Bài viết này sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu thế nào là phương trình bậc nhất hai ẩn. Từ đó áp dụng giải một số dạng toán phổ biến như: Xác định tập nghiệm, biện luận và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán thực tế, …
Tổng quan lý thuyết
[content_1]Định nghĩa
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng: ax + by = c (1) trong đó a, b, c là các số đã biết (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0), x và y lần lượt là các ẩn.
– Cặp (x0; y0) thỏa mãn ax0 + by0 = c được gọi là một nghiệm của phương trình ax + by = c (1).
– Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm (x0; y0) của (1) được biểu diễn bởi một điểm (x0; y0)
Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
– Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c (1) (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0), luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c (d).
– Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số ![\[y = - \frac{a}{b}x + \frac{c}{d}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-1.svg)
– Nếu a ≠ 0, b = 0 và c ≠ 0 thì đường thẳng (d) song song với trục tung Oy và phương trình trở thành ![\[ax = c \Leftrightarrow x = \frac{c}{a}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-2.svg)
– Nếu a ≠ 0, b = 0 và c = 0 thì đường thẳng (d) trùng với trục tung Oy và phương trình trở thành ax = 0 ⇔ x = 0
– Nếu a = 0; b ≠ 0 và c ≠ 0 thì đường thẳng (d) song song với trục hoành Ox và phương trình trở thành ![\[by = c \Leftrightarrow y = \frac{c}{b}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-3.svg)
– Nếu a = 0; b ≠ 0 và c = 0 thì đường thẳng (d) trùng với trục hoành Ox và phương trình trở thành by = 0 ⇔ y = 0
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Xác định nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
[content_2]Câu 1. Trong các cặp số (0; 4), (–1; 3), (1; 1), (2; 3), (4; 6) cặp số nào là nghiệm của phương trình:
a) 5x – 3y = 2
b) 2x + y = 7
c) 2x – y = 2
Hướng dẫn giải
Thay lần lượt mỗi cặp số đã cho vào từng phương trình, rồi so sánh giá trị tìm được ở hai vế để rút ra kết luận
a) Cặp số (1; 1),(4; 6) là nghiệm của phương trình 5x – 3y = 2
b) Cặp số (2; 3) là nghiệm của phương trình 2x + y = 7
c) Cặp số (4; 6) là nghiệm của phương trình 2x – y = 2
Câu 2. Trong các cặp số sau:
![\[\left( { - 1;2} \right),\left( {2;2} \right),\left( {0;\frac{2}{3}} \right),\left( { - \frac{4}{3};0} \right),\left( {3; - 3} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-113.svg)
Cặp số nào là nghiệm của phương trình:
a) 4x + 3y = 2
b) 3x – 5y = –4
Hướng dẫn giải
Thay lần lượt mỗi cặp số đã cho vào từng phương trình, rồi so sánh giá trị tìm được ở hai vế để rút ra kết luận.
a) Các cặp số ![\[\left( { - 1;2} \right),\left( {0;\frac{2}{3}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-114.svg)
, là nghiệm của phương trình 4x + 3y = 2
b) Các cặp số ![\[\left( {2;2} \right),\left( { - \frac{4}{3};0} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-115.svg)
, là nghiệm của phương trình 3x – 5y = –4
Câu 3. Tìm nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:
a) 3x – y = 1
b) x – 2y = 5
c) 2x – 3y = 5
d) 3y + x = 2
Hướng dẫn giải
a) Nghiệm tổng quát của phương trình 3x – y = 1 là
![\[\left\{ \begin{gathered} x \in \mathbb{R} \hfill \\ y = 3x - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-4.svg)
hoặc ![\[\left\{ \begin{gathered} y \in \mathbb{R}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = \frac{1}{3}y + \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-5.svg)
có đồ thị hàm số là
b) Nghiệm tổng quát của phương trình x – 2y = 5 là
![\[\left\{ \begin{gathered} x \in \mathbb{R}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-6.svg)
hoặc ![\[\left\{ \begin{gathered} y \in \mathbb{R} \hfill \\ x = 2y + 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-7.svg)
có đồ thị hàm số là
c) Nghiệm tổng quát của phương trình 2x – 3y = 5 là
![\[\left\{ \begin{gathered} x \in \mathbb{R}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-8.svg)
hoặc ![\[\left\{ \begin{gathered} y \in \mathbb{R}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = \frac{3}{2}y + \frac{5}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-9.svg)
có đồ thị hàm số là
d) Nghiệm tổng quát của phương trình 3y + x = 2 là
![\[\left\{ \begin{gathered} x \in \mathbb{R}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = - \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-10.svg)
hoặc ![\[\left\{ \begin{gathered} y \in \mathbb{R} \hfill \\ x = - 3y + 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-11.svg)
có đồ thị hàm số là
Dạng 2. Biện luận và vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất
[content_3]Câu 1. Cho đường thẳng (d) có phương trình: (m – 1)x + (3m – 4)y = –2m – 5. Tìm m để:
a) (d) song song với trục hoành.
