Khái niệm hai tam giác đồng dạng
Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa
+) Hai tam giác gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có ba cặp góc bằng nhau đôi một và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
+) Ta có: △ABC ∼ △A’B’C’
![\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \widehat A = \widehat {A'},\widehat B = \widehat {B'},\widehat C = \widehat {C'} \hfill \\ \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{CA}}{{C'A'}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-1.svg)
+) Tỉ số các cạnh tương ứng ![\[\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{CA}}{{C'A'}} = k\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-2.svg)
gọi là tỉ số đồng dạng.
Tính chất
+) Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó (hoặc nói hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau)
+) Nếu △ABC ∼ △A’B’C’ theo tỉ số k thì △A’B’C’ ∼ △ABC theo tỉ số là ![\[\frac{1}{k}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-3.svg)
+) Nếu △ABC ∼ △A’B’C’ và △A’B’C’ ∼ △A”B”C” thì △ABC ∼ △A”B”C”
Định lý
+) Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
+) Ta có:
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng
Dựa vào định nghĩa, tính chất hoặc định lí đã nêu ở phần tóm tắt lí thuyết.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh BC. Kẻ MN // AB và MP // AC với N ∈ AC, P ∈ AB. Tìm các cặp tam giác đồng dạng.
Hướng dẫn giải
Vì MN // AB và MP // AC nên theo định lí ta có:
+) △CMN ∼ △CBA
+) △BMP ∼ △BCA
Từ đó △CMN ∼ △MBP (tính chất).
Ví dụ 2. Cho hình thang ABCD có AB // CD. Gọi O là giao điểm của AD và BC. Chứng minh: △OAB ∼ △ODC.
Hướng dẫn giải
Xét △OAB, ta có AB // CD nên định lí Ta-let ta có △OAB ∼ △OCD.
Dạng 2. Tìm tỉ số đồng dạng, tính độ dài cạnh, chứng minh đẳng thức cạnh thông qua tam giác đồng dạng.
Sử dụng định nghĩa, các tính chất của hai tam giác đồng dạng.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Cho △ABC và △MNP đồng dạng với nhau theo tỉ số k. Chứng minh tỉ số chu vi của hai tam giác ABC và MNP cũng bằng k.
Hướng dẫn giải
Kí hiệu P(ABC) là chu vi △ABC.
Ta có: △ABC ∼ △MNP theo tỉ số k nên
![\[\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}} = \frac{{BC}}{{NP}} = k\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-4.svg)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
![\[\begin{gathered} k{\text{ }} = \frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}} = \frac{{BC}}{{NP}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} = \frac{{AB + AC + BC}}{{MN + MP + NP}} = \frac{{P\left( {ABC} \right)}}{{P\left( {MNP} \right)}} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-5.svg)
Ví dụ 2. Cho △ABC ∼ △A1B1C1 theo tỉ số k1 và △A1B1C1 ∼ △A2B2C2 theo tỉ số k2. Tìm tỉ số đồng dạng k3 của △ABC và △A2B2C2.
Hướng dẫn giải
Ta có: △ABC ∼ △A1B1C1 nên ![\[{k_1} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-6.svg)
và △A1B1C1 ∼ △A2B2C2 nên ![\[{k_2} = \frac{{{A_1}{B_1}}}{{{A_2}{B_2}}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-7.svg)
Từ đó ta có: ![\[{k_3} = \frac{{AB}}{{{A_2}{B_2}}} = {k_1} \cdot {k_2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-8.svg)
Ví dụ 3. Cho △ABC ∼ △DEF theo tỉ số ![\[\frac{3}{5}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-9.svg)
. Tính chu vi của mỗi tam giác biết hiệu chu vi của hai tam giác là 20 cm.
Hướng dẫn giải
Kí hiệu P(ABC) là chu vi △ABC.
Vì △ABC ∼ △DEF theo tỉ số k = nên ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{{P\left( {ABC} \right)}}{{P\left( {DEF} \right)}} = \frac{3}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{{P\left( {DEF} \right)}}{5} = \frac{{P\left( {ABC} \right)}}{3} = \frac{{P\left( {DEF} \right) - P\left( {ABC} \right)}}{2} = 10 \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-10.svg)
Vậy: P(ABC) = 30 cm và P(DEF) = 50 cm.
Ví dụ 4. Cho △ABC ∼ △DEF. Biết AB = 4 cm, BC = 6 cm, CA = 8 cm và chu vi △DEF là 9 cm. Tính độ dài các cạnh của △DEF.
Hướng dẫn giải
Vì △ABC ∼ △DEF nên ta có:
![\[\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{CA}}{{FD}} = \frac{{P\left( {ABC} \right)}}{{P\left( {DEF} \right)}} = \frac{{18}}{9} = 2\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-11.svg)
Từ đó ta có được:
![\[DE = \frac{{AB}}{2} = 2;{\text{ }}EF = \frac{{BC}}{2} = 3;{\text{ }}FD = \frac{{CA}}{2} = 4\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-12.svg)
Ví dụ 5. Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm F trên cạnh BC, tia DF cắt tia AB tại G.
a) Chứng minh: △GBF ∼ △DCF
b) Biết AB = 6 cm, AD = 5 cm và CF = 3 cm. Tính độ dài AG.
c) Chứng minh: AG ⋅ CF = CD ⋅
Hướng dẫn giải
a) Ta có: BG // DC nên △GBF ∼ △DCF
b) Theo câu a) ta có △GBF ∼ △DCF suy ra:
![\[\begin{gathered} \frac{{BG}}{{CD}} = \frac{{BF}}{{CF}} \hfill \\ \Leftrightarrow BG = \frac{{BF}}{{CF}} \cdot CD = \frac{{AD - CF}}{{CF}} \cdot AB\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow BG = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\left( {cm} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-13.svg)
Từ đó ta có: AG = AB + BG = 6 + 4 = 10 cm.
c) Ta có: BF // AD nên △GBF ∼ △GAD.
Mặt khác ta lại có: △GBF ∼ △DCF (câu a)
Nên ta được △GAD ∼ △DCF. Suy ra:
![\[\frac{{AG}}{{CD}} = \frac{{AD}}{{CF}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-14.svg)
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC.
a) Chứng minh: △BDM ∼ △BCA và △CDN ∼ △CBA.
b) Cho AB = 3 cm, AC = 4 cm và DB = 3 cm. Tính độ dài BM.
c) Chứng minh: BM ⋅ CN = DM ⋅ DN
Hướng dẫn giải
a) Ta có: MD // AC vì MD, AC cùng vuông góc với AB
Và DN // AB vì DN, AB cùng vuông với AC
Nên △BDM ∼ △BCA và △CDN ∼ △CBA.
b) Theo định lí Py-ta-go ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 25 nên BC = 5 cm.
Theo câu a) ta có △BDM ∼ △BCA. Suy ra:
![\[\begin{gathered} \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BD}}{{BC}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow BM = \frac{{BD}}{{BC}} \cdot BA = \frac{3}{5} \cdot 3 = \frac{9}{5} = 1,8\left( {cm} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-15.svg)
c) Theo câu a) ta có: △CDN ∼ △CBA và △BDM ∼ △BCA.
Suy ra: △CDN ∼ △DBM (tính chất). Từ đó ta có:
![\[\frac{{BM}}{{DN}} = \frac{{DM}}{{CN}}{\text{ hay }}BM \cdot CN = DM \cdot DN\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-16.svg)
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB // DC) có CD = 2AB. Gọi E là trung điểm của DC. Chứng minh ba tam giác EDA, ABE và CEB đồng dạng với nhau đôi một. Tìm tỉ số đồng dạng.
Hướng dẫn giải
Ta có: ![\[\left\{ \begin{gathered} AB\parallel EC \hfill \\ AB = EC = \frac{{CD}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-17.svg)
⇒ ABCE là hình bình hành.
