Ở bài viết này, VerbaLearn sẽ tổng hợp đến độc giả các phương pháp giải phương trình mũ, phương trình logarit thường gặp và một số bài tập vận dụng ở từng dạng chi tiết. Kiến thức thuộc chương trình đại số toán lớp 12 và là nền tảng để các bạn học sinh thi THPTQG.
Giải phương trình mũ
Phương pháp giải chung
Phương trình mũ cơ bản có dạng: ax = b (1), (0 < a ≠ 1). Ngoài phương pháp giải chung giải quyết các bài toán cơ bản thì chúng ta còn ứng dụng nhiều phiên bản khác nhau khi làm bài tập.
Xét phương trình mũ: ax = b (1)
Dựa vào tính chất của hàm số, tập giá trị của hàm số y = ax là (0; +∞) nên ta chia thành 2 trường hợp như sau:
- b > 0: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = loga b.
- b ≤ 0: Phương trình (1) vô nghiệm.
Tuy nhiên phương pháp này thường chỉ ứng dụng cho các bài toán tổng quát hoặc cái bài toán đơn giản. Và thường là xuất hiện trong bước giải toán cuối cùng của một phương trình.
Phương pháp đưa về cùng cơ số
Biến đối phương trình đã cho về dạng cùng cơ số. Khi đó ta cho các số mũ bằng nhau được một phương trình tương đương mới.
af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x), với 0 < a ≠ 1
Chú ý: Nếu cơ số a có chứa biến thì cần xét thêm trường hợp a = 1 (Vì 1f(x) = 1g(x) luôn đúng)
Phương pháp đặt ẩn phụ
Thông thường, ta sẽ đặt t = ax, Điều kiện t > 0
Một số phương trình thường gặp và cách đặt:
+) m.a2f(x) + n.af(x) + p = 0 → Đặt t = af(x), (t > 0)
+) m.af(x) + n.bf(x) + p = 0, trong đó a․b = 1 → Đặt t = af(x), (t > 0), suy ra 
+) m.a2f(x) + n.(a․b)f(x) + p.b2f(x) = 0 → Chia hai vế cho b2f(x) và đặt 
Chú ý: Nếu đặt t = ax và x ∈ (m; n) thì
+) t ∈ (am; an) khi a >1.
+) t ∈ (an; am) khi 0 < a < 1.
Phương pháp logarit hoá
Phương trình 
Phương trình af(x) = bg(x) (*), với a,b không đưa được về cùng cơ số nên không sử dụng được phương pháp số 2. Ta thực hiện bằng cách lấy logarit cơ số a cho hai về của phương trình (*).
Từ đó ta được phương trình tương đương như sau:
(*) ⇔ loga af(x) = loga bg(x) ⇔ f(x) = g(x)․loga b
Đây sẽ là một phương trình cơ bản hơn rất nhiều so với phương trình (*) theo đầu bài cho.
Giải phương trình logarit
Định nghĩa phương trình logarit
Phương trình logarit cơ bản là phương trình có dạng sau:
loga x = b, (Trong đó điều kiện được cho: 0 < a ≠ 1).
Để giải phương trình này với nhiều biến thể khác nhau, VerbaLearn giới thiệu đến các bạn 4 phương pháp phổ biến sau. Thử lần lượt các phương pháp bạn sẽ có cách giải bài toán một cách hoàn hảo nhất.
Phương pháp giải cơ bản
Xét lại phương trình logarit: loga x = b (*)
Theo như bài hàm số logarit, tập giá trị của hàm số y = loga x là ℝ. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất là:
x = ab.
Ở phương pháp cơ bản này, bạn cần chú ý một số công thức như sau để có thể giải toán nhanh hơn:
+) ln x = b ⇒ x = eb
+) log x = b ⇒ x = 10b
+) loga f(x) = b ⇔ f(x) = ab
Phương pháp đưa về cùng cơ số
Biến đối phương trình đã cho về dạng:
Một lưu ý quan trọng trong phương pháp này. Khi gặp phương trình có từ 2 biểu thức logarit trở lên thì chúng ta cần đặt điều kiện để tồn tại các biểu thức chứa logarit trước khi giải. Nếu không đặt điều kiện sẽ sai bản chất hoặc thừa nghiệm và mất điểm đáng tiếc.
Phương pháp đặt ẩn phụ
Ở các bài toán thường gặp, phép đặt phổ biến nhất là: t = loga x, Điều kiện t ∈ ℝ. Điều kiện này dựa vào tập giá trị của hàm số logarit.
Chú ý:
Để xác định miền của t. Nếu đặt t = loga x và x ∈ (m; n) thì:
+) t ∈ (loga m; loga n) khi a > 1
+) t ∈ (loga n; loga m) khi 0 < a < 1
Với 0 < x ≠ 1 ta có: 
. Do đó, nếu đặt t = loga x thì 
Phương pháp mũ hoá
Ta có: 
Trường hợp phương trình logarit không thể xử lý được. Phương pháp cuối cùng là mũ hóa (có kèm theo điều kiện), sau đó vận dụng các kiến thức từ phương trình mũ để giải bài toán. Hướng đi này cần một tầm nhìn tốt để tránh làm bài toán trở nên phức tạp hơn.
Giải bằng phương pháp hàm số
Phương pháp chung
Ngoài 4 phương pháp trên ở mỗi loại phương trình, nếu vẫn chưa tìm được hướng giải thì phương pháp hàm số được coi là giải pháp cuối cùng. Phương pháp này có vận dụng một số tính chất như sau:
– Tính chất 1. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f(x) = k trên (a; b) có tối đa 1 nghiệm hoặc f(u) = f(v) ⇔ u = v, ∀ u, v ∈ (a; b)
– Tính chất 2. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D; hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D phương trình f(x) = g(x) có tối đa 1 nghiệm.
