Vị trí tương đối của hai đường tròn: Lý thuyết & Bài Tập

Bài toán về vị trí tương đối của hai đường tròn xuất hiện nhiều ở các đề thì toán lớp 9 và thi tuyển sinh lớp 10 với các mức độ từ cơ bản đến nâng cao. Bài viết sau đây sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu 3 vị trí của hai đường tròn: Cắt nhau, tiếp xúc nhau và không giao nhau. Từ đó ứng dụng giải các dạng toán về tiếp xúc đường tròn.

Vị trí tương đối giữa hai đường tròn — Hình minh họa về 3 vị trí của 2 đường tròn

Tổng quan lý thuyết

[content_1]

Tính chất của đường nối tâm

– Đường nối tâm (đường thẳng đi qua tâm 2 đường tròn) là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn.

Chú ý: Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

– Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.

Vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;r) với quy ước R>r, chúng ta có 3 vị trí tương đối của hai đường tròn như sau:

Hai đường tròn cắt nhau

Hai đường tròn được coi là cắt nhau khi chúng có hai điểm chung. Khi đó ta có:

– A, B gọi là 2 giao điểm

– Đoạn AB gọi là dây chung

– Đường thẳng OO’ được gọi là đường nối tâm

– Đoạn thẳng OO’ được gọi là đoạn nối tâm

– Quy ước OA = R và O’A = r thì khi đó: |R – r| < OO’ < R + r

– Đường nối tâm trong trường hợp này là đường trung trực của dây chung. ⟹ OO’ là đường trung trực của AB.

Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Hai đường tròn tiếp xúc nhau khi có một điểm chung. Có 2 trường hợp:

Tiếp xúc trong

Quy ước: R > r, đường tròn (O;R) và (O’;r) tiếp xúc trong tại A thì:

– A nằm trên đường nối tâm

– OO’ = R – r

Đường tròn tiếp xúc trong — Đường tròn (O;R) và (O’;r) tiếp xúc trong tại A

Tiếp xúc ngoài

Quy ước: R > r, đường tròn (O;R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài tại A thì:

– A nằm trên đường nối tâm

– OO’ = R + r

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài — Đường tròn (O;R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài tại A

Hai đường tròn không giao nhau

Ở ngoài nhau

Khi R>r và (O;R) và (O’;r) đựng nhau thì: OO’ > R + r

Đựng nhau

Khi R>r và (O;R) và (O’;r) đựng nhau thì: OO’ < R – r

Đồng tâm

Khi R > r, hai đường tròn (O;R) và (O’;r) đồng tâm khi: OO’ = 0

Bảng tổng kết các vị trí tương đối hai đường tròn

Bảng vị trí giữa hai đường tròn — Liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn với đoạn nối tâm d và các bán kính R và r

Tiếp tuyến chung hai đường tròn

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Nhận biết vị trí tương đối của hai đường tròn.

[content_2]

Câu 1. Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm O’ bán kính r (R ≥ r). Viết các hệ thức tương ứng giữa r, R và OO’ vào bảng sau.

Vị trí tương đối của hai đường tròn

Câu 2. Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm O’ bán kính r. Điền vào chỗ trống trong bảng sau.

Dạng 2. Bài tập về hai đường tròn cắt nhau

[content_3]

Câu 1. Cho đường tròn (O; 6 cm) O và đường tròn (O’; 5 cm) có đoạn nối tâm OO’ = 8 cm. Biết đường tròn (O) và (O’) cắt OO’ lần lượt tại N, M (hình bên). Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Hướng dẫn giải

Ta có:

OM + MN = ON ⇒ OM + MN = 6

O’N + MN = O’M ⇒ O’N + MN = 5

Suy ra: OM + MN + O’N + MN = 11

⇒ OO’ + MN = 11 ⇒ MN = 3 cm

Câu 2. Cho hai đường tròn (O; 4 cm) và (O′; 3 cm) có OO′ = 5 cm. Hai đường tròn trên cắt nhau tại A và B. Tính độ dài AB.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Py-ta-go đảo cho ∆OAO’ ta có:

OO’² = OA² + O’A² ⇔ 5² = 4² + 3²

Suy ra: ∆OAO’ vuông tại A

Gọi H là giao điểm của AB và OO’

Vì hai đường tròn (O; 4 cm) và (O’; 3 cm) cắt nhau tại A và B suy ra OO’ ⊥ AB (Tính chất đường nối tâm với dây chung)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OO’A

Ta có: $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} \Leftrightarrow AH = \frac{{12}}{5} = 2,4cm$

Do đó: AB = 2AH = 2⋅2,4 = 4,8 cm

Câu 3. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính độ dài dây cung chung DF của đường tròn đường kính AE và đường tròn đường kính CD.

