Phương trình tích

Phương trình bậc nhất một ẩn – Chuyên đề phương trình tích

Kiến thức cần nhớ

Phương trình tích (một ẩn) là phương trình có dạng A(x)⋅B(x) … = 0 (1)

Trong đó A(x), B(x),… là các đa thức.

Để giải (1), ta chi cần giải từng phương trình A(x) = 0, B(x) = 0,… rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có vai trò quan trọng trong việc đưa phương trình về dạng phương trình tích. Cách đặt ẩn phụ cũng hay được sử dụng để trình bày cho lời giải gọn gàng hơn.

Phân dạng bài tập

Vận dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử và cách giải phương trình tích đưa phương trình đã cho về các phương trình bậc nhất đã biết cách giải.

Ví dụ 1. Giải phương trình: y(y – 16) – 297 = 0

Hướng dẫn giải

y(y – 16) – 297 = 0

⇔ y² – 16y – 297 = 0

⇔ y² – 27y + 11y – 297 = 0

⇔ y(y – 27) + 11(y – 27) = 0

⇔ (y – 27)(y + 11) = 0

⇔ y = 27 ∨ y = –11

Vậy nghiệm của PT là y = 27 và y = –11.

Ví dụ 2. Giải phương trình:

(2x – 3)(4 – x)(x + 3) = 0

Hướng dẫn giải

Nghiệm số của phương trình đã cho là nghiệm số của:

(2x – 3) = 0 ⇒ x = $\frac{3}{2}$

Hoặc 4 – x = 0 ⇒ x = 4

Hoặc x + 3 = 0 ⇒ x = –3

Vậy nghiệm của PT là x = $\frac{3}{2}$ , x = 4 và x = –3.

Ví dụ 3. Giải phương trình:

(4x² – 9)(x² – 25) = 0

Hướng dẫn giải

Ta có thể viết:

4x² – 9 = (2x – 3)(2x + 3)

x² – 25 = (x – 5)(x + 5)

Do đó: (2x – 3)(2x + 3)(x – 5)(x + 5) = 0

Vậy x = $\pm \frac{3}{2}$ và x = ±5

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

a) 0,5x(x – 3) = (x – 3)(2,5x – 4)

b) $\frac{3}{7}x - 1 = \frac{1}{7}x\left( {3x - 7} \right)$

Hướng dẫn giải

a) 0,5x(x – 3) = (x – 3)(2,5x – 4)

⇔ (x – 3)(2,5x – 4) – 0,5x(x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(2,5x – 4 – 0,5x) = 0

⇔ (x – 3)(2x – 4) = 0

⇔ x = 3 ∨ x = 2

Vậy nghiệm của PT là x = 3 và x = 2.

b) $\frac{3}{7}x - 1 = \frac{1}{7}x\left( {3x - 7} \right)$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{1}{7}\left( {3x - 7} \right) - \frac{1}{7}x\left( {3x - 7} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{1}{7}\left( {3x - 7} \right)\left( {1 - x} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{7}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy nghiệm của PT là x = $\frac{7}{3}$ và x = 7.

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:

a) x² – 7x + 6 = 0

b) x² + 6x + 5 = 0

Hướng dẫn giải

a) x² – 7x + 6 = 0

⇔ x² – x – 6x + 6 = 0

⇔ x(x – 1) – 6(x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(x – 6) = 0

⇔ x = 1 ∨ x = 6

Vậy nghiệm của PT là x = 1 và x = 6.

b) x² + 6x + 5 = 0

⇔ x² + x + 5x + 5 = 0

⇔ x(x + 1) + 5(x + 1) = 0

⇔ (x + 1)(x + 5) = 0

⇔ x = –1 ∨ x = –5

Vậy nghiệm của PT là x = –1 và x = –5.

Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:

a) 4x² + 4x + 1 = x²

b) 4x² – 1 = (2x + 1)(3x – 5)

Hướng dẫn giải

a) 4x² + 4x + 1 = x²

⇔ (2x + 1)² = x²

⇔ (2x + 1)² – x² = 0

⇔ (2x + 1 – x)(2x + 1 + x) = 0

⇔ (x + 1)(3x + 1) = 0

⇔ x = –1 ∨ x = $- \frac{1}{3}$

Vậy nghiệm của PT là x = –1 và x = $- \frac{1}{3}$ .

b) 4x² – 1 = (2x + 1)(3x – 5)

⇔ (2x – 1)(2x + 1) – (2x + 1)(3x – 5) = 0

⇔ (2x + 1)(2x – 1 – 3x + 5) = 0

⇔ (2x + 1)(4 – x) = 0

⇔ x = 4 ∨ x = $- \frac{1}{2}$

Vậy nghiệm của PT là x = 4 và x = $- \frac{1}{2}$ .

Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:

a) (x² + 2x + 1) – 9 = 0

b) x³ – 7x² = 3x² – 12x

Hướng dẫn giải

a) (x² + 2x + 1) – 9 = 0

⇔ (x + 1)² – 3² = 0

⇔ (x + 1 – 3)(x + 1 + 3) = 0

⇔ (x – 2)(x + 4) = 0

⇔ x = 2 ∨ x = –4

Vậy nghiệm của PT là x = 2 và x = –4.

b) x³ – 4x² = 3x² – 12x

⇔ x³ – 4x² – 3x² + 12x = 0

⇔ x³ – 7x² + 12x = 0

⇔ x(x² – 7x + 12) = 0

⇔ x(x – 4)(x – 3) = 0

⇔ x = 0 ∨ x = 4 ∨ x = 3

Vậy nghiệm của PT là x = 0 và x = 4 và x = 3.

Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:

a) (2x – 5)² = (x + 2)²

b) (x + 1)² = 4(x² – 2x + 1)

Hướng dẫn giải

a) (2x – 5)² = (x + 2)²

⇔ (2x – 5)² – (x + 2)² = 0

⇔ (2x – 5 – x – 2)(2x – 5 + x + 2) = 0

⇔ (x – 7)(3x – 3) = 0

⇔ x = 7 ∨ x = 1

Vậy nghiệm của PT là x = 7 và x = 1

b) (x + 1)² = 4(x² – 2x + 1)

⇔ (x + 1)² – 4(x – 1)² = 0

⇔ (x + 1 – 2x + 2)(x + 1 + 2x – 2) = 0

⇔ (3 – x)(3x – 1) = 0

⇔ x = 3 ∨ x = $\frac{1}{3}$

Vậy nghiệm của PT là x = 3 và x = $\frac{1}{3}$

Chú ý: Với hai phương trình này có thể giải bằng cách chuyển về phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối (sẽ trình bày ở cuối chương). Chẳng hạn như:

Phương trình (2x – 5)² = (x + 2)² có thể đưa về dạng |2x – 5| = |x + 2|

Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:

a) (x² – 5x)² + 10(x² – 5x) + 24 = 0

b) x(x + 1)(x² + x + 1) = 42

Hướng dẫn giải

a) Đặt t = x² – 5x, phương trình trở thành:

t² + 10t + 24 = 0

⇔ (t + 4)(t + 6) = 0

⇔ t = –4 t = –6

Với t = –4 ⇒ x² – 5x = –4

⇔ x² – 5x + 4 = 0

⇔ x = 1 ∨ x = 4

Với t = –6 ⇒ x² – 5x = –6

⇔ x² – 5x + 6 = 0

⇔ x = 2 ∨ x = 3

Vậy PT có tập nghiệm S = {1; 2; 3; 4}

b) x(x + 1)(x² + x + 1) = 42

⇔ (x² + x)(x² + x + 1) = 42

Đặt t = x² + x, phương trình trở thành:

t(t + 1) = 42

⇔ t² + t – 42 = 0

⇔ (t – 6)(t + 7) = 0

⇔ t = 6 ∨ t = –7

Với t = 6 ⇒ x² + x = 6

⇔ x² + x – 6 = 0

⇔ x = 2 ∨ x = –3

Với t = –7 ⇒ x² + x = –7 ⇔ x² + x + 7 = 0

Phương trình này vô nghiệm do ${x^2} + x + 7 = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{27}}{4} > 0$

Vậy nghiệm của PT là x = 2 và x = –3.

