Liên hệ giữa cung và dây: Tổng quan lý thuyết và bài tập

Cung và dây trong đường tròn là 2 thành phần cơ bản được ứng dụng nhiều trong bài tập. Bài viết sau đây sẽ giúp bạn tìm hiểu các liên hệ giữa cung và dây trong đường tròn thông qua 2 định lý, ứng dụng giải bài tập về tính số đo và chứng minh hình học.

Lý thuyết liên hệ giữa cung và dây

[content_1]

Định lí 1

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, ta có:

– Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

– Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

Hay:

Định lí 2

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, ta có:

– Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

– Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

Hay:

Bổ sung

– Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

Ta có:

– Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

⋄ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy

– Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Bài tập vận dụng

[content_2]

Bài 1. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và C là điểm chính giữa của nửa đường tròn. Trên các cung CA và CB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho . Chứng minh:

a) AM = CN

b) MN = CA = CB

Hướng dẫn giải

a) Ta có: C là điểm chính giữa nửa đường tròn

Mà:

b) Chứng minh được:

Bài 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AO. Các điểm C, D thuộc đường tròn (O) sao cho và . Các dây AC và AD cắt đường tròn (O’) theo thứ tự tại E và F. Hãy so sánh:

a) Độ dài các đoạn thẳng OE và OF

b) Số đo các cung và của đường tròn (O’)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: OE ⊥ AC; BC ⊥ AC ⇒ OE // BC

Xét △ABC có OE // BC, AO = OB

⇒ E là trung điểm của AC ⇒ OE = $\frac{1}{2}$ BC

Tương tự: OF = $\frac{1}{2}$ BD

Mà: BC < BD ⇒ OE < OF

b) Xét tam giác vuông OEA, AFO ta có:

⇒ AE² = AO² – OE² và AF² = AO² – OF²

⇒ AE² > AF² ⇒ AE > AF

⇒

Bài 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm C và D. Kẻ CH vuông góc với AB tại H, CH cắt (O) tại điểm thứ hai E. Kẻ AK vuông góc với CD tại K, AK cắt (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh:

a) Hai cung nhỏ và bằng nhau

b) Hai cung nhỏ và bằng nhau

c) DE = BF

Hướng dẫn giải

a) Ta có: DK ⊥ AK và BF ⊥ AK

⇒ DK // BF

⇒

⇒ đpcm

b) Từ giả thiết ta có AB là đường trung trực của CE

c) Sử dụng mối liên hệ giữa cung và dây, ta có: DE = BF

Bài 4. Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ các đường kính AOE, AOF và BOC. Đường thẳng AF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D. Chứng minh rằng các cung nhỏ AB, CD, CE bằng nhau.

Hướng dẫn giải

– Dây AB là dây chung của hai đường tròn nên AB căng hai cung nhỏ bằng nhau

Lại có:

– Chứng minh được:

$\widehat {ABE} = \widehat {ABF} = 90^\circ$ ⇒ E, B, F thẳng hàng

– △EAB = △FAB ⇒ EB = FB ⇒ BO là đường trung bình của △FEA

(Hai cung bị chắn giữa hai dây song song).

Từ (1) (2) (3)

Bài 5. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AE. Gọi B, C, D là ba điểm trên nửa đường tròn, biết

a) Chứng minh rằng: AB = BC = CD

b) AC = BD

c) Chứng minh cung AD và BC có chung điểm chính giữa

d) Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

Hướng dẫn giải

c) Gọi M là điểm chính giữa cả cung BC ⇒ MB = MC

Có:

d) Vì M là điểm chính giữa cung AD và BC

⇒ ABCD là hình thang cân.

Bài 6. Cho đường tròn O, trên nửa đường tròn đường kính AB lấy hai điểm C và D. Kẻ CH ⊥ AB nó cắt đường tròn tại E. Kẻ AK ⊥ DC nó cắt đường tròn tại F. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\widehat {AFB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} BF{\text{ }} \bot {\text{ }}AK = F \hfill \\ CD{\text{ }} \bot {\text{ }}AK = K \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow BF\parallel CD$

Xét đường tròn (O) có BF // CD

(chắn bởi hai dây song song)

b) Ta có: AB ⊥ CE ⇒ B là điểm chính giữa

Mà

Bài 7. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua trung điểm I của bán kính OB kẻ dây CD ⊥ AB. Kẻ dây CE song song với AB. Chứng minh rằng:

a) AE = BC = BD

b) E, O, D thẳng hàng

c) ADBE là hình chữ nhật

Hướng dẫn giải

a) AB là trung trực của CD ⇒ BC = BD (1)

$\begin{gathered} \left. \begin{gathered} \widehat {{O_2}} = \widehat {{E_1}}\left( {slt} \right) \hfill \\ \widehat {{O_1}} = \widehat {{C_1}}\left( {slt} \right) \hfill \\ \widehat {{E_1}} = \widehat {{C_1}}\left( {\Delta {\text{ }}c\hat an} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}} \Rightarrow AE = BC\left( 2 \right) \hfill \\ \Rightarrow AE = BC = BD\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) △COD cân tại O, OI là đường cao nên là đường phân giác COD

$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \widehat {COB} = \widehat {DOB} \hfill \\ \widehat {BOC} = \widehat {AOE} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \widehat {BOD} = \widehat {AOE} \hfill \\ \widehat {BOD} + \widehat {DOA} = 180^\circ \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Rightarrow \widehat {DOA} + \widehat {AOE} = 180^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

⇒ E, O, D thẳng hàng (đpcm)

c) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau nên là hình chữ nhật.

