Rút gọn biểu thức: Lý thuyết và các dạng toán đặc trưng

Rút gọn biểu thức là dạng toán đặc trưng của toán lớp 9 và là nền tảng cho môn đại số sau này. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các dạng toán rút gọn biểu thức thường gặp có sử dụng căn bậc 2, căn bậc 3 và các biến đổi đơn giản.

Kiến thức cần nắm

Căn thức bậc 2

– Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho x² = a

– Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là $\sqrt a$ là một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng a:

$\left\{ \begin{gathered} a \geqslant 0 \hfill \\ \sqrt a = x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ {x^2} = a \hfill \\ \end{gathered} \right.$

– Với hai số thực không âm a, b ta có: $\sqrt a \leqslant \sqrt b \Leftrightarrow a \leqslant b$

– Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:

⋄ $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{gathered} A{\text{ }}khi{\text{ }}A \geqslant 0 \hfill \\ - A{\text{ }}khi{\text{ }}A < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⋄ $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = A\sqrt B {\text{ }}\left( {A,B \geqslant 0} \right)$ ; $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = - A\sqrt B {\text{ }}\left( {A < 0,B \geqslant 0} \right)$

⋄ $\sqrt {\frac{A}{B}} = \sqrt {\frac{{AB}}{{{B^2}}}} = \frac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}{\text{ }}\left( {AB \geqslant 0,B \ne 0} \right)$

⋄ $\frac{M}{{\sqrt A }} = \frac{{M\sqrt A }}{A}{\text{ }}\left( {A > 0} \right)$ (đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)

⋄ $\frac{M}{{\sqrt A \pm \sqrt B }} = \frac{{M\left( {\sqrt A \mp \sqrt B } \right)}}{{A - B}}{\text{ }}\left( {A,B \geqslant 0,A \ne B} \right)$ (đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu)

Căn thức bậc 3

– Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$ là số x sao cho x³ = a

– Cho $a \in \mathbb{R};\sqrt[3]{a} = x \Leftrightarrow {x^3} = {\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^3} = a$

– Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3.

– Nếu a > 0 thì $\sqrt[3]{a} > 0$

– Nếu a < 0 thì $\sqrt[3]{a} < 0$

– Nếu a = 0 thì $\sqrt[3]{a} = 0$

– $\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}}{\text{ }}\left( {b \ne 0} \right)$

– $\sqrt[3]{{ab}} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}{\text{ }}\left( {\forall a,b} \right)$

– $a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$

– $A\sqrt[3]{B} = \sqrt[3]{{{A^3}B}}$

– $\sqrt[3]{{\frac{A}{B}}} = \frac{{\sqrt[3]{{A{B^2}}}}}{B}{\text{ }}\left( {B \ne 0} \right)$

– $\frac{{\sqrt[3]{A}}}{B} = \sqrt[3]{{\frac{A}{{{B^3}}}}}$

– $\frac{1}{{\sqrt[3]{A} \pm \sqrt[3]{B}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{A^2}}} \mp \sqrt[3]{{AB}} + \sqrt[3]{{{B^2}}}}}{{A \pm B}}{\text{ }}\left( {A \ne \pm B} \right)$

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Rút gọn biểu thức không chứa biến

Phương pháp giải

– $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{gathered} A{\text{ }}khi{\text{ }}A \geqslant 0 \hfill \\ - A{\text{ }}khi{\text{ }}A < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

– $\sqrt {AB} = \sqrt A \cdot \sqrt B {\text{ }}\left( {A \geqslant 0,B \geqslant 0} \right)$

– $\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}{\text{ }}\left( {A \geqslant 0,B > 0} \right)$

– $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B {\text{ }}\left( {B \geqslant 0} \right)$

– $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} {\text{ }}\left( {A \geqslant 0,B \geqslant 0} \right)$

– $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} {\text{ }}\left( {A < 0,B \geqslant 0} \right)$

– $\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{1}{{\left| B \right|}}\sqrt {AB} {\text{ }}\left( {A \geqslant 0,B > 0} \right)$

– $\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}{\text{ }}\left( {B > 0} \right)$

– $\frac{C}{{\sqrt A \pm B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A \pm B} \right)}}{{A - {B^2}}}{\text{ }}\left( {A \geqslant 0,A \ne {B^2}} \right)$

– $\frac{C}{{\sqrt A \pm \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A \pm \sqrt B } \right)}}{{A - B}}{\text{ }}\left( {A,B \geqslant 0,A \ne B} \right)$

– ${\left( {\sqrt[3]{A}} \right)^3} = \sqrt[3]{{{A^3}}} = A$

Bài tập vận dụng

Câu 1. Rút gọn các biểu thức sau:

$\begin{gathered} M = \sqrt {45} + \sqrt {245} - \sqrt {80} \hfill \\ N = 5\sqrt 8 + \sqrt {50} - 2\sqrt {18} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ P = \sqrt {125} - 4\sqrt {45} + 3\sqrt {20} - \sqrt {80} \hfill \\ A = \sqrt {12} + \sqrt {27} - \sqrt {48} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ B = 2\sqrt 3 + 3\sqrt {27} - \sqrt {300} \hfill \\ C = \left( {2\sqrt 3 - 5\sqrt {27} + 4\sqrt {12} } \right):\sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} M = \sqrt {45} + \sqrt {245} - \sqrt {80} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = \sqrt {{3^2} \cdot 5} + \sqrt {{7^2} \cdot 5} - \sqrt {{4^2} \cdot 5} } \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = 3\sqrt 5 + 7\sqrt 5 - 4\sqrt 5 = 6\sqrt 5 } \end{array} \hfill \\ N = 5\sqrt 8 + \sqrt {50} - 2\sqrt {18} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = 5 \cdot 2\sqrt 2 + 5\sqrt 2 - 2 \cdot 3\sqrt 2 } \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = 10\sqrt 2 + 5\sqrt 2 - 6\sqrt 2 } \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = \left( {10 + 5 - 6} \right)\sqrt 2 = 9\sqrt 2 } \end{array} \hfill \\ P = \sqrt {125} - 4\sqrt {45} + 3\sqrt {20} - \sqrt {80} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = 5\sqrt 5 - 12\sqrt 5 + 6\sqrt 5 - 4\sqrt 5 = - 5\sqrt 5 } \end{array} \hfill \\ A{\text{ }} = \sqrt {12} + \sqrt {27} - \sqrt {48} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = 2\sqrt 3 + 3\sqrt 3 - 4\sqrt 3 = \sqrt 3 } \end{array} \hfill \\ B{\text{ }} = 2\sqrt 3 + 3\sqrt {27} - \sqrt {300} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = 2\sqrt 3 + 3\sqrt 3 - \sqrt 3 } \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = 2\sqrt 3 + 33\sqrt 3 - 10\sqrt 3 = \sqrt 3 } \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ C{\text{ }} = \left( {2\sqrt 3 - 5\sqrt {27} + 4\sqrt {12} } \right):\sqrt 3 \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = \left( {2\sqrt 3 - 53\sqrt 3 + 42\sqrt 3 } \right):\sqrt 3 } \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = - 5\sqrt 3 :\sqrt 3 = - 5} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Nhận xét: Đây là một dạng toán dễ. Học sinh có thể bấm máy tính để kiểm tra kết quả, đa phần áp dụng kiến thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn để giải toán

$\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B {\text{ }}\left( {B \geqslant 0} \right)$

Câu 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}^2}}$

b) $\sqrt {{{\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)}^2} - {{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)}^2}}$

c) $\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}}$

d) $\sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^2}}$

e) $\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}^2}}$

f) $\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 - 5} \right)}^2}}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt {{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}^2}}$

$\begin{gathered} = \left| {3 - 2\sqrt 2 } \right| + \left| {3 + 2\sqrt 2 } \right| \hfill \\ = 3 - 2\sqrt 2 + 3 + 2\sqrt 2 = 6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Lưu ý: $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{gathered} A{\text{ }}khi{\text{ }}A \geqslant 0 \hfill \\ - A{\text{ }}khi{\text{ }}A < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

b) $- 4\sqrt 6$

c) 1

d) 4

e) $2\sqrt 5$

f) $2\sqrt 2 - 4$

Câu 3. Rút gọn biểu thức

a) $A = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 }$

b) $B = \sqrt {8 - 2\sqrt {15} }$

c) $C = \sqrt {9 - 4\sqrt 5 }$

d) $D = \sqrt {7 + \sqrt {13} } - \sqrt {7 - \sqrt {13} }$

e) $E = \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 }$

f) $F = \sqrt {7 - 2\sqrt {10} } + \sqrt {20} + \frac{1}{2}\sqrt 8$

Hướng dẫn giải

a) $A = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1$

b) $B = \sqrt {8 - 2\sqrt {15} } = \sqrt {{{\left( {\sqrt {15} - 1} \right)}^2}} = \sqrt {15} - 1$

c) $C = \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } = \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = \sqrt 5 - 2$

d) $D = \sqrt {7 + \sqrt {13} } - \sqrt {7 - \sqrt {13} }$

$\begin{gathered} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sqrt {14 + 2\sqrt {13} } - \sqrt {14 - 2\sqrt {13} } } \right) \hfill \\ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left[ {\sqrt {{{\left( {\sqrt {13} + 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt {13} - 1} \right)}^2}} } \right] = \sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

e) $E = \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 }$

$\begin{gathered} = \sqrt {5 + 2\sqrt 5 + 1} - \sqrt {5 - 2\sqrt 5 + 1} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left| {\sqrt 5 + 1} \right| - \left| {\sqrt 5 - 1} \right|\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt 5 + 1 - \sqrt 5 + 1 = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

f) $F = \sqrt {7 - 2\sqrt {10} } + \sqrt {20} + \frac{1}{2}\sqrt 8$

$\begin{gathered} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)}^2}} + 2\sqrt 5 + \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left| {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right| + 2\sqrt 5 + \sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt 5 - \sqrt 2 + 2\sqrt 5 + \sqrt 2 = 3\sqrt 5 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 4. Rút gọn biểu thức (áp dụng các kiến thức tổng hợp)

a) $A = \frac{{\sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }}{{\sqrt 5 + 1}} + \frac{{\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } }}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}$

b) $B = \frac{3}{{\sqrt 5 - \sqrt 2 }} + \frac{4}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 6 + \sqrt 5 }}$

c) $C = \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {99} + \sqrt {100} }}$

d) $D = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }} + \sqrt {7 - 4\sqrt 3 }$

e) $E = \sqrt {\frac{{3\sqrt 3 - 4}}{{2\sqrt 3 + 1}}} - \sqrt {\frac{{\sqrt 3 + 4}}{{5 - 2\sqrt 3 }}}$

f) $F = \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 6 }} - \frac{2}{{3 + \sqrt 3 }}$

Hướng dẫn giải

a) $A = \frac{{\sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }}{{\sqrt 5 + 1}} + \frac{{\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } }}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}$

$= \frac{{\sqrt 5 + 1}}{{\sqrt 5 + 1}} + \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} = 2$

b) $B = \frac{3}{{\sqrt 5 - \sqrt 2 }} + \frac{4}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 6 + \sqrt 5 }}$

$\begin{gathered} = \frac{{3\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{3} + \frac{{4\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}}{4} + \left( {\sqrt 6 + \sqrt 5 } \right) \hfill \\ = \sqrt 5 + \sqrt 2 + \sqrt 6 - \sqrt 2 + \sqrt 6 + \sqrt 5 = 2\sqrt 6 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

c) $C = \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {99} + \sqrt {100} }}$

