Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu chi tiết lý thuyết đơn thức, cách thu gọn đơn thức. Ứng dụng giải các bài tập về rút gọn, cộng trừ và tính giá trị đơn thức.
Tổng hợp lý thuyết về đơn thức
[content_1]Đơn thức
Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.
Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến trong đơn thức đó.
Quy tắc nhân đơn thức: Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau.
Ví dụ: –2; x; 6x; 14xy2; 2020x3y4 là các đơn thức
Bậc của đơn thức 2020x3y4 là 7
(2x)(3xy2) = (2⋅3)(x⋅xy2) = 6x2y2
Đơn thức đồng dạng
Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.
Các số khác 0 được coi là những đơn thức đồng dạng.
Cộng trừ hai đơn thức đồng dạng: Cộng (hay trừ) các hệ số với nhau còn giữ nguyên phần biến.
Ví dụ: 2x2y2; 4x2y3; ![\[\frac{2}{5}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-1.svg)
x2y3 là các đơn thức đồng dạng
![\[\begin{gathered} 2{x^2}{y^3} + 4{x^2}{y^3} + \frac{2}{5}{x^2}{y^3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( {2 + 4 + \frac{2}{5}} \right){x^2}{y^3} = \frac{{32}}{5}{x^2}{y^3} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-2.svg)
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Nhận biết đơn thức
[content_2]Phương pháp giải
Để nhận biết một biểu thức là đơn thức, ta căn cứ vào định nghĩa đơn thức (chỉ gồm một số, một biến hoặc một tích giữa các số và các biến).
Ví dụ: x; y; 3; –2010; 5x2; 2xyz4 là các đơn thức
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?
a) + xy2
b) 4xy2z
c) 2x2 – xy
d) 2020
e) x2y2
f) xyz
Hướng dẫn giải
Các biểu thức trong các ý b, d, e, f là các đơn thức
Câu 2. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không là đơn thức?
a) 3xy2 – xz
b) xy2
c) x2 + 2y + z
d) 3xyx3z3
e) 0
f) 1 – ![\[\frac{5}{9}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-3.svg)
x3
Hướng dẫn giải
Các biểu thức trong các ý a, c, f không là đơn thức.
Câu 3. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?
a) 1 + 2x2
b) ![\[\frac{3}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-4.svg)
x2y
c) 4
d) xy + x
e) 5y2
Hướng dẫn giải
Các biểu thức trong các ý b, c, e là các đơn thức
Câu 4. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phải đơn thức?
2x; 3y; x + y; x + 1; 2xyz; 3x3 + y; 2y2xz
Hướng dẫn giải
Các biểu thức: x + y; x + 1; 3x3 + y không là các đơn thức
Dạng 2. Thu gọn đơn thức
[content_3]Phương pháp giải
Muốn thu gọn đơn thức, ta cũng áp dụng quy tắc nhân đơn thức
Quy tắc nhân đơn thức: Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau.
Ví dụ: (2xy)(3x2y) = (2⋅3)(xy⋅x2y) = 6x3y2
Bài tập vận dụng
Câu 1. Thu gọn các đơn thức sau:
a) ![\[ - \frac{1}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-5.svg)
x2y⋅xy3
b) –5xy4 (–0,2x2y2)
c) (–2x2y)(5x3y3)
d) ![\[{\left( { - 1\frac{1}{2}{x^2}{y^3}} \right)^2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-6.svg)
Hướng dẫn giải
a) ![\[ - \frac{1}{3}{x^2}y \cdot \frac{3}{2}x{y^3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-7.svg)
![\[ = \left( { - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}} \right)\left( {{x^2} \cdot x} \right)\left( {y \cdot {y^3}} \right) = - \frac{1}{2}{x^3}{y^4}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-8.svg)
b) –5xy4 (–0,2x2y2)
= [–5⋅(–0,2)](x⋅x2)(y4⋅y2) = x3y6
c) (–2x2y)(5x3y3)
= (–2⋅5)(x2⋅x3)(y⋅y3) = –10x5y4
d) ![\[ = {\left( { - 1\frac{1}{2}} \right)^2}{\left( {{x^2}} \right)^2}{\left( {{y^3}} \right)^2} = \frac{9}{4}{x^4}{y^6}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-9.svg)
Câu 2. Thu gọn các đơn thức sau:
a) ![\[\left( { - \frac{1}{3}{x^2}y} \right)\left( { - \frac{2}{3}x{y^3}} \right)\left( {1\frac{1}{2}x{y^2}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-10.svg)
b) ![\[\left( { - \frac{1}{4}{x^3}} \right)\left( { - 8x{y^2}} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-11.svg)