Ví dụ 10. Giải phương trình:

(2x + 5)² = (x + 3)²

Hướng dẫn giải

(2x + 5)² = (x + 3)²

⇔ (2x + 5)² – (x + 3)² = 0

⇔ (2x + 5 – x – 3)(2x + 5 + x + 3) = 0

⇔ (x + 2)(3x + 8) = 0

⇔ x = –2 ∨ x = $- \frac{8}{3}$

Ví dụ 11. Giải phương trình:

(x⁴ – 16)(x³ – 1)(x + 3) = 0

Hướng dẫn giải

Để ý rằng:

x⁴ – 16 = (x² – 4)(x² + 4) = (x – 2)(x + 2)(x² + 4)

(x³ – 1) = (x – 1)(x² + x + 1)

Phương trình đã cho trở thành

(x – 2)(x + 2)(x² + 4)(x – 1)(x² + x + 1)(x + 3) = 0

Vì x² + 4 và ${x^2} + x + 1 = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}$ là hai số dương, nên ta có thể viết:

(x – 2)(x + 2)(x – 1)(x + 3) = 0

Vậy nghiệm của phương trình này là: x = ±2, x = 1 và x = –3

Dạng bài tập nâng cao

Ví dụ 1. Giải phương trình:

(2x² + x – 6)² + 3(2x² + x – 3) – 9 = 0

Hướng dẫn giải

Đặt t = 2x² + x – 6 ⇒ 2x² + x – 3 = t + 3, phương trình trở thành:

t² + 3(t + 3) – 9 = 0

⇔ t(t + 3) = 0

⇔ t = 0 ∨ t = –3

Với t = 0 ⇒ 2x² + x – 6 = 0

⇔ (2x – 3)(x + 2) = 0

⇔ x = –2 ∨ x = $\frac{3}{2}$

Với t = –3 ⇒ 2x² + x – 6 = –3

⇔ (2x + 3)(x – 1) = 0

⇔ x = 1 ∨ x = $- \frac{3}{2}$

Vậy phương trình có 4 nghiệm x = –2, x = 1, x = $\frac{3}{2}$ , x = $- \frac{3}{2}$

Ví dụ 2. Giải phương trình:

(x – 2)(x – 3)(x – 5)(x – 6) = 31(x² – 8x + 12) + 128 (1)

Hướng dẫn giải

(x – 2)(x – 3)(x – 5)(x – 6) = 31(x² – 8x + 12) + 128

⇔ (x² – 8x + 12)(x² – 8x + 15) = 31 (x² – 8x + 12) + 128 (2)

Đặt t = x² – 8x + 12 ⇒ x² – 8x + 15 = t + 3

Khi ấy phương trình (2) trở thành:

t(t + 3) = 31t + 128

⇔ t² + 3t – 31t – 128 = 0

⇔ t² + 4t – 32t – 128 = 0

⇔ t(t + 4) – 32(t + 4) = 0

⇔ (t + 4)(t – 32) = 0

⇔ t = –4 ∨ t = 32

Với t = –4 ⇒ x² – 8x + 12 = –4

⇔ x² – 8x + 16 = 0

⇔ (x – 4) = 0

⇔ x = 4

Với t = 32 ⇒ x² – 8x + 12 = 32

⇔ x² – 8x – 20 = 0

⇔ x² – 10x + 2x – 20 = 0

⇔ x(x – 10) + 2(x – 10) = 0

⇔ (x – 10)(x + 2) = 0

⇔ x = 10 ∨ x = –2

Vậy phương trình có 3 nghiệm x = –2, x = 4, x = 10

Ví dụ 3. Giải các phương trình:

a) 3y³ – 7y² – 7y + 3 = 0

b) 2y⁴ – 9y³ + 14y² – 9y + 2 = 0

Hướng dẫn giải

a) 3y³ – 7y² – 7y + 3 = 0

⇔ 3y³ + 3y² – 10y² – 10y + 3y + 3 = 0

⇔ 3y²(y + 1) – 10y(y + 1) + 3(y + 1) = 0

⇔ (y + 1)(3y² – 10y + 3) = 0

⇔ (y + 1)(3y – 1)(y – 3) = 0

⇔ y = –1 ∨ y = H8 ∨ y = 3

b) Với y = 0 từ (2) ta có: VT = 2 ≠ 0 nên y = 0 không là nghiệm của (2)