Tương tự ta có ABED cũng là hình bình hành.
Suy ra: △EDA = △ABE = △CEB nên 3 tam giác EDA, ABE và CEB đồng dạng với nhau đôi một với cùng tỉ số k = 1.
Bài 2. Cho tam giác ABC có BC = 13 cm, CA = 12 cm, AB = 5 cm. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP có cạnh nhỏ nhất là 2,5 cm. Tính các cạnh còn lại của tam giác MNP.
Hướng dẫn giải
Ta có: △ABC ∼ △MNP nên
![\[\begin{gathered} k = \frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}} = \frac{{BC}}{{NP}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow k = \frac{5}{{MN}} = \frac{{12}}{{MP}} = \frac{{13}}{{NP}}{\text{ }}\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-18.svg)
Vì cạnh nhỏ nhất của △ABC là AB = 5 cm nên cạnh nhỏ nhất tương ứng của △MNP là cạnh MN = 2,5 cm.
Khi đó: ![\[k = \frac{5}{{2,5}} = 2\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-19.svg)
. Từ (*) suy ra:
![\[MP = \frac{{12}}{2} = 6\left( {cm} \right);{\text{ }}NP = \frac{{13}}{2} = 6,5\left( {cm} \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-20.svg)
Bài 3. Cho tam giác ABC, lấy D trên cạnh BC sao cho DB = 2DC. Kẻ DE // AB (E ∈ AC) và DF // AC (F ∈ AB).
a) Tìm các cặp tam giác đồng dạng và tìm tỉ số đồng dạng.
b) Tính chu vi các tam giác CDE, BDF biết chu vi tam giác ABC bằng 12 cm.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
+) DE // AB nên △CDE ∼ △CBA theo tỉ số ![\[k = \frac{{CD}}{{CB}} = \frac{1}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-21.svg)
+) DF // AC nên △BDF ∼ △BCA theo tỉ số ![\[k = \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{2}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-22.svg)
+) △CDE ∼ △DBF (tính chất) theo tỉ số ![\[k = \frac{{DC}}{{DB}} = \frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-23.svg)
b) Kí hiệu P(ABC) là chu vi △ Ta có:
+) △CDE ∼ △CBA theo tỉ số k = ![\[\frac{1}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-24.svg)
nên ![\[\frac{{P\left( {CDE} \right)}}{{P\left( {CBA} \right)}} = \frac{1}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-25.svg)
Suy ra: P(CDE) = ⋅ P(ABC) = ⋅ 12 = 4 cm.
+) △BDF ∼ △BCA theo tỉ số k = ![\[\frac{2}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-26.svg)
nên ![\[\frac{{P\left( {BDF} \right)}}{{P\left( {BCA} \right)}} = \frac{2}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-27.svg)
Suy ra: P(BDF) = ⋅ P(ABC) = ⋅ 12 = 8 cm.
Bài 4. Cho hình thoi ABCD, điểm M thuộc cạnh BC. Tia DM cắt tia AB tại N. Chứng minh △ADN ∼ △CMD, từ đó suy ra AN ⋅ CM = AB2.
Hướng dẫn giải
Ta có:
+) BM // AD nên △NBM ∼ △NAD.
+) BN // CD nên △NBM ∼ △DCM.
Suy ra △NAD ∼ △DCM (tính chất) theo tỉ số
![\[\frac{{AN}}{{CD}} = \frac{{AD}}{{CM}}{\text{ hay }}AN \cdot CM = CD \cdot AD = A{B^2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-28.svg)
(vì AB = CD = AD – do ABCD là hình thoi)
Trường hợp đồng dạng thứ nhất
Tóm tắt lý thuyết
Định lí. Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Bài tập và các dạng toán
Dạng 3. Chứng minh hai tam giác đồng dạng
Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta lập tỉ số các cạnh tương ứng của hai tam giác và chứng minh chúng bằng nhau.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Hai tam giác mà các cạnh có độ dài như sau có đồng dạng với nhau không? Vì sao?
a) 6 cm, 9 cm, 12 cm và 24 cm, 18 cm, 12 cm;
b) △ABC và △DEF có ![\[\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{BC}}{5}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-29.svg)
và ![\[\frac{{DE}}{6} = \frac{{DF}}{8} = \frac{{EF}}{9}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-30.svg)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[\frac{6}{{12}} = \frac{9}{{18}} = \frac{{12}}{{24}} = \frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-31.svg)
nên hai tam giác đồng dạng.
b) Đặt: ![\[\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{BC}}{5} = m\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-32.svg)
và ![\[\frac{{DE}}{6} = \frac{{DF}}{8} = \frac{{EF}}{9} = n\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-33.svg)
Ta có: AB = 3m, AC = 4m, BC = 5m và DE = 6n, DF = 8n, EF = 9n.
Lập tỉ số các cặp cạnh tương ứng, dẫn tới kết luận hai tam giác không đồng dạng.
Ví dụ 2. Hai tam giác mà các cạnh có độ dài như sau có đồng dạng với nhau không? Vì sao?
a) 4 cm, 5 cm, 6 cm và 12 cm, 15 cm, 18 cm;
b) △ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm và △MNP vuông tại M có MN = 4 cm, MP = 3 cm.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[\frac{4}{{12}} = \frac{5}{{15}} = \frac{6}{{18}} = \frac{1}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-34.svg)
nên hai tam giác đồng dạng.
b) Dùng định lý Py-ta-go tính được BC = 10 cm, NP = 5 cm.
Lập tỉ số các cặp cạnh tương ứng, ta có △ABC ∼ △MPN.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.
a) Chứng minh △DEF ∼ △ABC, tìm tỉ số đồng dạng.
b) Biết chu vi △ABC bằng 26 cm. Tìm chu vi △DEF.
Hướng dẫn giải
a) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta có:
![\[\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DF}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-35.svg)
⇒ △DEF ∼ △ABC, tỉ số đồng dạng bằng ![\[\frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-36.svg)
b) Tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng, từ đó tìm được chu vi △DEF là 13 cm.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:
a) △ABC ∼ △MNP, tìm tỉ số đồng dạng.
b) Tỉ số chu vi của △ABC và △MNP bằng 2.
Hướng dẫn giải
a) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta có
![\[\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{MP}}{{AC}} = \frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-37.svg)
⇒ △ABC ∼ △MNP, tỉ số đồng dạng bằng
b) Vì (cmt)
![\[ \Rightarrow \frac{{MN + NP + MP}}{{AB + BC + AC}} = \frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-39.svg)
(tính chất dãy tỉ số bằng nhau).
Từ đó ta có: ![\[\frac{{{P_{MNP}}}}{{{P_{ABC}}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{{P_{ABC}}}}{{{P_{MNP}}}} = 2\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-40.svg)
Dạng 4. Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất để tính độ dài các cạnh hoặc chứng minh các góc bằng nhau
Vận dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Trên cạnh AC lấy D sao cho AD = 4,5 cm. Chứng minh:
a) △ABC ∼ △ADB
b) ![\[\widehat {ABC} = \widehat {ADB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-41.svg)
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng định lý Py-ta-go tính được BC = 10 cm, BD = 7,5 cm.
Bởi vậy: ![\[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{BC}}{{BD}} = \frac{4}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-42.svg)
⇒ △ABC ∼ △ADB (c.c.c)
b) Từ câu a) suy ra: (góc tương ứng)
Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD có AB = 8 cm, BC = 3 cm, CD = 2 cm, AD = 6 cm và BD = 4 cm. Chứng minh:
a) △ABD ∼ △BDC
b) ABCD là hình thang
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AD}}{{BC}} = 2\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-43.svg)
⇒ △ABD ∼ △BDC (c.c.c)
b) Từ câu a) ![\[ \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {BDC} \Rightarrow AB\parallel DC\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-44.svg)
⇒ ABCD là hình thang.