b) (d) song song với trục tung.
c) (d) đi qua gốc toạ độ.
d) (d) đi qua điểm A(2; –1).
Hướng dẫn giải
a) (d) song song với trục hoành.
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 0 \hfill \\ b \ne 0 \hfill \\ c \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m - 1 = 0 \hfill \\ 3m - 4 \ne 0 \hfill \\ - 2m - 5 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 1 \hfill \\ m \ne \frac{4}{3} \hfill \\ m \ne - \frac{5}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow m = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-12.svg)
Vậy với m = 1 thì phương trình đường thẳng (d) song song với trục hoành
b) (d) song song với trục tung.
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a \ne 0 \hfill \\ b = 0 \hfill \\ c \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m - 1 \ne 0 \hfill \\ 3m - 4 = 0 \hfill \\ - 2m - 5 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 1 \hfill \\ m = \frac{4}{3} \hfill \\ m \ne - \frac{5}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow m = \frac{4}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-13.svg)
Vậy với m = ![\[\frac{4}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-14.svg)
thì phương trình đường thẳng (d) song song với trục tung
c) (d) đi qua gốc toạ độ.
![\[\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a \ne 0 \hfill \\ b \ne 0 \hfill \\ c = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m - 1 \ne 0 \hfill \\ 3m - 4 \ne 0 \hfill \\ - 2m - 5 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 1 \hfill \\ m \ne \frac{4}{3} \hfill \\ m = - \frac{5}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow m = - \frac{5}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-15.svg)
Vậy với m = ![\[ - \frac{5}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-16.svg)
thì phương trình đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ.
d) (d) đi qua điểm A(2; –1), suy ra tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình đường thẳng
(m – 1)x + (3m – 4)y = –2m – 5
⇔ (m – 1)⋅2 + (3m – 4)⋅(–1) = –2m – 5
⇔ 2m – 2 – 3m + 4 = –2m – 5
⇔ m = –7
Vậy với m = –7 thì phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A
Câu 2. Trong mỗi trường hợp sau, hãy tìm giá trị của a để:
a) Điểm A(0; –1) thuộc đường thẳng x + ay = –5
b) Điểm B(–3; 0) thuộc đường thẳng ax – 4y = 6
c) Điểm C(–5; –2) thuộc đường thẳng ax + 6y = –3
d) Điểm ![\[{\text{D}}\left( {\frac{5}{2};0} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-17.svg)
thuộc đường thẳng ![\[ax + 0y = \frac{{25}}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-18.svg)
e) Điểm ![\[{\text{E}}\left( {2; - \frac{9}{2}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-19.svg)
thuộc đường thẳng 0x + ay = –10
Hướng dẫn giải
a) Điểm A(0; –1) thuộc đường thẳng x + ay = –5
Ta có: 0 + a⋅(–1) = –5 ⇔ a = 5
Vậy với a = 5 thì điểm A(0; –1) thuộc đồ thị hàm số đã cho
b) Điểm B(–3; 0) thuộc đường thẳng ax – 4y = 6
Ta có: a⋅(–3) – 4⋅0 = 6 ⇔ –3a = 6 ⇔ a = –2
Vậy với a = –2 thì điểm B(–3; 0) thuộc đồ thị hàm số đã cho
c) Điểm C(–5; –2) thuộc đường thẳng ax + 6y = –3
Ta có: a⋅(–5) + 6⋅(–2) = –3 ⇔ –5a = 9 ⇔ a = ![\[ - \frac{9}{5}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-20.svg)
Vậy với a = thì điểm C(–5; –2) thuộc đồ thị hàm số đã cho
d) Điểm thuộc đường thẳng
Ta có: ![\[a \cdot \frac{5}{2} + 0 = \frac{{25}}{2} \Leftrightarrow a = 5\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-21.svg)
Vậy với a = 5 thì điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho
e) Điểm thuộc đường thẳng 0x + ay = –10
Ta có: ![\[0 \cdot 2 + a \cdot \left( { - \frac{9}{2}} \right) = - 10 \Leftrightarrow a = \frac{{20}}{9}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-22.svg)
Vậy với a = ![\[\frac{{20}}{9}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-23.svg)
thì điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho
Câu 3. Vẽ đồ thị của mỗi cặp phương trình sau trong cùng một hệ trục tọa độ, rồi tìm giao điểm của hai đường thẳng đó.
