DanChuyenToan

Home » Toán lớp 9

Phương trình bậc hai một ẩn: Công thức nghiệm và bài tập

Toán lớp 9

Trong bài viết này, Dân Chuyên Toán sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu chi tiết về phương trình bậc hai một ẩn thông qua phần định nghĩa, tính chất và các công thức nghiệm. Từ đó, áp dụng vào giải các dạng toán thường gặp nhất.

Nhắc lại về giải phương trình bậc nhất một ẩn

Định nghĩa

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng: ax + b = 0 trong đó x là ẩn số; a, b là các số cho trước gọi là các hệ số a ≠ 0.

Phương pháp giải

\[ax + b = 0 \Leftrightarrow ax = - b \Leftrightarrow x = - \frac{b}{a}\]

Bài tập vận dụng

Câu 1. Giải các phương trình:

a) 2x + 1 = 0

b) x – 2018 = 0

c) \[\sqrt 2 x + 3\sqrt 2 = 0\]

Hướng dẫn giải

a) 2x + 1 = 0 ⇔ x = \[ - \frac{1}{2}\]

Vậy phương trình có nghiệm x = \[ - \frac{1}{2}\]

b) x – 2018 = 0 ⇔ x = 2018.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2018

c) \[\sqrt 2 x + 3\sqrt 2 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt 2 x = - 3\sqrt 2 \Leftrightarrow x = - 3\]

Vậy phương trình có nghiệm x = –3

Lý thuyết phương trình bậc hai một ẩn

Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0, trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0.

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Đối với phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b2 – 4ac:

– Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\]

– Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép \[{x_1} = {x_2} = - \frac{b}{{2a}}\]

– Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Nếu phương trình có a và c trái dấu thì Δ > 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Công thức nghiệm thu gọn

Đối với phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và b = 2b’, Δ’ = b’2 – ac

– Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\]

– Nếu Δ′ = 0 thì phương trình có nghiệm kép \[{x_1} = {x_2} = - \frac{{b'}}{a}\]

– Nếu Δ′ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Hệ thức Vi-et

Định lí Vi-et: Nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

\[\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ {x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

– Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:

X2 – SX + P = 0 (Điều kiện để có hai số đó là: S2 – 4P ≥ 0).

Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)

(1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0

(1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ \[\left\{ \begin{gathered} \Delta \geqslant 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

(1) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ \[\left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

(1) có hai nghiệm âm phân biệt ⇔ \[\left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ S < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Chú ý: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm:

– Nếu nhẩm được: x1 + x2 = m + n; x1x2 = mn thì phương trình có nghiệm x1 = m, x2 = n

– Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm \[{x_1} = 1,{x_2} = \frac{c}{a}\]

– Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm \[{x_1} = - 1,{x_2} = - \frac{c}{a}\]

Phần các dạng bài tập

Loại 1. Phương trình không chứa tham số

Dạng 1. Xác định phương trình bậc hai và các hệ số của phương trình bậc hai

Phương pháp giải

Học sinh xác định đúng dạng của phương trình bậc hai là ax2 + bx + c = 0 và các hệ số a, b, c tương ứng với điều kiện a ≠ 0.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của mỗi phương trình ấy.

a) x2 – 5 = 0

b) x3 + 3x2 – 6 = 0

c) \[\sqrt 2 {x^2} - 5x + \frac{1}{2} = 0\]

d) x2 + 3x = 0

e) 2x – 5 = 0

f) –3x2 + 2x – 4 = 0

Hướng dẫn giải

Phương trình bậc hai là các phương trình a; c; d; f

Phương trình x2 – 5 = 0 có các hệ số a = 1; b = 0; c = –5

Phương trình \[\sqrt 2 {x^2} - 5x + \frac{1}{2} = 0\] có các hệ số a = \[\sqrt 2 \]; b = –5; c = \[\frac{1}{2}\]

Phương trình x2 + 3x = 0 có các hệ số a = 1; b = 3; c = 0

Phương trình –3x2 + 2x – 4 = 0 có các hệ số a = –3; b = 2; c = –4

Lưu ý: Dạng toán này đơn giản nhưng cần khắc sâu cho học sinh trung bình, yếu phải chỉ rõ được đúng hệ số để khi giải bài toán bằng công thức nghiệm thay số chính xác.