Bài tập về nhà
Bài 1. Tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = 3 cm, AC = 5 cm và BC = 7 cm. Tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC có độ dài cạnh nhỏ nhất là 1 cm. Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác MNP.
Hướng dẫn giải
Tỉ số đồng dạng của hai tam giác là , từ đó tính được:
MN = 1 cm, NP = ![\[\frac{7}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-45.svg)
cm, MP = ![\[\frac{5}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-46.svg)
cm.
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 10 cm, AC = 20 cm. Trên AC lấy M sao cho AM = 5 cm.
a) Tính độ dài BC, BM.
b) Chứng minh: △ABC ∼ △AMB.
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng định lý Py-ta-go tính được:
![\[BC = 10\sqrt 5 \left( {cm} \right);{\text{ }}BM = 5\sqrt 5 \left( {cm} \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-47.svg)
b) Ta có: ![\[\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-48.svg)
⇒ △ABC ∼ △AMB (c.c.c).
Bài 3. Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại O. Gọi P, Q, R theo thứ tự là trung điểm của OA, OB, OC. Chứng minh: △PQR ∼ △ABC.
Hướng dẫn giải
Theo tính chất đường trung bình của tam giác ABC, suy ra:
![\[\frac{{PQ}}{{AB}} = \frac{{PR}}{{AC}} = \frac{{QR}}{{BC}} = \frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-49.svg)
Vì vậy △PQR ∼ △ABC (c.c.c).
Trường hợp đồng dạng thứ hai
Tóm tắt lý thuyết
Định lí. Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.
Bài tập và các dạng toán
Dạng 5. Chứng minh hai tam giác đồng dạng
+) Xét hai tam giác, chọn ra hai góc bằng nhau và chứng minh (nếu cần).
+) Lập tỉ số hai cạnh tạo nên mỗi góc đó, rồi chứng minh chúng bằng nhau.
+) Kết luận hai tam giác đồng dạng.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Cho ![\[\widehat {xOy}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-50.svg)
trên tia Ox lấy các điểm A, C; trên tia Oy lấy các điểm B, D. Chứng minh: △AOD ∼ △BOC biết rằng:
a) ![\[\frac{{OA}}{{OD}} = \frac{{OB}}{{OC}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-51.svg)
b) ![\[OA \cdot OC = OB \cdot OD\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-52.svg)
Hướng dẫn giải
a) Xét △AOD và △BOC có
![\[\widehat O\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-53.svg)
chung,
⇒ △AOD ∼ △BOC (c.c.c).
b)
⇒
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2. Cho △ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm. Trên cạnh AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = 2 cm, AN = 3 cm. Chứng minh: △AMN ∼ △ABC.
Hướng dẫn giải
Ta có: ![\[\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-54.svg)
Xét △AMN và △ABC có:
![\[\widehat A\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-55.svg)
chung, ![\[\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-56.svg)
⇒ △AMN ∼ △ABC (c.g.c).
Ví dụ 3. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Biết AB = 9 cm, BD = 12 cm và DC = 16 cm. Chứng minh: △ABD ∼ △BDC.
Hướng dẫn giải
Ta có: ![\[\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-57.svg)
và ![\[\frac{{BA}}{{BD}} = \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{3}{4}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-58.svg)
⇒ △ABD ∼ △BDC (c.g.c).
Ví dụ 4. Cho △ABC có AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 9 cm. Trên cạnh BC lấy D sao cho CD = 4 cm. Chứng minh: △CAD ∼ △CBA.
Hướng dẫn giải
Xét △CAD và △CBA có:
![\[\left\{ \begin{gathered} \frac{{CD}}{{CA}} = \frac{{CA}}{{CB}} = \frac{2}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \widehat {DCA} = \widehat {ACB} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-59.svg)
⇒ △CAD ∼ △CBA (c.g.c).
Dạng 6. Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ hai để tính độ dài cạnh hoặc chứng minh các góc bằng nhau
Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ hai (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 8 cm. Trên cạnh AC lấy D sao cho AD = 2 cm. Chứng minh
a) ![\[\widehat {ABD} = \widehat {ACB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-60.svg)
b) BC = 2BD
Hướng dẫn giải
a) Xét △ABD và △ACB có
![\[\widehat A\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-61.svg)
chung, ![\[\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-62.svg)
⇒ △ABD ∼ △ACB (c.g.c), suy ra
b) Từ câu a), ta có: ![\[\frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}} = 2\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-63.svg)
⇒ Đpcm
Ví dụ 2. Cho và Oz là tia phân giác của . Trên các tia Ox, Oz, Oy lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = 1 cm, OB = 2 cm và OC = 4 cm.
a) Chứng minh: ![\[\widehat {OAB} = \widehat {OBC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-64.svg)
b) Biết AB = 1,5 cm, tính độ dài BC
Hướng dẫn giải
a) Vì Oz là phân giác của nên ![\[\widehat {AOB} = \widehat {BOC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-65.svg)
Xét △OAB và △OBC có:
![\[\left\{ \begin{gathered} \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OC}} = \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \widehat {AOB} = \widehat {BOC} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-66.svg)
⇒ △OAB ∼ △OBC (c.g.c), suy ra
b) Từ câu a), ta có:
![\[\frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{OB}}{{OA}} = 2 \Rightarrow BC = 3{\text{ }}cm\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-67.svg)
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 1 cm, AC = 3 cm. Trên cạnh AC lấy D, E sao cho AD = DE = EC. Chứng minh
a) △DBE ∼ △DCB
b) ![\[\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = 45^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-68.svg)
Hướng dẫn giải
a) Tính được DB2 = 2, từ đó ta có:
![\[D{B^2} = DE \cdot DC \Rightarrow \frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{DC}}{{DB}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-69.svg)
⇒ △DBE ∼ △DCB (c.g.c).
b) Từ câu a), ta có ![\[\widehat {AEB} = \widehat {DBC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-70.svg)
![\[ \Rightarrow \widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \widehat {DBC} + \widehat {ACB} = \widehat {ADB} = 45^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-71.svg)
Ví dụ 4. Hình thang ABCD có ![\[\widehat A = \widehat D = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-72.svg)
, AB = 10 cm, CD = 30 cm và AD = 35 cm. Trên cạnh AD lấy M sao cho AM = 15 cm. Chứng minh:
a) △ABM ∼ △DMC
b) ![\[\widehat {BMC} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-73.svg)
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh: ![\[\frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{DM}}{{DC}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-74.svg)
⇒ △ABM ∼ △DMC (c.g.c).
b) Từ câu a), ta có ![\[\widehat {AMB} = \widehat {DCM}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-75.svg)
, do đó:
![\[\widehat {AMB} + \widehat {DMC} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-76.svg)
⇒ Đpcm
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 6 cm. Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = 1 cm. Trên tia đối của tia AB lấy E sao cho AE = 2 cm. Chứng minh: △ABC ∼ △ADE.
Hướng dẫn giải
Ta có: ![\[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AE}} = \frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-77.svg)
. Xét △ABC và △ADE có:
![\[\widehat {DAE} = \widehat {BAC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-78.svg)
(đối đỉnh)
![\[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AE}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-79.svg)
(cmt)
⇒ △ABC ∼ △ADE (c.g.c).
Bài 2. Cho tam giác MNP có MN = 12 cm, MP = 15 cm, NP = 18 cm. Trên các cạnh MN, MP lần lượt lấy R, S sao cho MR = 10 cm và MS = 8 cm. Tính độ dài đoạn thẳng RS.
Hướng dẫn giải
Ta có: ![\[\frac{{MS}}{{MN}} = \frac{{MR}}{{MP}} = \frac{2}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-80.svg)
.