– Tính chất 3. Xét phương trình f(x) = 0 (4)
Nếu hàm số f có đạo hàm cấp 1 là f’(x) và đạo hàm cấp 2 là f’’(x) mà f’’(x) > 0, ∀ x ∈ K hoặc f’’(x) < 0, ∀ x ∈ K thì phương trình f’(x) = 0 có tối đa 1 nghiệm. Từ đó suy ra phương trình (4) có tối đa 2 nghiệm.
Lưu ý: Khi gặp bài toán trên ta có thề xử lí đến khi đạo hàm cấp n mang dấu dương hoặc dấu âm
→ f’’(x) = 0 có tối đa 1 nghiệm → f’(x) = 0 có tối đa 2 nghiệm → phương trình (4) có tối đa 3 nghiệm.
Lý thuyết cơ bản là như vậy, giờ chúng ta sẽ bắt tay vào từng dạng toán chi tiết.
Dạng 1.af(x) = g(x) hoặc loga f(x) = g(x)
Những phương trình sẽ rất dễ nhẩm nghiệm, ta thực hiện theo 3 bước sau:
– Đoán (nhẩm) nghiệm
– Xét tính đơn điệu của 2 hàm số ở 2 vế của phương trình.
– Kết luận nghiệm (thường sẽ có 1 đến 2 nghiệm).
Dạng 2. af(x) + bf(x) = cf(x)
– Chia cả 2 vế cho cf(x)
– Đoán (nhẩm) nghiệm.
– Xét tính đơn điệu của 2 hàm số ở 2 vế của phương trình.
– Kết luận nghiệm.
Dạng 3. af(x) + bf(x) = g(x)
– Đoán (nhẩm) nghiệm
– Xét tính đơn điệu của hàm số y = af(x) + bf(x) và y = g(x)
– Kết luận nghiệm (thường sẽ có 1 đến 2 nghiệm).
Dạng 4. 
với h(x) = g(x) – f(x)
– Biến đổi phương trình về dạng: loga f(x) + f(x) = loga g(x) + g(x) (*)
– Xét hàm đặc trưng: y = loga t + t
– Chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu.
Từ (*) ⇒ f(x) = g(x)
Các dạng bài tập
Dạng 1. Phương trình mũ không chứa tham số
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tập hợp nghiệm của phương trình 
là
A. {0; 4}
B. ∅
C. {2; 1}
D. {0; 1}
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Câu 2. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị y = 2–x + 3 với đường thẳng y = 11.
A. (3; 11)
B. (–3; 11)
C. (4; 11)
D. (–4; 11)
Hướng dẫn giải
Để giải quyết bài toán giao điểm của 2 đồ thị, bước đầu tiên là xét phương trình hoành độ giao điểm:
2–x + 3 = 11
⇔ 2–x = 8
⇔ 2–x = 23
⇔ –x = 3 ⇔ x = –3
Dễ dàng kết luận tọa độ của giao điểm là (–3; 11)
⟹ Chọn B
Câu 3. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 
A. T = 3
B. T = 1
C. T = 2
D. T = 0
Hướng dẫn giải
⇒ S = {1; 2} ⇒ T = 1 + 2 = 3
⟹ Chọn A
Câu 4. Nghiệm của phương trình 2x + 2x+1 = 3x + 3x+1 là
A. 
B. x = 1
C. x = 0
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Câu 5. Cho phương trình: 
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tích các nghiệm là một số âm.
B. Tổng các nghiệm là một số nguyên.
C. Nghiệm là các số vô tỉ.
D. Nghiệm của phương trình rỗng
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Câu 6. Số nghiệm của phương trình 7x – 71–x = 6 là
A. Vô nghiệm
B. 3
C. 2
D. 1
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Câu 7. Đặt t = 2x, phương trình 4x+1 –12․2x+1 – 7 = 0 có dạng nào?
A. t2 – 3t – 7 = 0
B. 4t2 – 12t – 7 = 0
C. 4t2 – 3t – 7 = 0
D. t2 – 12t – 7 = 0
Hướng dẫn giải
Ta có 
Kết luận: Khi đặt t = 2x, (t > 0), bằng một số phép biến đổi cơ bản phương trình đã cho trở thành: 4t2 – 3t – 7 = 0.
Câu này giới thiệu đến bạn đọc cách giải quyết một phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
⟹ Chọn C
Câu 8. Cho phương trình 
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Phương trình có một nghiệm vô tỉ.
B. Phương trình có một nghiệm hữu tỉ.
C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu.
D. Tích của hai nghiệm bằng –6.
Hướng dẫn giải
Đặt 
Khi đó 
với 
⟹ Chọn A
Câu 9. Từ phương trình 
đặt 
ta thu được phương trình nào sau đây?
A. t2 – 3t + 2
B. 2t3 + 3t2 – 1 = 0
C. 2t3 – 3t – 1 = 0
D. 2t3 + 3t2 – 3 = 0
Hướng dẫn giải
Ta có: 
và 
Do đó, phương trình đã cho trở thành
Vậy khi đặt 
ta có phương trình
⟹ Chọn B
Câu 10. Phương trình 
có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x ≠ 0
⟹ Chọn B
Câu 11. Tìm tổng nghiệm của phương trình sau: 6․4x – 13․6x + 6․9x = 0
A. 0
B. 1
C. –2
D. 9
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Câu 12. Biết rằng phương trình 33+3x + 33–3x + 34+x + 34–x = 1000 có hai nghiệm a và b. Tính giá trị biểu thức T = log a + log5 (4 – b)
A .T = 1
B. T = –1
C. T = 5
D. T = 2
Hướng dẫn giải
Đặt 
Khi đó 
(thỏa mãn)
Với 
Đặt y = 3x > 0. Khi đó 
(thỏa mãn)
Với y = 3 ⇒ 3x = 3 ⇔ x = 1
Với 
⟹ Chọn A
Câu 13. Phương trình 
có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hướng dẫn giải
Phương trình 
Đặt 
, suy ra 
. Khi đó phương trình trở thành:
a + b = ab + 1 ⇔ a – ab + b – 1 = 0 ⇔ a(1 – b) + (b – 1) = 0
⇔ (1 – b)(a – 1) = 0 ⇔ 
Với a = 1, ta được 
Với b = 1, ta được 
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x = 0, x = ±1.