$\begin{gathered} = \left( {\sqrt 2 - 1} \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ... + \left( {\sqrt {100} - \sqrt {99} } \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 9 \hfill \\ \end{gathered}$

d) $D = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }} + \sqrt {7 - 4\sqrt 3 }$

$\begin{gathered} = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }} + \sqrt {4 - 4\sqrt 3 + 3} \hfill \\ = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }} + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }} + 2 - \sqrt 3 \hfill \\ = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} + 2 - \sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{1} + 2 - \sqrt 3 = 4 \hfill \\ \end{gathered}$

e) $E = \sqrt {\frac{{3\sqrt 3 - 4}}{{2\sqrt 3 + 1}}} - \sqrt {\frac{{\sqrt 3 + 4}}{{5 - 2\sqrt 3 }}}$

$\begin{gathered} = \sqrt {\frac{{\left( {3\sqrt 3 - 4} \right)\left( {2\sqrt 3 - 1} \right)}}{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} - 1}}} - \sqrt {\frac{{\left( {\sqrt 3 + 4} \right)\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{{5^2} - {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}}} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt {\frac{{22 - 11\sqrt 3 }}{{11}}} - \sqrt {\frac{{26 + 13\sqrt 3 }}{{13}}} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt {2 - \sqrt 3 } - \sqrt {2 + \sqrt 3 } \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt {\frac{{4 - 2\sqrt 3 }}{2}} - \sqrt {\frac{{4 + 2\sqrt 3 }}{2}} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} } \right) \hfill \\ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\left| {\sqrt 3 - 1} \right| - \sqrt 3 - 1} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot \left( { - 2} \right) = - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered}$

f) $F = \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 6 }} - \frac{2}{{3 + \sqrt 3 }}$

$\begin{gathered} = \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} - \frac{2}{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 1} \right) + \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right) - 2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{2\sqrt 3 + 4}}{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}}{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{2\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{3\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}} = \frac{{2\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{3\left( {3 - 1} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{3} = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3} = 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Kinh nghiệm: Đôi khi một số bài toán rút gọn căn thức sẽ thực hiện dễ dàng hơn nếu chúng ta trục căn thức hoặc rút gọn được một hạng tử trong đề toán. Nếu quy đồng mẫu số thì việc thực hiện các phép tính rất phức tạp. Vì vậy trước khi làm bài toán rút gọn, học sinh cần quan sát kỹ đề toán từ đó có định hướng giải đúng đắn để Hướng dẫn giải được ngắn gọn, chính xác.

Câu 5. Thu gọn các biểu thức sau

a) $A = \sqrt {18} - 2\sqrt {50} + 3\sqrt 8$

b) $B = \sqrt {27} - 6\sqrt {\frac{1}{3}} + \frac{{\sqrt 3 - 3}}{{\sqrt 3 }}$

c) $C = \frac{5}{{\sqrt 7 + \sqrt 2 }} - \sqrt {8 - 2\sqrt 7 } + \sqrt 2$

Hướng dẫn giải

a) $A = \sqrt {18} - 2\sqrt {50} + 3\sqrt 8$

$\begin{gathered} = \sqrt {{3^2} \cdot 2} - 2\sqrt {{5^2} \cdot 2} + 3\sqrt {{2^2} \cdot 2} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 3\sqrt 2 - 10\sqrt 2 + 6\sqrt 2 = - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered}$

b) $B = \sqrt {27} - 6\sqrt {\frac{1}{3}} + \frac{{\sqrt 3 - 3}}{{\sqrt 3 }}$

$\begin{gathered} = \sqrt {{3^2} \cdot 3} - 6 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} + 1 - \sqrt 3 \hfill \\ = 3\sqrt 3 - 2\sqrt 3 + 1 - \sqrt 3 = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

c) $C = \frac{5}{{\sqrt 7 + \sqrt 2 }} - \sqrt {8 - 2\sqrt 7 } + \sqrt 2$

$\begin{gathered} = \frac{{5\left( {\sqrt 7 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 7 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 2 } \right)}} - \sqrt {7 - 2\sqrt 7 + 1} + \sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt 7 - \sqrt 2 - \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 1} \right)}^2}} + \sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt 7 - \sqrt 2 - \left| {\sqrt 7 - 1} \right| + \sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt 7 - \sqrt 2 - \left( {\sqrt 7 - 1} \right) + \sqrt 2 = 1{\text{ }}\left( {Do{\text{ }}\sqrt 7 > 1} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 6. Thực hiện phép tính

a) $\frac{1}{2}\sqrt {48} - 2\sqrt {75} - \frac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {11} }} + 5\sqrt {1\frac{1}{3}}$

b) $\sqrt {6 + 2\sqrt 5 } - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } - \sqrt[3]{8}$

c) $5\sqrt {2a} - \sqrt {50a} - 2\sqrt {{a^3}} + 4\sqrt {32a} {\text{ }}\left( {a \geqslant 0} \right)$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{1}{2}\sqrt {48} - 2\sqrt {75} - \frac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {11} }} + 5\sqrt {1\frac{1}{3}}$

$\begin{gathered} = \frac{1}{2}\sqrt {{4^2} \cdot 3} - 2\sqrt {{5^2} \cdot 3} - \frac{{\sqrt 3 \cdot \sqrt {11} }}{{\sqrt {11} }} + 5\sqrt {\frac{4}{3}} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 2\sqrt 3 - 10\sqrt 3 - \sqrt 3 + 5\sqrt {\frac{{{2^2}}}{3}} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = - 9\sqrt 3 + \frac{{10\sqrt 3 }}{3} = \frac{{ - 17\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{gathered}$

b) $\sqrt {6 + 2\sqrt 5 } - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } - \sqrt[3]{8}$

$\begin{gathered} = \sqrt {5 + 2\sqrt 5 + 1} - \sqrt {5 - 2\sqrt 5 + 1} - \sqrt[3]{{{2^3}}} \hfill \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} - 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left| {\sqrt 5 + 1} \right| - \left| {\sqrt 5 - 1} \right| - 2 \hfill \\ = \left| {\sqrt 5 + 1} \right| - \left| {\sqrt 5 + 1} \right| - 2{\text{ }}\left( {Do{\text{ }}\sqrt 5 > 1} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

c) $5\sqrt {2a} - \sqrt {50a} - 2\sqrt {{a^3}} + 4\sqrt {32a} {\text{ }}\left( {a \geqslant 0} \right)$

$\begin{gathered} = 5\sqrt {2a} - \sqrt {{5^2} \cdot 2a} - 2\sqrt {{a^2} \cdot a} + 4\sqrt {{4^2} \cdot 2a} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 5\sqrt {2a} - 5\sqrt {2a} - 2\left| a \right|\sqrt a + 16\sqrt {2a} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = - 2a\sqrt a + 16\sqrt {2a} {\text{ }}\left( {Do{\text{ }}a \geqslant 0} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 7. Thu gọn các biểu thức sau:

$A = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + 2}} + \frac{5}{{\sqrt 5 - 1}} - \frac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} A = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + 2}} + \frac{5}{{\sqrt 5 - 1}} - \frac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\left( {5 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt 5 \left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 3\sqrt 5 - 5 + \frac{{5 + \sqrt 5 }}{4} - \frac{{9\sqrt 5 - 15}}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 3\sqrt 5 - 5 + \frac{{5 + \sqrt 5 - 9\sqrt 5 + 15}}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 3\sqrt 5 - 5 + 5 - 2\sqrt 5 = \sqrt 5 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 8. Tính

$B = 21{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} - 6{\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } + \sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^2} - 15\sqrt {15}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} B = \frac{{21}}{2}{\left( {\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } + \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } } \right)^2} - 3{\left( {\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } } \right)^2} - 15\sqrt {15} \hfill \\ = \frac{{21}}{2}{\left( {\sqrt 3 + 1 + \sqrt 5 - 1} \right)^2} - 3{\left( {\sqrt 3 - 1 + \sqrt 5 + 1} \right)^2} - 15\sqrt {15} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{15}}{2}{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)^2} - 15\sqrt {15} = 60 \hfill \\ \end{gathered}$

Dạng 2. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

Dạng 3. Rút gọn biểu thức chứa biến

Bài tập vận dụng

Câu 1. Rút gọn biểu thức sau với x > 0

$B = \left( {\frac{x}{{x + 3\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right):\left( {1 - \frac{2}{{\sqrt x }} + \frac{6}{{x + 3\sqrt x }}} \right)$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} B = \left( {\frac{x}{{x + 3\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right):\left( {1 - \frac{2}{{\sqrt x }} + \frac{6}{{x + 3\sqrt x }}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right):\left[ {\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} + \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}} \right]\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}:\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) + 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( {\sqrt x + 1} \right) \cdot \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 2. Rút gọn biểu thức sau với x > 0 và x ≠ 2

$P = \frac{{x\sqrt 2 }}{{2\sqrt x + x\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {2x - 2} }}{{x - 2}}$

Hướng dẫn giải:

Với điều kiện đã cho thì:

$\begin{gathered} P{\text{ }} = \frac{{x\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 x\left( {\sqrt 2 + \sqrt x } \right)}} + \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt x - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt 2 } \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt 2 + \sqrt x }} + \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x + \sqrt 2 }} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 3. Thu gọn biểu thức sau với x ≥ 0 và x ≠ 9

$A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{3}{{\sqrt x - 3}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x + 3}}{{x + 9}}$

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0 và x ≠ 9 ta có:

$A = \frac{{x - 3\sqrt x + 3\sqrt x + 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 3}}{{x + 9}} = \frac{1}{{\sqrt x }} = - 3$

Câu 4. Rút gọn các biểu thức:

a) $A = \sqrt x - \sqrt {x - \sqrt x + \frac{1}{4}}$ khi x ≥ 0

b) $B = \sqrt {4x - 2\sqrt {4x - 1} } + \sqrt {4x + 2\sqrt {4x - 1} }$ khi x ≥ $\frac{1}{4}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} A = \sqrt x - \sqrt {x - \sqrt x + \frac{1}{4}} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt x - \sqrt {{{\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \sqrt x - \left| {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right| \hfill \\ \end{gathered}$

– Nếu $\sqrt x \geqslant \frac{1}{2} \Leftrightarrow x \geqslant \frac{1}{4}$ thì

$\left| {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right| = \sqrt x - \frac{1}{2} \Rightarrow A = \frac{1}{2}$

– Nếu $\sqrt x < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 \leqslant x < \frac{1}{4}$ thì

$\left| {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right| = - \sqrt x + \frac{1}{2} \Rightarrow A = 2\sqrt x - \frac{1}{2}$

$\begin{gathered} B = \sqrt {4x - 2\sqrt {4x - 1} } + \sqrt {4x + 2\sqrt {4x - 1} } \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt {4x - 1 - 2\sqrt {4x - 1} + 1} + \sqrt {4x - 1 + 2\sqrt {4x - 1} + 1} \hfill \\ \end{gathered}$

Hay $B = \sqrt {{{\left( {\sqrt {4x - 1} - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {4x - 1} + 1} \right)}^2}}$

$\begin{gathered} = \left| {\sqrt {4x - 1} - 1} \right| + \left| {\sqrt {4x - 1} + 1} \right|\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left| {\sqrt {4x - 1} - 1} \right| + \sqrt {4x - 1} + 1 \hfill \\ \end{gathered}$

– Nếu $\sqrt {4x - 1} - 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow 4x - 1 \geqslant 1 \Leftrightarrow x \geqslant \frac{1}{2}$ thì

