Nhân đơn thức với đa thức: Quy tắc nhân và các dạng bài

Tìm hiểu quy tắc nhân đơn thức với đa thức, các phép lũy thừa thường dùng. Từ đó ứng dụng để giải các dạng toán rút gọn đặc trưng.

Tổng quan lý thuyết

[content_1]

Quy tắc nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Ta có: A(B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C.

Ví dụ:

3x (2x³ – x + 1)

= 3x ⋅ 2x³ + 3x (–x) + 3x ⋅ 1

= 6x⁴ – 3x² + 3x.

Vậy 3x (2x³ – x + 1) = 6x⁴ – 3x² + 3x.

Các phép toán lũy thừa thường dùng

⊗ Ta thường sử dụng các phép toán liên quan đến lũy thừa sau khi thực hiện phép nhân:

– a⁰ = 1 với a ≠ 0

– a^m ⋅ aⁿ = a^m ⁺ ⁿ

– a^m : aⁿ = a^m ^–ⁿ với m ≥ n

– (a^m)ⁿ = a^m^⋅ⁿ

với m, n là số tự nhiên.

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Làm phép tính nhân đơn thức với đa thức

[content_2]

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và các phép toán liên quan đến lũy thừa.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Thực hiện phép tính

a) $M = 2{x^2}\left( {1 - 3x + 2{x^2}} \right)$

b) $N = \left( {2{x^2} - 3x + 4} \right)\left( { - \frac{1}{2}x} \right)$

c) $P = \frac{1}{2}xy\left( { - {x^3} + 2xy - 4{y^2}} \right)$

Hướng dẫn giải

a) $M = 2{x^2} - 6{x^3} + 4{x^4}$

b) $N = - {x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - 2x$

c) $P = - \frac{1}{2}{x^4}y + {x^2}{y^2} - 2x{y^3}$

Câu 2. Làm tính nhân

a) $M = 2{x^3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)$

b) $N = \left( {2{x^3} - 4x - 8} \right)\left( {\frac{1}{2}x} \right)$

c) $P = {x^2}y\left( {x{y^2} - {x^2} - \frac{1}{2}{y^3}} \right)$

Hướng dẫn giải

a) $M = 2{x^5} - 4{x^4} + 2{x^3}$

b) $N = {x^4} - 2{x^2} - 4x$

c) $P = {x^3}{y^3} - {x^4}y - \frac{1}{2}{x^2}{y^4}$

Câu 3. Nhân đơn thức A với đa thức B biết rằng:

$A = {\left( { - \frac{1}{2}{x^2}y} \right)^2}$ và $B = 4{x^2} + 4x{y^2} - 3$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} A \cdot B{\text{ }} = \frac{1}{4}{x^4}{y^2}\left( {4{x^2} + 4x{y^2} - 3} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} = {x^6}{y^2} + {x^5}{y^4} - \frac{3}{4}{x^4}{y^2} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 4. Nhân đa thức A với đơn thức B biết rằng

$A = \frac{1}{4}{x^3}y - \frac{1}{2}{x^2} - {y^3}$ và $B = {\left( { - 2xy} \right)^2}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} A \cdot B{\text{ }} = \left( {\frac{1}{4}{x^3}y - \frac{1}{2}{x^2} - {y^3}} \right) \cdot 4{x^2}{y^2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = {x^5}{y^3} - 2{x^4}{y^2} - 4{x^2}{y^5}} \end{array}} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Dạng 2. Sử dụng phép nhân đơn thức với đa thức, rút gọn biểu thức cho trước

[content_3]

Phương pháp giải

Thực hiện theo hai bước

– Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để phá ngoặc;

– Nhóm các đơn thức đồng dạng và rút gọn biểu thức đã cho.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Rút gọn các biểu thức sau

a) M = 2x(–3x + 2x³) – x²(3x² – 2) – (x² – 4)x2

b) N = x(y² – x) – y(yx – x²) – x(xy – x – 1)

Hướng dẫn giải

a) M = –6x² + 4x⁴ – 3x⁴ + 2x² – x⁴ + 4x² = 0.

b) N = xy² – x² – y²x + x²y – x²y + x² + x = x.

Câu 2. Rút gọn các biểu thức sau

a) A = 3x²(6x² + 1) – 9x(2x³ – x)

b) B = x²(x – 2y) + 2xy(x – y) + $\frac{1}{3}$ y²(6x – 3y)

Hướng dẫn giải

a) A = 18x⁴ + 3x² – 18x⁴ + 9x² = 12x²

b) B = x³ – 2x²y + 2x²y – 2xy² + 2xy² – y³ = x³ – y³

Dạng 3. Tính giá trị của biểu thức cho trước

[content_4]

Phương pháp giải

Thực hiện theo hai bước

Rút gọn biểu thức đã cho;

Thay các giá trị của biến vào biểu thức sau khi đã rút gọn ở bước 1.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tính giá trị của biểu thức

a) P = 2x³ – x(3 + x²) – x(x² – x – 3) tại x = 10

b) Q = x²(x – y + y²) – x(xy² + x² – xy – y) tại x = 5 và y = 20

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn được P = x², thay x = 10 ta được P = 100.

b) Rút gọn được Q = xy, thay x = 5 và y = 20 ta được Q = 100.

Câu 2. Tính giá trị của biểu thức

a) M = 2x²(x² – 5) + x(–2x³ + 4x) + (6 + x)x² tại x = –4

b) N = x³(y + 1) – xy(x² – 2x + 1) – x(x² + 2xy – 3y) tại x = 8 và y = –5

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn được M = x³, thay x = –4 ta được M = –64.

b) Rút gọn được N = 2xy, thay x = 8 và y = –5 ta được N = –80.

Dạng 4. Tìm x biết x thỏa mãn điều kiện cho trước

[content_5]

Phương pháp giải

Thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để phá ngoặc;

Bước 2: Nhóm các đơn thức đồng dạng và rút gọn biểu thức ở hai vế để tìm x.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm x, biết 3x(1 – 4x) + 6x(2x – 1) = 9.

Hướng dẫn giải

Biến đổi phương trình thành:

3x – 12x² + 12x² – 6x = 9

⇔ –3x = 9 ⇔ x = –3.

Câu 2. Tìm x, biết 3x(2 – 8x) – 12x(1 – 2x) = 6

Hướng dẫn giải

Biến đổi phương trình thành:

6x – 24x² – 12x + 24x² = 6

⇔ –6x = 6 ⇔ x = –1.

Dạng 5. Chứng tỏ giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

[content_6]

Phương pháp giải

Rút gọn biểu thức đã cho và chứng tỏ kết quả đó không phụ thuộc vào biến.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức Q không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

Q = 3x(x³ – x + 4) – $\frac{1}{2}$ x²(6x² – 2) – 2x(6 – x) + 1

Hướng dẫn giải

Rút gọn Q = 1 ⇒ Q không phụ thuộc vào biến x.

Câu 2. Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

P = x²(1 – 2x³) + 2x(x⁴ – x + 2) + x(x – 4)

Hướng dẫn giải

Rút gọn P = 0 ⇒ P không phụ thuộc vào biến x.

Thầy Tú dạy toán