⟹ Chọn C
Câu 14. Số nghiệm của phương trình: 3․25x–2 + (3x – 10)․5x–2 + 3 – x = 0 là đáp án nào dưới đây?
A. 1
B. 2
C .3
D. 4
Hướng dẫn giải
Nhìn tổng quan về phương trình thì phương pháp đặt ẩn phụ là khả quan nhất.
Đặt t = 5x–2 > 0. Phương trình đã cho sẽ trở thành 3t2 + (3x – 10)t + 3 – x = 0 (*)
Để giải được phương trình này, chúng ta xem đây là phương trình bậc hai ẩn t và có ∆ = (3x – 10)2 – 4․3(3 – x) = (3x – 8)2
Với sự đặc biệt của ∆, Suy ra phương trình (*) có hai nghiệm: 
hoặc t = 3 – x. Xét từng trường hợp ta được:
Với 
Với t = 3 – x ⇒ 5x–2 = 3 – x. Dễ thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của trường hợp này do vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 
⟹ Chọn B
Câu 15. Cho a, b là các số dương thỏa mãn log16 a = log20 b = log25 (a + b). Tìm giá trị của 
.
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Tiến hành đặt ẩn phụ: Đặt log16 a = log20 b = log25 (a + b) = x
Khi đó 
⟹ Chọn C
Câu 16. Phương trình 4x + 11x = 1 có nghiệm là bao nhiêu trong các phương án dưới đây?
A. {±1}
B. ∅
C. {0}
D. {0; 1}
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
– Nhẫm nghiệm thấy phương trình đã cho có nghiệm x = 0.
– Xét tính đồng biến nghịch biến: Ta có f(x) = 4x + 11x luôn đồng biến trên ℝ.
Kết luận x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Câu 17. Phương trình (3 + 5x)(x + 1) = 8 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0
B. 3
C. 1
D. 2
Hướng dẫn giải
là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
+) Hàm số 
có bảng biến thiên
Ta lại có hàm số y = f(x) = 5x (5x > 0, ∀x là hàm số đồng biến trên ℝ.
Vậy (C), (C’) có duy nhất 1 giao điểm chung
Suy ra phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm.
⟹ Chọn C
Câu 18. Tổng các nghiệm của phương trình ex = 1 + x là bao nhiêu?
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0
Hướng dẫn giải
Biến phương trình đã cho thành dạng: f(x) = ex – 1 – x = 0.
Ta có f’(x) = ex – 1; f’(x) = 0 ⇒ x = 0
Ta có bảng biến thiên:
Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. Do đó đáp án đúng trong trường hợp này là D.
⟹ Chọn D
Câu 19. Cho hàm số f(x) = ex + 2x3 – 2021. Tìm tập nghiệm của phương trình sau: f (4x – 3) = f (2x+1)
A. {0; log2 3}
B. {log2 3}
C. {–1; 3}
D. {log3 2}
Hướng dẫn giải
Xét hàm số f(x) = ex + 2x3 – 2021 có tập xác định là D = ℝ
Đạo hàm: f(x) = ex + 6x2 > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ hàm số đơn điệu tăng trên ℝ.
Áp dụng tính chất hàm đơn điệu ta có:
f (4x – 3) = f (2x+1) ⇔ 4x – 3 = 2x+1 ⇔ 4x – 2․2x – 3 = 0
Suy ra: 
⟹ Chọn B
Câu 20. Phương trình 
có bao nhiêu nghiệm thuộc [–2020; 2020]?
A. 4034
B. 1285
C. 4035
D. 1287
Hướng dẫn giải
Ta có 
Đặt sin2 x = t với t ∈ [0; 1] ta có phương trình
Vì hàm số 
nghịch biến với t ∈ [0; 1] nên phương trình có nghiệm duy nhất t = 0.
Do đó sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ ℤ.
Vì x ∈ [–2020; 2020] nên ta có 
nên có 1285 giá trị nguyên của k thỏa mãn.
Vậy có 1285 nghiệm.
⟹ Chọn B
Dạng 2. Phương trình logarit không chứa tham số
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tập nghiệm của phương trình log3 (x2 + 2x + 3) = 1 là
A {–2}
B {0}
C {0; –2}
D {0; 2}
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Câu 2. Tập nghiệm của phương trình 
là
A. {–3}
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Câu 3. Phương trình 
có bao nhiêu nghiệm thực?
A .3
B. 0
C. 2
D. 1
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x ≥ 0
Vậy x = 16 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
⟹ Chọn D
Câu 4. Tập nghiệm của phương trình log2 x = log2 (x2 – x)
A. {2}
B. {1}
C. {0; 1}
D. {0; 2}
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Bước tìm điều kiện là một bước quan trọng khi giải bài toán này. Nếu không tìm điều kiện chắc chắn bạn sẽ có Hướng dẫn giải sai.
Câu 5. Phương trình log5 x + log5 (x – 6) = log5 7 có bao nhiêu nghiệm?
A. 2
B. 1
C. 3
D. 0
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x > 6
log5 x + log5 (x – 6) = log5 7 ⇔ log5 (x2 – 6x) = log5 7
⇔ x2 – 6x – 7 = 0 ⇔ 
So với Điều kiện, suy ra x = 7 là nghiệm của phương trình.
⟹ Chọn B
Câu 6. Gọi tập nghiệm của phương trình log0,5 (x2 – 10x + 23) + log2 (x – 5) = 0 là S. Tìm S?
