Tìm hiểu quy tắc nhân đa thức với đa thức và ứng dụng giải các dạng toán về làm phép tính, chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến, tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước, chứng minh đẳng thức, chứng minh các bài toán về số nguyên, …
Quy tắc nhân đa thức với đa thức
[content_1]Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với mỗi hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại với nhau. Ta có: (A + B)(C + D) = A(C + D) + B(C + D) = A ⋅ C + A ⋅ D + B ⋅ C + B ⋅ D. Trong đó A, B, C, D là các đơn thức.
Ví dụ: (x + 2)(x – 1)
= x(x – 1) + 2(x – 1)
= x2 – x + 2x – 2
= x2 + x – 2.
Vậy (x + 2)(x – 1) = x2 + x – 2.
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Làm phép tính nhân đa thức với đa thức
[content_2]Phương pháp giải
Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Nhân các đa thức sau
a) (x – 2)(3x + 5)
b) (–2x2 + x – 1)(x + 2)
c) (x – y)(y2 + xy + x2)
Hướng dẫn giải
a) 3x2 – x – 10
b) –2x3 – 3x2 + x – 2
c) x3 – y3
Câu 2. Thực hiện phép nhân
a) (x + 1)(x2 – x)
b) (x + 2)(x2 – 2x + 4)
c) (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
Hướng dẫn giải
a) x3 – x
b) x3 + 8
c) x3 – 8y3
Câu 3. Tính giá trị của biểu thức
a) M = (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) tại x = ![\[ - \frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/nhan-da-thuc-voi-da-thuc-1.svg)
b) N = (2x – y2)(4x2 + 2xy2 + y4) tại x = ![\[\frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/nhan-da-thuc-voi-da-thuc-2.svg)
và y = 2
Hướng dẫn giải
a) Rút gọn M = 8x3 – 1, thay x = ta được M = –2.
b) Rút gọn N = 8x3 – y6, thay x = và y = 2 ta được N = –63.
Câu 4. Tính giá trị của biểu thức
a) P = (4x – 3)(4x + 3) tại x = ![\[\frac{1}{4}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/nhan-da-thuc-voi-da-thuc-3.svg)
b) Q = (3y + x)(9y2 – 3xy + x2) tại x = 3 và y = ![\[\frac{1}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/nhan-da-thuc-voi-da-thuc-4.svg)
Hướng dẫn giải
a) Rút gọn P = 16x2 – 9, thay x = ta được P = –8.
b) Rút gọn Q = 27y3 + x3, thay x = 3 và y = ta được Q = 28.
Dạng 2. Chứng tỏ giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
[content_3]Phương pháp giải
Thực hiện theo hai bước
Bước 1: Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức;
Bước 2: Áp dụng các quy tắc rút gọn đa thức để thu được kết quả không còn chứa biến.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
A = (x – 2)(2x – 1) – (2x – 3)(x – 1) – 2.
Hướng dẫn giải
Rút gọn A = –3 ⇒ A không phụ thuộc vào biến x.
Câu 2. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
B = (3 – 2x)(3 + 2x) + (2x – 1)(2x + 1).
Hướng dẫn giải
Rút gọn B = 8 ⇒ B không phụ thuộc vào biến x.
Dạng 3. Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước
[content_4]Phương pháp giải
Thực hiện theo hai bước
Bước 1: Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để khai triển;
Bước 2: Nhóm các đơn thức đồng dạng và rút gọn biểu thức ở hai vế để tìm x.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm x, biết (2x + 1)(2x – 3) – (4x + 1)(x + 2) = 8
Hướng dẫn giải
Biến đổi phương trình thành:
4x2 – 4x – 3 – 4x2 – 9x – 2 = 8
⇔ –13x = 13 ⇔ x = –1.
Câu 2. Tìm x, biết (1 – 2x)(3x + 1) + 3x(2x – 1) = 9
Hướng dẫn giải
Biến đổi phương trình thành:
–6x2 + x + 1 + 6x2 – 3x = 9
⇔ –2x = 8 ⇔ x = –4.
Dạng 4. Chứng minh đẳng thức
[content_5]Phương pháp giải
Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức ở vế thứ nhất, sau đó rút gọn đa thức để thu được kết quả như vế còn lại.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Chứng minh
a) (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) = 8x3 – 1
b) (x – y)(x + y)(x2 + y2) = x4 – y4
Hướng dẫn giải
a) VT = 8x3 + 4x2 + 2x – 4x2 – 2x – 1 = 8x3 – 1
b) VT = (x2 – y2)(x2 + y2) = x4 – y4
Câu 2. Chứng minh
a) (x2 – 2x + 4)(x + 2) = x3 + 8
b) (x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3
Hướng dẫn giải
a) VT = x3 + 2x2 – 2x2 – 4x + 4x + 8 = x3 + 8
b) VT = x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3 = x3 – y3
Dạng 5. Chứng minh các bài toán về số nguyên
[content_6]Phương pháp giải
Thực hiện theo 4 bước
Bước 1: Gọi số phải tìm và đặt điều kiện;
Bước 2: Biểu diễn các dữ kiện của đề bài theo số phải tìm;
Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để tìm ra đáp án của bài toán;
Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 24.
Hướng dẫn giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp lần lượt là x; x + 1; x + 2 (x ∈ ℕ).
Tích hai số sau là (x + 1)(x + 2), tích hai số đầu là x(x + 1).
Vì tích hai số sau lớn hơn hai số trước là 24 nên:
(x + 1)(x + 2) – x(x + 1) = 24
⇔ 2x = 22 ⇔ x = 11.
Vậy ba số tự nhiên cần tìm là 11; 12; 13.
Câu 2. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai số trước lớn hơn tích của hai số sau là 26.
Hướng dẫn giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp lần lượt là x; x + 1; x + 2 (x ∈ ℕ).
Tích hai số sau là (x + 1)(x + 2), tích hai số đầu là x(x + 1).
Vì tích của hai số trước lớn hơn tích của hai số sau là 26 nên:
(x + 1)(x + 2) – x(x + 1) = 26
⇔ 2x = 24 ⇔ x = 12.
Vậy ba số tự nhiên cần tìm là 12; 13; 14.
Câu 3. Chứng minh n2(3 – 2n) – n(3n – 2n2 – 3) chia hết cho 3 với mọi số nguyên n.
Hướng dẫn giải
Rút gọn n2(3 – 2n) – n(3n – 2n2 – 3) = 3n chia hết cho 3 với mọi số nguyên n.
Câu 4. Chứng minh n(1 – 2n) – (n – 1)(5 – 2n) + 1 chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Hướng dẫn giải
Rút gọn n(1 – 2n) – (n – 1)(5 – 2n) + 1 = –6n + 6 chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