$\left| {\sqrt {4x - 1} - 1} \right| = \sqrt {4x - 1} - 1 \Rightarrow B = 2\sqrt {4x - 1}$

– Nếu $\sqrt {4x - 1} - 1 < 0 \Leftrightarrow 4x - 1 < 1 \Leftrightarrow \frac{1}{4} \leqslant x < \frac{1}{2}$ thì

$\left| {\sqrt {4x - 1} - 1} \right| = - \sqrt {4x - 1} + 1 \Rightarrow B = 2$

Câu 5. Cho các số thực dương a, b; a ≠ b. Chứng minh rằng:

$\frac{\begin{gathered} \hfill \\ \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^3}}}{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^3}}} - b\sqrt b + 2a\sqrt a \hfill \\ \end{gathered} }{{a\sqrt a - b\sqrt b }} + \frac{{3a + 3\sqrt {ab} }}{{b - a}} = 0$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} Q = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^3}}}{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^3}}} - b\sqrt b + 2a\sqrt a \hfill \\ \end{gathered} }{{a\sqrt a - b\sqrt b }} + \frac{{3a + 3\sqrt {ab} }}{{b - a}} \hfill \\ = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ \frac{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^3}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^3}}}{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^3}}} - b\sqrt b + 2a\sqrt a \hfill \\ \end{gathered} }{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {a + \sqrt {ab} + c} \right)}} - \frac{{3\sqrt a + \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \hfill \\ = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ a\sqrt a + 3a\sqrt b + 3b\sqrt a + b\sqrt b + 2a\sqrt a \hfill \\ \end{gathered} }{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {a + \sqrt {ab} + c} \right)}} - \frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a - \sqrt b }} \hfill \\ = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ 3a\sqrt a + 3a\sqrt b + 3b\sqrt a - 3a\sqrt a - 3a\sqrt b - 3b\sqrt a \hfill \\ \end{gathered} }{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {a + \sqrt {ab} + c} \right)}} = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 6. Rút gọn biểu thức sau với x > 0 và x ≠ 9

$A = \frac{{x + \sqrt x - 6}}{{x - 9}} + \frac{{x - 7\sqrt x + 19}}{{x + \sqrt x - 12}} - \frac{{x - 5\sqrt x }}{{x + 4\sqrt x }}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} A = \frac{{x + \sqrt x - 6}}{{x - 9}} + \frac{{x - 7\sqrt x + 19}}{{x + \sqrt x - 12}} - \frac{{x - 5\sqrt x }}{{x + 4\sqrt x }}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{x - 7\sqrt x + 19}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 4}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{x + 2\sqrt x - 8 + x - 7\sqrt x + 19 - x + 8\sqrt x - 15}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Dạng 4. Tính giá trị của biểu thức A khi x = m (với m là số hoặc biểu thức chứa x)

Phươn pháp giải

– Nếu m là biểu thức chứa căn x = m (bằng số), trước tiên phải rút gọn; nếu m là biểu thức có dạng căn trong căn thường đưa về hằng đẳng thức để rút gọn; nếu m là biểu thức ta phải đi giải phương trình tìm x.

– Trước khi tính giá trị của biểu thức A, học sinh thường quên xét xem m có thỏa mãn ĐKXĐ hay không rồi mới được thay vào biểu thức dã rút gọn để tính.

Bài tập vận dụng

Cho $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}$ , điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

b) Tính giá trị của biểu thức A khi $x = 3 + 2\sqrt 2$

c) Tính giá trị của biểu thức A biết x thỏa mãn phương trình x² – 5x + 4 = 0

Hướng dẫn giải

a) Có $x = 9 \Rightarrow \sqrt x = 3 \Rightarrow A = \frac{3}{{3 - 1}} = \frac{3}{2}$

b) Có $x = 3 + 2\sqrt 2 = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2}$

$\begin{gathered} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 2 + 1} \right| = \sqrt 2 + 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow A = \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \end{gathered}$

c) Có x² – 5x + 4 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 4

Kết hợp điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1

⇒ x = 1 (loại) và x = 4 (TM)

Với $x = 4 \Rightarrow \sqrt x = 2 \Rightarrow A = \frac{2}{{2 - 1}} = 2$

Dạng 5. Tìm giá trị của biến x để A = k (với k là hằng số hoặc là biểu thức chứa x)

Phương pháp giải

– Thực chất đây là việc giải phương trình.

– Học sinh thường quên khi tìm được giá trị của x không xét xem giá trị x dó có thỏa mãn ĐKXĐ của A hay không.

Bài tập vận dụng

Cho $A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}$ , điều kiện xác định x ≥ 0 và x ≠ 4

a) Tìm x biết A = 2.

b) Tìm x biết $A = \frac{{4\sqrt x - 1}}{4}$

Hướng dẫn giải

a) Có $A = 2 \Rightarrow \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} = 2$

$\Leftrightarrow \sqrt x + 1 = 2\sqrt x + 4 \Rightarrow \sqrt x = - 3$

⇒ không tồn tại x để A = 2.

b) Có $A = \frac{{4\sqrt x - 1}}{4} \Rightarrow \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{4\sqrt x - 1}}{4}$

$\Leftrightarrow 4\sqrt x + 4 = 4x + 9\sqrt x - 2$

Kết hợp điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 4

⇒ x = 4 (loại) và x = $\frac{9}{{16}}$ (thỏa mãn)

Vậy x = $\frac{9}{{16}}$ thì $A = \frac{{4\sqrt x - 1}}{4}$

Dạng 6. Tìm giá trị của biến x để A ≥ k (hoặc A ≤ k, A > k, A < k,. . . ) trong đó k là hằng số hoặc là biểu thức chứa x.

Phương pháp giải

– Thực chất đây là việc giải bất phương trình.

– Học sinh thường mắc sai lầm khi giải bất phương trình thường dùng tích chéo hoặc sử dụng một số phép biến đổi sai.

Bài tập vận dụng

Cho $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}}$ , điều kiện xác định x ≥ 0 và x ≠ 9

a) Tìm x để A < 1

b) Tìm x để A ≤ 2

Hướng dẫn giải

a) Để A < 1

$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} < 1 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1 < 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2 - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} < 0 \Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt x - 3}} < 0 \hfill \\ \end{gathered}$

Mà $5 > 0 \Rightarrow \sqrt x - 3 < 0 \Rightarrow x < 9$

Kết hợp điều kiện x ≥ 0, x ≠ 9 ⇒ 0 ≤ x < 9

Vậy 0 ≤ x < 9 thì A < 1.

b) Để A ≤ 2

$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} \leqslant 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} - 2 \leqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2 - 2\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 3}} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{ - \sqrt x + 8}}{{\sqrt x - 3}} \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}$

TH1: $\left\{ \begin{gathered} - \sqrt x + 8 \geqslant 0 \hfill \\ \sqrt x - 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt x \leqslant 8 \hfill \\ \sqrt x > 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \leqslant 64 \hfill \\ x > 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⇒ 9 < x ≤ 64

TH2: $\left\{ \begin{gathered} - \sqrt x + 8 \leqslant 0 \hfill \\ \sqrt x - 3 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt x \geqslant 8 \hfill \\ \sqrt x < 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 64 \hfill \\ x < 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⇒ loại

Vậy 9 < x ≤ 64 thì A ≤ 2.

Dạng 7. So sánh biểu thức A với một số hoặc một biểu thức.

Phương pháp giải

– Thực chất đây là việc đi xét hiệu của biểu thức A với một số hoặc một biểu thức rồi so sánh hiệu đó với số 0.

Bài tập vận dụng

Cho $A = \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}$ , điều kiện xác định x ≥ 0.

a) So sánh A với 2.

b) So sánh A với 1.

Hướng dẫn giải

a) Xét hiệu

$A - 2 = \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}} - 2 = \frac{{2\sqrt x + 1 - 2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt x + 1}}$

Có $x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 > 0$

và $- 1 < 0 \Rightarrow \frac{{ - 1}}{{\sqrt x + 1}} < 0$

$\Rightarrow A - 2 < 0 \Leftrightarrow A < 2$

b) Xét hiệu

$A - 1 = \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}} - 1 = \frac{{2\sqrt x + 1 - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$

Có $x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x \geqslant 0$

và $\sqrt x + 1 \geqslant 0 \Rightarrow \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} \geqslant 0$

$\Rightarrow A - 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow A \geqslant 1$

Dạng 8. Chứng minh biểu thức A ≥ k (hoặc A ≤ k, A > k, A < k) với k là một số.

Phương pháp giải

– Thực chất đây là việc đưa về chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức. Ta xét hiệu A − k rồi xét dấu biểu thức.

Bài tập vận dụng

Cho $A = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}}$ , điều kiện x ≥ 0. Chứng minh A >1.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Có $A = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}$

Có $x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 2}} > 0$

$\Rightarrow 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 2}} > 1{\text{ hay }}A > 1$

Cách 2: Xét hiệu $A - 1 = \frac{1}{{\sqrt x + 2}}$

Có $x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 2}} > 0$ với mọi x ≥ 0.

$\Rightarrow A - 1 > 0{\text{ hay }}A > 1$

Dạng 9. Tìm giá trị của biến x là số nguyên, số tự nhiên để biểu thức A có giá trị nguyên

Phương pháp giải

– Cách làm: chia tử thức cho mẫu thức, rồi tìm giá trị của biến x để mẫu thức là ước của phần dư (một số)

– Học sinh thường quên kết hợp với điều kiện xác định của biểu thức.

Bài tập vận dụng

Cho $A = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}}$ , điều kiện xác định x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9. Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên

Hướng dẫn giải

Có $A = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} = 1 + \frac{5}{{\sqrt x - 2}}$ . Để A nhận giá trị nguyên

$\Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x - 2}}$ là số nguyên

$\Rightarrow \left( {\sqrt x - 2} \right)$ là ước của 5

$\Rightarrow \left( {\sqrt x - 2} \right) \in \left\{ {1; - 1;5; - 5} \right\}$

Vậy x ∈ {1; 49} thì A có giá trị nguyên

Dạng 10. Tìm giá trị của biến x là số thực, số bất kì để biểu thức A có giá trị nguyên

Phương pháp giải

– Học sinh thường nhầm lẫn cách làm của dạng này với dạng tìm giá trị của biến x là số nguyên, số tự nhiên để biểu thức A có giá trị nguyên.

– Cách làm: sử dụng ĐKXĐ để xét xem biểu thức A nằm trong khoảng giá trị nào, rồi tính giá trị của biểu thức A và từ đó tìm giá trị của biến x.

Bài tập vận dụng

Cho $A = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}$ , điều kiện xác định x ≥ 0. Tìm x để A có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Cách 1: $A = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = 2 - \frac{5}{{\sqrt x + 2}}$

Có $x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 > 0$

$\Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x + 2}} > 0 \Rightarrow 2 - \frac{5}{{\sqrt x + 2}} < 2 \Rightarrow A < 2$

Lại có: $x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \geqslant 2$

$\Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x + 2}} \leqslant \frac{5}{2} \Rightarrow 2 - \frac{5}{{\sqrt x + 2}} \geqslant - \frac{1}{2} \Rightarrow A \geqslant - \frac{1}{2}$

Vậy $- \frac{1}{2} \leqslant A < 2$ mà A ∈ ℤ ⇒ A ∈ {0; 1}

– Với $A = 0 \Rightarrow \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = 0$

$\Rightarrow 2\sqrt x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4}$

– Với $A = 1 \Rightarrow \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = 1$

$\Rightarrow 2\sqrt x - 1 = \sqrt x + 2 \Leftrightarrow \sqrt x = 3 \Rightarrow x = 9$

Vậy $x \in \left\{ {\frac{1}{4};9} \right\}$ thì A có giá trị nguyên.