A. S = ∅
B. S = {7}
C. S = {4; 7}
D. S = {4}
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x – 5 > 0 và x2 – 10x + 23 >0 (hiển nhiên). Ta biến đổi phương trình như sau:
log0,5 (x2 – 10x + 23) + log2 (x – 5) = 0 ⇔ log2 (x – 5) = log2 (x2 – 10x + 23)
⟹ Chọn B
Câu 7. Số nghiệm của phương trình 
là
A. 0
B. 4
C. 2
D. 3
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Điều kiện: –3 < x < 3.
Ta có
⇔ log2 [16(x + 5)] = log2 [(x + 3)(x – 3)]
⇔ 16(x + 5) = 9 – x2 ⇔ x2 + 16x + 71 = 0 (vô nghiệm).
Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là 0.
Câu 8. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 
là
A. 
B. 0
C. 4
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Điều kiện: x > 0
Vậy 
Câu 9. Tổng các nghiệm của phương trình log4 (x – 1)2 + log2 (x – 1)3 = 25 là bao nhiêu?
A. 
B. 
C. 11
D. 
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x – 1 > 0 ⇔ x > 1
Biến đổi phương trình để thuận tiện cho việc đặt ẩn phụ nhất.
log4 (x – 1)2 + log2 (x – 1)3 = 25
⇔ [2 log(x – 1)]4 + [3 log(x – 1)]2 – 25 = 0
⇔ 16 [log(x – 1)]4 + 9 [log(x – 1)]2 – 25 = 0.
Tuy nhiên tới đây thì không cần đặt ẩn phụ nữa, vì cơ bản ta thấy vế trái phương trình có dạng hằng đẳng thức cơ bản.
(TMĐK).
Giải xong nhớ xét lại điều kiện có nghĩa của hàm logarit.
⟹ Chọn B
Kết luận: Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là .
Đây là một bài toán khá hay đòi hỏi kĩ năng nhìn bao quát và áp dụng các công thức logarit linh hoạt nhất.
Câu 10. Cho phương trình 
. Tính tổng các nghiệm nguyên của phương trình
A. 3
B. 14
C. 2
D. 7
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x > 2, x ∈ ℤ, x ≠ 4.
Khi đó:
Vậy tổng các nghiệm nguyên của phương trình là: 3. Chọn đáp án A.
⟹ Chọn C
Câu 11. Phương trình 2log2 x – 5log x + log100 = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (1; 100)?
A. 1
B. 0
C. 2
D. 10
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x > 0
2log2 x – 5log x + log100 = 0 ⇔ 2log2 x – 5log x + 2 = 0
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm thuộc khoảng khoảng (1; 100)
⟹ Chọn A
Câu 12. Tìm tổng các nghiệm của phương log2 (3․2x – 1) = 2x + 1
A. 1
B. 4
C. 2
D. –1
Hướng dẫn giải
log2 (3․2x – 1) = 2x + 1 ⇔ 3․2x – 1 = 22x+1 ⇔ 2․22x – 3․2x + 1 = 0. Tới bước này bạn có thể đặt ẩn phụ cho dễ nhìn hoặc có thể biến đổi trực tiếp luôn. Phương trình đã cho tương đương với:
Vậy 
⟹ Chọn D
Câu 13. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 
bằng
A. log2020 10
B. 2 log2020 10
C. log2020 16
D. 2 log2020 16
Hướng dẫn giải
(1)
Đặt 
Tổng hai nghiệm là: 2 log2020 2 + 2 log2020 8 = 2 log2020 16.
⟹ Chọn D
Câu 14. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình log5 (4x – 3)․log2 x = log2 x
A. 5
B. 10
C. 12
D. 15
Hướng dẫn giải
Điều kiện: 
Vậy 
⟹ Chọn A
Câu 15. Phương trình 
có hai nghiệm a, b với a < b. Tính P = a2 – b
A. 0
B. 10
C. 9
D. 5
Hướng dẫn giải
Điều kiện: 0 < x ≠ 1
Vậy P = 0
⟹ Chọn A
Câu 16. Phương trình 
có tích các nghiệm là
A. 20
B. 10
C. 90
D. 50
Hướng dẫn giải
Điều kiện: 0 < x ≠ 1
Vậy tích các nghiệm là 20.
⟹ Chọn A
Câu 17. Tích các nghiệm của phương trình: 2․log25 x = log2 25․log5 2 – log5 (26 – x)
A. 25
B. 5
C. 4
D. 2
Hướng dẫn giải
Điều kiện: 0 < x < 26
2․log25 x = log2 25․log5 2 – log5 (26 – x)
⇔ log5 x = 2․log2 5․log5 2 – log5 – log5 (26 – x)
⇔ log5 x = 2 – log5 (26 – x) ⇔ log5 x + log5 (26 – x) = log5 25
⇔ log5 [x․(26 – x)] = log5 25 ⇔ x․(26 – x) = 25 ⇔ x2 – 26x + 25 = 0
⇔ 
So với điều kiện phương trình có nghiệm x = 1; x = 25.
Do đó tích của hai nghiệm đó bằng x = 25
⟹ Chọn A
Câu 18. Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình 
bằng
A. 9
B. 12
C. 24
D. 18
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x > 0, x ≠ 1.
Ta có, phương trình tương đương với logx 2 + logx 3 + logx 4 = 1 ⇔ logx 24 = 1 ⇔ x = 24.
Phương trình có nghiệm duy nhất x = 24 nên tổng các nghiệm bằng 24.
⟹ Chọn C
Câu 19. Cho 
, biết log2 (sin x) + log2 (cos x) = –2 và 
. Giá trị của n bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Vì nên sin x > 0 và cos x > 0
Ta có: log2 (sin x) + log2 (cos x) = –2
Suy ra:
Câu 20. Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình 
là
A. 0
B. 
C. 