Dạng 2. Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát ax2 + bx + c = 0

Phương pháp giải

Phương pháp 1: Đưa phương trình về dạng phương trình tích rồi giải phương trình tích đó. (Lớp 8)

Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm tổng quát (hoặc công thức nghiệm thu gọn) để giải phương trình bậc hai.

Phương pháp 3: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm:

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm \[{x_1} = 1,{x_2} = \frac{c}{a}\]

Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm \[{x_1} = - 1,{x_2} = - \frac{c}{a}\]

Bài tập vận dụng

Câu 1. Giải phương trình sau:

a) 3x2 + 5x – 2 = 0

b) 5x2 – 6x + 1 = 0

Hướng dẫn giải

a) Phương pháp 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

\[\begin{gathered} 3{x^2} + 5x - 2 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x - x - 2 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 3x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 3x - 1 = 0 \hfill \\ x + 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{3} \hfill \\ x = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ { - 2;\frac{1}{3}} \right\}\]

Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai.

Ta có: a = 3; b = 5; c = –2

Δ = b2 – 4ac = 52 – 4⋅3⋅(–2) = 25 + 24 = 49 > 0

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:

\[\begin{gathered} {x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 5 + \sqrt {49} }}{{2 \cdot 3}} = \frac{{ - 5 + 7}}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}; \hfill \\ \hfill \\ {x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 5 - \sqrt {49} }}{{2 \cdot 3}} = \frac{{ - 5 - 7}}{6} = \frac{{ - 12}}{6} = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ { - 2;\frac{1}{3}} \right\}\]

b) Phương pháp 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

\[\begin{gathered} 5{x^2} - 6x + 1 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 5{x^2} - 5x - x + 1 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 5x\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {5x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 5x - 1 = 0 \hfill \\ x - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{5} \hfill \\ x = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {1;\frac{1}{5}} \right\}\]

Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn (công thức nghiệm tổng quát) để giải:

Ta có: a = 5; b = –6 ⇒ b’ = –3; c = 1

Δ’ = b’2 – ac = (–3)2 – 5⋅1 = 9 – 5 = 4 > 0

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:

\[\begin{gathered} {x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt 4 }}{5} = \frac{{3 + 2}}{5} = 1; \hfill \\ \hfill \\ {x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt 4 }}{5} = \frac{{3 - 2}}{5} = \frac{1}{5} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {1;\frac{1}{5}} \right\}\]

Phương pháp 3: Giải bằng cách nhẩm nghiệm.

Ta có: a = 5; b = –6; c = 1 và a + b + c = 5 + (–6) + 1 = 0 vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là \[{x_1} = 1,{\text{ }}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{1}{5}\]

* Những lưu ý khi giải phương trình bậc 2

– Nếu gặp hằng đẳng thức 1 và 2 thì đưa về dạng tổng quát giải bình thường (không cần giải theo công thức ).

Ví dụ: x2 – 2x + 1 = 0 ⇔ (x – 1)2 = 0 ⇔ x = 1

– Phải sắp xếp đúng thứ tự các hạng tử để lập thành phương trình ax2 + bx + c = 0 rồi mới áp dụng công thức:

Ví dụ: x(x – 5) = 24 ⇔ x2 – 5x = 24 ⇔ x2 – 5x – 24 = 0 ⇔ Áp dụng CT giải tiếp………….

– Không phải lúc nào x cũng là ẩn số mà có thể là ẩn t, ẩn b, ẩn a… tùy vào cách ta chọn biến:

Ví dụ: b2 – 10b + 16 = 0 ⇔ áp dụng công thức giải tiếp với ẩn là b……………….