Xét △MRS và △MPN, có:
![\[\widehat M\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-81.svg)
chung và ![\[\frac{{MS}}{{MN}} = \frac{{MR}}{{MP}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-82.svg)
(cmt)
⇒ △MRS ∼ △MPN (c.g.c)
Suy ra: ![\[\frac{{RS}}{{PN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow RS = 12{\text{ }}cm\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-83.svg)
Bài 3. Cho tam giác AHB vuông tại H có HA = 4 cm, HB = 6 cm. Trên tia đối của tia HA lấy điểm C sao cho HC = 9 cm. Chứng minh:
a) △AHB ∼ △BHC
b) △ABC vuông
Hướng dẫn giải
a) Xét △AHB và △BHC, có:
![\[\left\{ \begin{gathered} \widehat {AHB} = \widehat {BHC} = 90^\circ \hfill \\ \frac{{HB}}{{HA}} = \frac{{HC}}{{HB}} = \frac{2}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-84.svg)
⇒ △AHB ∼ △BHC (c.g.c).
b) Từ câu a), suy ra ![\[\widehat {ABH} = \widehat {ACB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-85.svg)
nên ![\[\widehat {ABH} + \widehat {CBH} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-86.svg)
hay ![\[\widehat {ABC} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-87.svg)
⇒ △ABC vuông tại B.
Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = 9 cm, AC = 12 cm, BC = 7 cm. Trên tia đối của tia BA lấy D sao cho BD = BC.
a) Chứng minh △ABC ∼ △ACD.
b) Tính độ dài đoạn thẳng CD.
c) Chứng minh: ![\[\widehat {ABC} = 2\widehat {ACB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-88.svg)
Hướng dẫn giải
a) Tính được AD = 16 cm.
Xét △ABC và △ACD, có:
![\[\left\{ \begin{gathered} \widehat A{\text{ chung}} \hfill \\ \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-89.svg)
⇒ △ABC ∼ △ACD (c.g.c).
b) Từ câu a), ta có:
![\[\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow CD = \frac{{7 \cdot 12}}{9} = \frac{{28}}{3}cm\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-90.svg)
c) Chú ý △BCD cân tại B và kết quả câu a), ta có:
![\[\widehat {BCD} = \widehat {BDC} = \widehat {ACB} \Rightarrow \widehat {ABC} = 2\widehat {ADC} = 2\widehat {ACB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-90a.svg)
Trường hợp đồng dạng thứ ba
Tóm tắt lý thuyết
Định lí. Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Bài tập và các dạng toán
Dạng 7. Chứng minh hai tam giác đồng dạng.
Chứng minh hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có ![\[\widehat {DAB} = \widehat {DBC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-91.svg)
. Chứng minh: △ABD ∼ △BDC.
Hướng dẫn giải
Ta có: ![\[\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-92.svg)
⇒ △ABD ∼ △BDC (g.g)
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, D thuộc cạnh AC sao cho ![\[\widehat {ABD} = \widehat C\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-93.svg)
. Chứng minh: △ABC ∼ △ADB.
Hướng dẫn giải
Xét △ABC và △ADB, có:
chung và
⇒ △ABC ∼ △ADB (g.g).
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A ![\[\left( {\widehat A < 90^\circ } \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-94.svg)
, O thuộc cạnh BC. Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho ![\[\widehat {MON} = \widehat {ABC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-95.svg)
. Chứng minh: △BMO ∼ △CON.
Hướng dẫn giải
Ta có: ![\[\widehat {BMO} = 180^\circ - \widehat {ABC} - \widehat {MOB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-96.svg)
Mà
![\[ \Rightarrow \widehat {BMO} = 180^\circ - \widehat {MON} - \widehat {MOB} = \widehat {CON}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-97.svg)
Chú ý: ![\[\widehat {MBO} = \widehat {OCN}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-98.svg)
⇒ △BMO ∼ △CON (g.g).
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC, kẻ đường phân giác AD. Trên tia đối của DA lấy điểm F sao cho ![\[\widehat {FBD} = \widehat {BAD}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-100.svg)
. Chứng minh: △ABF ∼ △ADC.
Hướng dẫn giải
Ta có: ![\[\widehat {BAF} = \widehat {DAC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-101.svg)
, sử dụng tính chất góc ngoài thu được
![\[\begin{gathered} \widehat {ADC} = \widehat {ABD} + \widehat {BAD} = \widehat {ABD} + \widehat {FBD}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {ABF} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-102.svg)
Suy ra: △ABF ∼ △ADC (g.g).
Dạng 8. Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba để tính độ dài các cạnh, chứng minh hệ thức cạnh, hoặc chứng minh các góc bằng nhau.
Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau, các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Trên AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho ![\[\widehat {ACD} = \widehat {ABE}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-103.svg)
và CD cắt BE tại O. Chứng minh:
a) AD ⋅ AB = AE ⋅ AC
b) OC ⋅ OD = OB ⋅ OE
Hướng dẫn giải
a) Xét △ACD và △ABE, có:
chung và
⇒ △ACD ∼ △ABE (g.g).
Từ đó suy ra: AD ⋅ AB = AE ⋅ AC
b) Xét △OBD và △OCE, có:
![\[\widehat {BOD} = \widehat {EOC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-104.svg)
(đối đỉnh)
![\[\widehat {OBD} = \widehat {OCE}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-105.svg)
⇒ △OBD ∼ △OCE (g.g).
Từ đó suy ra: OC ⋅ OD = OB ⋅ OE
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:
a) AB2 = BH ⋅ BC
b) AH2 = HB ⋅HC
Hướng dẫn giải
a) Xét △ABH và △CBA, có:
![\[\widehat B\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-106.svg)
chung và ![\[\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-107.svg)
⇒ △ABH ∼ △CBA (g.g)
![\[ \Rightarrow \frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{BC}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = BH \cdot BC\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-108.svg)
b) Xét △AHB và △CHA, có:
![\[\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-109.svg)
và ![\[\widehat {BAH} = \widehat C\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-110.svg)
(theo a)
⇒ △AHB ∼ △CHA (g.g).
![\[ \Rightarrow \frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{HC}}{{AH}} \Rightarrow A{H^2} = HB \cdot HC\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-111.svg)
Ví dụ 3. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có ![\[\widehat {DAB} = \widehat {DBC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-112.svg)
. Tính độ dài cạnh BD biết AB = 4 cm, DC = 9 cm.
Hướng dẫn giải
Ta có: ![\[\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-113.svg)
⇒ △ABD ∼ △BDC (g.g).
![\[\begin{gathered} \Rightarrow \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DC}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow BD = \sqrt {AB \cdot DC} = \sqrt {4 \cdot 9} = 6{\text{ }}cm \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-114.svg)
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có ![\[\widehat A > \widehat C\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-115.svg)
. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho ![\[\widehat {BAD} = \widehat C\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-116.svg)
. Biết AB = 5 cm, BC = 10 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC.
Hướng dẫn giải
Ta có: △BAD ∼ △BCA (g.g).
![\[\begin{gathered} \Rightarrow \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BA}}{{BC}} \Rightarrow BD = \frac{{B{A^2}}}{{BC}} = \frac{{{5^2}}}{{10}} = 2,5{\text{ }}cm\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow DC = BC - BD = 10 - 2,5 = 7,5{\text{ }}cm \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-117.svg)
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho ![\[\widehat {ANM} = \widehat {ACB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-118.svg)
. Chứng minh:
a) △AMN ∼ △ABC
b) AM ⋅ AC = AN ⋅ AB
Hướng dẫn giải
a) Xét △AMN và △ABC có chung và
⇒ △AMN ∼ △ABC (g.g).
b) Từ kết quả câu a), ta có:
![\[\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AM \cdot AC = AN \cdot AB\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-119.svg)
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của cắt AH, AC lần lượt tại D, E.
a) Chứng minh: △BAD ∼ △BCE và △BHD ∼ △
b) Chứng minh: ![\[\frac{{DH}}{{DA}} = \frac{{EA}}{{EC}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-120.svg)
c) Biết AB = 3 cm, BC = 5 cm. Tính độ dài HB, HC.