D. 9
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x > 0
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho
⟹ Chọn B
Câu 21. Cho phương trình 
có nghiệm dạng x = 3n (n là số tự nhiên). Tổng tất cả các giá trị của n là đáp án nào dưới đây
A. 5
B. 6
C. 3
D. 9
Hướng dẫn giải
(1)
Đặt 
với t ≥ 0. Ta có log9 x = t2 – 4
Phương trình (1) trở thành
t2 – 4 + t = 26 ⇔ t2 + t – 30 = 0 ⇔ 
Với t = 5 ⇒ log9 x = 21 ⇔ x = 921 ⇔ x = 342 ⇒ n = 42
Vậy tổng tất cả các chữ số của n là 4 + 2 = 6. Chọn ngay đáp án B.
⟹ Chọn B
Câu 22. Số nghiệm thực của phương trình: 
là bao nhiêu?
A. 3
B. 2
C. 4
D. 1
Hướng dẫn giải
Điều kiện: 
⟹ Chọn B
Câu 23. Phương trình log2 (log4 x)․log4 (log2 x) = 3 có 2 nghiệm đặt là: x1, x2. Tính giá trị của biểu thức log2 x1․log2 x2
A. 
B. –6
C. 2
D. 1
Hướng dẫn giải
Ta có log2 (log4 x)․log4 (log2 x) = 3
Tới đây ta có thể đặt ẩn phụ.
Đặt t = log2 (log2 x) thì 
+ t = 3 ⇒ log2 (log2 x1) = 3 ⇔ log2 x1 = 8
+ t = –2 ⇒ log2 (log2 x2) = –2 ⇔ 
Vậy log2 x1․log2 x2 = 2.
Đây là một bài toán khá hay. Chúng ta không tìm chi tiết nghiệm của phương trình mà vẫn giải quyết bài toán.
⟹ Chọn C
Câu 24. Biết x1 > x2 là hai nghiệm của phương trình 
và 
với a, b là hai số nguyên dương. Tính a + b?
A. a + b = 9
B. a + b = 12
C. a + b = 7
D. a + b = 14
Hướng dẫn giải
Điều kiện: 
⇔ log3 (x – 1)2 + x2 – 2x + 1 = log3 x + x
⇔ log3 (x – 1)2 + (x – 1)2 = log3 x + x (1)
Xét hàm số f(t) = log3 t + t ⇒ 
Phương trình (1) trở thành
Vậy 
Khi đó a = 9, b = 5 ⇒ a + b = 14
⟹ Chọn D
Câu 25. Phương trình log2 (2x + 2) + x – 3y = 8y (0 ≤ x ≤ 2020). Tìm số cặp nghiệm (x; y) nguyên thỏa mãn 2 điều kiện trên?
A. 1
B. 4
C. 2019
D. 2020
Hướng dẫn giải
Điều kiện của bài toán cho: 0 ≤ x ≤ 2020. Do đó log2 (2x + 2) luôn có nghĩa.
Ta có log2 (2x + 2) + x – 3y = 8y
⇔ log2 (x + 1) + x + 1 = 3y – 23y
Vế trái và vế phải của phương trình đều có dạng hàm số: f(t) = t + 2t
Tập xác định D = ℝ và f’(t) = 1 + 2t ln2 ⇒ f’(t) > 0, ∀t ∈ ℝ
Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên ℝ.
Do đó phương trình (1) ⇔ log2 (x + 1) = 3y ⇔ x + 1 = 23y ⇔ y = log8 (x + 1)
Ta có 0 ≤ x ≤ 2020 nên 1 ≤ x + 1 ≤ 2021 suy ra 0 ≤ log8 (x + 1) ≤ log8 2021.
Lại có log8 2021 ≈ 3,66 nên nếu y ∈ ℤ thì y ∈ {0; 1; 2; 3}.
Các cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: (0; 0), (7; 1), (63; 2), (511; 3)
⟹ Chọn B
Dạng 3. Phương trình mũ – logarit chứa tham số
Bài tập vận dụng
Câu 1. Xác định m để phương trình ex = m – 2020 có nghiệm thực.
A. ℝ
B. ℝ \ {2019}
C. [2020; +∞)
D. (2020; +∞)
Hướng dẫn giải
Ta có ex > 0, ∀x ∈ ℝ
Phương trình ex = m – 2020 có nghiệm thực khi và chỉ khi m – 2020 > 0.
⇔ m > 2020 ⇔ m ∈ (2020; +∞)
Chúng ta giải bài toán trên dựa vào tập giá trị của hàm số mũ.
⟹ Chọn D
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị m ∈ ℤ để phương trình 5x = 4 – m2 có nghiệm thực?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hướng dẫn giải
Phương trình 5x = 4 – m2 có nghiệm thực khi và chỉ khi 4 – m2 > 0 ⇔ –2 < m < 2.
Mặt khác: m ∈ ℤ ⇒ m ∈ {1; 0; 1}
Vậy có 3 giá trị m ∈ ℤ để phương trình 5x = 4 – m2 có nghiệm thực
⟹ Chọn C
Câu 3. Tìm m để phương trình log2 x = m có nghiệm:
A. (0; +∞)
B. (–∞; 0)
C. [0; +∞)
D. ℝ
Hướng dẫn giải
Hàm y = log2 x có tập giá trị là ℝ nên phương trình log2 x = m có nghiệm thực ∀ m ∈ ℝ.
⟹ Chọn D
Câu 4. Tìm m để phương trình 8x + 2․81–x – 9m = 0 có 2 nghiệm phân biệt
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Dễ dàng nhìn thấy điểm chung trong phương trình. Ta đặt t = 8x (t > 0).
Phương trình đã cho trở thành: 
Phương trình 8x + 2․81–x – 9m = 0 có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt dương.