– Phương trình bậc 2 chứa căn ở các hệ số a, b, c thì ở \[\sqrt \Delta \] ta buộc phải rút căn bậc hai

Ví dụ: \[{x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0\] \[\left( {a = 1;b = - \left( {2 + \sqrt 3 } \right);c = 2\sqrt 3 } \right)\]

\[\begin{gathered} \Delta = {\left[ { - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)} \right]^2} - 4 \cdot 1 \cdot 2\sqrt 3 = 7 - 4\sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt \Delta = ....\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Dạng 3. Hướng dẫn giải phương trình bậc hai khuyết b hoặc c

Phương pháp giải

Dạng khuyết b: Đối với phương trình ax2 + c = 0 (a ≠ 0) ta biến đổi \[ \Leftrightarrow {x^2} = - \frac{c}{a}\]. Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi \[ - \frac{c}{a} \geqslant 0\]. Lúc này nghiệm của phương trình là \[x = \pm \sqrt { - \frac{c}{a}} \].

Dạng khuyết c: Đối với phương trình ax2 + bx = 0 ta có thể biến đổi về phương trình tích ax2 + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0 để giải. Lúc này phương trình có 2 nghiệm là x = 0 và \[x = - \frac{b}{a}\].

Bài tập vận dụng

Ví dụ minh hoạ: Giải phương trình:

a) 2x2 = 8

b) x2 – 5x = 0

Hướng dẫn giải

a) \[2{x^2} = 8 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{8}{2} \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ x = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Kết luận nghiệm.

b) \[{x^2} - 5x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Kết luận nghiệm.

Dạng 4. Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm \[\left( {\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}};x_1^2 + x_2^2; \ldots } \right)\]

Phương pháp giải

Sử dụng hệ thức Vi-et, biến đổi biểu thức đã cho xuất hiện tổng và tích các nghiệm từ đó tính được giá trị biểu thức.

Các hệ thức thường gặp:

\[\begin{gathered} \surd {\text{ }}x_1^2 + x_2^2 = \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 2{x_1}{x_2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {S^2} - 2P \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

\[\surd {\text{ }}{x_1} - {x_2} = \pm \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \pm \sqrt {{S^2} - 4P} \]

\[\surd {\text{ }}{x_2} - {x_1} = \pm \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \pm \sqrt {{S^2} - 4P} \]

\[\begin{gathered} \surd {\text{ }}x_1^2 - x_2^2 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = \pm \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = \pm S\sqrt {{S^2} - 4P} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

\[\begin{gathered} \surd {\text{ }}x_1^3 - x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{\text{ }}x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = S\left( {{S^2} - 3P} \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

\[\begin{gathered} \surd {\text{ }}x_1^4 - x_2^4 = {\left( {x_1^2} \right)^2} + {\left( {x_2^2} \right)^2} = {\left( {{\text{ }}x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2 \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2x_1^2x_2^2 \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = {\left( {{S^2} - 2P} \right)^2} - 2{P^2} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

\[\surd {\text{ }}\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{S}{P}\]

\[\begin{gathered} \surd {\text{ }}\frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} }}{{{x_1}{x_2}}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = \pm \frac{{\sqrt {{S^2} - 4P} }}{P} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

\[\begin{gathered} \surd {\text{ }}\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} - \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{{{\text{ }}x_1^2 - x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = \pm \frac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} }}{{{x_1}{x_2}}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = \pm \frac{{S\sqrt {{S^2} - 4P} }}{P} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

\[\begin{gathered} \surd {\text{ }}x_1^3 - x_2^3 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{\text{ }}x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right] \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = \pm \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right] \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = \pm \left( {\sqrt {{S^2} - 4P} } \right)\left( {{S^2} - P} \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

\[\begin{gathered} \surd {\text{ }}x_1^4 - x_2^4 = {\left( {x_1^2} \right)^2} - {\left( {x_2^2} \right)^2} = \left( {{\text{ }}x_1^2 + x_2^2} \right)\left( {{\text{ }}x_1^2 - x_2^2} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = \pm \left( {{S^2} - 2P} \right)\left( {S\sqrt {{S^2} - 4P} } \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài tập vận dụng

Câu 1. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: \[{x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0\]. Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau:

\[\begin{gathered} {\text{A}} = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} \hfill \\ \hfill \\ {\text{B}} = x_1^2 + x_2^2 \hfill \\ \hfill \\ {\text{C}} = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \hfill \\ \hfill \\ {\text{D}} = x_1^3 + x_2^3 \hfill \\ \end{gathered} \]