Do y = 0 không phải là nghiệm của phương trình ⇒ y ≠ 0. Do đó chia hai vế của phương trình cho y² ta có:

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2\left( {{y^2} + \frac{1}{{{y^2}}}} \right) - 9\left( {y + \frac{1}{y}} \right) + 14 = 0$

Đặt $t = y + \frac{1}{y}$ thì ${t^2} - 2 = {y^2} + \frac{1}{{{y^2}}}$ . Do đó ta có:

$\begin{gathered} 2\left( {{t^2} - 2} \right) - 9t + 14 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 2{t^2} - 9t + 10 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 2{t^2} - 5t - 4t + 10 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {2t - 5} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t - 2 = 0 \hfill \\ 2t - 5 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} {y^2} - 2y + 1 = 0 \hfill \\ 2{y^2} + 2 - 5y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\left( {y - 1} \right)^2} = 0 \hfill \\ \left( {y - 2} \right)\left( {2y - 1} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} y = 1 \hfill \\ y = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là $S = \left\{ {\frac{1}{2};1;2} \right\}$

Nhận xét: Trong phương trình đối xứng, nếu a là nghiệm thì $\frac{1}{a}$ cũng là nghiệm.

Ví dụ 4. Giải phương trình:

(4x + 7)(4x + 5)(x + 1)(2x + 1) = 9

Hướng dẫn giải

Ta có: (4x + 7)(4x + 5)(x + 1)(2x + 1) = 9

⇔ (4x + 7)(4x + 5)(4x + 4)(4x + 2) = 72

⇔ (16x² + 36x + 14)(16x² + 36x + 20) = 72

Đặt 16x² + 36x + 17 = y, ta có:

(y – 3)(y + 3) = 72 ⇔ y² – 9 = 72 ⇔ y² = 81 ⇔ y = ±9

Với 16x² + 36x + 17 = 9

⇔ 4x² + 9x + 2 = 0

⇔ 4x² + 8x + x + 2 = 0

⇔ (x + 2)(4x + 1) = 0

⇔ x = –2 ∨ x = $- \frac{1}{4}$

Với 16x² + 36x + 17 = –9 ⇔ 16x² + 36x + 26 = 0 vô nghiệm vì

$16{x^2} + 36x + 26 = {\left( {4x + \frac{9}{2}} \right)^2} + \frac{{23}}{4} > 0,\forall x$

Vậy nghiệm của PT là x = –2 và x = $- \frac{1}{4}$ .

Ví dụ 5. Giải các phương trình:

a) (4x + 3)³ – (2x – 5)³ = (2x + 8)³

b) (3x + 2016)³ + (3x – 2019)³ = (6x – 3)³

c) (2x – 7)³ + (9 – 2x)³ = 152

Hướng dẫn giải

Trong các bài toán xuất hiện các dạng (a + b)³, (a – b)³ và a³ ± b³

Lưu ý: (a ± b)³ = a³ ± b³ ± 3ab(a ± b) và a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)

a) Đặt y = 4x + 3; z = 2x – 5 thì y – z = 2x + 8. Ta có:

$\begin{gathered} {y^3} - {z^3} = {\left( {y - z} \right)^3} \hfill \\ \Leftrightarrow {y^3} - {z^3} = {y^3} - {z^3} - 3yz\left( {y - z} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 3yz\left( {y - z} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} y = 0 \hfill \\ z = 0 \hfill \\ y - z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} 4x + 3 = 0 \hfill \\ 2x - 5 = 0 \hfill \\ 2x + 8 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - \frac{3}{4} \hfill \\ x = \frac{5}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Tập nghiệm của PT là $S = \left\{ { - 4; - \frac{3}{4};\frac{5}{2}} \right\}$

b) Đặt u = 3x + 2016; v = 3x – 2019 thì u + v = 6x – 3

Phương trình trên trở thành:

$\begin{gathered} {u^3} + {v^3} - {\left( {u + v} \right)^3} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {u^3} + {v^3} - \left[ {{u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right)} \right] = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - 3uv\left( {u + v} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} u = 0 \hfill \\ v = 0 \hfill \\ u + v = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} 3x + 2016 = 0 \hfill \\ 3x - 2019 = 0 \hfill \\ 6x - 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - 672 \hfill \\ x = 673 \hfill \\ x = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Tập nghiệm của PT là $S = \left\{ { - 672;\frac{1}{2};673} \right\}$

c) Đặt 2x – 8 = y thì 2x – 7 = y + 1; 9 – 2x = 1 – y

Do đó phương trình trở thành:

(y + 1)³ + (1 – y)³ = 152

Khai triển, rút gọn (hoặc dùng hằng đẳng thức a³ + b³), ta được:

6y² + 2 = 152 ⇔ 6y² – 150 = 0 ⇔ 6(y + 5)(y – 5) = 0

⋄ Với y + 5 = 0 thì 2x – 8 + 5 = 0 ⇔ x = 1,5

⋄ Với y – 5 = 0 thì 2x – 8 – 5 = 0 ⇔ x = 6,5

Tập nghiệm của phương trình là S = {1,5; 6,5}

Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải các phương trình:

a) (2x – 7)(x + 3) = x² – 9

b) (3x + 4)(x – 4) = (x – 4)²

c) (3x – 1)² = (x + 3)²

d) (5x² + 3x – 2)² = (4x² – 3x – 2)²

e) (4x + 3)(x² – 9) = (x + 3)(16x² – 9)

Hướng dẫn giải

a) (2x – 7)(x + 3) = x² – 9

⇔ (2x – 7)(x + 3) = (x – 3)(x + 3)

⇔ (2x – 7)(x + 3) – (x – 3)(x + 3) = 0

⇔ (x + 3)(2x – 7 – x + 3) = 0

⇔ (x + 3)(x – 4) = 0

⇔ x = –3 ∨ x = 4

b) (3x + 4)(x – 4) = (x – 4)²

⇔ (3x + 4)(x – 4) – (x – 4)² = 0

⇔ (x – 4)(3x + 4 – x + 4) = 0

⇔ (x – 4)(2x + 8) = 0

⇔ x = ±4

c) (3x – 1)² = (x + 3)²

⇔ (3x – 1)² – (x + 3)² = 0

⇔ (3x – 1 – x – 3)(3x – 1 + x + 3) = 0

⇔ (2x – 4)(4x + 2) = 0

⇔ x = 2 ∨ x = H7

d) (5x² + 3x – 2)² = (4x² – 3x – 2)²

⇔ (5x² + 3x – 2)² – (4x² – 3x – 2)² = 0

⇔ (5x² + 3x – 2 – 4x² + 3x + 2)(5x² + 3x – 2 + 4x² – 3x – 2) = 0

⇔ (x² + 6x)(9x² – 4) = 0

⇔ x(x + 6)(3x – 2)(3x + 2) = 0

⇔ x = 0 ∨ x = $\pm \frac{2}{3}$ ∨ x = –6

e) (4x + 3)(x² – 9) = (x + 3)(16x² – 9)

⇔ (4x + 3)(x – 3)(x + 3) – (x + 3)(4x – 3)(4x + 3) = 0

⇔ (x + 3)(4x + 3)(x – 3 – 4x + 3) = 0

⇔ (x + 3)(4x + 3)(–3x) = 0

⇔ x = 0 ∨ x = $- \frac{3}{4}$ ∨ x = –3

Bài 2. Giải phương trình: y²(y – 1)(y + 1) = 72

Hướng dẫn giải

y²(y – 1)(y + 1) = 72

⇔ y⁴ – y² – 72 = 0

⇔ (y² – 9)(y² + 9) – (y² – 9) = 0

⇔ (y² – 9)(y² + 8) = 0

⇔ y² – 9 = 0 (Vì y² + 8 > 0, ∀y)