Điều trên tương đương với: 
⟹ Chọn C
Câu 5. Số giá trị m nguyên dương thỏa mãn phương trình 9x + m․3x + m – 2 = 0 có duy nhất một nghiệm thực x là bao nhiêu?
A. 1
B. 3
C. Vô số
D. 2
Hướng dẫn giải
Đặt t = 3x (t > 0).
Phương trình đã cho trở thành: 
Bài toán tương đương với (*) có tối đa một nghiệm dương.
Đặt 
Ta có bảng biến thiên của hàm số f (t) trên (0; +∞) như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy bài toán thỏa mãn nếu m < 2
Theo giả thiết m nguyên dương. Vậy m = 1.
⟹ Chọn A
Câu 6. Tổng giá trị nguyên của m thỏa mãn phương trình 4x + 7 = 2x+3 + m2 + 6m có nghiệm x ∈ (1; 3).
A. –22
B. –21
C. –35
D. –20
Hướng dẫn giải
Đặt t = 2x với x ∈ (1; 3) ⇒ t ∈ (2; 8).
Phương trình 4x + 7 = 2x+3 + m2 + 6m (1) trở thành t2 – 8t = m2 + 6m – 7 (2).
Xét hàm số f(t) = t2 – 8t với t ∈ (2; 8).
Ta có f’(t) = 2t – 8; f’(t) = 0 ⇔ 2t – 8 = 0 ⇔ t = 4 ∈ (2; 8)
Bảng biến thiên
Phương trình (1) có nghiệm x ∈ (1; 3) khi phương trình (2) có nghiêm t ∈ (2; 8).
Từ BBT suy ra 
Do m nguyên nên m ∈ {–6; –5; –4; –3; –2; –1; 0}
Vậy tổng các giá trị nguyên của m để phương trình (1) có nghiệm x ∈ (1; 3) là –21.
⟹ Chọn B
Câu 7. Tìm m để 4x + (4m – 1)․2x + 3m2 – 1 = 0 có hai nghiệm thực x1, x2 thỏa mãn biểu thức x1 + x2 = 3 là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đặt t = 2x > 0, ta được t2 + (4m – 1)․t + 3m2 – 1 = 0 (1)
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực ⇔ (1) có hai nghiệm dương t1, t2
Khi đó x1 = log2 t1, x2 = log2 t2 ⇒ x1 + x2 = log2 t1 + log2 t2 = log2 (t1․t2)
Mà t1․t2 = 3m2 – 1 và x1 + x2 = 3 ⇒ log2 (3m2 – 1) = 3 ⇔ 3m2 – 1 = 8 ⇔
Kết hợp với ta được thỏa mãn.
⟹ Chọn B
Câu 8. Cho phương trình 8x – m․22x+1 + (2m2 – 1)2x + m – m3 = 0. Biết tập hợp các giá trị của tham số m sao cho phương trình có ba nghiệm phân biệt là khoảng (a; b). Giá trị a․b bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đặt t = 2x, t > 0. Phương trình trở thành:
ycbt ⇔ (1) có 3 nghiệm dương phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm dương phân biệt khác m với m > 0
Vậy a․b =
⟹ Chọn D
Câu 9. Tìm m để phương trình 
có đúng bốn nghiệm phân biệt là khoảng (a; b). Giá trị b – a là?
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Vì 
nên đặt 
và 
Ta có phương trình 
Ứng với một nghiệm t ∈ (0; 1) của phương trình (2) ta có 2 nghiệm x phân biệt của phương trình (1).
Do đó, phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 1) ⇔ Đường thẳng y = 4m cắt phần đồ thị của hàm số f(t) = –4t2 + t với t ∈ (0; 1) tại 2 điểm phân biệt.
Bảng biến thiên của hàm f(t) = –4t2 + t với t ∈ (0; 1)
Từ bảng biến thiên suy ra 
Vậy a = 0; b = ⇒ b = a =
⟹ Chọn D
Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 
có nghiệm?
A. 2018
B. 2019
C. 2016
D. 2017
Hướng dẫn giải
Phương trình tương đương: 
Đặt t = cos2 x với t ∈ [0; 1] ta được 
Xét 
với t ∈ [0; 1]
Hàm số f(t) nghịch biến trên D = [0; 1]
Phương trình có nghiệm 
hay m ∈ [1; 2018]
Vậy có 2018 giá trị nguyên m để phương trình có nghiệm.
⟹ Chọn A
Câu 11. Phương trình emcosx – sinx + e2(1–sinx) = 2 – sin x – m․cos x. Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm. Khi đó S có dạng (–∞; a] ∪ [b; +∞). Tính T = 10a + 20b.
A. T = 
B. T = 0
C. T = 1
D T = 
Hướng dẫn giải
Ta có emcosx – sinx + e2(1–sinx) = 2 – sin x – m․cos x
⇔ emcosx – sinx + m․cos x – sin x = e2(1–sinx) + 2(1 – sin x)
Xét hàm số f(t) = et + t (t ∈ ℝ), f’(t) = et + 1 > 0 ⇒ f(t) đồng biến trên ℝ.
Suy ra emcosx – sinx + m․cos x – sin x = e2(1–sinx) + 2(1 – sin x)
⇔ mcosx – sinx = 2(1–sinx) ⇔ mcosx + sinx = 2
Phương trình có nghiệm khi m2 + 1 ≥ 4 ⇔ m2 ≥ 3
Vậy T = 10a + 20b =
⟹ Chọn A
Câu 12. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.