Cách 2: $A = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow A\left( {\sqrt x + 2} \right) = 2\sqrt x - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {A - 2} \right)\sqrt x = - 1 - 2A \hfill \\ \end{gathered}$

Dễ thấy A = 2 không là nghiệm của phương trình

$\Rightarrow A \ne 2 \Rightarrow \sqrt x = \frac{{ - 2A - 1}}{{A - 2}}$

Vì $x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \frac{{ - 2A - 1}}{{A - 2}} \geqslant 0$

TH1: $\left\{ \begin{gathered} - 2A - 1 \geqslant 0 \hfill \\ A - 2 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} A \leqslant - \frac{1}{2} \hfill \\ A > 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i$

TH2: $\left\{ \begin{gathered} - 2A - 1 \leqslant 0 \hfill \\ A - 2 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} A \geqslant - \frac{1}{2} \hfill \\ A < 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow - \frac{1}{2} \leqslant A < 2$

Vậy $- \frac{1}{2} \leqslant A < 2$ mà A ∈ ℤ ⇒ A ∈ {0; 1}

– Với $A = 0 \Rightarrow \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = 0$

$\Rightarrow 2\sqrt x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4}$

– Với $A = 1 \Rightarrow \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = 1$

$\Rightarrow 2\sqrt x - 1 = \sqrt x + 2 \Leftrightarrow \sqrt x = 3 \Rightarrow x = 9$

Vậy $x \in \left\{ {\frac{1}{4};9} \right\}$ thì A có giá trị nguyên.

Dạng 11. Tìm giá trị của tham số để phương trình hoặc bất phương trình có nghiệm

Phương pháp giải

Học sinh cần biết cách tìm điều kiện để phương trình hoặc bất phương trình có nghiệm.

– Học sinh đưa biểu thức chứa căn về dạng bậc hai sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm

– Cô lập tham số m, tìm miền giá trị của vế chứa biến x rồi suy ra điều kiện để phương trình có nghiệm thì biểu thức chứa tham số m nằm trong miền giá trị của vế chứa biến x

Bài tập vận dụng

Cho $A = x + \sqrt x$ , điều kiện xác định x ≥ 0; x ≠ 1. Tìm m để phương trình A = m có nghiệm x.

Hướng dẫn giải

Có $A = m \Leftrightarrow x + \sqrt x = m$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow x + \sqrt x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = m\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} = m \hfill \\ \end{gathered}$

Do $\sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x + \frac{1}{2}} \right)^2} \geqslant \frac{1}{4}$

$\Rightarrow {\left( {\sqrt x + \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \geqslant 0 \Rightarrow m \geqslant 0$

Vì x ≥ 0; x ≠ 1

$\Rightarrow \sqrt x \ne 1 \Rightarrow x + \sqrt x \ne 2 \Rightarrow m \ne 2$

Vậy m ≥ 0; m ≠ 2 thì phương trình A = m có nghiệm x.

Ví dụ minh họa 2. Cho $A = \frac{{x + \sqrt x }}{{3\sqrt x - 1}}$ , điều kiện xác định $x \geqslant 0;x \ne \frac{1}{9}$ . Tìm m để phương trình A = m có nghiệm x.

Hướng dẫn giải

Có A = m

$\Rightarrow \frac{{x + \sqrt x }}{{3\sqrt x - 1}} = m \Leftrightarrow x + \left( {1 - 3m} \right)\sqrt x + m = 0\left( 1 \right)$

Đặt $t = \sqrt x$ , có $x \geqslant 0;x \ne \frac{1}{9} \Rightarrow t \geqslant 0;t \ne \frac{1}{3}$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} + \left( {1 - 3m} \right)t + m = 0\left( 2 \right)$

Vì a = 1 khác 0 ⇒ (2) luôn là phương trình bậc hai

Ta có: Δ = (1 – 3m)² – 4m = 9m² – 10m + 1.

(1) Có nghiệm khi (2) có ít nhất một nghiệm $t \geqslant 0,t \ne \frac{1}{3}$

TH1: Phương trình (2) có nghiệm khi t = 0 ⇒ m = 0

TH2: Phương trình (2) có nghiệm kép khi $t \geqslant 0,t \ne \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = \frac{1}{9}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ m = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Với m = 1 ⇒ t = 1 (thỏa mãn)

Với $m = \frac{1}{9} \Rightarrow t = - \frac{4}{3}$ (không thỏa mãn)

TH3: Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu và $t \ne \frac{1}{3}$

$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} ac < 0 \hfill \\ {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + \left( {1 - 3m} \right) \cdot \frac{1}{3} + m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ \frac{4}{9} \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m < 0 \hfill \\ \end{gathered}$

TH4: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt cùng dương

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {m - 1} \right)\left( {9m - 1} \right) > 0 \hfill \\ 1 - 3m > 0 \hfill \\ m > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 0 < m < \frac{1}{9}$

Kết hợp điều kiện lại $0 \leqslant m < \frac{1}{9}$ hoặc m = 1

Ví dụ minh họa 3. Cho $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ , điều kiện xác định x ≥ 0. Tìm m để phương trình A = m có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có: A = m

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = m \hfill \\ \Leftrightarrow m\sqrt x + m = \sqrt x \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right)\sqrt x = m\left( 1 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

– TH1: Nếu m = 1 thì phương trình (1) có $0 \cdot \sqrt x = 1$ (vô lý)

– TH2: Nếu m ≠ 1 thì phương trình (1) có $\sqrt x = \frac{m}{{1 - m}}\left( 2 \right)$

Vì $x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x \geqslant 0$

⇒ Để phương trình A = m có nghiệm thì phương trình (2) cần có $\frac{m}{{1 - m}} \geqslant 0\left( 3 \right)$

Vì $\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} \geqslant 0 \Rightarrow m \geqslant 0$

Từ (3) suy ra 1 − m > 0 ⇒ m < 1

Vậy với 0 ≤ m < 1 thì phương trình A = m có nghiệm.

Dạng 12. Tìm giá trị của biến x để A = |A| (hoặc A < |A|; A ≥ |A|; …)

Phương pháp giải

– Nếu |A| > A ⇒ A < 0

– Nếu |A| = A ⇒ A ≥ 0

Bài tập vận dụng

Cho $A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}$ , điều kiện xác định x > 0. Tìm x biết

a) |A| > A

b) |A| = A

Hướng dẫn giải

a) Có |A| > A ⇒ A < 0 ⇒ $\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} < 0$

Mà $x > 0 \Rightarrow \sqrt x > 0 \Rightarrow \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} < 0$

$\Rightarrow \sqrt x - 1 < 0 \Rightarrow x < 1$

Kết hợp điều kiện ta có 0 < x < 1 thì |A| > A

b) Có |A| = A ⇒ A ≥ 0 ⇒ $\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} \geqslant 0$

Mà $x > 0 \Rightarrow \sqrt x > 0 \Rightarrow \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} \geqslant 0$

$\Rightarrow \sqrt x - 1 \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant 1$

Vậy x ≥ 1 thì |A| = A

Dạng 13. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

Phương pháp giải

– Học sinh cần biết cách tìm cực trị của phân thức ở một số dạng tổng quát.

– Học sinh cần đưa biểu thức rút gọn A về một trong những dạng sau để tìm cực trị:

⋄ Tử thức và mẫu thức là một số hoặc là một biểu thức có dấu xác định trong tập ĐKXĐ

⋄ Biến đổi biểu thức A thành một hằng đẳng thức có chứa biến x

⋄ Biến đổi biểu thức A thành một tổng của hai (hoặc nhiều) số dương rồi áp dụng bất đẳng thức Côsi hoặc một vài bất đẳng thức phụ.

– Học sinh thường mắc sai lầm khi chỉ chứng minh biểu thức A ≥ k (hoặc A ≤ k) chưa chỉ ra dấu bằng nhưng đã kết luận cực trị của biểu thức A.

Bài tập vận dụng

Cho $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}$ , điều kiện xác định x ≥ 0.

a) Tìm giá trị lớn nhất của A.

b) Đặt $B = \left( {x - 3\sqrt x - 4} \right)A$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của B.

c) Đặt $C = \sqrt x + 1 + A$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của C.

Hướng dẫn giải

a) Có $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$

Vì $x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 \geqslant 1$

$\Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 1}} \leqslant 1 \Rightarrow 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} \leqslant 2 \Rightarrow A \leqslant 2$

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 2.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0.

b) Có $B = \left( {x - 3\sqrt x - 4} \right)A$

$\begin{gathered} = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right) \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} \hfill \\ = \left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) = x - 2\sqrt x - 8\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = x - 2\sqrt x + 1 - 9 = {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} - 9 \hfill \\ \end{gathered}$

Có ${\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} \geqslant 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} - 9 \geqslant - 9$

$\Rightarrow B \geqslant - 9$

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là −9.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

${\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1$

c) Có $C = \sqrt x + 1 + A = \sqrt x + 2 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$

$= \sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} + 1$

Có $x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x \geqslant 0$

$\Rightarrow \sqrt x + 1 > 0$ và $\frac{1}{{\sqrt x + 1}} > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 2 số dương $\sqrt x + 1$ và $\frac{1}{{\sqrt x + 1}}$ ta có:

$\begin{gathered} \sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} \geqslant 2\sqrt {\left( {\sqrt x + 1} \right) \cdot \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} \geqslant 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} + 1 \geqslant 3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow C \geqslant 3 \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của C bằng 3.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

$\begin{gathered} \sqrt x + 1 = \frac{1}{{\sqrt x + 1}} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + 1} \right)^2} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

Dạng 14. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A khi x ∈ ℕ.

Phương pháp giải

– Học sinh chú ý bài toán thường cho dưới dạng điều kiện xác định x ≥ a, x ≠ b trong đó a < b. Ta phải tính giá trị với x là các số tự nhiên thuộc [a; b) và trường hợp x là số tự nhiên lớn hơn b.

Bài tập vận dụng

Cho $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}$ , điều kiện xác định x ≥ 0, x ≠ 1. Với x ∈ ℕ và x ≠ 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.

Hướng dẫn giải

Ta có: $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}$

Với x ∈ ℕ và x ≠ 1, ta xét các trường hợp:

TH1: x = 0 thì A = 0.

TH2: Nếu x ≥ 2 thì $\sqrt x - 1 \geqslant \sqrt 2 - 1$ . Do đó:

$\begin{gathered} A{\text{ }} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} \leqslant 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 - 1}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{2 - 1}} = 2 + \sqrt 2 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Dấu “=” xảy ra khi x = 2.

So sánh các trường hợp của P, ta thấy: $\max P = 2 + \sqrt 2$ khi và chỉ khi x = 2.