Hướng dẫn giải
a)
![\[\begin{gathered} = \left[ {\left( { - \frac{1}{3}} \right)\left( { - \frac{2}{3}} \right)\left( {1\frac{1}{2}} \right)} \right] \cdot \left( {{x^2}y} \right) \cdot \left( {x{y^3}} \right) \cdot \left( {x{y^2}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \frac{1}{3}{x^4}{y^6} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-12.svg)
b)
![\[ = \left[ {\left( { - \frac{1}{4}} \right)\left( { - 8} \right)} \right] \cdot {x^3} \cdot \left( {x{y^2}} \right) = 2{x^4}{y^2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-13.svg)
Câu 3. Thu gọn các đơn thức sau rồi tìm bậc của đơn thức đó:
a) ![\[ - \frac{1}{5}{x^3}{y^2}\frac{5}{4}x{y^3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-14.svg)
b) ![\[ - 3x{y^4}\left( { - \frac{1}{3}} \right){x^2}{y^2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-15.svg)
Hướng dẫn giải
a) ![\[ - \frac{1}{5}{x^3}{y^2}\frac{5}{4}x{y^3} = - \frac{1}{4}{x^4}{y^5}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-16.svg)
Bậc của đơn thức là: 4 + 5 = 9
b) ![\[ - 3x{y^4}\left( { - \frac{1}{3}} \right){x^2}{y^2} = {x^3}{y^6}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-17.svg)
Bậc của đơn thức là: 3 + 6 = 9
Câu 4. Xác định hệ số, phần biến của các đơn thức sau:
a) 5x100
b) 20xyz
c) ![\[\frac{3}{5}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-18.svg)
x2y4z6
Hướng dẫn giải
a) Phần hệ số: 5; phần biến: x100
b) Phần hệ số: 20; phần biến: xyz
c) Phần hệ số: ; phần biến: x2y4z6
Câu 5. Thu gọn các đơn thức sau:
a) 2xy⋅3x2y
b) ![\[\frac{1}{4}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-19.svg)
x2y⋅xy2
c) 12x⋅![\[\frac{3}{4}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-20.svg)
xy
d) 2y⋅![\[\frac{1}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-21.svg)
⋅x2y4
Hướng dẫn giải
a) 2xy⋅3x2y = 6x3y2
b) x2y⋅xy2 = ![\[\frac{1}{{10}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-22.svg)
x3y3
c) 12x⋅xy = 9x2y
d) 2y⋅⋅x2y4 = ![\[\frac{2}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-23.svg)
x2y5
Câu 6. Thu gọn các đơn thức sau và tìm bậc của đơn thức đó:
a) a2b⋅a3⋅3b
b) ![\[ - \frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-24.svg)
ab2c⋅3bc
c) ab⋅![\[\frac{4}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-25.svg)
c2
Hướng dẫn giải
a) a2b⋅a3⋅3b = 3a5b2
Bậc của đơn thức là: 5 + 2 = 7
b) ab2c⋅3bc = ![\[ - \frac{3}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-25a.svg)
ab3c2
Bậc của đơn thức là: 1 + 3 +2 = 6
c) ab⋅c2 = ![\[\frac{8}{9}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-26.svg)
abc2
Bậc của đơn thức là: 1 + 1 + 2 = 4
Dạng 3. Tính giá trị của đơn thức
[content_4]Phương pháp giải
Để tính giá trị của đơn thức, ta thay giá trị cho trước của các biến vào đơn thức rồi thực hiện các phép tính.
Tính giá trị của đơn thức A = 2xy tại x = 1 và y = 2
Thay x = 1 và y = 2 vào biểu thức ta có:
A = 2⋅1⋅2 = 4
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho đơn thức A = 3x2y
a) Xác định phần hệ số, phần biến của A.
b) Tính giá trị của đơn thức A tại x = 1 và y = –1
Hướng dẫn giải
a) Phần hệ số: 3; phần biến: x2y
b) Thay x = 1 và y = –1 vào A ta được:
A = 3⋅12⋅(–1) = –3
Câu 2. Cho đơn thức B = ![\[ - \frac{2}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-27.svg)
x3y2z
a) Xác định phần hệ số, phần biến của B.
b) Tính giá trị của B tại x = –3, y = –2 và z = ![\[\frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-28.svg)
Hướng dẫn giải
a) Phần hệ số: , phần biến: x3y2z
b) Tại x = –3, y = –2 và z = thì
![\[B = - \frac{2}{3}{x^3}{y^2}z = - \frac{2}{3} \cdot {\left( { - 3} \right)^3} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} \cdot \frac{1}{2} = 36\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-29.svg)
Câu 3. Tại giá trị nào của x thì đơn thức 4x2y3 có giá trị là 128, biết rằng y = 2 ?