Hướng dẫn giải

Gọi DF cắt AE tại H ⇒ AE ⊥ DF

Tam giác DAE vuông tại D nên ta có:

$\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{D{E^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}$

Ta có: $DE = \frac{a}{2};DA = a \Rightarrow DH = \frac{{\sqrt 5 a}}{5}$

$\Rightarrow DF = 2DH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$

Câu 4. Cho hai đường tròn (O₁; R) và (O₂; R’) cắt nhau tại K và H đường thẳng O₁H cắt (O₁) tại A cắt (O₂) tại B, đường thẳng O₂H cắt (O₁) tại C, cắt (O₂) tại D.

a) Chứng minh ba điểm A, K, D thẳng hàng.

b) Chứng minh ba đường thẳng AC, BD, HK đồng quy tại một điểm.

Hướng dẫn giải

a) Ta có tam giác HKD nối tiếp đường tròn (O₂) có cạnh HD là đường kính nên tam giác HKD vuông tại K suy ra: HK ⊥ KD

Tương tự ta có: HK ⊥ KA suy ra A, K, D thẳng hàng

b) Các tam giác ACH, AKH nội tiếp đường tròn (O₁) có cạnh HA là đường kính nên tam giác ACH vuông tại C, tam giác AKH vuông tại K suy ra DC ⊥ AC ⇒ DH ⊥ AC (1)

Tương tự ta có: HA ⊥ BD (2)

Lại có: HK ⊥ KA ⇒ HK ⊥ DA (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra AC,BD,HK đồng quy (ba đường cao của tam giác AHD)

Câu 5. Cho hai đường tròn (O₁; R) và (O₂; R’) cắt nhau tại A, B (O₁, O₂ nằm khác phía so với đường thẳng AB). Một cát tuyến PAQ xoay quanh A (P ∈ (O₁), Q ∈ (O₂)) (sao cho A nằm giữa P và Q. Hãy xác định vị trí của cát tuyến PAQ trong mỗi trường hợp.

a) A là trung điểm của PQ

b) PQ có độ dài lớn nhất

c) Chu vi tam giác BPQ lớn nhất

d) S_ΔBPQ lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Giả sử đã xác định được vị trí của cát tuyến PAQ sao cho PA = AQ

Kẻ O₁H vuông góc với dây PA thì PH = HA = $\frac{1}{2}$ PA

Kẻ O₂K vuông góc với dây AQ thì AK = KQ = $\frac{1}{2}$ AQ

Nên AH = AK

Kẻ Ax // O, H // O₂K cắt O, O₂ tại I thì O₁I = IO₂ và Ax ⊥ PQ.

Từ đó suy ra cách xác định vị trí của cát tuyến PAQ đó là cát tuyến PAQ vuông góc với IA tại A với I là trung điểm của đoạn nối tâm O₁O₂

b) Trên hình, ta thấy PA = HK

Kẻ O₂M ⊥ O₁H thì tứ giác MHKO₂ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật do đó HK = MO₂.

Lúc đó: O₂M là đường vuông góc kẻ từ O₂ đến đường thẳng O₁H, O₂O₁ là đường xiên kẻ từ O₂ đến đường thẳng O₁H.

Nên O₂M ≤ O₁O₂ hay PQ = 2HK = 2O₂M ≤ 2O₁O₂ (không đổi)

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ M ≡ O hay PQ // O₁O₂

Vậy ở vị trí cát tuyến PAQ // O₁O₂ thì PQ có độ dài lớn nhất.

c) Qua A kẻ cát tuyến CAD vuông góc với BA.

Thì tam giác ABC và ABD vuông tại A lần lượt nội tiếp các đường tròn (O₁), (O₂) nên O₁ là trung điểm của BC và O₂ là trung điểm của BD.

Lúc đó: O₁O₂ là đường trung bình của tam giác BCD nên O₁O₂ // CD suy ra PQ ≤ 2O₁O₂ (1) (theo câu b).

Lại có: BQ ≤ BD (2), BP ≤ BC (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra chu vi tam giác BPQ là:

C = PQ + BQ + BP ≤ 2(O₁O₂ + R₁ + R₂) (không đổi).

Dấu bằng có khi P ≡ C, Q ≡ D.

Vậy chu vi tam giác BPQ đạt giá trị lớn nhất khi cát tuyến PAQ vuông góc với dây BA tại A.

d) Kẻ BN ⊥ PQ thì BN ≤ BA

Lúc đó: S_BPQ = $\frac{1}{2}$ ⋅BN⋅PQ ≤ $\frac{1}{2}$ ⋅BA⋅CD không đổi.