Số nghiệm thực của phương trình 
là
A. 2
B. 4
C. 3
D. 5
Hướng dẫn giải
Ta có
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
⟹ Chọn A
Câu 13. S được gọi là tập hợp các số nguyên m sao cho phương trình log2 (x2 – 3x + m) = log2 x có nghiệm duy nhất. Tính số phần tử của tập hợp S ∩ (–2; +∞) là
A. 2
B. 1
C. 4
D. 3
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Điều kiện: x > 0
log2 (x2 – 3x + m) = log2 x (1)
⇔ x2 – 3x + m = x ⇔ x2 – 4x + m = 0 (2)
Để (1) có nghiệm dương duy nhất khi và chỉ khi (2) có nghiệm dương duy nhất ⇔ (2) có nghiệm kép dương: x1 = x2 > 0
Hoặc (2) có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm bằng 0, một nghiệm dương: x2 > x1 = 0
Hoặc (2) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu: x1 < 0 < x2
TH1: (2) có nghiệm kép dương: x1 = x2 > 0
TH2: (2) có 2 nghiệm phân biệt, một nghiệm bằng 0, một nghiệm dương: x2 > x1 = 0
TH3: (2) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu: x1 < 0 < x2
⇔ a․c < 0 ⇔ 1․m < 0 ⇔ m < 0
Suy ra 
Vậy S ∩ (–2; +∞) = {–1; 0; 4}
Cách 2: Dùng hàm số
Điều kiện: x > 0
log2 (x2 – 3x + m) = log2 x (1)
⇔ x2 – 3x + m = x ⇔ x2 – 4x + m = 0 ⇔ m = –x2 + 4x (2)
Đặt f(x) = –x2 + 4x
Ta có f’(x) = –2x + 4 = 0 ⇔ x = 2
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy, để (1) có nghiệm dương duy nhất ⇔ (2) có nghiệm dương duy nhất 
Suy ra
Vậy S ∩ (–2; +∞) = {–1; 0; 4}
⟹ Chọn D
Câu 14. Tìm giá trị thực của m để phương trình 
(m ∈ ℝ) có hai nghiệm thực x1, x2 thỏa mãn x1․x2 = 2. Tổng các giá trị của m thuộc khoảng nào sau đây?
A. (0; 2)
B. (4; 6)
C. (2; 4)
D. (3; 5)
Hướng dẫn giải
Ta có
+ Nếu 2m–1 = 2 ⇔ m = 2 thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất x = 2. Tổng các nghiệm lúc này bằng 2
+ Nếu 2m–1 ≠ 2 ⇔ m ≠ 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1․x2 = 2․2m–1 = 2m = 2 ⇒ m = 1
⇒ x1 + x2 = 2 + 1 = 3
⟹ Chọn C
Câu 15. Cho phương trình log32 x – 4․log3 x + m – 3 = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 thỏa mãn x2 – 81x1 < 0
A. 3
B. 6
C. 4
D. 5
Hướng dẫn giải
Xét phương trình: log32 x – 4․log3 x + m – 3 = 0 (1)
Điều kiện: x > 0.
Đặt t = log3 x phương trình (1) trở thành: t2 – 4t + m – 3 = 0 (2)
⇔ ∆’ > 0 ⇔ 4 – m + 3 > 0 ⇔ m < 7 (i)
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt.
Gọi x1 < x2 là 2 nghiệm của phương trình (1) thì phương trình (2) có 2 nghiệm tương ứng là t1 = log3 x1; t2 = log3 x2. Vì x1 < x2 nên t1 < t2.
Mặt khác, x2 – 81x1 < 0 ⇔ 0 < x2 < 81x1 ⇔ log3 x2 < 4 + log3 x1
⇔ t2 < 4 + t1 ⇔ 0 < t2 – t1 < 4
⇔ (t2 – t1)2 < 16 ⇔ (t2 + t1)2 – 4t1․t2 < 16
⇔ 42 – 4(m – 3) < 16 ⇔ m > 3 (ii)
Từ (i) và (ii) suy ra 3 < m < 7 và m ∈ ℤ nên có 3 số nguyên thỏa mãn.
⟹ Chọn A
Câu 16. Tất cả các giá trị thực của tham số m để phương 
có hai nghiệm thực phân biệt là
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Ta có
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (–1; 1)
Xét hàm số f(x) = –x2 – x + 5 ⇒ f’(x) = –2x + 1 = 0 ⇔ 
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có thỏa mãn đề bài.
⟹ Chọn B
Câu 17. Tìm số giá trị nguyên nhỏ hơn 2020 của tham số m để phương trình log6 (2020x + m) = log4 (1010x) có nghiệm là
A. 2021
B. 2022
C. 2020
D. 2019
Hướng dẫn giải
Ta đặt log6 (2020x + m) = log4 (1010x) = t.
Khi đó 2020x + m = 6t và 1010x = 4t.
Ta suy ra 2․4t + m = 6t ⇔ m = 6t – 2․4t
Đặt f(t) = –2․4t + 6t
f’(t) = 6t․ln6 – 2․4t․ln4
f’(t) = 0 
Bảng biến thiên
Phương trình f(t) = m có nghiệm khi và chỉ khi 
Hơn nữa, 
nên suy ra 
Vậy ta có 2022 giá trị m thỏa mãn.
⟹ Chọn B
Câu 18. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình log4 x2 + log2 (4 – x) = log2 m có ba nghiệm thực phân biệt.
A. 3
B. 2
C. Vô số
D. 4
Hướng dẫn giải
Điều kiện 
Phương trình tương đương với
log2 |x| + log2 (4 – x) = log2 m ⇔ log2 [|x|․(4 – x)] = log2 m ⇔ |x|․(4 – x) = m
Xét hàm số
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, PT có ba nghiệm thực phân biệt ⇔ 0 < m < 4 ⇒ m ∈ {1;2;3}.
⟹ Chọn A
Câu 19. Tìm tập hợp các giá trị của m để phương trình 1 + log5 (x2 + 1) = log5 (mx2 + 4x + m) có hai nghiệm phân biệt?
A. m ∈ ℝ \ {5}
B. m ∈ (3; 7)
C. m ∈ (3; 7) \ {5}
D. m ∈ ℝ
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Ta có 1 + log5 (x2 + 1) = log5 (mx2 + 4x + m) ⇔ log5 5(x2 + 1) = log5 (mx2 + 4x + m)
Đặt 
.