Hướng dẫn giải
Ta có: 4x2⋅23 = 128 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ±2
Câu 4. Cho đơn thức ![\[A = 2x{y^2}\left( {\frac{1}{2}{x^2}{y^2}x} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-30.svg)
a) Thu gọn đơn thức A.
b) Tìm bậc của đơn thức thu gọn.
c) Xác định phần hệ số, phần biến của đơn thức thu gọn.
d) Tính giá trị của đơn thức tại x = 1, y = –1
e) Chứng minh rằng A luôn nhận giá trị dương với mọi x ≠ 0 và y ≠ 0
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[A = 2x{y^2}\left( {\frac{1}{2}{x^2}{y^2}x} \right) = {x^4}{y^4}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-31.svg)
b) Bậc của đơn thức 8.
c) Phần hệ số: 1, phần biến: x4y4
d) Thay x = 1, y = –1 vào biểu thức A, ta được A = 14⋅14 = 1
e) Vì x4 > 0, y4 > 0, ∀x ≠ 0 và y ≠ 0 nên x4y4 > 0, ∀x ≠ 0 và y ≠ 0
Vậy A luôn nhận giá trị dương với mọi x ≠ 0 và y ≠ 0
Câu 5. Tính giá trị các biểu thức sau tại x = 2, y = 3
a) xy
b) 3xy + 4xy
c) 5xy2
Hướng dẫn giải
Thay x = 2, y = 3 vào các biểu thức ta được:
a) xy = 2⋅3 = 6
b) 3xy + 4xy = 7xy = 7⋅2⋅3 = 42
c) 5xy2 = 5⋅2⋅32 = 90
Câu 6. Tính giá trị của đơn thức 2x2y3 tại:
a) x = 2; y = 3
b) x = 0; y = 1
c) x = 1; y = 2
d) x = 2; y = 1
Hướng dẫn giải
a) Thay x = 2; y = 3 vào biểu thức ta có:
2x2y3 = 2⋅22⋅33 = 216
b) Thay x = 0; y = 1 vào biểu thức ta có:
2x2y3 = 2⋅02⋅13 = 0
c) Thay x = 1; y = 2 vào biểu thức ta có:
2x2y3 =2⋅12⋅23 = 16
d) Thay x = 2; y = 1 vào biểu thức ta có:
2x2y3 =2⋅22⋅13 = 8
Câu 7. Cho hai đơn thức:
A = ![\[\frac{1}{5}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-32.svg)
x3y2 và B = –10xy4 .
Hai đơn thức có thể cùng có giá trị dương được hay không?
Hướng dẫn giải
Xét tích hai đơn thức:
A⋅B = x3y2 (–10xy4) = –2x4y6
Ta có: x4 ≥ 0, y6 ≥ 0, ∀x, y nên x4⋅y6 ≥ 0, ∀x, y
Từ đó suy ra: –2x4y6 ≤ 0, ∀x, y ⇒ A⋅B ≤ 0, ∀x, y
Vậy hai đơn thức A và B không thể cùng có giá trị dương.
Câu 8. Cho hai đơn thức A = 2x3, B = –xy4 và C = –3y4z2.
Chứng minh ba đơn thức không thể cùng có giá trị âm.
Hướng dẫn giải
Xét tích ba đơn thức:
A⋅B⋅C = (2x3)⋅(–xy4)⋅(–3y4z2) = 6x4y8z2
Ta có: x4 ≥ 0, y8 ≥ 0, z2 ≥ 0, ∀x, y, z nên x4y8z2 ≥ 0, ∀x, y, z
Từ đó suy ra: 6x4y8z2 ≥ 0, ∀x, y, z ⇒ A⋅B⋅C ≥ 0, ∀x, y, z
Vậy ba đơn thức A, B, C không thể cùng có giá trị âm
Dạng 4. Nhận biết đơn thức đồng dạng
[content_5]Phương pháp giải
Đặc điểm của đơn thức đồng dạng:
– Hệ số khác 0
– Có cùng phần biến
Ví dụ: Hai đơn thức 2x3y2 và x3y2 là hai đơn thức đồng dạng vì có hệ số khác 0 và cùng phần biến là x3y2
Bài tập vận dụng
Câu 1. Sắp xếp các đơn thức sau thành từng nhóm các đơn thức đồng dạng:
![\[\frac{5}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-33.svg)
x2y; xy2; x2y; x2y; xy2; xy
Hướng dẫn giải
Nhóm 1: x2y; x2y; x2y
Nhóm 2: xy2; xy2
Còn lại đơn thức xy không đồng dạng với các đơn thức đã cho.