⇔ y = ±3

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) (x + 2)(x² – 3x + 5) = (x + 2)x²

b) 2x² – x = 3 – 6x

Hướng dẫn giải

a) (x + 2)(x² – 3x + 5) = (x + 2)x²

⇔ (x + 2)(x² – 3x + 5) – (x + 2)x² = 0

⇔ (x + 2)(x² – 3x + 5 – x²) = 0

⇔ (x + 2)(5 – 3x) = 0

⇔ x = –2 ∨ x = $\frac{5}{3}$

b) 2x² – x = 3 – 6x

⇔ x(2x – 1) + 3(2x – 1) = 0

⇔ (2x – 1)(x + 3) = 0

⇔ x = –3 ∨ x = $\frac{1}{2}$

Bài 4. Cho phương trình 4x² – 25 + k² + 4kx = 0, ở đó k là tham số.

a) Giải phương trình khi k = 0;

b) Giải phương trình khi k = –3;

c) Với giá trị nào của k thì phương trình nhận x = –2 là nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Khi k = 0, ta được phương trình:

4x² – 25 = 0 ⇔ (2x – 5)(2x + 5) = 0 ⇔ x = $\pm \frac{5}{2}$

b) Khi k = –3, ta được phương trình:

4x² – 12x – 16 = 0

⇔ 4(x² + x – 4x – 4) = 0

⇔ 4(x + 1)(x – 4) = 0

⇔ x = –1 ∨ x = 4

c) Thay x = –2 vào phương trình, ta được:

⇔ k² – 8k – 9 = 0

⇔ k² + k – 9k – 9 = 0

⇔ (k + 1)(k – 9) = 0

⇔ k = –1 ∨ k = 9

Vậy với k = –1 và k = 9 thì phương trình có nghiệm là x = –2.

Bài 5. Giải các phương trình sau:

a) x³ + 2x² + x + 2 = 0

b) x³ + 2x² – x – 2 = 0

Hướng dẫn giải

a) x³ + 2x² + x + 2 = 0

⇔ x²(x + 2) + x + 2 = 0

⇔ (x + 2)(x² + 1) = 0

⇔ x = –2 (Vì x² + 1 > 0, ∀x)

b) x³ + 2x² – x – 2 = 0

⇔ x²(x + 2) – (x + 2) = 0

⇔ (x + 2)(x² – 1) = 0

⇔ x = –2 ∨ x = ±1

Bài 6. Giải các phương trình sau:

a) 3x² + 7x – 20 = 0

b) 3x² – 5x – 2 = 0

Hướng dẫn giải

a) 3x² + 7x – 20 = 0

⇔ 3x² + 12x – 5x – 20 = 0

⇔ 3x(x + 4) – 5(x + 4) = 0

⇔ (x + 4)(3x – 5) = 0

⇔ x = –4 ∨ x = $\frac{5}{3}$

b) 3x² – 5x – 2 = 0

⇔ 3x² – 6x + x – 2 = 0

⇔ 3x(x – 2) + x – 2 = 0

⇔ (x – 2)(3x + 1) = 0

⇔ x = 2 ∨ x = H6

Bài 7. Giải các phương trình sau:

a) (x² + x)² + 4(x² + x) = 12

b) x(x – 1)(x + 1)(x + 2) = 24

Hướng dẫn giải

a) Đặt t = x² + x, ta được:

t² + 4t – 12 = 0

⇔ t² – 2t + 6t – 12 = 0

⇔ t(t – 2) + 6(t – 2) = 0

⇔ (t – 2)(t + 6) = 0

⇔ t = 2 ∨ t = –6

Với t = 2 ⇒ x² + x = 2

⇔ x² + x – 2 = 0

⇔ x² – x + 2x – 2 = 0

⇔ (x – 1)(x + 2) = 0

⇔ x = 1 ∨ x = –2

Với $t = - 6 \Rightarrow {x^2} + x = - 6$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow {x^2} + x + 6 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{21}}{4} = 0{\text{ }}\left( {{\text{VN}}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy nghiệm của PT là x = 1 và x = –2