Ta có: 
.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m ∈ (3; 7) \ {5}
Câu 20. Cho phương trình a․ln2 x + b․ln x + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và phương trình 5 log2 x + b․log x + a = 0 có hai nghiệm phân biệt x3, x4 thỏa mãn x1․x2 > x3․x4. Tính giá trị nhỏ nhất Smin của S = 2a + 3b. (Biết a, b là các số nguyên dương).
A. Smin = 17
B. Smin = 30
C. Smin = 25
D. Smin = 33
Hướng dẫn giải
Điều kiện x > 0, điều kiện mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt là b2 > 20a.
Đặt t = ln x, u = log x khi đó ta được at2 + bt + 5 = 0 (1), 5t2 + bt + a = 0 (2).
Ta thấy với mỗi một nghiệm t thì có một nghiệm x, một u thì có một nghiệm x.
Ta có 
Lại có 
( do a,b nguyên dương), suy ra b2 > 60 ⇒ b ≥ 8
Vậy S = 2a + 3b ≥ 2․3 + 3․8 = 30, suy ra Smin = 30 đạt được khi a = 3 và b = 8
⟹ Chọn B
Câu 21. Cho hai phương trình: e3x+5y – ex+3y+1 = 1 – 2x – 2y và log32 (3x + 2y – 1) – (m + 6)․log3 x + m2 + 9 = 0. Tìm số giá trị nguyên của m để cặp số (x;y) thỏa mã đồng thời cả 2 điều kiện bên trên.
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
Hướng dẫn giải
Ta có e3x+5y – ex+3y+1 = 1 – 2x – 2y ⇔ e3x+5y + (3x + 5y) = ex+3y+1 + (x + 3y + 1) (1)
Xét hàm số f(t) = et + t trên ℝ. Ta có f’(t) = et + 1 > 0 nên hàm số đồng biến trên ℝ.
Khi đó (1) ⇔ f (3x + 5y) = f (x + 3y + 1) ⇔ 3x + 5y = x + 3y + 1 ⇔ 2y = 1 – 2x
Thế vào phương trình còn lại ta được log32 x – (m + 6)․log3 x + m2 + 9 = 0 (2)
Đặt t = log3 x.
Số nghiệm của phương trình (2) chính là số nghiệm của phương trình t2 – (m + 6)t + m2 + 9 = 0 (3)
Phương trình (3) có nghiệm khi ∆ ≥ 0 ⇔ –3m2 + 12m ≥ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 4
Do đó có 5 số nguyên m thỏa mãn.
⟹ Chọn D
Câu 22. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m sao cho phương trình 
có nghiệm?
A. Vô số
B. 4
C. 6
D. 5
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Do đó điều kiện để phương trình xác định là 3x2 + 3x + m + 1 > 0 (1)
Phương trình đã cho tương đương với:
log2 (3x2 + 3x + m + 1) – log2 (2x2 – x + 1) = x2 – 5x – m + 2
⇔ log2 (3x2 + 3x + m + 1) + 3x2 + 3x + m + 1 = log2 (2x2 – x + 1) + 1 + 4x2 – 2x + 2
⇔ log2 (3x2 + 3x + m + 1) + 3x2 + 3x + m + 1 = log2 (4x2 – 2x + 2) + 4x2 – 2x + 2 (2)
Xét hàm số f(t) = log2 t + t trên (0; +∞), ta có 
Do đó f(t) đồng biến trên (0; +∞) nên (2) ⇔ 3x2 + 3x + m + 1 = 4x2 – 2x + 2 ⇔ m = x2 – 5x + 1 (3)
Xét hàm số f(x) = x2 – 5x + 1, f’(x) = 2x – 5, f’(x) = 0 ⇔ 
Ta có bảng biến thiên
Vậy (3) có nghiệm khi và chỉ khi 
Vậy , mà m là số nguyên âm nên m ∈ {–5; –4; –3; –2; –1}
⟹ Chọn D
Câu 23. Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình 
đúng một nghiệm thực x ?
A. 3
B. 0
C. 8
D. 4
Hướng dẫn giải
Điều kiện: 
Ta có:
Để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thì nghiệm x = 2m phải vi phạm điều kiện (*), tức là: 2m ≤ log3 100 ⇔ m ≤ log2 (log3 100) ≈ 2,067
Do m là số tự nhiên nên m = {0; 1; 2}.
⟹ Chọn A
Câu 24. Cho phương trình 
. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (1; 2018) của tham số a sao cho phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 3 ?
A. 17
B. 20
C. 19
D. 18
Hướng dẫn giải
Nhận thấy, với x > 3 thì 
và 
Ta có
Xét hàm số 
trên khoảng (3; +∞)
Có 
BBT:
Từ BBT ta thấy: phương trình (1) có nghiệm lớn hơn 3 ⇔ log2 x > f (3)
Mà a nguyên thuộc khoảng (1; 2018) nên a ∈ {2; 3; …; 19}
Vậy có 18 giá trị của a thoả mãn.
⟹ Chọn D
Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp (x; y) thỏa mãn đồng thời các điều kiện 
và 
. Tổng các phần tử của S bằng?
A. 5
B. 6
C. 3
D. 4
Hướng dẫn giải
Ta có:
⇔ x2 + y2 + 3 = 2x – 6y + 5 ⇔ x2 + y2 – 2x + 6y – 2 = 0
Ta thấy phương trình x2 + y2 – 2x + 6y – 2 = 0 là phương trình đường tròn tâm I(1; –3) bán kính
Để tồn tại duy nhất cặp số (x; y) thỏa mãn yêu cầu bài toán khi đường thẳng 
tiếp xúc với đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 6y – 2 = 0
Khi và chỉ khi 
.
⟹ Chọn B
Tài liệu tham khảo