a) 2x – y = 3 và 3x – 2y = 5
b) x – 2y = 4 và 3x + 2y = 10
c) x – y = 1 và –3x + 3y = –6
d) x – 2y = 4 và –2x + 4y = –8
Hướng dẫn giải
a) Đồ thị hàm số 2x – y = 3 ⇔ y = 2x – 3 (d1) và đồ thị hàm số ![\[3x - 2y = 5 \Leftrightarrow y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-24.svg)
(d2)
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là:
![\[\begin{gathered} 2x - 3 = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 2x - \frac{3}{2}x = 3 - \frac{5}{2} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-25.svg)
⇒ A(1; –1) là giao điểm của hai đường thẳng đã cho.
b) Đồ thị hàm số ![\[x - 2y = 4 \Leftrightarrow y = \frac{x}{2} - 2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-26.svg)
(d1) và đồ thị hàm số ![\[3x + 2y = 10 \Leftrightarrow y = - \frac{3}{2}x + 5\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-27.svg)
(d2)
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là:
![\[\begin{gathered} \frac{x}{2} - 2 = - \frac{3}{2}x + 5 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{x}{2} + \frac{3}{2}x = 2 + 5 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 2x = 7 \Leftrightarrow x = \frac{7}{2} \Rightarrow y = - \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-28.svg)
⇒ ![\[{\text{B}}\left( {\frac{7}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-29.svg)
là giao điểm của hai đường thẳng đã cho.
c) Đồ thị hàm số x – y = 1 ⇔ y = x – 1 (d1) và đồ thị hàm số –3x + 3y = –6 ⇔ y = x – 2 (d2)
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là:
x – 1 = x – 2 ⇔ 0x = –1 (phương trình vô nghiệm)
Vậy hai đường thẳng đã cho song song với nhau
d) Đồ thị hàm số ![\[x - 2y = 4 \Leftrightarrow y = \frac{x}{2} - 2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-30.svg)
(d1) và đồ thị hàm số ![\[ - 2x + 4y = - 8 \Leftrightarrow y = \frac{x}{2} - 2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-31.svg)
(d2)
Vậy hai đồ thị hàm số đã cho có vô số điểm chung.
Dạng 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn
[content_4]Câu 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:
a) 2x + y = 0
b) 3x – 2y = 5
c) 2x + 5y = 15
Hướng dẫn giải
a) Từ phương trình 2x + y = 0 ⇔ y = –2x
Đặt x = t, t ∈ ℤ ⇒ y = –2t
Vậy các cặp số nguyên cần tìm là: ![\[\left\{ \begin{gathered} x = t \hfill \\ y = - 2t,t \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-32.svg)
b) Từ phương trình 3x – 2y = 5
![\[ \Leftrightarrow y = \frac{{3x - 5}}{2} = \frac{{2x + x - 5}}{2} = x + \frac{{x - 5}}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-33.svg)
Vì ![\[x,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{{x - 5}}{2} \in \mathbb{Z}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-34.svg)
Đặt ![\[\frac{{x - 5}}{2} = t\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-35.svg)
⇒ x = 2t + 5 ⇒ y = 2t + 5 + t = 3t + 5
Vậy các cặp số nguyên cần tìm có dạng: ![\[\left\{ \begin{gathered} x = 2t + 5 \hfill \\ y = 3t + 5,t \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-36.svg)
c) Từ phương trình 2x + 5y = 15
![\[ \Leftrightarrow x = \frac{{ - 5y + 15}}{2} = \frac{{ - 4y - y + 15}}{2} = - 2 - \frac{{y - 15}}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-37.svg)
Vì ![\[x,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{{y - 15}}{2} \in \mathbb{Z}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-38.svg)
Đặt ![\[\frac{{y - 15}}{2} = t\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-39.svg)
⇒ y = 2t + 15 ⇒ x = –2(2t + 15) – t = –5t – 30
Vậy các cặp số nguyên cần tìm có dạng: ![\[\left\{ \begin{gathered} x = - 5t - 30 \hfill \\ y = 2t + 15,t \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-40.svg)
Dạng 4. Bài toán thực tế
[content_5]Câu 1. Ông An muốn thuê một chiếc xe ô–tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau:
a) Gọi x và y lần lượt là số kilomet ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa x và y sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng.
b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng tọa độ.
Hướng dẫn giải
a) Từ thứ Hai đến thứ Sáu, 1 km di chuyển có chi phí là 8000 (đồng). Ông An đi hết x (km), vậy ông An sẽ tốn chi phí là: 8000x (đồng).
Tương tự: Vào hai ngày cuối tuần, Ông An đi hết y (km), vậy ông An sẽ tốn chi phí là: 10000y (đồng).
Vậy tổng số tiền ông An phải chi là: 8000x + 10000y.
Theo bài ra ta có: 8000x + 10000y ≤ 14000000 ⇔ 4x + 5y ≤ 7000
b) Biểu diễn miền nghiệm của BPT ở câu a trên mặt phẳng tọa độ.
Bài tập tự luyện
[content_6]Câu 1. Cho phương trình ax + by = c với a ≠ 0, b ≠ 0. Nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi.
A. ![\[\left\{ \begin{gathered} x \in \mathbb{R} \hfill \\ y = - \frac{a}{b}x + \frac{c}{b} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-41.svg)
B. ![\[\left\{ \begin{gathered} x \in \mathbb{R} \hfill \\ y = - \frac{a}{b}x - \frac{c}{b} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-42.svg)
C. ![\[\left\{ \begin{gathered} x \in \mathbb{R} \hfill \\ y = \frac{c}{b} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-43.svg)
D. ![\[\left\{ \begin{gathered} x \in \mathbb{R} \hfill \\ y = - \frac{c}{b} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-44.svg)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta có với a ≠ 0, b ≠ 0 thì
![\[ \Leftrightarrow by = - ax + c \Leftrightarrow y = - \frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-45.svg)
Nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi
Câu 2. Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. 2x2 + 2 = 0
B. 3y – 1 = 5(y – 2)
C. ![\[2x + \frac{y}{2} - 1 = 0\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-46.svg)
D. ![\[3\sqrt x + {y^2} = 0\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-47.svg)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Phương trình là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Câu 3. Phương trình nào dưới đây nhận cặp số (–2; 4) làm nghiệm
A. x – 2y = 0
B. 2x + y = 0
C. x – y = 2
D. x + 2y + 1 = 0
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Thay x = –2; y = 4 vào từng phương trình ta được
– x – 2y = –2 – 2⋅4 = –10 ≠ 0 nên loại A
– x – y = –2 – 4 = – 6 ≠ 0 nên loại C
– x + 2y + 1 = –2 + 2⋅4 + 1 = 7 ≠ 0 nên loại D
– 2x + y = –2⋅2 + 4 = 0 nên ⟹ Chọn B
Câu 4. Phương trình x – 5y + 7 = 0 nhận cặp số nào sau đây làm nghiệm?