b) x(x – 1)(x + 1)(x + 2) = 24

⇔ (x² + x)(x² + x – 2) = 24

Đặt t = x² + x, ta được:

t(t – 2) – 24 = 0

⇔ t² – 2t – 24 = 0

⇔ t² + 4t – 6t – 24 = 0

⇔ (t + 4)(t – 6) = 0

⇔ t = –4 ∨ t = 6

Với t = 6 ⇒ x² + x = 6

⇔ x² + x – 6 = 0

⇔ x² – 2x + 3x – 6 = 0

⇔ (x – 2)(x + 3) = 0

⇔ x = 2 ∨ x = –3

Với $t = - 4 \Rightarrow {x^2} + x = - 4$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow {x^2} + x + 4 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} = 0{\text{ }}\left( {{\text{VN}}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy nghiệm của PT là x = 2 và x = –3

Bài 8. Giải phương trình:

(x² – 6x + 9)² – 15(x² – 6x + 10) = 1

Hướng dẫn giải

(x² – 6x + 9)² – 15(x² – 6x + 10) = 1

⇔ (x² – 6x + 9)² – 15(x² – 6x + 9) – 16 = 0

Đặt t = x² – 6x + 9 = (x – 3)² ≥ 0, ta được:

t² – 15t – 16 = 0

⇔ t² + t – 16t – 16 = 0

⇔ (t + 1)(t – 16) = 0

⇔ t = 16 ∨ t = –1 (loại)

Với t = 16 ⇒ (x – 3)² = 16

⇔ (x – 3)² – 4² = 0

⇔ (x – 3 – 4)(x – 3 + 4) = 0

⇔ (x – 7)(x + 1) = 0

⇔ x = –1 ∨ x = 7

Vậy nghiệm của PT là x = –1 và x = 7

Bài 9. Cho phương trình

a) (2x – 5)⁴ + (2x – 3)⁴ = 16

b) (4x – 19)⁴ + (4x – 20)⁴ = (39 – 8x)⁴

c) (5x + 2,5)⁴ – (5x – 1,5)⁴ = 80

Hướng dẫn giải

Lưu ý dạng a⁴ – b⁴ và (a ± b)⁴ = a⁴ ± 4a³b + 6a²b² ± 4ab³ + b⁴

a) Đặt t = 2x – 4 phương trình trở thành:

(t – 1)⁴ + (t + 1)⁴ = 16

⇔ t⁴ – 4t³ + 6t² – 4t + 1 + t⁴ + 4t³ + 6t² + 4t + 1 = 16

⇔ 2t⁴ + 12t² – 14 = 0

⇔ t⁴ + 6t² – 7 = 0

⇔ t⁴ – t² + 7t² – 7 = 0

⇔ (t² – 1)(t² + 7) = 0

⇔ t = ±1 (Vì t² + 7 > 0, ∀x)

Với t = 1 ⇒ 2x – 4 = 1 ⇔ x = $\frac{5}{2}$

Với t = –1 ⇒ 2x – 4 = –1 ⇔ x = $\frac{3}{2}$

Vậy tập nghiệm của PT là $S = \left\{ {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right\}$

Chú ý: Có thể đặt 2x – 5 = y và 2x – 3 = z ta có y⁴ – z⁴ = (y – z)⁴ (bạn đọc tự giải).

b) Đặt 4x – 19 = y; 4x – 20 = z thì y + z = 8x – 39 ta có:

$\begin{gathered} {y^4} + {z^4} - {\left( {y + z} \right)^4} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {y^4} + {z^4} - {y^4} - 4{y^3}z - 6{y^2}{z^2} - 4y{z^3} - {z^4} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow - 4{y^3}z - 6{y^2}{z^2} - 4y{z^3} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 4yz\left( {{y^2} + \frac{6}{4}yz + {z^2}} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 4yz\left[ {{{\left( {y + \frac{3}{4}z} \right)}^2} + \frac{7}{{16}}{z^2}} \right] = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} y = 0 \hfill \\ z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 4x - 19 = 0 \hfill \\ 4x - 20 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{{19}}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$