Hướng dẫn giải
a) Xét △BAD và △BCE, có:
![\[\widehat {ABD} = \widehat {EBC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-121.svg)
và ![\[\widehat {BAD} = \widehat {ECB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-122.svg)
(góc có cặp cạnh tương ứng vuông góc)
⇒ △BAD ∼ △BCE (g.g)
Xét △BHD và △BAE, có:
![\[\widehat {BHD} = \widehat {BAE} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-123.svg)
và ![\[\widehat {HBD} = \widehat {ABE}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-124.svg)
⇒ △BAD ∼ △BCE (g.g).
b) Từ kết quả câu a), ta có:
![\[\frac{{DH}}{{EA}} = \frac{{BD}}{{BE}} = \frac{{DA}}{{CE}} \Rightarrow \frac{{DH}}{{DA}} = \frac{{EA}}{{EC}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-125.svg)
c) Xét △ABH và △CBA có chung và ![\[\widehat {AHB} = \widehat {BHC} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-126.svg)
⇒ △AMN ∼ △ABC (g.g)
![\[\begin{gathered} \Rightarrow \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{BA}}{{BC}} \hfill \\ \Rightarrow BH = \frac{{B{A^2}}}{{BC}} = \frac{{{3^2}}}{5} = \frac{9}{5} = 1,8{\text{ }}cm\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow HC = BC - BH = 5 - 1,8 = 3,2{\text{ }}cm \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-127.svg)
Bài 3. Cho tam giác ABC có ![\[\widehat A = 60^\circ ,\widehat B = 80^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-128.svg)
. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC. Chứng minh:
a) △ABC ∼ △ACD
b) AC2 = AB2 + AB ⋅ BC
Hướng dẫn giải
a) Tính được ![\[\widehat {ACB} = 40^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-129.svg)
, lại có △BCD cân tại B nên
![\[\widehat {BCD} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = 40^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-130.svg)
⇒ △ABC ∼ △ACD (g.g)
b) Từ kết quả câu a), ta có:
AC2 = AB ⋅ AD = AB⋅(AB + BC) = AB2 + AB ⋅ BC
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Chứng minh AI2 = AD ⋅ AE.
Hướng dẫn giải
Ta có: AI là tia phân giác của ![\[\widehat {BAC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-131.svg)
![\[ \Rightarrow \widehat {IAD} = \widehat {IAE} = 45^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-132.svg)
Theo tính chất góc ngoài
![\[\begin{gathered} \widehat {AID} = \widehat {IAB} + \widehat {IBC} = 45^\circ + \frac{{\widehat {ABC}}}{2} \hfill \\ \widehat {AEI} = \widehat {ABC} + \widehat {ICB} = 45^\circ + \frac{{\widehat {ABC}}}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-133.svg)
Do đó: △ADI ∼ △AIE
⇒ AI2 = AD ⋅ AE
Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
Tóm tắt lý thuyết
Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông
Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:
+) Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia.
+) Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.
Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng
+) Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
+) Tỉ số đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
+) Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
Bài tập và các dạng toán
Dạng 9. Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng.
Có thể sử dụng một trong các cách sau:
+) Áp dụng trường hợp đồng dạng của tam giác thường vào tam giác vuông.
+) Sử dụng dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Kẻ các đường cao BD, CE, cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) △ABD ∼ △ACE
b) △AEH ∼ △CEB
Hướng dẫn giải
a) Xét △ABD và △ACE, có:
chung và ![\[\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-134.svg)
⇒ △ABD ∼ △ACE (g.g)
b) H là trực tâm △ABC
⇒ AH ⊥ BC, từ đó ![\[\widehat {EAH} = \widehat {BCE}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-135.svg)
(cùng phụ ![\[\widehat {ABC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-136.svg)
)
⇒ △AEH ∼ △CEB (g.g)
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Đường thẳng qua D vuông góc với BC cắt đoạn AC tại E và cắt BA kéo dài tại F. Chứng minh:
a) △EAF ∼ △EDC
b) △AEF ∼ △ABC
Hướng dẫn giải
a) Xét △EAF và △EDC, có:
![\[\widehat {AEF} = \widehat {DEC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-137.svg)
và ![\[\widehat {EAF} = \widehat {EDC} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-138.svg)
⇒ △EAF ∼ △EDC (g.g).
b) Từ kết quả câu a), suy ra:
![\[\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-139.svg)
(góc tương ứng)
⇒ △AEF ∼ △ABC.
Dạng 10. Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác vuông tính độ dài cạnh, chứng minh hệ thức cạnh hoặc chứng minh các góc bằng nhau.
Sử dụng trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau, các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH. Chứng minh:
a) HA2 = HB ⋅ HC
b) △AHN ∼ △CHM
c) AN ⊥ CM
Hướng dẫn giải
a) Ta có: △AHB ∼ △CHA (g.g)
⇒ HA2 = HB ⋅ HC.
b) Từ kết quả câu a) và HB = 2HN, HA = 2HM
Suy ra: ![\[\frac{{HB}}{{2HA}} = \frac{{HA}}{{2HC}} \Rightarrow \frac{{HN}}{{HA}} = \frac{{HM}}{{HC}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-140.svg)
⇒ △AHN ∼ △CHM (g.g)
c) Từ câu b) ta có:
![\[\begin{gathered} \widehat {HAN} = \widehat {MCN} \Rightarrow \widehat {MCN} + \widehat {ANC} = 90^\circ \hfill \\ \Rightarrow AN{\text{ }} \bot {\text{ }}CM\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-141.svg)
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Chứng minh
a) HE ⋅ HC = HD ⋅ HB
b) △HDE ∼ △HCB
c) △ADE ∼ △ABC
Hướng dẫn giải
a) Ta có: △HBE ∼ △HCD (g.g)
⇒ HE ⋅ HC = HD ⋅ HB
b) Từ kết quả câu a), ta có: ![\[\frac{{HE}}{{HB}} = \frac{{HD}}{{HC}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-142.svg)
⇒ △HDE ∼ △HCB (c.g.c)
c) Từ kết quả câu b), ta có: ![\[\widehat {HDE} = \widehat {HCB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-143.svg)
. Từ đó:
![\[\widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat {HCB} = 90^\circ - \widehat {HDE} = \widehat {ADE}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-144.svg)
⇒ △ADE ∼ △ABC (g.g)
Ví dụ 3. Hình thang ABCD có ![\[\widehat A = \widehat D = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-145.svg)
, AB = 6 cm, CD = 12 cm và AD = 17 cm. Trên đoạn AD lấy E sao cho AE = 8 cm. Chứng minh: ![\[\widehat {BEC} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-146.svg)
Hướng dẫn giải
Xét △ABE và △EDC, có:
![\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \widehat A = \widehat D = 90^\circ \hfill \\ \frac{{AB}}{{ED}} = \frac{{AB}}{{AD - AE}} = \frac{6}{{17 - 8}} = \frac{2}{3} \hfill \\ \frac{{AE}}{{DC}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{ED}} = \frac{{AE}}{{DC}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-147.svg)
⇒ △ABE ∼ △EDC (c.g.c)
![\[ \Rightarrow \widehat {AEB} = \widehat {DCE} \Rightarrow \widehat {AEB} + \widehat {DEC} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-148.svg)
Vậy
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 2 cm, BC = 3 cm. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A, kẻ tia Cx vuông góc với CB. Trên tia Cx lấy D sao cho BD = 4,5 cm. Chứng minh BD song song với AC.