A. (0; 1)
B. (–1; 2)
C. (3; 2)
D. (2; 4)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
– Thay x = 0; y = 1 vào phương trình x – 5y + 7 = 0 ta được 0 – 5⋅1 + 7 = 0 ⇔ 2 = 0 (vô lý) nên loại A
– Thay x = –1; y = 2 vào phương trình x – 5y + 7 = 0 ta được –1 – 5⋅2 + 7 = 0 ⇔ –4 = 0 (vô lý) nên loại B
– Thay x = 2; y = 4 vào phương trình x – 5y + 7 = 0 ta được 2 – 5⋅4 + 7 = 0 ⇔ –11 = 0 (vô lý) nên loại D
– Thay x = 3; y = 2 vào phương trình x – 5y + 7 = 0 ta được 3 – 5⋅2 + 7 = 0 ⇔ 0 = 0 (luôn đúng) nên ⟹ Chọn C
Câu 5. Phương trình 5x + 4y = 8 nhận cặp số nào sau đây là nghiệm?
A. (–2; 1)
B. (–1; 0)
C. (1,5; 3)
D. (4; –3)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Xét phương trình 5x + 4y = 8
Cặp số (–2; 1) không phải nghiệm của phương trình vì 5⋅(–2) + 4⋅1 = –6. Do đó loại A.
Cặp số (–1; 0) không phải nghiệm của phương trình vì 5⋅(–1) + 4⋅0 = –5. Do đó loại B.
Cặp số (1,5; 3) không phải nghiệm của phương trình vì 5⋅(1,5) + 4⋅3 = 19,5. Do đó loại C.
Cặp số (4; –3) là nghiệm của phương trình vì 5⋅4 + 4⋅(–3) = 8. Do đó ⟹ Chọn D.
Câu 6. Tìm số dương m để phương trình 2x – (m – 2)2y = 5 nhận cặp số (–10; –1) làm nghiệm.
A. m = 5
B. m = 7
C. m = –3
D. m = 7; m = –3
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Thay x = –10; y = –1 vào phương trình 2x – (m – 2)2y = 5 ta được
![\[\begin{gathered} 2 \cdot \left( { - 10} \right) - {\left( {m - 2} \right)^2} \cdot \left( { - 1} \right) = 5 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = 25 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m - 2 = 5 \hfill \\ m - 2 = - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = 7{\text{ }}\left( n \right) \hfill \\ m = - 3{\text{ }}\left( l \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-48.svg)
Vậy m = 7
Câu 7. Tìm m để phương trình ![\[\sqrt {m - 1} x - 3y = - 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-52.svg)
nhận cặp số (1; 1) làm nghiệm.
A. m = 5
B. m = 2
C. m = –5
D. m = –2
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Thay x = 1; y = 1 vào phương trình ta được:
![\[\sqrt {m - 1} \cdot 1 - 3 \cdot 1 = - 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-53.svg)
ĐK: ![\[m \geqslant - 1 \Leftrightarrow \sqrt {m - 1} = 2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-54.svg)
![\[ \Leftrightarrow m - 1 = 4 \Leftrightarrow m = 5\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-55.svg)
(thỏa mãn)
Vậy m = 5
Câu 8. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình 0x + 4y = –16
A. ![\[\left\{ \begin{gathered} x \in \mathbb{R} \hfill \\ y = - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-56.svg)
B. ![\[\left\{ \begin{gathered} x \in \mathbb{R} \hfill \\ y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-57.svg)
C. ![\[\left\{ \begin{gathered} x \in \mathbb{R} \hfill \\ x = - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-58.svg)
D. ![\[\left\{ \begin{gathered} x \in \mathbb{R} \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-59.svg)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta có: 0x + 4y = –16 ⇔ y = –4
Nghiệm tổng quát của phương trình
Câu 9. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình 3x + 0y = 12
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Ta có: 3x + 0y = 12 ⇔ x = 4
Nghiệm tổng quát của phương trình
Câu 10. Trong các cặp số (–2; 1); (0; 2); (–1; 0); (1,5; 3); (4; –3) có bao nhiêu cặp số không là nghiệm của phương trình 3x + 5y = –3.
A. 1
B. 3
C. 2
D. 4
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Xét phương trình 3x + 5y = –3
Cặp số (–2; 1) không phải nghiệm của phương trình vì 3⋅(–2) + 5⋅1 = –1
Cặp số (0; 2) không phải nghiệm của phương trình vì 3⋅0 + 5⋅2 = 10
Cặp số (–1; 0) là nghiệm của phương trình vì 3⋅(–1) + 5⋅0 = –3
Cặp số (1,5; 3) không phải nghiệm của phương trình vì 3⋅1,5 + 5⋅3 = 19,5
Cặp số (4; –3) là nghiệm của phương trình vì 3⋅4 + 5⋅(–3) = –3
Vậy có 3 cặp số không phải nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 11. Cho đường thẳng d có phương trình (m – 2)x + (3m – 1)y = 6m – 2. Tìm các giá trị của tham số m để d song song với trục hoành.
A. m = 1
B. m = 2
C. m = 3
D. m = 4
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Để d song song với trục hoành thì ![\[\left\{ \begin{gathered} m - 2 = 0 \hfill \\ 3m - 1 \ne 0 \hfill \\ 6m - 2 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 2 \hfill \\ m \ne \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-64.svg)
Câu 12. Cho đường thẳng d có phương trình (5m – 15)x + 2my = m – 2. Tìm các giá trị của tham số m để d song song với trục hoành.
A. m = 1
B. m = 2
C. m = 3
D. m = 4
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Để d song song với trục hoành thì ![\[\left\{ \begin{gathered} 5m - 15 = 0 \hfill \\ 2m \ne 0 \hfill \\ m - 2 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 3 \hfill \\ m \ne 0 \hfill \\ m \ne 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 3\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-65.svg)
Câu 13. Cho đường thẳng d có phương trình (m – 2)x + (3m – 1)y = 6m – 2. Tìm các giá trị của tham số m để d song song với trục tung.
A. m = ![\[\frac{1}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-66.svg)
B. m = ![\[\frac{2}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-67.svg)
C. m ≠ 2
D. m ≠
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Để d song song với trục tung thì ![\[\left\{ \begin{gathered} m - 2 \ne 0 \hfill \\ 3m - 1 = 0 \hfill \\ 6m - 2 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 2 \hfill \\ m = \frac{1}{3} \hfill \\ m \ne - \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-68.svg)
Vậy m =
Câu 14. Cho đường thẳng d có phương trình ![\[\frac{{m - 1}}{2}x + \left( {1 - 2m} \right)y = 2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-69.svg)
. Tìm các giá trị của tham số m để d song song với trục tung.
A. m = 1
B. m ≠ ![\[\frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-70.svg)
C. m = 2
D. m =
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Để d song song với trục tung thì ![\[\left\{ \begin{gathered} \frac{{m - 1}}{2} \ne 0 \hfill \\ 1 - 2m = 0 \hfill \\ 2 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 1 \hfill \\ m = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-71.svg)
Vậy m =
Câu 15. Cho đường thẳng d có phương trình (2m – 4)x + (m – 1)y = m – 5. Tìm các giá trị của m tham số d để đi qua gốc tọa độ.
A. m = 2
B. m = 1
C. m = 5
D. m ≠ 5
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Gốc tọa độ O(0;0). Để d đi qua gốc tọa độ thì tọa độ điểm O thỏa mãn phương trình
(2m – 4)x + (m – 1)y = m – 5
Hay (2m – 4)⋅0 + (m – 1)⋅0 = m – 5
⇔ m – 5 = 0 ⇔ m = 5
Vậy m = 5
Câu 16. Cho đường thẳng d có phương trình (m – 2)x + (3m – 1)y = 6m – 2. Tìm các giá trị của tham số m để d đi qua gốc tọa độ.
A. m =
B. m =
C. m ≠ 2
D. m ≠
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Để d đi qua gốc tọa độ thì
(m – 2)⋅0 + (3m – 1)⋅0 = 6m – 2 ⇔ m =
Vậy m =
Câu 17. Chọn khẳng định đúng.
Đường thẳng d biểu diễn tập nghiệm của phương trình 3x – y = 3 là.
A. Đường thẳng song song với trục hoành.
B. Đường thẳng song song với trục tung.
C. Đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
D. Đường thẳng đi qua điểm A(1; 0).
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Ta có: 3x – y = 3 ⇔ y = 3x – 3
Nghiệm tổng quát của phương trình ![\[\left\{ \begin{gathered} x \in \mathbb{R} \hfill \\ y = 3x - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-72.svg)
Biểu diễn hình học của tập nghiệm là đường thẳng y = 3x – 3 đi qua điểm A(1; 0) và B(0; –3).
Câu 18. Cho đường thẳng nào đưới đây có biểu diễn hình học là đường thẳng song song với trục hoành.
A. 5y = 7
B. 3x = 9
C. x + y = 9
D. 6y + x = 7
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta thấy phương trình 5y = 7 có a = 0; b = 5 và c = 7 ≠ 0 nên biểu diễn nghiệm của phương trình là đường thẳng y = ![\[\frac{7}{5}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-73.svg)
song song với trục hoành.
Câu 19. Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình 5x – 3y = 8.
A. ![\[\left\{ \begin{gathered} x = 3t - 8 \hfill \\ y = 5t - 16 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-74.svg)
B. ![\[\left\{ \begin{gathered} x = 3t - 8 \hfill \\ y = - 5t - 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-75.svg)
C. ![\[\left\{ \begin{gathered} x = 8t - 3 \hfill \\ y = 15t - 16 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-76.svg)
D. ![\[\left\{ \begin{gathered} x = 3t + 8 \hfill \\ y = 5t + 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-77.svg)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta có:
![\[5x - 3y = 8 \Rightarrow y = \frac{{5x - 8}}{3} = 2x - \frac{{x + 8}}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-78.svg)
Đặt ![\[\frac{{x + 8}}{3} = t\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-79.svg)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow x = 3t - 8 \Rightarrow y = 2x - \frac{{x + 8}}{3} = 2\left( {3t - 8} \right) \hfill \\ - t = 5t - 16 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3t - 8 \hfill \\ y = 5t - 16 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-80.svg)
Câu 20. Tìm nghiệm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình 3x – 2y = 5.
A. ![\[\left\{ \begin{gathered} x = 5 - 2t \hfill \\ y = - 5 - 3t \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-81.svg)
B. ![\[\left\{ \begin{gathered} x = 5 + 2t \hfill \\ y = 5 - 3t \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-82.svg)
C. ![\[\left\{ \begin{gathered} x = 5 - 2t \hfill \\ y = 5 + 3t \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-83.svg)
D. ![\[\left\{ \begin{gathered} x = 5 + 2t \hfill \\ y = 5 + 3t \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-84.svg)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Ta có:
![\[3x - 2y = 5 \Rightarrow y = \frac{{3x - 5}}{2} = x + \frac{{x - 5}}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-85.svg)
Đặt ![\[\frac{{x - 5}}{2} = t\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-86.svg)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow x = 2t + 5 \Rightarrow y = 2t + 5 + t\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = 3t + 5 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 5 + 2t \hfill \\ y = 5 + 3t \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-87.svg)
Câu 21. Tìm nghiệm nguyên âm lớn nhất của phương trình –5x + 2y = 7.
A. (–7; –14)
B. (–1; –2)
C. (–3; –4)
D. (–5; –9)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Ta có: ![\[ - 5x + 2y = 7 \Leftrightarrow 2y = 7 + 5x\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-88.svg)
![\[ \Leftrightarrow y = \frac{{5x + 7}}{2} \Leftrightarrow y = 2x + \frac{{x + 7}}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-89.svg)
Đặt ![\[\frac{{x + 7}}{2} = t \Rightarrow x = 2t - 7\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-90.svg)
![\[ \Rightarrow y = 2\left( {2t - 7} \right) + t \Leftrightarrow y = 5t - 14\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-91.svg)
Nên nghiệm nguyên của phương trình là: ![\[\left\{ \begin{gathered} x = 2t - 7 \hfill \\ y = 5t - 14 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-92.svg)
Vì x, y nguyên âm nên
![\[\left\{ \begin{gathered} x < 0 \hfill \\ y < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 2t - 7 < 0 \hfill \\ 5t - 14 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} t < \frac{7}{2} \hfill \\ t < \frac{{14}}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow t < \frac{{14}}{5}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-93.svg)
Mà t ∈ ℤ ⇒ t ≤ 2
Nghiệm nguyên âm lớn nhất của phương trình đạt được khi
![\[t = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \cdot 2 - 7 \hfill \\ y = 5 \cdot 2 - 14 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 3 \hfill \\ y = - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-94.svg)
Vậy nghiệm cần tìm là (–3; –4)
Câu 22. Nghiệm nguyên âm của phương trình 3x + 4y = –10 là (x; y). Tính x y.
