Phép trừ các phân thức đại số giúp chúng ta đơn giản hóa biểu thức, giải phương trình và hệ phương trình và thực hiện các bài toán thường gặp. Bài viết dưới đây chúng ta sẽ tìm hiểu các bước thực hiện, quy tắc và một số dạng toán áp dụng.
Lý thuyết phép trừ phân thức đại số
Phân thức đối
– Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
– Phân thức đối của của là
Quy tắc trừ hai phân thức đại số
Muốn trừ phân thức cho phân thức , ta cộng với phân thức đối của , cụ thể như sau:
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Thực hiện phép tính có sử dụng quy tắc trừ các phân thức đại số
Phương pháp giải
Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Áp dụng quy tắc trừ các phân thức đại số đã nêu trong phần “Tóm tắt lý thuyết”
Bước 2. Thực hiện tương tự phép cộng các phân thức đại số đã học
Bài tập vận dụng
Câu 1. Làm tính trừ các phân thức sau:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a)
b)
Câu 2. Thực hiện các phép tính sau:
a)
b)
Hướng dẫn giải
Tương tự bài 1
a)
b)
Câu 3. Trừ các phân thức sau:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a)
b)
Câu 4. Thực hiện phép trừ các phân thức sau:
a)
b)
Hướng dẫn giải
Tương tự bài 3, tìm được:
a)
b)
Dạng 2. Tìm phân thức thỏa mãn yêu cầu
Phương pháp giải
Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Đưa phân thức cần tìm về riêng một vế;
Bước 2. Sử dụng kết hợp quy tắc cộng, trừ các phân thức đại số, từ đó suy ra phân thức cần tìm.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm phân thức P thỏa mãn đẳng thức sau:
Hướng dẫn giải
Câu 2. Tìm phân thức Q thỏa mãn điều kiện:
Hướng dẫn giải
Tương tự bài 1, tìm được:
Câu 3. Chứng minh: . Từ đó, tính nhanh biểu thức:
, với các mẫu thỏa mãn ≠ 0.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Áp dụng ta có:
Câu 4. Chứng minh: . Áp dụng để tính nhanh biểu thức sau:
, với các mẫu thỏa mãn ≠ 0.
Hướng dẫn giải
Tương tự bài 3, tìm được:
Dạng 3. Giải toán đố có sử dụng phép trừ các phân thức đại số
Phương pháp giải
Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Thiết lập các biểu thức theo yêu cầu của đề bài;
Bước 2. Sử dụng kết hợp quy tắc cộng, trừ các phân thức đại số đã học.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Một công ty may mặc phải sản xuất 10.000 sản phẩm trong x ngày. Khi thực hiện không những đã làm xong sớm một ngày mà còn làm thêm được 80 sản phẩm.
a) Hãy biểu diễn qua x:
⋄ Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch;
⋄ Số sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày;
⋄ Số sản phẩm làm thêm trong một ngày.
Tính số sản phẩm làm thêm trong một ngày với x = 25.
Hướng dẫn giải
a) Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch là: (sản phẩm)
Số sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày là: (sản phẩm)
Số sản phẩm làm thêm trong một ngày là:
(sản phẩm)
b) Số sản phẩm làm thêm trong một ngày là:
(sản phẩm)
Câu 2. Nếu mua lẻ thì giá một chiếc bút bi là x đồng. Nhưng nếu mua từ 10 bút trả lên thì giá mỗi chiếc rẻ hơn 100 đồng. Cô Dung dùng 180.000 đồng để mua bút cho văn phòng. Hãy biểu diễn qua x:
⋄ Tổng số bút mua được khi mua lẻ;
⋄ Số bút mua được nếu mua cùng một lúc, biết rằng giá tiền một bút không quá 1200 đồng;
⋄ Số bút được lợi khi mua cùng một lúc so với khi mua lẻ.
Hướng dẫn giải
Tương tự Câu 1.
Tổng bốt bút mua được khi mua lẻ là: (bút)
Số bút mua được nếu mua cùng một lúc là: (bút)
Số bút được lợi khi mua cùng một lúc so với khi mua lẻ là: (bút)
Dạng 4. Tìm phân thức đối của một phân thức
Câu 1. Tìm phân thức đối của các phân thức:
a)
b)
c)
d)
e)
Hướng dẫn giải
a) Phân thức đối của là:
b) Phân thức đối của là:
c) Phân thức đối của là:
d) Phân thức đối của là:
e) Phân thức đối của là:
Câu 2. Chứng minh các phân thức sau đối nhau:
a) và
b) và
c) và
d) và
e) và
Hướng dẫn giải
a) Do
b) Do
c) Do
d) Do
e) Do
Dạng 5. Trừ các phân thức cùng mẫu thức
Câu 1. Thực hiện các phép tính sau.
a)
b)
c)
d)
Hướng dẫn giải
a)
b)
c)
d)
Câu 2. Áp dụng quy tắc đổi dấu để các phân thức có cùng mẫu thức rồi thực hiện phép tính.