Dạng 15. Các bài toán tổng hợp bao gồm các câu hỏi phụ

Câu 1. Cho biểu thức sau với x ≥ 0, x ≠ 9

$Q = \frac{{x + 2\sqrt x - 10}}{{x - \sqrt x - 6}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{1}{{\sqrt x + 2}}$

a) Rút gọn biểu thức Q

b) Tính giá trị của Q khi x = 16

c) Tìm giá trị của x khi Q = $\frac{1}{3}$

d) Tìm giá trị của x sao cho Q > $\frac{1}{9}$

e) Tìm giá trị lớn nhất của Q

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0, x ≠ 9 thì

$\begin{gathered} Q = \frac{{x + 2\sqrt x - 10}}{{x - 3\sqrt x + 2\sqrt x - 6}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{1}{{\sqrt x + 2}} \hfill \\ = \frac{{x + 2\sqrt x - 10}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + 2\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{x + 2\sqrt x - 10}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{1}{{\sqrt x + 2}} \hfill \\ = \frac{{x + 2\sqrt x - 10 - \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) - \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{x + 2\sqrt x - 10 - x + 4 - \sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} \hfill \\ = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy với x ≥ 0, x ≠ 9 thì $Q = \frac{1}{{\sqrt x + 2}}$

b) Thay x = 16 (thỏa mãn x ≥ 0, x ≠ 9) vào Q ta được:

$Q = \frac{1}{{\sqrt {16} + 2}} = \frac{1}{{4 + 2}} = \frac{1}{6}$

Vậy khi x = 16 thì Q = $\frac{1}{6}$

c) $Q = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 2}} = \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow 3 = \sqrt x + 2 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn x ≥ 0, x ≠ 9)

Vậy với x = 1 thì Q = $\frac{1}{3}$

d) $Q > \frac{1}{9} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 2}} > \frac{1}{9}$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 2}} - \frac{1}{9} > 0 \Leftrightarrow \frac{{9 - \sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} > 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{7 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} > 0\left( 1 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Vì $\sqrt x \geqslant 0$ với mọi x ≥ 0, x ≠ 9 nên $\sqrt x + 2 > 0$ với mọi x ≥ 0, x ≠ 9

$\Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 7 - \sqrt x > 0 \Leftrightarrow \sqrt x < 7 \Leftrightarrow x < 49$

Kết hợp với điều kiện x ≥ 0, x ≠ 9 nên $\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant x < 49 \hfill \\ x \ne 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy với $\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant x < 49 \hfill \\ x \ne 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ thì Q > $\frac{1}{9}$

e) Vì $\sqrt x \geqslant 0$ với mọi x ≥ 0, x ≠ 9 nên $\sqrt x + 2 \geqslant 2$ với mọi x ≥ 0, x ≠ 9

$\Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 2}} \leqslant \frac{1}{2}$ với mọi x ≥ 0, x ≠ 9

Vậy Q đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{2}$ khi x = 0 (thỏa mãn x ≥ 0, x ≠ 9)

Câu 2. Cho biểu thức

$P = \frac{{3\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 3}}{{3 - \sqrt x }} - \frac{{3\left( {3\sqrt x - 5} \right)}}{{x - 2\sqrt x - 3}}$

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của P, biết $x = 4 + 2\sqrt 3$

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ 9

$\begin{gathered} P = \frac{{3\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3\left( {3\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \hfill \\ = \frac{{\left( {3\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) + 3\left( {3\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{3x - 9\sqrt x + 2\sqrt x - 6 + 2x + 2\sqrt x - 3\sqrt x - 3 - 9\sqrt x + 15}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \hfill \\ = \frac{{5x - 17\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{5x - 15\sqrt x - 2\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\left( {5\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Ta có: $x = 4 + 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2}$

$\Rightarrow \sqrt x = \sqrt 3 + 1$

Do đó:

$\begin{gathered} P{\text{ }} = \frac{{5\left( {\sqrt 3 + 1} \right) - 2}}{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right) + 1}} = \frac{{5\sqrt 3 + 3}}{{\sqrt 3 + 2}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = \frac{{\left( {5\sqrt 3 + 3} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + 2} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}} = 7\sqrt 3 - 9 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

c) Ta có: $P = \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{5\sqrt x + 5 - 7}}{{\sqrt x + 1}}$

$P = 5 - \frac{7}{{\sqrt x + 1}}$

Vì $\frac{7}{{\sqrt x + 1}} > 0$ nên P có giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow \frac{7}{{\sqrt x + 1}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow \sqrt x + 1$ nhỏ nhất ⇔ x = 0

Khi đó min P = 5 – 7 = –2

Câu 3. Cho biểu thức

$Q = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x + 2}}{{4 - x}}} \right):\frac{{3\sqrt x - x}}{{x + 4\sqrt x + 4}}$

a) Rút gọn Q

b) Tìm x để Q = 2

c) Tìm các giá trị của x để Q có giá trị âm.

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: x > 0; x ≠ 4; x ≠ 9

$\begin{gathered} Q = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x + 2}}{{4 - x}}} \right):\frac{{3\sqrt x - x}}{{x + 4\sqrt x + 4}} \hfill \\ = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) - 2\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) - \left( {5\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}:\frac{{\sqrt x \left( {3 - \sqrt x } \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{x + 3\sqrt x + 2 - 2x + 4\sqrt x - 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {3 - \sqrt x } \right)}} \hfill \\ = \frac{{ - x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {3 - \sqrt x } \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{ - \sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {3 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Q = 2

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x + 2 = 2\sqrt x - 6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow - \sqrt x = - 8 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x = 8\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = 64{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DKX\rlap{--} D} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

c) Q < 0

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x - 3 < 0{\text{ }}\left( {Do{\text{ }}\sqrt x + 2 > 0} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x < 3 \hfill \\ \Leftrightarrow x < 9\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Kết hợp với điều kiện xác định ta có Q < 0 khi 0 < x < 9 và x ≠ 4

Câu 4. Cho biểu thức sau với a ≥ 0, a ≠ 9

$B = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 3}} - \frac{3}{{\sqrt a + 3}} - \frac{{a - 2}}{{a - 9}}$

a) Rút gọn B

b) Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên

Hướng dẫn giải

a) Với a ≥ 0, a ≠ 9 ta có:

$\begin{gathered} B = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 3}} - \frac{3}{{\sqrt a + 3}} - \frac{{a - 2}}{{a - 9}} \hfill \\ = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 3}} - \frac{3}{{\sqrt a + 3}} - \frac{{a - 2}}{{\left( {\sqrt a - 3} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 3} \right) - 3\left( {\sqrt a - 3} \right) - \left( {a - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 3} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}} \hfill \\ = \frac{{a + 3\sqrt a - 3\sqrt a + 9 - a + 2}}{{\left( {\sqrt a - 3} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}} = \frac{{11}}{{a - 9}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Để $B \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{{11}}{{a - 9}} \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow 11 \vdots \left( {a - 9} \right) \Leftrightarrow \left( {a - 9} \right) \in {\text{U}}\left( {11} \right)$

Ư(11) = {1; 11; –1; –11}. Khi đó ta có bảng giá trị:

Vậy a ∈ {8; 10; 20} thì B ∈ ℤ

Câu 5. Cho biểu thức sau với x > 0, x ≠ 1

$A = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x }} + \frac{{1 + 2x - 2\sqrt x }}{{{x^2} - \sqrt x }}$

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên

Hướng dẫn giải

a) $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}}$

b) Cách 1: Với x > 0, x ≠ 1

$\Rightarrow x + \sqrt x + 1 > \sqrt x + 1 > 1$

Vậy

$0 < A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} < \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} < 2$

Vì A nguyên nên A = 1

$\Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (không thỏa mãn).

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.

Cách 2: Dùng miền giá trị

$A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} \Leftrightarrow Ax + \left( {A - 1} \right)\sqrt x + A - 2 = 0$

TH1: A = 0

$\Rightarrow \sqrt x = - 2 \Rightarrow x \in \emptyset$

TH2: A ≠ 0

$\begin{gathered} \Rightarrow \Delta = {\left( {A - 1} \right)^2} - 4A\left( {A - 2} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = - 3{A^2} + 6A + 1 \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {A^2} - 2A - \frac{1}{3} \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {A^2} - 2A + 1 \leqslant \frac{4}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {A - 1} \right)^2} \leqslant \frac{4}{3} \hfill \\ \Rightarrow A \in \left\{ {1;2} \right\}{\text{ }}\left( {Do{\text{ }}A \in \mathbb{Z},A > 0} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Với A = 1 ⇒ x = 1 (loại)

Với $A = 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} = 2 \Leftrightarrow x = 0$ (loại)

Câu 6. Cho biểu thức sau với x ≥ 0, x ≠ 4

$P = \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{3 + \sqrt x }} - \frac{{9 - x}}{{x + \sqrt x - 6}}$

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P = $\frac{7}{{12}}$

c) Tìm x để P > $\frac{1}{2}$

d) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để $\frac{1}{P}$ nhận giá trị nguyên

e) Tìm tất cả các giá trị hữu tỷ của của x để P nhận giá trị nguyên

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0, x ≠ 4 thì

$\begin{gathered} P = \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{3 + \sqrt x }} - \frac{{9 - x}}{{x + 3\sqrt x - 2\sqrt x - 6}} \hfill \\ = \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{3 + \sqrt x }} - \frac{{9 - x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right) - 2\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{3 + \sqrt x }} - \frac{{9 - x}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} \hfill \\ = \frac{{ - \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) + {{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2} - 9 + x}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{9 - x + {{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2} - 9 + x}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} \hfill \\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy với x ≥ 0, x ≠ 4 thì $P = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}$

b) $P = \frac{7}{{12}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{7}{{12}}$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow 12\sqrt x - 24 = 7\sqrt x + 21 \hfill \\ \Leftrightarrow 5\sqrt x = 45\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x = 9 \Leftrightarrow x = 81 \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy với x = 81 thì P = $\frac{7}{{12}}$

c) $P > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}} > \frac{1}{2}$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}} - \frac{1}{2} > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x - 4 - \sqrt x - 3}}{{2\left( {\sqrt x + 3} \right)}} > 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 7}}{{\sqrt x + 3}} > 0{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Vì $\sqrt x \geqslant 0$ với mọi x ≥ 0, x ≠ 4 nên $\sqrt x + 3 > 0$ với mọi x ≥ 0, x ≠ 4

Nên $\left( 3 \right) \Leftrightarrow \sqrt x - 7 > 0 \Leftrightarrow \sqrt x > 7 \Leftrightarrow x > 49$

Kết hợp với điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4

Vậy x > 49 thì P > $\frac{1}{2}$

d) Ta có:

$\frac{1}{P} = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt x - 2 + 5}}{{\sqrt x - 2}} = 1 + \frac{5}{{\sqrt x - 2}}$

$\frac{1}{P}$ nguyên $\Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt x - 2}}$ nguyên

$\Leftrightarrow 5 \vdots \left( {\sqrt x - 2} \right) \Leftrightarrow \sqrt x - 2$ là Ư(5) = {±1; ±5}

Lập bảng:

Vậy x ∈ {1; 9; 49} thì $\frac{1}{P}$ nguyên.

e) Ta có:

$P = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\sqrt x + 3 - 5}}{{\sqrt x + 3}} = 1 - \frac{5}{{\sqrt x + 3}}$

Vì $\frac{5}{{\sqrt x + 3}} > 0$ nên P < 1 với mọi x ≥ 0, x ≠ 4

Mà $\sqrt x + 3 \geqslant 3$

$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x + 3}} \leqslant \frac{5}{3} \hfill \\ \Rightarrow - \frac{5}{{\sqrt x + 3}} \geqslant - \frac{5}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow 1 - \frac{5}{{\sqrt x + 3}} \geqslant 1 - \frac{5}{3} = - \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered}$

Do đó: $- \frac{2}{3}$ ≤ P < 1.