Hướng dẫn giải
Ta có: ![\[\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BA}} = \frac{3}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-149.svg)
⇒ △ABC ∼ △CDB (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
![\[ \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {CBD} \Rightarrow BD\parallel AC\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-150.svg)
Dạng 11. Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng.
Sử dụng định lí tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.
a) Chứng minh: △AMN ∼ △ACB
b) Biết AH = 2 cm, BC = 5 cm. Tính diện tích △AMN.
Hướng dẫn giải
a) Tứ giác AMHN là hình chữ nhật, bởi vậy ![\[\widehat {AMN} = \widehat {AHN}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-151.svg)
Ta có: ![\[\widehat {AHN} = \widehat {ACB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-152.svg)
(cùng phụ ![\[\widehat {HAC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-153.svg)
)
![\[ \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {ACB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-154.svg)
⇒ △AMN ∼ △ACB (g.g).
b) Ta có: SABC = ⋅ BC ⋅ AH = ⋅ 5 ⋅ 2 = 5 cm2
Mặt khác từ kết quả câu a), ta có:
![\[\frac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{M{N^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{H^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{4}{{25}} \Rightarrow {S_{AMN}} = \frac{4}{5}c{m^2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-155.svg)
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy D thuộc cạnh AC, kẻ DM ⊥ BC (M ∈ BC). Tia MD cắt BA tại N.
a) Chứng minh: △BAM ∼ △BCN.
b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác BAM và BCN.
Hướng dẫn giải
a) Xét △BAC và △BMN có chung và ![\[\widehat {BAC} = \widehat {BMN} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-156.svg)
⇒ △BAC ∼ △BMN (g.g)
![\[ \Rightarrow \frac{{BA}}{{BM}} = \frac{{BC}}{{BN}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-157.svg)
b) △ABC vuông cân tại A nên BC2 = 2AB2
Do đó: ![\[\frac{{{S_{BAM}}}}{{{S_{BCN}}}} = \frac{{B{A^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-158.svg)
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, BC = 9 cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD.
a) Chứng minh: △AHB ∼ △BCD
b) Tính độ dài đoạn thẳng AH.
c) Tính diện tích tam giác AHB.
Hướng dẫn giải
a) ![\[\widehat {ABH} = \widehat {BDC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-159.svg)
(so le trong)
⇒ △AHB ∼ △BCD (g.g)
b) Từ kết quả câu a), ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{{AH}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{BD}} \Rightarrow AH = \frac{{AB \cdot BC}}{{BD}} = \frac{{AB \cdot BC}}{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }} \hfill \\ \Rightarrow AH = \frac{{12 \cdot 9}}{{\sqrt {{{12}^2} + {9^2}} }} = 7,2{\text{ }}cm\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-160.svg)
c) ![\[BH = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{12}^2} - 7,{2^2}} = 9,6\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-161.svg)
![\[ \Rightarrow {S_{AHB}} = \frac{1}{2}AH \cdot BH = \frac{{7,2 \cdot 9,6}}{2} = 34,56\left( {c{m^2}} \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-162.svg)
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 9 cm, BC = 24 cm. Đường trung trực của BC cắt đường thẳng AC tại D, cắt BC tại M.
a) Chứng minh: △CMD ∼ △CAB
b) Tính độ dài đoạn thẳng CD.
Hướng dẫn giải
a) Xét △CMD và △CAB, có:
![\[\widehat C\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-163.svg)
chung
![\[\widehat {ABC} = \widehat {CDM}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-164.svg)
(hai góc có cặp cạnh tương ứng vuông góc)
⇒ △CMD ∼ △CAB (g.g)
b) Từ kết quả câu a), ta có:
![\[\frac{{CD}}{{CM}} = \frac{{CB}}{{CA}} \Rightarrow CD = \frac{{CB \cdot CM}}{{CA}} = \frac{{24 \cdot 12}}{9} = 32\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-165.svg)
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Kẻ AM ⊥ BC, AN ⊥ DC với M thuộc BC, N thuộc DC. Chứng minh:
a) ![\[\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AD}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-166.svg)
b) △MAN ∼ △ABC
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[\widehat B = \widehat D\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-167.svg)
⇒ △AMB ∼ △AND (g.g)
⇒
b) Từ kết quả câu a), ta có:
![\[\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{BA}}{{BC}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-167a.svg)
(do BC = AD)
![\[\widehat B = \widehat {MAN}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-168.svg)
(cùng phụ ![\[\widehat {BAM}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-169.svg)
)
⇒ △MAN ∼ △ABC (c.g.c)
Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Chứng minh: AH2 = AD ⋅ AB
b) Chứng minh: AE ⋅ AC = AD ⋅ AB, rồi suy ra △ADE ∼ △ACB.
c) Biết AH = 5 cm, DE = 4 cm, BC = 8 cm. Tính diện tích tam giác ADE.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: △ADH ∼ △AHB (g.g)
⇒ AH2 = AD ⋅ AB.
b) Làm tương tự câu a), thu được
![\[\begin{gathered} A{H^2} = AE \cdot AC \hfill \\ \Rightarrow AE \cdot AC = AD \cdot AB\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-170.svg)
⇒ △ADE ∼ △ACB (c.g.c).
c) Ta có: SABC = ⋅ BC ⋅ AH = ⋅ 8 ⋅ 5 = 20 cm2
Mà ![\[\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{ACB}}}} = \frac{{D{E^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {S_{ADE}} = 5{\text{ }}c{m^2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-171.svg)
Bài tập và các dạng toán
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) △HBF ∼ △HCE.
b) HB ⋅ HE = HF ⋅ HC = HA ⋅ HD
c) EH là tia phân giác của góc ![\[\widehat {DEF}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-172.svg)
.
Hướng dẫn giải
a) △HBF ∼ △HCE (g.g)
b) Từ kết quả câu a) ta có HB ⋅ HE = HF ⋅ HC
Tương tự ta được: HF ⋅ HC = HA ⋅ HD
Suy ra HB ⋅ HE = HF ⋅ HC = HA ⋅ HD
c) Từ câu b), chứng minh được △EHF ∼ △CHB (c.g.c)
và △DHE ∼ △BHA (c.g.c), do đó:
![\[\widehat {HEF} = \widehat {HCB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-173.svg)
và ![\[\widehat {HED} = \widehat {HAB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-174.svg)
Ta có: ![\[\widehat {HAB} = \widehat {HCB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-175.svg)
(cùng phụ ![\[\widehat {ABC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-176.svg)
).
Do đó: ![\[\widehat {HED} = \widehat {HEF}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-177.svg)
⇒ EH là tia phân giác của góc
Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD có ![\[\widehat {ADB} = \widehat {ACB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-178.svg)
, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
a) Chứng minh: △AOD ∼ △BOC
b) Chứng minh: △AOB ∼ △DOC
c) Gọi E là giao điểm của các đường thẳng AB và CD. Chứng minh: EA ⋅ EB = ED ⋅
Hướng dẫn giải
a) Ta có: △AOD ∼ △BOC (g.g).
b) Từ câu a) ta có: ![\[\frac{{OA}}{{OB}} = \frac{{OD}}{{OC}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-179.svg)
⇒ △AOB ∼ △DOC (c.g.c)
c) Từ câu b), ta có: ![\[\widehat {ECA} = \widehat {EBD}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-180.svg)
⇒ △EAC ∼ △EDB (g.g)
Suy ra: EA ⋅ EB = ED ⋅ EC.