Câu 2. Chứng tỏ rằng các đơn thức sau là đơn thức đồng dạng:
![\[A = 1\frac{2}{3}{x^5}{y^2};{\text{ }}B = - 3{x^3}y \cdot \frac{1}{5}{x^2}y;{\text{ }}C = \frac{1}{2}{\left( {xy} \right)^2}\frac{2}{5}{x^3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-34.svg)
Hướng dẫn giải
![\[\begin{gathered} A = 1\frac{2}{3}{x^5}{y^2} = \frac{5}{3}{x^5}{y^2} \hfill \\ B = - 3{x^3}y \cdot \frac{1}{5}{x^2}y = - \frac{3}{5}{x^5}{y^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ C = \frac{1}{2}{\left( {xy} \right)^2}\frac{2}{5}{x^3} = \frac{1}{5}{x^5}{y^2} \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-35.svg)
Vậy các đơn thức A, B, C là các đơn thức đồng dạng vì có phấn biến giống nhau và có phần hệ số khác 0.
Câu 3. Sắp xếp các đơn thức sau thành từng nhóm các đơn thức đồng dạng:
ab2; a2b; abc; –a2b; abc; 3ab2
Hướng dẫn giải
Nhóm 1: ab2; 3ab2
Nhóm 2: a2b; –a2b
Nhóm 3: abc; abc
Câu 4. Chứng tỏ rằng các đơn thức sau đồng dạng: A = mn2m3n; B = nm4n2
Hướng dẫn giải
A = mn2m3n = m4n3
B = nm4n2 =m4n3
Vậy A, B là các đơn thức đồng dạng vì có phấn biến giống nhau và có phần hệ số khác 0.
Dạng 5. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng
[content_6]Phương pháp giải
Để cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (trừ) các hệ số và giữ nguyên phần biến.
Ví dụ: Tìm tổng của hai đơn thức: 2x2y2 và 3x2y2
Ta có: 2x2y2 + 3x2y2 = (2 + 3)x2y2 = 5x2y2
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tính tổng của ba đơn thức sau:
a) 3x2; x2; 2x2
b) 3y; y; –5y
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
![\[3{x^2} + \frac{1}{2}{x^2} + 2{x^2} = \left( {3 + \frac{1}{2} + 2} \right){x^2} = \frac{{11}}{2}{x^2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-36.svg)
b) Ta có:
3y + y + 5y = (3 + 1 – 5)y = –y
Câu 2. Tìm tổng của ba đơn thức sau:
a) ![\[\frac{1}{2}{x^2}{y^2}; - \frac{3}{4}{x^2}{y^2};{\text{ }}2{x^2}{y^2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-37.svg)
b) 25xy2; 55xy2; 75xy2
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ![\[\frac{1}{2}{x^2}{y^2} - \frac{3}{4}{x^2}{y^2} + 2{x^2}{y^2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-38.svg)
![\[ = \left( {\frac{1}{2} - \frac{3}{4} + 2} \right){x^2}{y^2} = \frac{7}{4}{x^2}{y^2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-38a.svg)
b) Ta có: 25xy2 +55xy2 + 75xy2
= (25 + 55 + 75)xy2 = 155xy2
Câu 3. Thu gọn biểu thức sau:
a) –3x2 – 0,5x2 + 2,5x2
b) ![\[ - \frac{3}{4}{x^3}y + \left( { - \frac{1}{2}{x^3}y} \right) - \left( { - \frac{5}{8}{x^3}y} \right)\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-39.svg)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: –3x2 – 0,5x2 + 2,5x2 = –x2
b) Ta có:
![\[\begin{gathered} = - \frac{3}{4}{x^3}y - \frac{1}{2}{x^3}y + \frac{5}{8}{x^3}y\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( { - \frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{5}{8}} \right){x^3}y = - \frac{5}{8}{x^3}y \hfill \\ \end{gathered} \]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/don-thuc-40.svg)
Câu 4. Viết các đơn thức sau thành tổng hoặc hiệu của các đơn thức trong đó có một đơn thức bằng x2y:
a) 5x2y
b) –2x2y
c) x2y
Hướng dẫn giải
a) 5x2y = 4x2y + x2y
b) –2x2y = x2y – 3x2y
c) x2y = 2x2y – x2y
Câu 5. Tính tổng của các đơn thức sau: 3xy; 2xy; 4xy
Hướng dẫn giải
3xy + 2xy + 4xy = (3 + 2 + 4)xy = 9xy
Câu 6. Rút gọn biểu thức sau: A = a2b + 2a2b – 5ba2
Hướng dẫn giải
A = a2b + 2a2b – 5ba2
= (1 + 2 – 5)a2b = –2a2b
Câu 7. Viết đơn thức 4a2bc thành tổng hoặc hiệu của các đơn thức trong đó có một đơn thức bằng 5a2bc
Hướng dẫn giải
4a2bc = 5a2bc – a2bc