Vậy P nguyên khi P = 0

$\begin{gathered} \Leftrightarrow 1 - \frac{5}{{\sqrt x + 3}} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt x + 3}} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x + 3 = 5 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = 4\left( {lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy không có giá trị hữu tỷ nào của x để P nguyên

Câu 7. Cho biểu thức sau với x > 0 và x ≠ 1

$P = \left( {1 - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{x + \sqrt x }}} \right)$

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của biểu thức P tại $x = \sqrt {2022 + 4\sqrt {2018} } - \sqrt {2022 - 4\sqrt {2018} }$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $1 - \frac{1}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}$ . Và:

$\begin{gathered} \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x - 1 + 1 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}}&\begin{gathered} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Nên $P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$

b) Ta có:

$\begin{gathered} x{\text{ }} = \sqrt {2022 + 4\sqrt {2018} } - \sqrt {2022 - 4\sqrt {2018} } \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = \sqrt {{{\left( {\sqrt {2018} + 2} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt {2018} - 2} \right)}^2}} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = \left| {\sqrt {2018} + 2} \right| - \left| {\sqrt {2018} - 2} \right|} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = \sqrt {2018} + 2 - \sqrt {2018} + 2 = 4{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right)} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy giá trị của biểu thức P tại x = 4 là: $\frac{{\sqrt 4 + 1}}{{\sqrt 4 }} = \frac{3}{2}$

Câu 8. Cho hai biểu thức sau với x ≥ 0, x ≠ 25

$A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 5}}$ và $B = \frac{3}{{\sqrt x + 5}} + \frac{{20 - 2\sqrt x }}{{x - 25}}$

a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9

b) Chứng minh rằng: $B = \frac{1}{{\sqrt x - 5}}$

c) Tìm tất cả các giá trị của x để A = B⋅|x – 4|

Hướng dẫn giải

a) Khi x = 9 ta có:

$A = \frac{{\sqrt 9 + 2}}{{\sqrt 9 - 5}} = \frac{{3 + 2}}{{3 - 5}} = - \frac{5}{2}$

b) Với x ≥ 0, x ≠ 25 thì

$\begin{gathered} B = \frac{3}{{\sqrt x + 5}} + \frac{{20 - 2\sqrt x }}{{x - 15}} \hfill \\ = \frac{3}{{\sqrt x + 5}} + \frac{{20 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{3\left( {\sqrt x - 5} \right) + 20 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}} \hfill \\ = \frac{{3\sqrt x - 15 + 20 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x - 5}}\left( {\rlap{--} Dpcm} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

c) Với x ≥ 0, x ≠ 25. Ta có:

$\begin{gathered} A = B\left| {x - 4} \right| \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 5}} = \frac{1}{{\sqrt x - 5}} \cdot \left| {x - 4} \right|\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x + 2 = \left| {x - 4} \right|{\text{ }}\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Nếu x ≥ 4, x ≠ 25 thì (*) trở thành:

$\begin{gathered} \sqrt x + 2 = x - 4 \hfill \\ \Leftrightarrow x - \sqrt x - 6 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

Do $\sqrt x + 2 > 0$ nên $\sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = 9$ (thỏa mãn)

Nếu 0 ≤ x < 4 thì (*) trở thành:

$\begin{gathered} \sqrt x + 2 = 4 - x \hfill \\ \Leftrightarrow x + \sqrt x - 2 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

Do $\sqrt x + 2 > 0$ nên $\sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn)

Vậy có hai giá trị x = 1 và x = 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 9. Cho biểu thức sau với x ≥ 0; x ≠ 16

$B = \frac{{2\left( {x + 4} \right)}}{{x - 3\sqrt x - 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{8}{{\sqrt x - 4}}$

a) Rút gọn B.

b) Tìm giá trị của x để B = 1

c) Tính giá trị của x sao cho B không vượt quá $\frac{3}{2}$

d) Tìm giá trị của B khi x thỏa mãn đẳng thức $\sqrt {2x - 1} = x$

e) Tìm x để giá trị của B là một số nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 16 thì

$\begin{gathered} B = \frac{{2\left( {x + 4} \right)}}{{x + \sqrt x - 4\sqrt x - 7}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{8}{{\sqrt x - 4}} \hfill \\ = \frac{{2\left( {x + 4} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) - 4\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{8}{{\sqrt x - 4}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{2\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{8}{{\sqrt x - 4}} \hfill \\ = \frac{{2x + 8 + \sqrt x \left( {\sqrt x - 4} \right) - 8\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{2x + 8 + x - 4\sqrt x - 8\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} \hfill \\ = \frac{{3x - 12\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy với x ≥ 0; x ≠ 16 thì $B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$

b) B = 1

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 3\sqrt x = \sqrt x + 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sqrt x = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy x = $\frac{1}{4}$ thì B = 1

c) B không vượt quá $\frac{3}{2}$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow B \leqslant \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} \leqslant \frac{3}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{3}{2} \leqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{6\sqrt x - 3\sqrt x - 3}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{3\sqrt x - 3}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} \leqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} \leqslant 0{\text{ }}\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Vì $\sqrt x \geqslant 0$ với mọi x ≥ 0; x ≠ 16 nên $\sqrt x + 1 > 0$ với mọi x ≥ 0; x ≠ 16

Suy ra $\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt x - 1 \leqslant 0 \Leftrightarrow \sqrt x \leqslant 1 \Leftrightarrow x \leqslant 1$

Kết hợp với điều kiện x ≥ 0; x ≠ 16

Vậy 0 ≤ x ≤ 1 thì B không vượt quá $\frac{3}{2}$

d) Ta có: $\sqrt {2x - 1} = x{\text{ }}\left( {x \geqslant 0;x \ne 16} \right)$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow 2x - 1 = {x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 1\left( {TM} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow B = \frac{{3\sqrt 1 }}{{\sqrt 1 + 1}} = \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy $\sqrt {2x - 1} = x$ thì B = $\frac{3}{2}$

e) $B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\sqrt x + 3 - 3}}{{\sqrt x + 1}} = 3 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}} < 3$ $\left( {Do{\text{ }}\frac{3}{{\sqrt x + 1}} > 0,{\text{ }}\forall x \geqslant 0;x \ne 16} \right)$

Vì $\sqrt x \geqslant 0$ với mọi x ≥ 0; x ≠ 16 nên $\sqrt x + 1 \geqslant 1$ với mọi x ≥ 0; x ≠ 16

$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \leqslant 3 \Rightarrow - \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \geqslant - 3 \hfill \\ \Rightarrow 3 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \geqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Suy ra 0 ≤ B < 3. Mà B ∈ ℤ nên B ∈ {0; 1; 2}

TH1: B = 0

$\Leftrightarrow \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\left( {TM} \right)$

TH2: B = 1

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 3\sqrt x = \sqrt x + 3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{3}{2} \Leftrightarrow x = \frac{9}{4}\left( {TM} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

TH3: B = 2

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2\sqrt x + 6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x = 6 \Leftrightarrow x = 36\left( {TM} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy $x \in \left\{ {0;\frac{9}{4};36} \right\}$ thì B ∈ ℤ

Câu 10. Cho biểu thức sau với x > 0

$P = 1:\left( {\frac{{x + 2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x + 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right)$

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P biết $x = 7 - 4\sqrt 3$

c) Tìm x để $P = 2\sqrt x - 1$

d) Tìm m để có giá trị x thỏa mãn P = m

e) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0 thì

$\begin{gathered} P = 1:\left( {\frac{{x + 2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x + 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 1:\left[ {\frac{{x + 2\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x + 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right] \hfill \\ = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{x + 2\sqrt x - 2 - x + 1 + x - \sqrt x + 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{x + \sqrt x }} \hfill \\ = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy với x > 0 thì $P = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$

b) $x = 7 - 4\sqrt 3 = 4 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt 3 + 3 = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}$ thỏa mãn điều kiện x > 0

$\begin{gathered} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| = 2 - \sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow P = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} = \frac{{7 - 4\sqrt 3 - 2 - \sqrt 3 + 1}}{{2 - \sqrt 3 }} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = \frac{{6 - 3\sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }} = 3 \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy với $x = 7 - 4\sqrt 3$ thì P = 3

c) $P = 2\sqrt x - 1$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x - \sqrt x + 1 = 2x - \sqrt x \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = 1{\text{ }}\left( {TM} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy với x = 1 thì $P = 2\sqrt x - 1$

d) $P = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} = m$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow x - \sqrt x + 1 = m\sqrt x \hfill \\ \Leftrightarrow x - \left( {m + 1} \right)\sqrt x + 1 = 0\left( 1 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vì 1 ≠ 0 nên (1) là phương trình bậc hai

Đặt $t = \sqrt x {\text{ }}\left( {t > 0} \right)$

(1) trở thành t² – (m + 1)t + 1 = 0 (2)

Ta có: ∆ = (m + 1)² – 4

= m² + 2m – 3

= m² – m + 3m – 3

= m(m – 1) + 3(m – 1)

= (m – 1)(m + 3)

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ Phương trình (2) có nghiệm dương

TH1: Phương trình (2) có 2 nghiệm dương

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 \ne 0 \hfill \\ \Delta = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) \geqslant 0 \hfill \\ S = m + 1 > 0 \hfill \\ P = 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m - 1 \geqslant 0 \hfill \\ m + 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow m \geqslant 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu

⇔ S = 1 < 0 (vô lý) ⇒ loại

TH3: Phương trình (2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0

Với t = 0 thay vào (2) ta được:

0² – (m + 1)⋅0 + 1 = 0

⇔ 1 = 0 (vô lý) ⇒ loại

Vậy m ≥ 1 là giá trị cần tìm.

e) $P = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} - 1$

Vì x > 0 nên $\sqrt x > 0;\frac{1}{{\sqrt x }} > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương $\sqrt x ;\frac{1}{{\sqrt x }}$ ta được:

$\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \geqslant 2\sqrt {\sqrt x \cdot \frac{1}{{\sqrt x }}} = 2$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn x > 0)

⇒ P ≥ 2 – 1 = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 1 khi x = 1

Câu 11. Cho biểu thức sau với x ≥ 0; x ≠ 4

$P = \left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{x + \sqrt x - 6}}} \right)$

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P biết $x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}$

c) Tìm x ∈ ℤ để P ∈ ℤ

d) So sánh P với 1

e) Tìm các giá trị của x để $P = \sqrt x - 3$

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 4

$\begin{gathered} P = \left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{x + \sqrt x - 6}}} \right) \hfill \\ = \frac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}:\left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{x + 3\sqrt x - 2\sqrt x - 6}}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}:\left[ {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right) - 2\left( {\sqrt x + 3} \right)}}} \right] \hfill \\ = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}:\left[ {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right]\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) - \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} \hfill \\ = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{x - 4 - x + 9 + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{1}{{\sqrt x + 1}} \cdot \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x + 3}} \hfill \\ = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy với x ≥ 0; x ≠ 4 thì $P = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}$

b) $x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = \frac{{5 - 2 \cdot \sqrt 5 \cdot 1 + 1}}{4} = \frac{{{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}}}{4}$ thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 4

$\begin{gathered} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}}}{4}} = \frac{{\left| {\sqrt 5 - 1} \right|}}{2} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \hfill \\ \Rightarrow P = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} - 2 \hfill \\ \end{gathered} }{\begin{gathered} \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} + 1 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = \frac{{\sqrt 5 - 5}}{{\sqrt 5 + 1}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = \frac{{\left( {5 - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{\begin{gathered} \left( {\sqrt 5 + 1} \right)\left( {\sqrt 5 - 1} \right) \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = \frac{{5\sqrt 5 - 5 - 5 + \sqrt 5 }}{4} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = \frac{{6\sqrt 5 - 10}}{4} = \frac{{3\sqrt 5 - 5}}{2} \hfill \\ \end{gathered}$

c) $P = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 1 - 3}}{{\sqrt x + 1}} = 1 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}$