a)
b)
c)
d)
Hướng dẫn giải
a)
b)
c)
d)
Dạng 6. Trừ các phân thức không cùng mẫu thức
Câu 1. Thực hiện các phép tính sau.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Hướng dẫn giải
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Câu 2. Thực hiện các phép tính sau.
a)
b)
c)
d)
Hướng dẫn giải
a)
b)
c)
d)
Câu 3. Thực hiện phép tính
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Câu 4. Với n ∈ ℕ* tính các tổng sau:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Dạng 7. Chứng minh đẳng thức
Câu 1. Chứng minh rằng nếu tổng hai trong ba số a, b, c khác 0 thì:
Hướng dẫn giải
Câu 2. Cho các số x, y, z ≠ 0 thỏa mãn: (x – y – z)2 = x2 + y2 + z2. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải
Do (x – y – z)2 = x2 + y2 + z2
⇔ x2 + y2 + z2 – 2xy – 2xz – 2yz = x2 + y2 + z2
⇔ yz = xy + xz
Ta có:
Dạng 8. Biểu Thị Các Đại Lượng Thông Qua Biến
Câu 1. Một xe dự định đi từ A đến B dài 180 km trong x giờ (đi với vận tốc đều). Thực tế xe đã đi nhanh hơn dự định nên đến B sớm hơn 1 giờ.
a) Hãy biểu diễn theo x:
⋄ Vận tốc dự định đi từ A đến B.
⋄ Vận tốc thực tế đã đi.
⋄ Vận tốc tăng thêm so với dự định.
b) Tính vận tốc tăng thêm với x = 4.
Hướng dẫn giải
a)
⋄ Vận tốc dự định đi từ A đến B: (km/h)
⋄ Vận tốc thực tế đã đi: (km/h)
⋄ Vận tốc tăng thêm so với dự định:
(km/h)
b) Với x = 4 thì vận tốc tăng thêm là:
(km/h)
Câu 2. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km với vận tốc x (km/h). Sau đó 1 giờ 30 phút một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn, biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc của xe đạp.
a) Biểu diễn theo x:
⋄ Thời gian của người đi xe đạp đi từ A đến B.
⋄ Thời gian của người đi xe máy đi từ A đến B.
⋄ Thời gian chênh lệch T của người đi xe đạp và người đi xe máy khi đi từ A đến B.
b) Tính T nếu x = 12.
Hướng dẫn giải
a)
⋄ Thời gian của người đi xe đạp đi từ A đến B: (giờ).
⋄ Thời gian của người đi xe máy đi từ A đến B: (giờ)
⋄ Thời gian chênh lệch T của người đi xe đạp và người đi xe máy khi đi từ A đến B: (giờ)
b) Người đi xe máy đến trước người đi xe đạp khoảng thời gian là:
(giờ)
Với x = 12 ta có: (giờ)
Câu 3. Làm tính trừ các phân thức sau:
a)
b)
c)
d)
Hướng dẫn giải
a)
b)
c)
d)
Câu 4. Làm các phép tính sau:
a)
b)
c)
d)
Hướng dẫn giải
a)
b)
c)
d)
Câu 5. Rút gọn các biểu thức:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Hướng dẫn giải
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Câu 6. Thực hiện phép tính:
a)
b)
c)
Hướng dẫn giải
a)
b)
c)
Câu 7. Tính giá trị của biểu thức:
a) với
b) với
c) với
Hướng dẫn giải
a)
Với tính được A = –4
b) Với
c) Với
Câu 8. Chứng minh đẳng thức:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a)
b)
Câu 9. Chứng minh rằng: . Vận dụng tính nhanh các phép tính sau:
a)
b)
Hướng dẫn giải
a)
b)
Câu 10.
a) Tìm các hằng số a và b sao cho phân thức viết được thành
b) Tìm các hằng số a và b sao cho phân thức viết được thành
Hướng dẫn giải
a)
Để phân thức này là phân thức ta phải có a – b = 1 và –2a = –6
Do đó: a = 3 và b = 2
b)
Để phân thức này là phân thức ta phải có a – 2b = 1 và –a = –8
Do đó: a = 8 và b =
Câu 11. Cho . Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải
Nhân hai vế của với a + b + c ta được:
Câu 12. Một công ty may phải sản xuất 1500 túi thời trang trong x ngày. Khi thực hiện không những đã làm xong sớm một ngày mà còn làm thêm được 50 sản phẩm
a) Hãy biểu diễn qua x.
⋄ Số túi thời trang trong một ngày theo kế hoạch
⋄ Số túi thời trang thực tế đã làm được trong một ngày
⋄ Số túi thời trang làm thêm trong một ngày
b) Tính số túi thời trang làm thêm trong một ngày với x = 5
Hướng dẫn giải
a)
⋄ Số túi thời trang làm trong một ngày theo kế hoạch là: túi
⋄ Số túi thời trang thực tế đã làm được trong một ngày là: túi
⋄ Số túi làm thêm trong một ngày là: túi
b)
Thay x = 5 số túi thời trang làm thêm trong một ngày là: 350 chiếc.