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\left\{ \begin{gathered} S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - 2 + \sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

\[\begin{gathered} {\text{A }} = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - 1}}{{ - 2 + \sqrt 2 }} \hfill \\ \hfill \\ {\text{B }} = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = 1 - 2\left( { - 2 + \sqrt 2 } \right) = 5 - 2\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \hfill \\ {\text{C }} = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \sqrt {1 - 4\left( { - 2 + \sqrt 2 } \right)} = \sqrt {9 - 4\sqrt 2 } \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \hfill \\ {\text{D }} = x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_1}{x_2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = - 1 - 3\left( { - 1} \right)\left( { - 2 + \sqrt 2 } \right) = - 7 + 3\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Dạng 5. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm

Phương pháp giải

Nếu x1 + x2 = S; x1x2 = P thì x1; x2 là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0

Bài tập vận dụng

Câu 1. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \[\frac{1}{{10 - \sqrt {72} }}\] và \[\frac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }}\]

Hướng dẫn giải

Ta có:

\[\left\{ \begin{gathered} S = \frac{1}{{10 - \sqrt {72} }} + \frac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }} = \frac{5}{7} \hfill \\ \hfill \\ P = \frac{1}{{10 - \sqrt {72} }} \cdot \frac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }} = \frac{1}{{28}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm \[\frac{1}{{10 - \sqrt {72} }}\] và \[\frac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }}\] là: \[{X^2} - \frac{5}{7}X + \frac{1}{{28}} = 0\]

Câu 2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – 3x – 7 = 0. Không giải phương trình.

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \[\frac{1}{{{x_1} - 1}}\] và \[\frac{1}{{{x_2} - 1}}\].

Hướng dẫn giải

Ta có a⋅c < 0 ⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

\[\left\{ \begin{gathered} S = \frac{1}{{{x_1} - 1}} + \frac{1}{{{x_2} - 1}} = \frac{{{x_1} + {x_2} - 2}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} = - \frac{1}{9} \hfill \\ \hfill \\ P = \frac{1}{{{x_1} - 1}} \cdot \frac{1}{{{x_2} - 1}} = \frac{1}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} = - \frac{1}{9} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm là \[\frac{1}{{{x_1} - 1}}\] và \[\frac{1}{{{x_2} - 1}}\] là: \[{X^2} + \frac{1}{9}X - \frac{1}{9} = 0\]

Loại 2. Phương trình chứa tham số – giải phương trình bậc hai và bài toán phụ

Dạng 1. Giải và biện luận phương trình.

Câu 1. Với tham số ở hệ số của phương trình bậc 2.

Cho phương trình: mx2 – 2(m – 2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số.

Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (1).

Hướng dẫn giải

Bước 1: Nếu m = 0 thay vào (1) ta có: 4x – 3 = 0 ⇔ x = \[\frac{3}{4}\]

Bước 2: Nếu m ≠ 0. Lập biệt số Δ’ = (m – 2)2 – m(m – 3) = –m + 4

Δ’ < 0 ⇔ –m + 4 < 0 ⇔ m > 4: phương trình (1) vô nghiệm

Δ’ = 0 ⇔ –m + 4 = 0 ⇔ m = 4: phương trình (1) có nghiệm kép

\[{x_1} = {x_2} = - \frac{{b'}}{a} = \frac{{m - 2}}{m} = \frac{{4 - 2}}{2} = \frac{1}{2}\]

Δ’ > 0 ⇔ –m + 4 > 0 ⇔ m < 4: phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

\[{x_1} = \frac{{m - 2 - \sqrt { - m + 4} }}{m};{\text{ }}{x_2} = \frac{{m - 2 + \sqrt { - m + 4} }}{m}\]

Vậy: m > 4: phương trình (1) vô nghiệm

m = 4: phương trình (1) có nghiệm kép x = \[\frac{1}{2}\]

0 ≠ m < 4: phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

\[{x_1} = \frac{{m - 2 - \sqrt { - m + 4} }}{m};{\text{ }}{x_2} = \frac{{m - 2 + \sqrt { - m + 4} }}{m}\]

m = 0: phương trình (1) có nghiệm đơn x = \[\frac{3}{4}\]

Câu 2. Với hệ số của phương trình bậc 2 đã cho khác 0.