$P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 3{\text{ }} \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right)$

$\Leftrightarrow \sqrt x + 1$ là Ư(3)

Ư(3) = {±1; ±3}

Mà $\sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 > 0$ với mọi x ≥ 0; x ≠ 4 nên

TH1: $\sqrt x + 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (thỏa mãn)

TH2: $\sqrt x + 1 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4$ (loại)

Vậy x ∈ {0} thì P ∈ ℤ

d) Xét hiệu:

$\begin{gathered} P - 1 = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} - 1 = \frac{{\sqrt x - 2 - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 1}} < 0,{\text{ }}\forall x \geqslant 0;x \ne 4 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Suy ra P < 1

e) $P = \sqrt x - 3$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} = \sqrt x - 3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x - 2 = \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x - 2 = x - 3\sqrt x + \sqrt x - 3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x - 3\sqrt x - 1 = 0\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Đặt $\sqrt x = t{\text{ }}\left( {t \geqslant 0;t \ne 2} \right)$

(2) trở thành t² – 3t – 1 = 0

∆ = (–3)² – 4⋅1⋅(–1) = 13

$\begin{gathered} \Rightarrow \left[ \begin{gathered} t = \frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}\left( {TM} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ t = \frac{{3 - \sqrt {13} }}{2}\left( {lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Rightarrow x = {\left( {\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}} \right)^2} = \frac{{22 + 6\sqrt {13} }}{4}\left( {TM\rlap{--} DK} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy $x = \frac{{22 + 6\sqrt {13} }}{4}$ là giá trị cần tìm

Câu 12. Cho biểu thức: $A = \frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}$ với x ≥ 0

a) Khi $x = 6 - 2\sqrt 5$ tính giá trị biểu thức A

b) Rút gọn biểu thức sau với x ≥ 0; x ≠ 5

$B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}}$

c) Tìm x để biểu thức M = B – A nhận giá trị nguyên

Hướng dẫn giải

a) Với $x = 6 - 2\sqrt 5$ thỏa mãn điều kiện x ≥ 0

Ta có: $x = 6 - 2\sqrt 5 = 5 - 2\sqrt 5 + 1 = {\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^2}$

$\begin{gathered} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 5 - 1} \right| = \sqrt 5 - 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow A = \frac{{1 - \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{{1 + \sqrt 5 - 1}} = \frac{{2 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 - 5}}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Với x ≥ 0; x ≠ 5 thì

$\begin{gathered} B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}} \hfill \\ = \left[ {\frac{{15 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right]:\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{15 - \sqrt x + 2\sqrt x - 10}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}} \hfill \\ = \frac{{5 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy với x ≥ 0; x ≠ 5 thì $B = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$

c) Ta có:

$\begin{gathered} M = B - A = \frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = \frac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{ - 1 - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array} = - 1 + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \hfill \\ \end{gathered}$

Vì $\sqrt x \geqslant 0$ với mọi x ≥ 0; x ≠ 5

$\begin{gathered} \Rightarrow \sqrt x + 1 \geqslant 1 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \leqslant 3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow M = - 1 + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \leqslant - 1 + 3 = 2 \hfill \\ \end{gathered}$

Lại có: $\frac{3}{{\sqrt x + 1}} > 0 \Rightarrow - 1 + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} > - 1$

$\Rightarrow - 1 < M \leqslant 2$ . Mà M ∈ ℤ ⇒ M ∈ {0; 1; 2}

TH1: $M = 0 \Rightarrow \frac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = 0$

$\Leftrightarrow 2 - \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 4\left( {TM} \right)$

TH2: $M = 1 \Rightarrow \frac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = 1$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow 2 - \sqrt x = \sqrt x + 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\left( {TM} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

TH3: $M = 2 \Rightarrow \frac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = 2$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow 2 - \sqrt x = 2\sqrt x + 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 3\sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\left( {TM} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy $x \in \left\{ {0;4;\frac{1}{4}} \right\}$ thì M ∈ ℤ

Dạng 16. Bài tập chinh phục điểm 10

Câu 1. Cho $a = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } }$ . Chứng minh rằng a² – 2a – 2 = 0

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} {a^2} = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } } \right)^2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{ = 6 + 2\sqrt {9 - \left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)} = 6 + 2\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } } \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{ = 6 + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = 6 + 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{ = 4 + 2\sqrt 3 = {{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Do a > 0 nên $a = \sqrt 3 + 1$ .

Do đó: (a – 1)² = 3 hay a² – 2a – 2 = 0

Câu 2.

a) Cho $x = \sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }$ . Tính giá trị biểu thức:

$P = \frac{{{x^4} - 4{x^3} + {x^2} + 6x + 12}}{{{x^2} - 2x + 12}}$

b) Cho $x = 1 + \sqrt[3]{2}$ . Tính giá trị của biểu thức:

B = x⁴ – 2x⁴ + x³ – 3x² + 1942

c) Cho $x = 1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ . Tính giá trị biểu thức:

P = x⁵ – 4x⁴ + x³ – x² – 2x + 2015

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\begin{gathered} {x^2} = {\left( {\sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } } \right)^2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{ = 8 + 2\sqrt {16 - \left( {10 + 2\sqrt 5 } \right)} } \end{array} = 8 + 2\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{ = 8 + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} = 8 + 2\left( {\sqrt 5 - 1} \right)} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{ = 6 + 2\sqrt 5 = {{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^2}} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x = \sqrt 5 + 1 \hfill \\ \end{gathered}$

Từ đó ta suy ra: (x – 1)² = 5 ⇔ x² – 2x = 4

Ta biến đổi:

$\begin{gathered} P = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2} - 2\left( {{x^2} - 2x} \right) + 12}}{{{x^2} - 2x + 12}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} = \frac{{{4^2} - 3 \cdot 4 + 12}}{{4 + 12}} = 1 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Ta có: $x = 1 + \sqrt[3]{2} \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = 2$

$\Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 3 = 0$

Ta biến đổi biểu thức P thành:

P = x²(x³ – 3x² + 3x – 3) + x (x³ – 3x² + 3x – 3) + (x³ – 3x² + 3x – 3) + 1945 = 1945

c) Để ý rằng: $x = \sqrt[3]{{{2^2}}} + \sqrt[3]{2} + 1$ ta nhân thêm 2 vế với $\sqrt[3]{2} - 1$ để tận dụng hằng đẳng thức:

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²). Khi đó ta có:

$\begin{gathered} \left( {\sqrt[3]{2} - 1} \right)x = \left( {\sqrt[3]{2} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{2^2}}} + \sqrt[3]{2} + 1} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{2} - 1} \right)x = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{2}x = x + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 2{x^3} = {\left( {x + 1} \right)^3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - 3x - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

Ta biến đổi:

P = x⁵ – 4x⁴ + x³ – x² – 2x + 2015

= (x² – x + 1)(x³ – 3x² – 3x – 1) + 2016

= 2016

Câu 3. Tính

$\begin{array}{*{20}{c}} {}&{C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } } } } } \end{array}$

Hướng dẫn giải

Để ý rằng: $7 - 4\sqrt 3 = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}$

$\Rightarrow \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } = 2 - \sqrt 3$

Suy ra:

$\begin{gathered} \begin{array}{*{20}{c}} {}&{C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} } } } \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{ = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {28 - 10\sqrt 3 } } } } \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} } } } \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Hay:

$C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\left( {5 - \sqrt 3 } \right)} } = \sqrt {9 - \sqrt {25} } = 2$

Câu 4. Chứng minh:

a) $A = \sqrt {7 - 2\sqrt 6 } - \sqrt {7 + 2\sqrt 6 }$ là số nguyên.

b) $B = \sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}$ là một số nguyên

Hướng dẫn giải

a) Dễ thấy A < 0. Ta có:

$\begin{gathered} {A^2} = {\left( {\sqrt {7 - 2\sqrt 6 } - \sqrt {7 + 2\sqrt 6 } } \right)^2} \hfill \\ = 7 - 2\sqrt 6 + 7 + 2\sqrt 6 - 2\sqrt {7 - 2\sqrt 6 } \cdot \sqrt {7 + 2\sqrt 6 } \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 14 - 2 \cdot 5 = 4 \hfill \\ \end{gathered}$

Suy ra: A = –2

b) Áp dụng hằng đẳng thức: (u + v)³ = u³ + v³ + 3uv (u + v). Ta có:

${B^3} = {\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)^3}$

$= 1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9} + 1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9} + 3\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} \cdot \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)$ $\times \left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)$

Hay:

$\begin{gathered} {B^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{\left( {1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)}} \cdot B\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {B^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{1 - \frac{{84}}{{81}}}} \cdot B\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {B^3} = 2 - B \hfill \\ \Leftrightarrow {B^3} + B - 2 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {B - 1} \right)\left( {{B^2} + B + 2} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

Mà ${B^2} + B + 2 = {\left( {B + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0$

Suy ra: B = 1. Vậy B là số nguyên.

Câu 5. Chứng minh rằng:

$x = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }}$ với $a \geqslant \frac{1}{8}$ là số tự nhiên

Hướng dẫn giải

Áp dụng hằng đẳng thức: (u + v)³ = u³ + v³ + 3uv (u + v).

Ta có: x³ = 2a + (1 – 2a)x

⇔ x³ + (2a – 1)x – 2a = 0

⇔ (x – 1)(x² + x + 2a) = 0

Xét đa thức bậc hai x² + x + 2a với ∆ = 1 – 8a ≥ 0

– Khi $a = \frac{1}{8}$ ta có $x = \sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} = 1$

– Khi $a > \frac{1}{8}$ , ta có: ∆ = 1 – 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy với mọi $a \geqslant \frac{1}{8}$ ta có:

$x = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} = 1$ là số tự nhiên.

Câu 6. Tính x + y biết:

$\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2015} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2015} } \right) = 2015$

Hướng dẫn giải

Nhận xét:

$\begin{gathered} \left( {\sqrt {{x^2} + 2015} + x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2015} - x} \right) \hfill \\ = {x^2} + 2015 - {x^2} = 2015\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Kết hợp với giả thiết ta suy ra:

$\begin{gathered} \sqrt {{x^2} + 2015} - x = \sqrt {{y^2} + 2015} + y\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {{y^2} + 2015} + y + \sqrt {{x^2} + 2015} + x \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{ = \sqrt {{x^2} + 2015} - x + \sqrt {{y^2} + 2015} - y} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow x + y = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 7.

a) Chứng minh rằng:

$\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + \cdots + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > 4$

b) Chứng minh rằng:

$\frac{1}{{1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{2\sqrt 3 }} + \cdots + \frac{1}{{n\sqrt {n + 1} }} > 2\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)$

c) Chứng minh:

$2\sqrt n - 2 < \frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \cdots + \frac{1}{{\sqrt n }} < 2\sqrt n - 1$ với mọi số nguyên dương n ≥ 2

Hướng dẫn giải

a) Xét

$\begin{gathered} A = \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + \cdots + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ B = \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + \cdots + \frac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }} \hfill \\ \end{gathered}$

Dễ thấy A > B

Ta có:

$A + B = \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \cdots + \frac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}$

Mặt khác ta có:

$\begin{gathered} \frac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} = \frac{{\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)}}{{\left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{ = \sqrt {k + 1} - \sqrt k } \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Suy ra:

$\begin{gathered} A + B = \left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ... + \left( {\sqrt {81} - \sqrt {80} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}}&{ = \sqrt {81} - 1 = 8} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Do A > B suy ra 2A > A + B = 8 ⇔ A > 4

b) Để ý rằng:

$\begin{gathered} \frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} < \frac{1}{{2k\sqrt {k + 1} }},{\text{ }}\forall k \in {\mathbb{Z}^ + } \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Suy ra:

$\begin{gathered} {\text{VT}} > 2\left( {\frac{1}{{\sqrt 1 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + 2\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + ... + 2\left( {\frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow {\text{VT}} > 2\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

c) Đặt $P = \frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \cdots + \frac{1}{{\sqrt n }}$

Ta có:

$\frac{2}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} < \frac{1}{{\sqrt n }} = \frac{2}{{2\sqrt n }} < \frac{2}{{\sqrt n + \sqrt {n - 1} }}$ với mọi số tự nhiên n ≥ 2

Từ đó suy ra:

$\begin{gathered} 2\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = \frac{2}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} < \frac{2}{{2\sqrt n }} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}}&\begin{gathered} < \frac{2}{{\sqrt n + \sqrt {n - 1} }} = 2\left( {\sqrt n - \sqrt {n - 1} } \right) \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Hay $2\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) < \frac{2}{{\sqrt n }} < 2\left( {\sqrt n - \sqrt {n - 1} } \right)$

Do đó: $2\left[ {\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + ... + \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)} \right] < T$ và

$T < 1 + 2\left[ {\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + ... + \left( {\sqrt n - \sqrt {n - 1} } \right)} \right]$

Hay $2\sqrt n - 2 < T < 2\sqrt n - 1$

Câu 8. Cho

$\begin{gathered} A = \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \cdots + \frac{1}{{\sqrt {120} + \sqrt {121} }}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ B = 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \cdots + \frac{1}{{\sqrt {35} }} \hfill \\ \end{gathered}$

Chứng minh rằng B > A.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} A = \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {120} + \sqrt {121} }}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{\sqrt 1 - \sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 1 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 1 - \sqrt 2 } \right)}} + ... + \frac{{\sqrt {120} - \sqrt {121} }}{{\left( {\sqrt {120} + \sqrt {121} } \right)\left( {\sqrt {120} - \sqrt {121} } \right)}} \hfill \\ = \frac{{\sqrt 1 - \sqrt 2 }}{{ - 1}} + \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{{ - 1}} + ... + \frac{{\sqrt {120} - \sqrt {121} }}{{ - 1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt 2 - 1 + \sqrt 3 - \sqrt 2 + ... + \sqrt {121} - \sqrt {120} \hfill \\ = - 1 + \sqrt {121} = 10\left( 1 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Với mọi k ∈ ℕ*, ta có:

$\frac{1}{{\sqrt k }} = \frac{2}{{\sqrt k + \sqrt k }} > \frac{2}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} = 2\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)$

Do đó: $B = 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \cdots + \frac{1}{{\sqrt {35} }}$

$\begin{gathered} \Rightarrow B > 2\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 + \sqrt 3 - \sqrt 2 + \cdots + \sqrt {36} - \sqrt {35} } \right) \hfill \\ \Rightarrow B > 2\left( { - \sqrt 1 + \sqrt {36} } \right) = 2\left( { - 1 + 6} \right) = 10{\text{ }}\left( 2 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Từ (1) và (2) suy ra B > A

Câu 9. Cho biểu thức sau với x > 4

$A = \frac{{x\left( {\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } } \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 16} }}$

a) Rút gọn A. Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất

b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện để biểu thức A xác định là x > 4

$\begin{gathered} A = \frac{{x\left[ {\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)}^2}} } \right]}}{{\sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}} }} \hfill \\ = \frac{{x\left( {\left| {\sqrt {x - 4} + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|} \right)}}{{\left| {x - 4} \right|}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|} \right)}}{{x - 4}} \hfill \\ \end{gathered}$

– Nếu 4 < x < 8 thì $\sqrt {x - 4} - 2 < 0$ nên

$\begin{gathered} A{\text{ }} = \frac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + 2 - \sqrt {x - 4} } \right)}}{{x - 4}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} = \frac{{4x}}{{x - 4}} = 4 + \frac{{16}}{{x - 4}} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Do 4 < x < 8 nên 0 < x – 4 < 4 ⇒ A > 8

– Nếu x ≥ 8 thì $\sqrt {x - 4} - 2 \geqslant 0$ nên

$\begin{gathered} A{\text{ }} = \frac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + \sqrt {x - 4} - 2} \right)}}{{x - 4}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{2x\sqrt {x - 4} }}{{x - 4}} = \frac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = 2\sqrt {x - 4} + \frac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \geqslant 2\sqrt {16} = 8\left( {B\rlap{--} DT{\text{ Cosi}}} \right) \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

$2\sqrt {x - 4} = \frac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \Leftrightarrow x - 4 = 4 \Leftrightarrow x = 8$

Vậy GTNN của A bằng 8 khi x = 8

– Xét 4 < x < 8 thì $A = 4 + \frac{{16}}{{x - 4}}$

Ta thấy A ∈ ℤ khi và chỉ khi $\frac{{16}}{{x - 4}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x - 4$ là ước số nguyên dương của 16

Hay x – 4 ∈ {1; 2; 4; 8; 16} ⇔ x = {5; 6; 8; 12; 20}

Đối chiếu điều kiện suy ra x = 5 hoặc x = 6

– Xét x ≥ 8 ta có $A = \frac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }}$ , đặt $\sqrt {x - 4} = m \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = {m^2} + 4 \hfill \\ m \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Khi đó ta có: $A = \frac{{2\left( {{m^2} + 4} \right)}}{m} = 2m + \frac{8}{m}$

Suy ra: m ∈ {2; 4; 8} ⇔ x = {8; 20; 68}

Tóm lại để A nhận giá trị nguyên thì x ∈ {5; 6; 8; 20; 68}

Câu 10. Cho $a = \sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }$ . Tính giá trị của biểu thức:

$T = \frac{{{a^2} - 4{a^3} + {a^2} + 6a + 4}}{{{a^2} - 2a + 12}}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} {a^2} = 8 + 2\sqrt {16 - \left( {10 + 2\sqrt 5 } \right)} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = 8 + 2\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } = 8 + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} } \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = 8 + 2\left( {\sqrt 5 - 1} \right) = 6 + 2\sqrt 5 } \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vì a > 0 nên $a = \sqrt 5 + 1$

Do đó: (a – 1)² = 5 hay a² – 2a = 4. Biểu diễn

$\begin{gathered} T{\text{ }} = \frac{{{{\left( {{a^2} - 2a} \right)}^2} - 3\left( {{a^2} - 2a} \right) + 4}}{{{a^2} - 2a + 12}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = \frac{{{4^2} - 3 \cdot 4 + 4}}{{4 + 12}} = \frac{1}{2} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 11. Cho $a = \sqrt 2 + \sqrt {7 - \sqrt[3]{{61 + 46\sqrt 5 }}} + 1$

a) Chứng minh rằng: a⁴ – 14a² + 9 = 0

b) Giả sử f(x) = x⁵ + 2x⁴ – 14x³ – 28x² + 9x + 19. Tính f(a).

Hướng dẫn giải

a) Vì $\sqrt[3]{{61 + 46\sqrt 5 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {1 + 2\sqrt 5 } \right)}^3}}} = 1 + 2\sqrt 5$

Từ đó $a = \sqrt 2 + \sqrt {7 - 1 - 2\sqrt 5 } + 1 = \sqrt 2 + \sqrt 5$

$\begin{gathered} \Rightarrow {a^2} = {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)^2} \Rightarrow {a^2} - 7 = 2\sqrt {10} \hfill \\ \Rightarrow {a^4} - 14{a^2} + 9 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) Do f(x) = (x⁴ – 14x² + 9)(x + 2) + 1 và x⁴ – 14a² + 9 = 0 nên ta được f(a) = 1

Câu 12. Cho $a = \sqrt[3]{{38 + 17\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{38 - 17\sqrt 5 }}$ .

Giả sử có đa thức f(x) = (x³ + 3x + 1940)²⁰¹⁶. Hãy tính f(a).

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} {a^3} = 38 + 17\sqrt 5 + 38 - 17\sqrt 5 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ + {\text{ }}3 \cdot a \cdot \sqrt[3]{{38 + 17\sqrt 5 }} \cdot \sqrt[3]{{38 - 17\sqrt 5 }}} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow {a^3} = 76 - 3a \Rightarrow {a^3} + 3a = 76\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow f\left( a \right) = {\left( {76 + 1940} \right)^{2012}} = {2016^{2016}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 13. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 3, ta có:

$\frac{1}{{{1^3}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + \cdots + \frac{1}{{{n^3}}} < \frac{{65}}{{54}}$

Hướng dẫn giải

Đặt $P = \frac{1}{{{1^3}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + \cdots + \frac{1}{{{n^3}}}$

Thực hiện làm trội mỗi phân số ở vế trái bằng cách làm giảm mẫu, ta có:

$\begin{gathered} \frac{2}{{{k^3}}} < \frac{2}{{{k^3} - k}} = \frac{2}{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k - 1} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = \frac{1}{{\left( {k - 1} \right)k}} - \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}},\forall k > 1 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Cho k = 4, 5, …, n thì

$\begin{gathered} 2P < 2\left( {\frac{1}{{{1^3}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{3^3}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{3 \cdot 4}} - \frac{1}{{4 \cdot 5}}} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ + \left( {\frac{1}{{4 \cdot 5}} - \frac{1}{{5 \cdot 6}}} \right) + ... + \left[ {\frac{1}{{\left( {n - 1} \right)n}} - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right] \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ = \frac{{251}}{{108}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < \frac{{251}}{{108}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} = \frac{{65}}{{27}} \hfill \\ \end{gathered}$

Do đó: $P < \frac{{65}}{{54}}$ (đpcm)

Câu 14. Chứng minh rằng:

$\frac{{43}}{{44}} < \frac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{2002\sqrt {2001} + 2001\sqrt {2002} }} < \frac{{44}}{{45}}$

Hướng dẫn giải

Đặt ${S_n} = \frac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }}$

Để ý rằng:

$\begin{gathered} \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\sqrt k + k\sqrt {k + 1} }} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\sqrt k - k\sqrt {k + 1} }}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}k - {k^2}\left( {k + 1} \right)}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\sqrt k - k\sqrt {k + 1} }}{{k\left( {k + 1} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }},\forall k \geqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Cho k = 1, 2, …, n rồi cộng vế với vế ta có:

$\begin{gathered} {S_n} = \frac{1}{{\sqrt 1 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} = 1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Do đó: ${S_{2001}} = 1 - \frac{1}{{\sqrt {2002} }}$

Như vậy ta phải chứng minh

$\begin{gathered} \frac{{43}}{{44}} < 1 - \frac{1}{{\sqrt {2002} }} < \frac{{44}}{{45}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{1}{{45}} < \frac{1}{{\sqrt {2002} }} < \frac{1}{{44}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 44 < \sqrt {2002} < 45\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 1936 < 2002 < 2025\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều phải chứng minh.

Thầy Tú dạy toán