Trong bài viết này, VerbaLearn sẽ giúp bạn tìm hiểu về hệ số góc của đường thẳng y = ax + b từ khái niệm, tính chất cho đến các nhận xét quan trọng. Từ đó áp dụng vào giải một số dạng toán đặc trưng: Tìm hệ số góc đường thẳng, xác định góc tạo bởi đường thẳng và tia Ox, lập phương trình đường thẳng khi biết trước hệ số góc, …
Tổng quan lý thuyết
[content_1]Góc tạo bởi đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) và trục Ox
Cho đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) cắt trục Ox tại ![\[A\left( { - \frac{b}{a};0} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-1.svg)
. Gọi T là một điểm thuộc đường thẳng và nằm phía trên trục Ox. Khi đó góc α =TAx được gọi là góc tạo bởi đường thẳng (d) y = ax + b với trục Ox.
Hệ số góc của đường thẳng
⟹ Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b là a.
Trường hợp a > 0
– Nếu a > 0 thì góc α tạo bởi đường thẳng (d): y = ax + b với trục Ox là góc nhọn (0° < α < 90°)
– Nếu a càng lớn thì α càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 90°.
– α được tính như sau:
![\[\tan \alpha = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{{\left| b \right|}}{\begin{gathered} \left| { - \frac{b}{a}} \right| \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = \left| a \right| = a{\text{ }}\left( {a > 0} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-2.svg)
Trường hợp a < 0
– Nếu a < 0 thì góc α tạo bởi đường thẳng (d): y = ax + b với trục Ox là góc tù (90° < α < 180°)
– Nếu a càng lớn thì góc α càng lớn, nhưng vẫn nhỏ hơn 180°.
– α được tính theo công thức: α = 180° – β, với:
![\[\tan \beta = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{{\left| b \right|}}{\begin{gathered} \left| { - \frac{b}{a}} \right| \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = \left| a \right| = - a{\text{ }}\left( {a < 0} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-3.svg)
Tính chất
– Các đường thẳng có cùng hệ số góc thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau
– Đường thẳng y = ax và y = ax + b có chung hệ số góc là α
Bảng tóm tắt kiến thức
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Tìm hệ số góc của đường thẳng
[content_2]Phương pháp giải
Cách giải: Sử dụng các kiến thức liên quan đến vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng
– Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau
– Đường thẳng y = ax + b (a > 0) tạo với tia Ox một góc α thì a = tan α
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho đường thẳng y = ax + b. Xác định hệ số góc của (d), biết:
a) (d) song song với (d1): 2x – y – 3 = 0
b) (d) tạo với tia Ox một góc α = 30°
c) (d) vuông góc với đường thẳng (d2): y = –2x – 3
d) (d) tạo với tia Ox một góc α = 135°
e) (d) đi qua P(–1; –3) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1: y = x – 7, d2: y = –4x + 3
Hướng dẫn giải
a) (d1): 2x – y – 3 = 0
Ta có: ![\[\left( d \right)\parallel \left( {{d_1}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 2 \hfill \\ b \ne - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow a = 2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-4.svg)
b) Vì α = 30° < 90°
![\[ \Rightarrow a = \tan \alpha = \tan 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow a = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-5.svg)
c) Ta có: ![\[\left( d \right) \bot \left( {{d_2}} \right) \Rightarrow a = \frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-6.svg)
d) Vì α > 90° ⇒ a = –tan(180° – 135°) = –1
Câu 2. Cho đường thẳng (d): y = (m – 5)x – m. Xác định hệ số góc của (d), biết:
a) (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –3
b) (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2
Hướng dẫn giải
a) (d) cắt Oy tại điểm có tung độ bằng –3 từ đó tìm được m = 3 ⇒ a = –2
b) (d) cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 từ đó tìm được m = 10 ⇒ a = 5
Câu 3. Tìm hệ số góc của đường thẳng (d), biết rằng:
a) (d) đi qua hai điểm M (–2; 1) và N (0; 4)
b) (d) đi qua điểm P(–1; –3) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = x – 7 và (d2): y = –4x + 3
Hướng dẫn giải
a) Gọi phương trình đường thẳng d có dạng y = ax + b
Vì (d) đi qua hai điểm M, N nên tìm được a = ![\[\frac{3}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-7.svg)
, b = 4 ⇒ a =
b) (d1) cắt (d2) tại M (2; –5). Vậy (d) đi qua hai điểm P(–1; –3) và M(2; –5) ⇒ a = ![\[ - \frac{2}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-8.svg)
Câu 4. Cho đường thẳng (d): y = (m2 – 4m + 1)x + 2m – 1, với m là tham số. Hãy tìm m để (d) có hệ số góc nhỏ nhất
Hướng dẫn giải
Ta có: a = m2 – 4m + 1 = (m – 2)2 – 5
⇒ amin = –5 ⇔ m = 2
Câu 5. Cho đường thẳng (d): y = (–4m2 + 4m + 3)x + 4, với m là tham số. Hãy tìm m để (d) có hệ số góc lớn nhất
Hướng dẫn giải
Ta có: a = –4m2 + 4m + 3 = –(2m – 1)2 + 4
⇒ amax = 4 ⇔ m = ![\[\frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-9.svg)
Câu 6. Tìm các số dương m, n sao cho hệ số góc của đường thẳng y = mx gấp bốn hệ số góc của đường thẳng y = nx, góc tạo bởi đường thẳng y = mx với trục Ox gấp đôi góc tạo bởi đường thẳng y = nx với trục Ox
Hướng dẫn giải
Qua điểm C(1; 0) kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành, cắt các đường thẳng y = nx và y = mx theo thứ tự tại A, B
Ta có: A(1; n), B(1; m)
Do hệ số góc của đường thẳng y = mx gấp bốn hệ số góc của đường thẳng y = nx, nên ta có:
![\[m = 4n \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} BC = 4n \hfill \\ AB = 3n \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-10.svg)
Do đó góc tạo bởi đường thẳng y = mx với trục Ox gấp đôi góc tạo bởi đường thẳng y = nx với trục Ox, nên OA là đường phân giác của ![\[\widehat {BOC}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-11.svg)
Theo tính chất đường phân giác của tam giác BOC, ta có:
![\[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{OB}}{{OC}} \Rightarrow \frac{{3n}}{n} = \frac{{OB}}{1} \Rightarrow OB = 3\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-12.svg)
Theo định lý Pytago trong tam giác BOC vuông tại C, ta có:
![\[\begin{gathered} B{C^2} = O{B^2} - O{C^2} = {3^2} - {1^2} = 8 \Rightarrow BC = 2\sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 4n = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow n = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow m = 4 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 2\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-13.svg)
Vậy ![\[m = 2\sqrt 2 ,{\text{ }}n = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-14.svg)
Dạng 2. Xác định góc tạo bởi đường thẳng và tia Ox
[content_3]Phương pháp giải
Cách giải: Để xác định góc giữa đường thẳng (d) và tia Ox, ta làm như sau:
Cách 1: Vẽ (d) trên mặt phẳng tọa độ và sử dụng tỉ số lượng giác của tam giác vuông một cách phù hợp
Cách 2: Gọi α là góc tạo bởi tia Ox và (d). Ta có:
– Nếu α < 90° thì a > 0 và a = tan α
– Nếu α > 90° thì a < 0 và a = –tan (180° – α)
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng (d), biết
a) (d) có phương trình y = –x + 2
b) (d) cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 1 và cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng ![\[ - \sqrt 3 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-15.svg)
c) (d) đi qua 2 điểm ![\[A\left( {0;1} \right),B\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-16.svg)
Hướng dẫn giải
a) Cách 1: Vẽ (d) trên hệ trục tọa độ
– Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với Ox; Oy
Ta có góc tạo bởi (d) và Ox là:
![\[\alpha = 180^\circ - \widehat {ABO} = 135^\circ {\text{ }}\left( {\widehat {ABO} = 45^\circ } \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-17.svg)
Cách 2: Vì a = –1 < 0 ⇒ a = –tan (180° – α)
⇒ tan (180° – α) = 1
⇒ 180° – α = 45° ⇒ α = 135°
b) Tương tự ta tính được: α = 30°
c) Chú ý:
![\[\begin{gathered} \alpha = 180^\circ - \widehat {AOB};{\text{ }}\tan \widehat {AOB} = \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \hfill \\ \Rightarrow \alpha = 150^\circ \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-18.svg)
Câu 2. Cho các đường thẳng (d1): y = x + 1; (d2): y = ![\[\sqrt 3 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-19.svg)
x – 3
a) Vẽ (d1), (d2) trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d1), (d2) với trục hoành và C là giao điểm của (d1), (d2). Tính số đo các góc của ∆ABC
c) Tính diện tích tam giác ABC
Hướng dẫn giải
b) ![\[\widehat {CAB} = \widehat {CAx};\tan \widehat {CAx} = {a_1} = 1 \Rightarrow \widehat {CAB} = 45^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-20.svg)
Lại có: ![\[\tan \widehat {CAx} = {a_2} = \sqrt 3 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-21.svg)
![\[ \Rightarrow \widehat {CBA} = 120^\circ \Rightarrow \widehat {ACB} = 15^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-21a.svg)
c) ![\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {2\sqrt 3 + 3} \right) = \frac{{9 + 5\sqrt 3 }}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-22.svg)
(đvdt)
Câu 3. Tìm góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng (d), biết
a) Vẽ các đường thẳng (d1): y = x + 2; (d2): y = ![\[ - \frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-23.svg)
x – 1 trên cùng một hệ trục tọa độ và chứng minh chúng cắt nhau tại điểm A nằm trên trục hoành
b) Gọi giao điểm của d1 và d2 với trục tung theo thứ tự tại B và C. Tính các góc của ∆ABC
c) Tính chu vi và diện tích ∆ABC
Hướng dẫn giải
a) Ta có: d1 cắt d2 tại điểm A(–2; 0)
b) Tính được:
![\[\widehat {BAC} = 75^\circ ;\widehat {ABC} = 45^\circ ;\widehat {ACB} = 60^\circ \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-24.svg)
c) Chu vi ∆ABC bằng: ![\[3 + 2\sqrt 2 + \sqrt 5 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-25.svg)
và S∆ABC = 3 (đvdt)
Dạng 3. Lập phương trình đường thẳng biết hệ số góc
[content_4]Phương pháp giải
Cách giải: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d): y = ax + b
Nếu (d) đi qua A(x0; y0) và biết hệ số góc thì ta thay tọa độ A(x0; y0) vào (d), từ đó tìm được b và (d)
Bài tập vận dụng
Câu 1. Xác định đường thẳng (d), biết rằng:
a) (d) đi qua điểm A(2; –3) và có hệ số góc bằng ![\[\frac{1}{4}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-26.svg)
b) (d) đi qua B(2; 1) vào tạo với Ox một góc bằng 60°
c) (d) đi qua C(–4; 0) vào tạo với tia Ox một góc 150°
Hướng dẫn giải
Gọi phương trình đường thẳng (d): y = ax + b
a) Vì (d) có hệ số góc là ⇒ a = ⇒ (d): y = x + b
Điểm A(2; –3) ∈ (d) ⇒ b = ![\[ - \frac{7}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-27.svg)
b) Vì (d) tạo với trục Ox một góc bằng 60° ⇒ a =
Vì B(2; 1) ∈ (d) ⇒ b = ![\[1 - 2\sqrt 3 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-28.svg)
c) Tương tự câu b), chú ý:
![\[\begin{gathered} a = - \tan \left( {180^\circ - 150^\circ } \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left( d \right):y = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}x - \frac{{4\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-29.svg)
Câu 2. Xác định đường thẳng (d), biết rằng:
a) (d) đi qua điểm ![\[M\left( {\frac{4}{5}; - 1} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-30.svg)
và có hệ số góc bằng –3
b) (d) đi qua N (–2; –3) vào tạo với Ox một góc bằng 120°
c) (d) đi qua P(0; –2) vào tạo với tia Ox một góc 30°
Hướng dẫn giải
a) Tìm được đường thẳng ![\[\left( d \right):y = - 3x + \frac{7}{5}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-31.svg)
b) Tìm được đường thẳng ![\[\left( d \right):y = - \sqrt 3 x - \sqrt 3 \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-32.svg)
c) Tìm được đường thẳng ![\[\left( d \right):y = \frac{{\sqrt 3 }}{3}x - 2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-33.svg)
Câu 3. Lập phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc bằng ![\[\frac{4}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-34.svg)
và khoảng cách từ O đến (d) bằng ![\[\frac{{12}}{5}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-35.svg)
Hướng dẫn giải
Ta có (d) có hệ số góc bằng ⇒ (d): y = x + b
Gọi A, B là giao điểm của (d) với Oy, Ox ta được:
– Thay tọa độ A vào (d) ta được: y = b
– Thay tọa độ B vào (d) ta được: ![\[x = - \frac{3}{4}b\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-36.svg)
Gọi H là hình chiếu của O lên d. Ta có ∆AOB vuông tại O, có:
![\[\begin{gathered} \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow OH = \frac{{OA \cdot OB}}{{\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} }} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{12}}{5} = \frac{\begin{gathered} \hfill \\ \left| b \right|\left| { - \frac{3}{4}b} \right| \hfill \\ \end{gathered} }{\begin{gathered} \sqrt {{b^2} + {{\left( { - \frac{3}{4}b} \right)}^2}} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } = \frac{3}{5}\left| b \right| \hfill \\ \Leftrightarrow \left| b \right| = 4 \Leftrightarrow b = \pm 4 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-37.svg)
Vậy (d): y = x + 4 hoặc (d): y = x – 4
Câu 4. Lập phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 1 và khoảng cách từ O đến (d) bằng ![\[2\sqrt 2 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-38.svg)
Hướng dẫn giải
Giả sử phương trình đường thẳng có hệ số góc bằng k = 1 là: (d): y = ax + b
Giao điểm của đường thẳng (d) với trục Ox là: A(–b; 0)
Giao điểm của đường thẳng (d) với trục Oy là: B(0; b)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d), khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) chính là: OH =
∆OAB vuông tại O, có đường cao OH, ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow OH = \frac{{OA \cdot OB}}{{\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} }} = 2\sqrt 2 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{\left| { - b} \right|\left| b \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - b} \right)}^2} + {b^2}} }} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{{{{\left| b \right|}^2}}}{{\sqrt 2 \left| b \right|}} = 2\sqrt 2 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left| b \right| = 4 \Leftrightarrow b = \pm 4 \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-39.svg)
Vậy phương trình đường thẳng (d) là: (d): y = x – 4 hoặc (d): y = x + 4
Bài tập trắc nghiệm
[content_5]Câu 1. Nếu đường thẳng ![\[y = \left( {a\sqrt 3 + 1} \right)x - 5\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-40.svg)
đi qua điểm ![\[N\left( {1;2\sqrt 3 - 4} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-41.svg)
thì hệ số góc của nó là?
A. ![\[\sqrt 3 + 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-42.svg)
B. ![\[2\sqrt 3 + 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-43.svg)
C. ![\[ - \sqrt 3 + 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-44.svg)
D. ![\[ - 2\sqrt 3 + 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-45.svg)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Đường thẳng đi qua nên ta có:
![\[2\sqrt 3 - 4 = \left( {a\sqrt 3 + 1} \right) - 5 \Leftrightarrow a = 2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-46.svg)
Với a = 2 ta có đường thẳng ![\[y = \left( {2\sqrt 3 + 1} \right)x - 5\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-47.svg)
. Đường thẳng này có hệ số góc bằng
Câu 2. Cho hai điểm M(3; –4) và N(–2; 6) trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Đường thẳng MN có hệ số góc là
A. –2
B. –4
C. –6
D. –8
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Giả sử đường thẳng (d) đi qua M và N có phương trình (d): y = ax + b
Do đường thẳng (d) đi qua M (3; –4) và N (–2; 6) nên ta có hệ phương trình
![\[\left\{ \begin{gathered} - 4 = a \cdot \left( { - 1} \right) + b \hfill \\ 6 = - 2a + b \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - 2 \hfill \\ b = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-48.svg)
Phương trình đường thẳng (d): y = –2x + 2 ⇒ hệ số góc bằng –2
Câu 3. Cho hai đường thẳng y = (2m – 3)x + 5 và y = (4 – 3m)x – 3. Khi hai đường thẳng song song với nhau, thì hệ số góc của mỗi đường thẳng là?
A. –0,1
B. –0,2
C. –0,3
D. –0,4
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Hai đường thẳng y = (2m – 3)x + 5 và y = (4 – 3m)x – 3 song song với nhau khi và chỉ khi 2m – 3 = 4 – 3m ⇔ m = ![\[\frac{7}{5}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-49.svg)
Khi m = thì hệ số góc của đường thẳng là: ![\[2 \cdot \frac{7}{5} - 3 = - 0,2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-50.svg)
Câu 4. Để đường thẳng ![\[y = \frac{{5m\sqrt 3 }}{3}x - 2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-51.svg)
tạo với trục hoành Ox một góc bằng 60° thì giá trị thích hợp của m là?
A. 0,5
B. 0,8
C. 0,7
D. 0,6
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Ta có: ![\[\frac{{5m\sqrt 3 }}{3} = \tan 60^\circ \Leftrightarrow \frac{{5m\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 3 \Leftrightarrow m = 0,6\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-52.svg)
Câu 5. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy hai điểm M(2; 2) và N(4; 0). Khẳng định nào sau đây sai
A. Phương trình của đường thẳng OM là y = x
B. Phương trình của đường thẳng MN là y = x + 4
C. ∆OMN là tam giác vuông cân
D. SOMN = 4(cm2) (đơn vị đo trên các trục tọa độ là phương trình của đường thẳng OM là centimet)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
A) Phương trình đường thẳng OM có đi qua gốc tọa độ có dạng: y = ax (1)
Tọa độ của điểm M(2; 2) nghiệm đúng (1), suy ra ![\[a = \frac{{{y_M}}}{{{x_M}}} = \frac{2}{2} = 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-53.svg)
Vậy phương trình của OM là: y = x
B) Phương trình của đường thẳng MN có dạng: (d): y = ax + b (2)
Do đường thẳng (d) đi qua hai điểm M(2; 2) và N(4; 0) nên ta có hệ phương trình:
![\[\left\{ \begin{gathered} 2 = 2a + b \hfill \\ 0 = 4a + b \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - 1 \hfill \\ b = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-54.svg)
Do đó phương trình MN là: y = –x + 4
C) Ta có: ![\[\left\{ \begin{gathered} OH = HN = 2 \hfill \\ OH{\text{ }} \bot {\text{ }}HM \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-55.svg)
⇒ OH vừa là đường cao của ∆OMN, vừa là đường trung tuyến của ∆OMN (H là hình chiếu của M trên Ox) ⇒ ∆OMN cân tại M (1)
Ta còn có OM: y = x ⇒ OM là đường phân giác của góc ![\[xOy \Rightarrow \widehat {MON} = 45^\circ {\text{ }}\left( 2 \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-56.svg)
Từ (1), (2) ⇒ ∆OMN vuông cân tại M
D) Ta có diện tích ∆OMN là:
![\[{S_{OMN}} = \frac{1}{2}MH \cdot ON = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\left( {c{m^2}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-57.svg)
Câu 6. Đường thẳng ![\[y = \left( {\frac{2}{3}m + \frac{1}{5}} \right)x + \frac{4}{9}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-58.svg)
tạo với trục Ox một góc 45°. Giá trị thích hợp của m sẽ là số nào?
A. m = 1
B. m = 1,2
C. m = 1,25
D. m = 1,5
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Ta có: (d): y = –4x + 2 (*)
Ta có: tan 45° = 1 ⇒ đường thẳng tạo với trục Ox góc 45° thì
![\[\frac{2}{3}m + \frac{1}{5} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{3}m = \frac{4}{5} \Rightarrow m = 1,2\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-59.svg)
Câu 7. Cho đường thẳng (d): ![\[y = ax - \frac{{9a - 8}}{6}{\text{ }}\left( {a \ne 0} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-60.svg)
. Tồn tại duy nhất một điểm trên mặt phẳng tọa độ mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi giá trị a ≠ 0. Đó là điểm nào?