Vậy S_BPQ đạt giá trị lớn nhất khi cát tuyến PAQ vuông góc với dây chung BA tại A.

Dạng 3. Bài tập về hai đường tròn tiếp xúc

[content_4]

Câu 1. Cho hai đường tròn (I; 2 cm) và (J; 3 cm) tiếp xúc ngoài nhau. Tính độ dài đoạn nối tâm IJ.

Hướng dẫn giải

Độ dài đoạn nối tâm IJ bằng: 2 + 3 = 5 cm.

Câu 2. Cho hai đường tròn (O; 4 cm) và (O’; 11 cm). Biết khoảng cách OO’ = 2a + 3 (cm) với a là số thực dương. Tìm a để hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Hướng dẫn giải

Các trường hợp có thể xảy ra là:

– Hai đường tròn tiếp xúc ngoài (xem hình 1), ta có

OO’ = R + R’ ⇔ 2a + 3 = 15 ⇔ a = 6 cm.

– Hai đường tròn tiếp xúc trong (xem hình 2), ta có

OO’ = |R – R’| ⇔ 2a + 3 = |4 – 11| ⇔ a = 2 cm.

Vậy a = 6 cmvà a = 2 cm.

Câu 3. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A với (R > R’). Đường nối tâm OO’ cắt (O), (O’) lần lượt tại B, C. Dây DE của (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.

a) Chứng minh BDCE là hình thoi

b) Gọi I là giao điểm của EC và (O’). Chứng minh D, A, I thẳng hàng

c) Chứng minh KI là tiếp tuyến của (O’).

Hướng dẫn giải

a) Vì BC vuông góc với đường thẳng DE nên DK = KE, BK = KC (theo giả thiết) do đó tứ giác BDCE là hình bình hành, lại có BC ⊥ DE nên là hình thoi.

b) Vì tam giác BDA nội tiếp đường tròn (O₁) có BA là đường kính nên ΔBDA vuông tại D.

Gọi I’ là giao điểm của DA với CE thì $\widehat {AI'C} = 90^\circ$ (1) (vì so le trong với $\widehat {BDA}$ ).

Lại có: ΔAIC nội tiếp đường tròn (O₂) có AC là đường kính nên tam giác AIC vuông tại I, hay $\widehat {AIC} = 90^\circ$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra I ≡ I’.

Vậy D, A, I thẳng hàng.

c) Vì tam giác DIE vuông tại I có IK là trung tuyến ứng với cạnh huyền DE

Nên KD = KI = KE ⇒ $\widehat {{D_1}} = \widehat {{I_2}}$ (1).

Lại có: $\widehat {{D_1}} = \widehat {{C_4}}$ (2) do cùng phụ với $\widehat {DEC}$ và $\widehat {{C_4}} = \widehat {{C_3}}$ (3), vì O₂C = O₂I là bán kính của đường tròn (O₂)

Từ (1),(2),(3): $\widehat {{I_2}} = \widehat {{I_3}} \Rightarrow \widehat {{I_2}} + \widehat {{I_5}} = \widehat {{I_5}} + \widehat {{I_3}} = 90^\circ$ hay $\widehat {KI{O_2}} = 90^\circ$ do đó KI vuông góc với bán kính O₂I của đường tròn (O₂)

Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn (O₂)

Câu 4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Qua A kẻ một cát tuyến cắt (O) tại C, cắt đường tròn (O’) tại D

a) Chứng minh: OC // O’D

b) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN, gọi P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với M, N qua OO’. Chứng minh MNQP là hình thang cân và MN + PQ = MP + NQ

c) Tính góc $\widehat {MAN}$ . Gọi K là giao điểm của AM với (O’). Chứng minh N, O’, K thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Do hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A nên A nằm trên OO’.

Ta có: $\widehat {CAO} = \widehat {DAO'}$ .

Lại có: $\widehat {OCA} = \widehat {OAC},\widehat {O'AD} = \widehat {O'DA}$ vì các tam giác ΔCOA, ΔDO’A là tam giác cân. Từ đó suy ra:

$\widehat {OCA} = \widehat {O'DA} \Leftrightarrow OC\parallel O'D$

– Vì MP ⊥ OO’, NQ ⊥ OO’ ⇒ MP // OO’

⇒ MNQP là hình thang.

Vì M đối xứng với P qua OO’, N đối xứng với Q qua OO’ và O luôn đối xứng với O qua OO’

Nên $\widehat {OPM} = \widehat {OMP} = 90^\circ$ .

Mặt khác: $\widehat {MPQ},\widehat {PMN}$ cùng phụ với các góc $\widehat {OPM} = \widehat {OMP}$ nên $\widehat {MPQ} = \widehat {PMN}$ suy ra MNQP là hình thang cân.