Ví dụ 3. Cho hình thoi ABCD có ![\[\widehat A = 60^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-181.svg)
. Một đường thẳng đi qua A cắt các tia CD, CB lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh: △ADM ∼ △NBA.
b) Chứng minh: AD2 = DM ⋅ BN, rồi suy ra △MDB ∼ △DBN.
c) Gọi O là giao điểm của BM và DN. Tính ![\[\widehat {MON}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-182.svg)
.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: DA // CN và BA // CM nên
![\[\widehat {DMA} = \widehat {BAN},{\text{ }}\widehat {MAD} = \widehat {ANB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-183.svg)
⇒ △ADM ∼ △NBA (g.g).
b) Từ câu a), ta có:
MD ⋅ BN = AD ⋅ AB = BD2 (do △ABD đều)
![\[ \Rightarrow \frac{{DM}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{BN}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-184.svg)
mà ![\[\widehat {MDB} = \widehat {NBD} = 120^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-185.svg)
Vậy △MDB ∼ △DBN.
c) Từ kết quả câu b), ta có ![\[\widehat {BDN} = \widehat {DMB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-186.svg)
, từ đó ta nhận được:
![\[\widehat {MON} = \widehat {DMB} + \widehat {MDN} = \widehat {BDM} = 120^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-187.svg)
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC đều, O là trung điểm của BC. Trên AB, AC lần lượt lấy M, N sao cho ![\[\widehat {MON} = 60^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-188.svg)
. Chứng minh:
a) ![\[\widehat {BMO} = \widehat {CON}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-189.svg)
, từ đó suy ra △BMO ∼ △CON.
b) ![\[\frac{{OM}}{{ON}} = \frac{{BM}}{{BO}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-190.svg)
c) MO là tia phân giác của ![\[\widehat {BMO}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-191.svg)
Hướng dẫn giải
a) Xét △BMO, ta có:
![\[\widehat {BMO} = 180^\circ - \widehat {ABC} - \widehat {MOB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-192.svg)
Ta cũng có:
![\[\begin{gathered} \widehat {CON} = 180^\circ - \widehat {MON} - \widehat {MOB} = 120^\circ - \widehat {MOB} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {BMO} = \widehat {CON}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-193.svg)
⇒ △BMO ∼ △CON (g.g)
b) Từ kết quả câu a), ta có:
![\[\frac{{OM}}{{ON}} = \frac{{BM}}{{CO}} = \frac{{BM}}{{BO}}{\text{ }}\left( {do{\text{ }}OB = OC} \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-194.svg)
c) Từ kết quả câu b), ![\[\widehat B = \widehat {MON} = 60^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-195.svg)
Do đó: △BMO ∼ △OMN (c.g.c)
Vậy MO là tia phân giác của
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Kẻ đường cao AH.
a) Chứng minh: AH ⋅ BC = AB ⋅ AC
b) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh: △AMN ∼ △ACB
c) Chứng minh: ![\[\frac{{{S_{\Delta AMN}}}}{{{S_{\Delta ACB}}}} = \frac{{A{H^2}}}{{B{C^2}}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-196.svg)
d) Tính diện tích tứ giác BMNC.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: △AHB ∼ △CAB (g.g)
![\[ \Rightarrow \frac{{AH}}{{CA}} = \frac{{AB}}{{CB}} \Rightarrow AH \cdot BC = AB \cdot AC\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-197.svg)
b) Ta giả thiết ta có:
![\[\widehat {ABC} = \widehat {HMA} = \widehat {HNA} = 90^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-198.svg)
⇒ AMHN là hình chữ nhật.
Do ANHM là hình chữ nhật nên ta có ![\[\widehat {ANM} = \widehat {AHM}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-199.svg)
Mặt khác: ![\[\widehat {AHM} = \widehat {ABC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-200.svg)
(cùng phụ ![\[\widehat {HAB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-201.svg)
)
⇒ △AMN ∼ △ACB (g.g)
c) Ta có:
![\[\frac{{{S_{\Delta AMN}}}}{{{S_{\Delta ACB}}}} = \frac{{M{N^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{H^2}}}{{B{C^2}}}{\text{ }}\left( {do{\text{ }}AH = MN} \right)\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-202.svg)
d) Ta có: S△ABC = ⋅ AB ⋅ AC = 4,8 (cm2).
Từ kết quả câu c), ta tính được SAMN = 5,5296 cm2
⇒ SBMNC = 18,4704 cm2.
Ví dụ 6. Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 6 cm, AB = 8 cm. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Qua D kẻ đường thẳng d vuông góc với BD, d cắt tia BC tại E. Chứng minh:
a) △BDE ∼ △DCE.
b) Kẻ CH ⊥ DE tại H. Chứng minh: DC2 = CH ⋅ DB
c) Gọi K là giao điểm của OC và HC. Chứng minh K là trung điểm của HC.
d) Tính tỉ số diện tích của tam giác EHC và tam giác EDB.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: △BDE ∼ △DCE (g.g)
b) Ta có: CH ⊥ DE và DB ⊥ DE
⇒ DB // CH.
Do đó: △DHC ∼ △BCD (g.g)
![\[ \Rightarrow \frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{HC}}{{DC}} \Rightarrow D{C^2} = DB \cdot HC\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-203.svg)
c) Vì CH // BD nên theo định lý Ta-lét ta có:
![\[\frac{{KH}}{{OD}} = \frac{{EK}}{{EO}} = \frac{{KC}}{{OB}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-204.svg)
Mà OD = OB nên KH = KC.
Do đó K là trung điểm của HC.
d) Ta có: ![\[BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = 10{\text{ }}cm\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-205.svg)
Từ câu b) suy ra: CH = 6,4 cm
Do đó: ![\[\frac{{{S_{\Delta EHC}}}}{{{S_{\Delta EDB}}}} = \frac{{H{C^2}}}{{B{D^2}}} = 0,4096\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-206.svg)
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, BC = 5 cm. Gọi H là hình chiếu của A trên BD, tia AH cắt CD tại K.
a) Chứng minh: △ABD ∼ △DAK.
b) Tính độ dài DK.
c) Tính tỉ số diện tích của △DHK và △BHA.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[\widehat {DKA} = \widehat {ADB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-207.svg)
(cùng phụ ![\[\widehat {BDC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-208.svg)
)
⇒ △ABD ∼ △DAK (g.g)
b) Từ câu a), ta có:
![\[\frac{{DK}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow DK = \frac{{25}}{{12}}cm\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-209.svg)
c) Ta có: ![\[\frac{{{S_{\Delta DHK}}}}{{{S_{\Delta BHA}}}} = \frac{{D{K^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{625}}{{20736}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-210.svg)
Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Các đường cao BN, CP cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: AN ⋅ AC = AP ⋅ AB
b) Chứng minh: △ANP ∼ △ABC.
c) Biết BC = 2NP và diện tích tam giác ABC bằng 36 cm2. Tính diện tích tứ giác BPNC.
d) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của P, N trên BN, CP. Chứng minh: EF // BC.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: △ANB ∼ △AP C (g.g)
![\[ \Rightarrow \frac{{AN}}{{AP}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AN \cdot AC = AP \cdot AB\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-211.svg)
b) Từ kết quả câu a) ta có: △ANP ∼ △ABC (c.g.c)
c) Ta có: ![\[\frac{{{S_{\Delta ANP}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{N{P^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{1}{4}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-212.svg)
⇒ S△ANP = 9 cm2.
Do đó: SBPNC = 27 cm2.
d) Ta có: EP // NC, FN // BP nên theo định lý Ta-lét, ta có:
![\[\frac{{HE}}{{HN}} = \frac{{HP}}{{HC}};{\text{ }}\frac{{HF}}{{HP}} = \frac{{HN}}{{HB}} \Rightarrow \frac{{HE}}{{HB}} = \frac{{HF}}{{HC}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-213.svg)
Do đó: EF // BC.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) và trung tuyến AD. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt AC và AB lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh: △ABC ∼ △AEF.
b) Chứng minh: BC2 = 4DE ⋅ DF.
c) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC, tia AH cắt EF của tam giác ABC, tia AH cắt EF tại I. Chứng minh: ![\[\frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta AEF}}}} = \frac{{A{D^2}}}{{A{I^2}}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-214.svg)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: △DAC cân tại D nên
![\[\widehat {ACB} = \widehat {DAC} = 90^\circ - \widehat {DAF} = \widehat {AFE}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-215.svg)
⇒ △ABC ∼ △AEF (g.g)
b) Theo câu a) ta có: ![\[\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-216.svg)
⇒ △DEC ∼ △DBF(g.g)
⇒ BC2 = 4DE ⋅ DF
c) Ta có: AI ⊥ CB và AF ⊥ AC
Suy ra: ![\[\widehat {IAF} = \widehat {ACB}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-217.svg)
(góc có cặp cạnh tương ứng vuông góc).