A. ![\[A\left( { - \frac{3}{2};\frac{4}{3}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-61.svg)
B. ![\[B\left( {\frac{3}{2}; - \frac{4}{3}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-62.svg)
C. ![\[C\left( {\frac{3}{2};\frac{4}{3}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-63.svg)
D. ![\[D\left( { - \frac{3}{2}; - \frac{4}{3}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-64.svg)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Ta có: ![\[y = ax - \frac{{9a - 8}}{6} = ax - \frac{{3a}}{2} + \frac{4}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-65.svg)
![\[ \Leftrightarrow y = a\left( {x - \frac{3}{2}} \right) + \frac{4}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-66.svg)
Nhận thấy nếu ![\[x = \frac{3}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-67.svg)
![\[ \Rightarrow y = a \cdot 0 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-68.svg)
không phụ thuộc vào a
Vậy là điểm duy nhất mà (d) luôn đi qua với mọi a ≠ 0.
Bài tập tự luyện
[content_6]Câu 1. Cho đường thẳng d: y = ax + 3. Tìm hệ số góc của (d) biết rằng:
a) (d) song song với đường thẳng (d’): 3x – y – 1 = 0
b) (d) vuông góc với đường thẳng (d’): ![\[4x + 2y + 3\sqrt 2 = 0\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-69.svg)
c) (d) đi qua điểm A(–1; –2)
Hướng dẫn giải
a) (d’): 3x – y – 1 = 0 ⇔ (d’): y = 3x – 1 ⇒ Tìm được a = 3
b) (d’): ⇔ (d’): ![\[y = 2x + \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-70.svg)
⇒ Tìm được a =
Câu 2. Tìm hệ số góc của (d), biết rằng:
a) (d) đi qua hai điểm ![\[A\left( {\sqrt 2 ;1} \right),B\left( {0;1 + 3\sqrt 2 } \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-71.svg)
b) (d) đi qua ![\[C\left( {\frac{1}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-72.svg)
và đồng quy với hai đường thẳng (d1): y = ![\[\frac{2}{5}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-73.svg)
x + 1; (d2): y = –x + 2
c) (d) đi qua điểm D(0; –1) và điểm cố định của đường thẳng (d3): ![\[y = \frac{{ - m}}{{m - 1}}x - \frac{{3m - 2}}{{m - 1}}{\text{ }}\left( {m \ne 1} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-74.svg)
Hướng dẫn giải
a) Tìm được a = –3
b) Tìm được a = ![\[\frac{{43}}{6}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-75.svg)
c) Chú ý điểm M(–1; –2) là điểm cố định thuộc (d3).
Vậy (d) đi qua 2 điểm M(–1; –2) và D(0; –1).
Vậy hệ số góc của (d) bằng 1.
Câu 3. Cho hai đường thẳng (d1): y = x + 4; (d2): y = –x + 4
a) Xác định các góc giữa (d1) và (d2) với tia Ox (làm tròn đến độ)
b) Xác định góc tạo bởi (d1) và (d2)
c) Gọi giao điểm của (d1) và (d2) với trục hoành theo thứ tự là A, B và giao điểm của hai đường thẳng là C. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là cm).
Hướng dẫn giải
a) Tìm được: α1 = 27°; α2 = 135°
b) Góc giữa (d1) và (d2) là 108°
c) A(–8; 0), B(4; 0), C(0; 4), OA = 8, OB = 4, OC = 4, AB = 12, AC = ![\[4\sqrt 5 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-76.svg)
, BC = ![\[4\sqrt 2 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-77.svg)
Chu vi ∆ABC bằng: ![\[12 + 4\sqrt 5 + 4\sqrt 2 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-78.svg)
(cm) và diện tích ∆ABC bằng 24 (cm2)
Câu 4. Xác định đường thẳng (d), biết rằng:
a) (d) đi qua hai điểm ![\[I\left( {\frac{9}{2};\frac{5}{2}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-79.svg)
và có hệ số góc bằng ![\[\frac{1}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-80.svg)
b) (d) đi qua ![\[J\left( {2\sqrt 3 ;1} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-81.svg)
và tạo với tia Ox một góc 150°
c) (d) đi qua điểm ![\[K\left( {4;\sqrt 3 } \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-82.svg)
và tạo với Ox một góc 60°
Hướng dẫn giải
a) Ta tìm được: ![\[\left( d \right):y = \frac{1}{3}x + 1\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-83.svg)
b) Ta tìm được: ![\[\left( d \right):y = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 3\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-84.svg)
c) Ta tìm được: ![\[\left( d \right):y = \sqrt 3 x - 3\sqrt 3 \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/06/he-so-goc-cua-duong-thang-y-ax-b-85.svg)