Bài 8. Trên dây cung AB của đường tròn (O), lấy hai điểm C và D chia dây này thành 3 đoạn bằng nhau AC = CD = DB. Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải

a) △AOB cân tại O

$\Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OBA}$

△AOC = △BOC (c.g.c)

b) △OCD cân tại O

$\begin{gathered} \widehat {ODC} = \frac{1}{2}\left( {180^\circ - \widehat {COD}} \right) = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {COD} < 90^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {CDF} > 90^\circ \hfill \\ \end{gathered}$

Xét △CDF có:

$\begin{gathered} \widehat {CDF} > \widehat {CFD} \Rightarrow CF > CD\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow CF > AC\left( {AC = CD} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Xét △OAC, △CFO có:

Bài 9. Cho đường tròn (O) đường kính AB kẻ các dây BC và BD sao cho (C và D không cùng thuộc nửa mặt phẳng). Đường tròn $\left( {O';\frac{{AO}}{2}} \right)$ cắt AC và AD tại E và F.

a) So sánh OE, OF

b) So sánh của (O’)

Hướng dẫn giải

a) Tam giác AOE vuông tại E ⇒ OE ⊥ AC

Mà △OAC cân tại O nên OE là đường trung trực ⇒ EA = EC

△ABC ⇒ EO là đường trung bình

⇒ EO = $\frac{1}{2}$ BC; FO = $\frac{1}{2}$ BD

⇒ OE < FO (BC < BD)

b) Xét △AEO và △FAO có:

AO là cạnh huyền chung

EO < FO

⇒ AE < FA

Hoặc: AE = $\frac{1}{2}$ AC; FA = $\frac{1}{2}$ AD (1)

Xét △ACB và △ADB có:

AB là cạnh chung

CB < DB nên AC > AD (2)

Từ (1) (2) suy ra điều cần chứng minh.

Bài 10. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một cung AC có số đo nhỏ hơn 90°. Vẽ dây CD vuông góc với AB và dây DE song song với AB. Chứng minh:

Hướng dẫn giải

Ta có: CD ⊥ AB và AB // DE ⇒ CD ⊥ DE

⇒ CE là đường kính của (O)

Chứng minh được:

△AOC = △BOE (c.g.c)

Bài 11. Cho đường tròn (O; R) có hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại I (C thuộc cung nhỏ AB). Kẻ đường kính BE của (O). Chứng minh:

a) AC = DE

b) IA² + IB² + IC² + ID² = 4R²

c) AB² + CD² = 8R² – 4OI²

Hướng dẫn giải

a) Dễ dàng chứng minh được: AC = DE

b) Gợi ý:

IA² + IC² = AC²

IB² + ID² = BD²

Và AC = DE

Lại có: BD² + DE² = BE² = (2R)² = 4R²

c) Gợi ý:

Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AB; CD

Ta có: AB² + CD² = 4AM² + 4CN²

= 4(R² – OM²) + 4(R² – ON²)

(Chú ý: OM² + ON² = OI²)

Bài 12. Giả sử tam giác ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn (O) tại D. Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Chứng minh:

a) BC song song với DE.

b) Tứ giác BCED là hình thang cân.

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh được:

AD ⊥ DE và AD ⊥ BC DE // BC

b) Ta có: DE // BC

Chứng minh được:

⇒ BDEC là hình thang cân

Bài 13. Trên dây cung AB của (O), lấy 2 điểm C, D chia dây này thành 3 đoạn bằng nhau AC = CD = DB. Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. Chứng minh:

Hướng dẫn giải

a) △AOC = △BOD (c.g.c)

b) OC = OD ⇒ △OCD cân tại O

$\Rightarrow \widehat {OCD} < 90^\circ \Rightarrow \widehat {ECD} > 90^\circ$

Xét CDE có:

$\widehat {ECD} > \widehat {CED} \Rightarrow ED > CD \Rightarrow ED > AC$

Xét AOC và EOD có:

OA = OE

OC = OD

AC < ED

Bài 14. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng nửa đường tròn lấy hai điểm C, D. Kẻ CH vuông góc với AB tại H, CH cắt (O) tại điểm thứ hai E. Kẻ AK vuông góc với CD tại K, AK cắt(O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh:

a) Hai cung nhỏ bằng nhau.

b) Hai cung nhỏ bằng nhau.

c) DE = BF

Hướng dẫn giải

(Hình 1)

(Hình 2)

Có thể dùng hình 1 hoặc hình 2

Dưới đây là chứng minh theo hình 1:

b) AB là đường trung trực của CE

Bài 15. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ hai dây AM và BN song song với nhau sao cho số đo cung nhỏ . Vẽ dây MD song song với AB. Dây DN cắt AB tại E. Chứng minh: