}^2}} }}{{\sqrt {369} }} \cdot x \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{\sqrt {\left( {165 + 124} \right)\left( {165 - 124} \right)} }}{{\sqrt {369} }} \cdot x \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \sqrt {\frac{{289 \cdot \cdot 41}}{{369}}} \cdot x = \sqrt {\frac{{289}}{9}} \cdot x = \frac{{17}}{3}x \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Với x = 6 thì $A = \frac{{17}}{3} \cdot 6 = 34$

Câu 3. Cho biểu thức

$B = \sqrt {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt y - 1}}} :\sqrt {\frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt x - 1}}}$

Rút gọn rồi tính giá trị của B với x = 5; y = 10.

Hướng dẫn giải

ĐK: x >1; y >1.

$\begin{gathered} B{\text{ }} = \sqrt {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt y - 1}}} :\sqrt {\frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \sqrt {\frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt y - 1} \right)\left( {\sqrt y + 1} \right)}}} = \sqrt {\frac{{x - 1}}{{y - 1}}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Với x = 5; y = 10 thì $B = \sqrt {\frac{{5 - 1}}{{10 - 1}}} = \sqrt {\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

Câu 4. Cho biểu thức $C = \sqrt {\frac{{x - 2\sqrt {xy} + y}}{{x + 6\sqrt {xy + 9y} }}}$ với x > 0, y > 0. Rút gọn rồi tính giá trị của C với x = 25; y = 81.

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} C{\text{ }} = \sqrt {\frac{{x - 2\sqrt {xy} + y}}{{x + 6\sqrt {xy + 9y} }}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt x + 3\sqrt y } \right)}^2}}}} = \frac{{\left| {\sqrt x - \sqrt y } \right|}}{{\sqrt x + 3\sqrt y }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Với x = 25; y = 81 thì

$C = \frac{{\left| {\sqrt {25} - \sqrt {81} } \right|}}{{\sqrt {25} + 3\sqrt {81} }} = \frac{{\left| {5 - 9} \right|}}{{5 + 3 \cdot 9}} = \frac{4}{{32}} = \frac{1}{8}$

Dạng 4. Giải phương trình

Phương pháp giải

– Tìm điều kiện để căn thức có nghĩa.

– Nếu hai vế không âm thì có thể bình phương hai vế để khử dấu căn.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Giải phương trình $\sqrt {\frac{{3x - 1}}{{x + 2}}} = 2$

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: 3x – 1 và x + 2 cùng dấu hoặc x = $\frac{1}{3}$

Trường hợp 1:

$\left\{ \begin{gathered} 3x - 1 < 0 \hfill \\ x + 2 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{3} \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}$

Trường hợp 2:

$\left\{ \begin{gathered} 3x - 1 < 0 \hfill \\ x + 2 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < \frac{1}{3} \hfill \\ x < - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x < - 2$

Vậy ĐKXĐ là x ≥ $\frac{1}{3}$ hoặc x < −2.

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

$\begin{gathered} \frac{{3x - 1}}{{x + 2}} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow 3x - 1 = 4\left( {x + 2} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 3x - 1 = 4x + 8 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 9{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 2. Giải phương trình $\frac{{\sqrt {5x - 7} }}{{\sqrt {2x - 1} }} = 1$

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{gathered} 5x - 7 \geqslant 0 \hfill \\ 2x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant \frac{7}{5} \hfill \\ x > \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x \geqslant \frac{7}{5}$

Bình phương hai vế ta được:

$\begin{gathered} \frac{{5x - 7}}{{2x - 1}} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 5x - 7 = 2x - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = 2{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Bài tập tự luyện

Câu 1. Tính

a) $\sqrt {72} :\sqrt 8$

b) $\left( {\sqrt {28} - \sqrt 7 + \sqrt {112} } \right):\sqrt 7$

Đáp số

a) 3

b) 5

Câu 2. Tính

a) $\sqrt {\frac{{49}}{8}} :\sqrt {3\frac{1}{8}}$

b) $\sqrt {54x} :\sqrt {6x}$

c) $\sqrt {\frac{1}{{125}}} \cdot \sqrt {\frac{{32}}{{35}}} :\sqrt {\frac{{56}}{{225}}}$

Đáp số

a) $\frac{7}{5}$

b) 3

c) $\frac{6}{{35}}$

Câu 3 Làm phép chia

$\sqrt {\frac{{a - 1}}{{a + 2}}} :\sqrt {\frac{{a + 2}}{{{a^3} - 3{a^2} + 3a - 1}}}$ với a > 1

Đáp số

$\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{a + 2}}$

Câu 4. Rút gọn biểu thức

a) $\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}}:\sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{y^4}}}}$ với x, y ≠ 0

b) $\sqrt {\frac{{27{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{12}}} + \frac{3}{2} - \left( {x - 2} \right)\sqrt {\frac{{50{x^2}}}{{8{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}}$ với 1 < x < 2