Suy ra: ![\[\widehat {IAF} = \widehat {IFA}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-218.svg)
⇒ △IAF cân tại I. Suy ra IA = IF
Tương tự cũng có IA = IE ⇒ IE = IF
Do đó AI, AD lần lượt là hai đường trung tuyến tương ứng của △AEF và △ABC
Suy ra:
Đề kiểm tra chương III
Đề 1
Phần I. Trắc nghiệm (2,5 điểm)
Câu 1. Cho tam giác ABC có M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho MN // BC. Biết AM = 16 cm, AN = 20 cm, NC = 15 cm. Khi đó độ dài AB bằng:
A. 28 cm
B. 26 cm
C. 24 cm
D. 22 cm
Hướng dẫn giải
Chọn A
Theo định lý Ta-lét ta có:
![\[\begin{gathered} \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}} \hfill \\ \Rightarrow MB = \frac{{AM \cdot NC}}{{AN}} = 12{\text{ }}cm\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow AB = 16 + 12 = 28\left( {cm} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-219.svg)
Câu 2. Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm và tam giác DEF có DE = 6 cm, DF = 8 cm, EF = 10 cm. Cách viết nào sau đây đúng quy ước về đỉnh:
A. △ABC ∼ △FED
B. △ABC ∼ △DEF
C. △CAB ∼ △DEF
D. △BCA ∼ △EDF
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: ![\[\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}} = 2\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-220.svg)
⇒ △ABC ∼ △DEF (c.c.c)
Câu 3. Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số đồng dạng là 3. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AC, MP. Tỉ số ![\[\frac{{BH}}{{NK}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-221.svg)
bằng?
A.
B. ![\[\frac{1}{9}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-222.svg)
C. 3
D. 9
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: ![\[\frac{{BH}}{{NK}} = 3\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-223.svg)
Câu 4. Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác PQR có ![\[\frac{{AB}}{{PQ}} = 4\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-224.svg)
, S△ABC = 32 cm2. Diện tích tam giác PQR bằng
A. 128 cm2
B. 64 cm2
C. 16 cm2
D. 2 cm2
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: ![\[\frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta PQR}}}} = \frac{{A{B^2}}}{{P{Q^2}}} = 16\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-225.svg)
![\[ \Rightarrow {S_{\Delta PQR}} = \frac{{32}}{{16}} = 2{\text{ }}c{m^2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-226.svg)
Bài 4. Cho hình vẽ bên. Điền nội dung thích hợp vào chỗ chấm (…)
a) ![\[\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{ \cdots }{ \cdots }\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-227.svg)
b) Nếu thì DE // AB
c) Nếu DE // AB thì EA = …
Hướng dẫn giải
a) ![\[\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-228.svg)
b) Nếu ![\[\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{EA}}{{EC}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-229.svg)
thì DE // AB
c) Nếu DE // AB thì EA = ED
Phần II. Tự luận
Bài 5. Người ta tiến hành đo đạc các yếu tố cần thiết để tính chiều rộng của một khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia sông (hình vẽ bên). Biết BB’ = 20m, BC = 30m và B’C = 40m. Tính độ rộng x của khúc sông.
Hướng dẫn giải
Dùng hệ quả của định lý Ta-let, ta có:
![\[\frac{{AB}}{{AB'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} \Rightarrow \frac{x}{{x + 20}} = \frac{{30}}{{40}} \Rightarrow x = 60{\text{ }}m\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-231.svg)
Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: HE ⋅ HB = HF ⋅ HC
b) Chứng minh: △EHF ∼ △CHB
c) Chứng minh EH là tia phân giác của góc DEC
d) Biết ![\[\frac{{HA}}{{HC}} = \frac{2}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-232.svg)
. Tính tỉ số diện tích của tam giác AEF và tam giác DEC.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: △HBF ∼ △HCE (g.g)
![\[ \Rightarrow \frac{{HF}}{{HB}} = \frac{{HE}}{{HC}} \Rightarrow HE \cdot HB = HF \cdot HC\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-233.svg)
b) Từ kết quả câu a), suy ra △EHF ∼ △CHB (g.c.g).
c) Làm tương tự câu a) và b) ta chứng minh được: △AHB ∼ △EHD
Do đó: ![\[\widehat {FEH} = \widehat {BCH} = \widehat {BAH} = \widehat {DEH}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-234.svg)
hay EH là tia phân giác của góc DEC.
d) ![\[\widehat {AEF} = 90^\circ - \widehat {FEH} = 90^\circ - \widehat {DEH} = \widehat {DEC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-235.svg)
Do đó: △AEF ∼ △DEC (g.g) mà △HFA ∼ △HDC (g.g)
Do đó: ![\[\frac{{{S_{\Delta AEF}}}}{{{S_{\Delta DEC}}}} = \frac{{F{A^2}}}{{D{C^2}}} = \frac{{H{A^2}}}{{H{C^2}}} = \frac{4}{9}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-236.svg)
Đề 2
Bài 1. Cho hình vẽ bên. Biết DE // BC, DE = 4 cm, BC = 10 cm và AB = 8 cm. Tính độ dài cạnh BD.
Hướng dẫn giải
Theo định lý Ta-lét ta có: ![\[\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DE}}{{BC}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-237.svg)
, từ đó AD = 3,2 cm.
Suy ra: BD = AB − AD = 4,8 cm.
Bài 2. Cho hình vẽ bên. Biết AB = 6 cm, AC = 10 cm và BC = 9 cm, phân giác AD và DE // AB. Tính độ dài cạnh BD, DC, DE.
Hướng dẫn giải
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:
![\[\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB + DC}}{{AB + AC}} = \frac{9}{{16}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-238.svg)
Từ đó tính được DB = 3,375 cm và DC = 5,625 cm.
Theo định lý Ta-lét ta có:
![\[\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}} \Rightarrow DE = 3,75{\text{ }}cm\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-239.svg)
Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: AD ⋅ AC = AE ⋅ AB
b) Chứng minh: △ADE ∼ △ABC
c) Biết ![\[\widehat {BAC} = 45^\circ \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-240.svg)
. Tính tỉ số diện tích của tam giác ADE và tam giác ABC
d) Chứng minh: BH ⋅ BD + CH ⋅ CE = BC2
Hướng dẫn giải
a) Ta có: △ADB ∼ △AEC (g.g), từ đó:
![\[\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow AD \cdot AC = AE \cdot AB\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-241.svg)
b) Từ kết quả câu a), ta có: ![\[\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-242.svg)
⇒ △ADE ∼ △ABC (c.g.c).
c) Vì nên tam giác ADB vuông cân tại D
Do đó AB2 = 2AD2.
Suy ra: ![\[\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{A{D^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-243.svg)
d) AH cắt BC tại F thì AF ⊥ BC
△BHF và △BCD là hai tam giác vuông có chung ![\[\widehat {DBC}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/11/tam-giac-dong-dang-244.svg)
Nên △BHF ∼ △BCD (g.g)
Tương tự ta cũng có: △CHF ∼ △CBE (g.g)
Từ đó ta có: BH ⋅ BD = BF ⋅ BC và CH ⋅ CE = CF ⋅ CB
Vậy BH ⋅ BD + CH ⋅ CE = BC2