A. 2
B. –2
C. 6
D. 4
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta có: ![\[3x + 4y = - 10 \Leftrightarrow 3x = - 4y - 10\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-95.svg)
![\[ \Leftrightarrow x = \frac{{ - 4y - 10}}{3} \Leftrightarrow x = - y - \frac{{y + 10}}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-96.svg)
Đặt ![\[\frac{{y + 10}}{3} = t\left( {t \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow y = 3t - 10\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-97.svg)
![\[ \Rightarrow x = - \left( {3t - 10} \right) - t = - 4t + 10\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-98.svg)
Hay nghiệm nguyên của phương trình 3x + 4y = –10 là
![\[\left\{ \begin{gathered} x = - 4t + 10 \hfill \\ y = 3t - 10 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-99.svg)
Vì x, y nguyên âm hay x < 0; y < 0 nên ![\[\left\{ \begin{gathered} - 4t + 10 < 0 \hfill \\ 3t - 10 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} t > 2,25 \hfill \\ t < \frac{{10}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-100.svg)
mà t ∈ ℤ ⇒ t = 3
Suy ra: x = –4⋅3 + 10 = –2; y = 3⋅3 – 10 = –1 nên nghiệm nguyên âm cần tìm là
(x; y) = (–2; –1) ⇒ xy = 2
Câu 23. Gọi (x; y) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình –4x + 3y = 8. Tính x + y.
A. 5
B. 6
C. 7
D. 4
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta có:
![\[ - 4x + 3y = 8 \Leftrightarrow y = \frac{{4x + 8}}{3} \Leftrightarrow y = x + \frac{{x + 8}}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-101.svg)
Đặt ![\[\frac{{x + 8}}{3} = t \Rightarrow x = 3t - 8\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-102.svg)
![\[ \Rightarrow y = 3t - 8 + t \Rightarrow y = 4t - 8{\text{ }}\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-103.svg)
Nên nghiệm nguyên của phương trình là ![\[\left\{ \begin{gathered} x = 3t - 8 \hfill \\ y = 4t - 8 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-104.svg)
Vì x, y nguyên dương nên
![\[\left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ y > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 3t - 8 > 0 \hfill \\ 4t - 8 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} t > \frac{8}{3} \hfill \\ t > 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow t > \frac{8}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-105.svg)
Mà t ∈ ℤ ⇒ t ≥ 3
Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là
![\[\left\{ \begin{gathered} x = 3 \cdot 3 - 8 \hfill \\ y = 4 \cdot 3 - 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow x + y = 5\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-106.svg)
Câu 24. Gọi (x; y) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình 6x – 7y = 5. Tính x – y.
A. 2
B. 3
C. 1
D. –1
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Ta có:
![\[6x - 7y = 5 \Leftrightarrow x = \frac{{7y + 5}}{6} \Leftrightarrow x = y + \frac{{y + 5}}{6}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-107.svg)
Đặt ![\[\frac{{y + 5}}{6} = t\left( {t \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow y = 6t - 5\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-108.svg)
![\[ \Rightarrow x = y + \frac{{y + 5}}{6} = 6t - 5 + t = 7t - 5\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-109.svg)
Nên nghiệm nguyên dương của phương trình là ![\[\left\{ \begin{gathered} x = 7t - 5 \hfill \\ y = 6t - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-110.svg)
Vì, x, y nguyên dương nên ![\[\left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ y > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 7t - 5 > 0 \hfill \\ 6t - 5 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} t > \frac{5}{7} \hfill \\ t > \frac{5}{6} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow t > \frac{5}{7}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-111.svg)
Mà t ∈ ℤ ⇒ t ≥ 1
Do đó, nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình có được khi
![\[t = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 7 \cdot 1 - 5 \hfill \\ y = 6 \cdot 1 - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow x - y = 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-112.svg)