Cho phương trình: x2 + 2x + m – 1 = 0 (2) (m là tham số). Biện luận theo m số nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải

Ta có: Δ’ = 12 – (m – 1) = 2 – m

Δ’ < 0 ⇔ 2 – m < 0 ⇔ m > 2 thì phương trình (2) vô nghiệm.

Δ’ = 0 ⇔ 2 – m = 0 ⇔ m = 2 thì phương trình (2) có nghiệm kép x1 = x2 = –1

Δ’ > 0 ⇔ 2 – m > 0 ⇔ m < 2 thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt:

\[{x_1} = - 1 + \sqrt {2 - m} ;{\text{ }}{x_2} = - 1 - \sqrt {2 - m} \]

Kết luận: Vậy m > 2 phương trình (2) vô nghiệm.

m = 2 thì phương trình (2) có nghiệm kép x1 = x2 = –1

m < 2 thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt:

\[{x_1} = - 1 + \sqrt {2 - m} ;{\text{ }}{x_2} = - 1 - \sqrt {2 - m} \]

Câu 3. Giải và biện luận phương trình: x2 – 2(m + 1) + 2m + 10 = 0

Hướng dẫn giải

Ta có: Δ’ = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9

– Nếu Δ’ > 0 ⇔ m2 – 9 > 0 ⇔ m < –3 hoặc m > 3. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:

\[{x_1} = m + 1 - \sqrt {{m^2} - 9} ;{\text{ }}{x_2} = m + 1 + \sqrt {{m^2} - 9} \]

– Nếu Δ’ = 0 ⇔ m = ±3

Với m = 3 thì phương trình có nghiệm là x1,2 = 4

Với m = –3 thì phương trình có nghiệm là x1,2 = −2

– Nếu Δ’ < 0 ⇔ –3 < m < 3 thì phương trình vô nghiệm

Kết luận:

Với m = 3 thì phương trình có nghiệm x = 4

Với m = –3 thì phương trình có nghiệm x = –2

Với m < –3 hoặc m > 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

\[{x_1} = m + 1 - \sqrt {{m^2} - 9} ;{\text{ }}{x_2} = m + 1 + \sqrt {{m^2} - 9} \]

Với –3 < m < 3 thì phương trình vô nghiệm

Chú ý: Khi giải và biện luận phương trình bậc hai chứa tham số ta cần lưu ý trường hợp tham số nằm ở phần hệ số của lũy thừa bậc hai của ẩn.

Dạng 2. Tìm giá trị tham số của phương trình để phương trình có nghiệm thoả mãn một điều kiện cho trước: (2 nghiệm cùng dấu, trái dấu, cùng dương, cùng âm, đối nhau, nghịch đảo,∈(α, β); ∈[α, β]; …)

Phương pháp giải

Ta lập bảng xét dấu sau:

Lưu ý: Nếu bài toán yêu cầu phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ta xét Δ > 0; còn nếu đề bài chỉ nói chung chung phương trình có 2 nghiệm thì ta xét Δ ≥ 0.

Bài toán tổng quát: Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có:

– Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0

– Vô nghiệm ⇔ Δ < 0

– Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ Δ = 0

– Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ Δ > 0

– Hai nghiệm cùng dấu ⇔ Δ ≥ 0 và P > 0

– Hai nghiệm trái dấu ⇔ Δ > 0 và P < 0 ⇔ a⋅c < 0

– Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S > 0 và P > 0

– Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S < 0 và P > 0

– Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0

– Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1

– Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a⋅c < 0 và S < 0

– Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a⋅c < 0 và S > 0

Ở đó: \[\left\{ \begin{gathered} S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (ẩn số x – tham số m)

a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.

d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn \[x_1^2 + x_2^2 \geqslant 10\]

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\[\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( { - 3 - m} \right) = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4}\]

Do \[{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} \geqslant 0\] với mọi m; \[\frac{{15}}{4} > 0\] ⇒ Δ > 0 với mọi m.

⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a⋅c < 0 ⇔ –3 – m < 0 ⇔ m > –3

Vậy m > –3

c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

Khi đó theo định lí Vi-et ta có: S = x1 + x2 = 2(m – 1) và P = x1x2 = –(m + 3)

Khi đó phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < 0 và P > 0

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\left( {m - 1} \right) < 0 \hfill \\ - \left( {m + 3} \right) > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 1 \hfill \\ m < - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m < - 3\]

Vậy m < –3

d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

Theo định lí Vi-et ta có: S = x1 + x2 = 2(m – 1) và P = x1x2 = –(m + 3)

Khi đó:

\[\begin{gathered} {\text{A }} = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = 4{\left( {m - 1} \right)^2} + 2\left( {m + 3} \right) = 4{m^2} - 6m + 10 \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

Theo bài A ≥ 10

\[\begin{gathered} \Leftrightarrow 4{m^2} - 6m \geqslant 0 \Leftrightarrow 2m\left( {2m - 3} \right) \geqslant 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m \geqslant 0 \hfill \\ 2m - 3 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m \leqslant 0 \hfill \\ 2m - 3 \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m \geqslant 0 \hfill \\ m \geqslant \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m \leqslant 0 \hfill \\ m \leqslant \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m \geqslant \frac{3}{2} \hfill \\ m \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy m ≥ \[\frac{3}{2}\] hoặc m ≤ 0

Câu 2. Cho phương trình: x2 + 2x + m – 1 = 0 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: Δ’ = 12 – (m – 1) = 2 – m

Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' \geqslant 0 \hfill \\ P = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2 - m \geqslant 0 \hfill \\ m - 1 = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \leqslant 2 \hfill \\ m = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 2\]

Vậy m = 2

b) Ta có: Δ’ = 12 – (m – 1) = 2 – m

Phương trình có nghiệm ⇔ Δ ≥ 0 ⇔ 2 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 (*)

Khi đó theo định lí Vi-et ta có: x1 + x2 = –2 (1); x1x2 = m – 1 (2)

Theo bài: 3x1 + 2x2 = 1 (3)

Từ (1) và (3) ta có:

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = - 2 \hfill \\ 3{x_1} + 2{x_2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2{x_1} + 2{x_2} = - 4 \hfill \\ 3{x_1} + 2{x_2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} = 5 \hfill \\ {x_1} + {x_2} = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} = 5 \hfill \\ {x_2} = - 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Thế vào (2) ta có: 5⋅(–7) = m – 1 ⇔ m = –34 (thoả mãn (*))

Vậy m = −34 là giá trị cần tìm.

Dạng 3. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị tham số của phương trình.

Phương pháp: Ta chỉ ra phương trình có ac < 0 hoặc Δ ≥ 0; Δ’ ≥ 0

Dạng 4. Lập hệ thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho x1; x2 độc lập đối giá trị tham số của phương trình.

Phương pháp: Ta thường biến đổi để đưa về dạng αS ± βP = γ với S và P là tổng và tích 2 nghiệm (α, β, γ là các số thực).

Dạng 5. Tìm giá trị tham số của phương trình thoả mãn biểu thức chứa nghiệm (αx1 ± βx2 = γ; α(x1 + x2) ± βx1x2 = γ; αx1 ± βx1x2 = γ; …)

Dạng 6. Tìm điều kiện của giá trị tham số của phương trình để biểu thức liên hệ giữa các nghiệm lớn nhất, nhỏ nhất.

Phương pháp: Mục E và F ta thường sử dụng hệ thức Vi-et để biến đổi.

Dạng 7 Tìm công thức tổng quát của phương trình khi biết một nghiệm, tính nghiệm còn lại.

Phương pháp: Thay giá trị nghiệm đã biết vào phương trình từ đó tìm ra tham số. Từ tham số vừa tìm được áp dụng giải phương trình bậc hai tìm ra nghiệm còn lại.

Loại 3. Phương trình bậc cao – phương trình quy về phương trình bậc hai

Một số dạng phương trình bao gồm:

– Loại 1. Phương trình trùng phương

– Loại 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

– Loại 3. Phương trình tích

– Loại 4. Đặt ẩn phụ

– Loại 5. Phương trình có ẩn ở trong dấu giá trị tuyệt đối

– Loại 6. Phương trình có chứa căn thức

– Loại 7. Phương trình phức tạp