Bài viết này sẽ giúp bạn?
- Nắm được nội dung định lí Py-ta-go và định lí Py-ta-go đảo.
- Vận dụng định lí Py-ta-go để tính độ dài cạnh thứ ba khi biết độ dài hai cạnh của tam giác vuông.
- Vận dụng định lí Py-ta-go đảo để chứng minh góc vuông hoặc tam giác vuông.
- Áp dụng định lí Py-ta-go vào các bài toán trong thực tiễn.
Định lí Py-ta-go
Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông
△ABC vuông tại A ⇒ BC2 = AB2 + AC2
Định lí Py-ta-go đảo
Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
△ABC có BC2 = AB2 + AC2
⇒ △ABC vuông tại A
Phân dạng bài tập
Dạng 1: Tính độ dài một cạnh của tam giác vuông
Phương pháp giải
+) Sử dụng định lí Py-ta-go và các hệ quả đi kèm.
+) Lưu ý sử dụng các giá trị số căn bậc hai:
Bước 1. Xác định nội dung của định lí Py-ta-go đối với tam giác vuông.
Bước 2. Dựa theo yêu cầu tính toán, ta thay số vào hệ thức Py-ta- go và tìm độ dài cạnh cần tính.
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết AB = 5 cm, AC = 12 cm.
Hướng dẫn giải
Ví dụ mẫu
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABC, ta có: AB2 + AC2 = BC2
Với AB = 5 cm, AC = 12 cm, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 52 + 122 = 169 = 132
⇒ BC = 13 cm
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A . Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết BC = 15 cm và AB = 2AC
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABC, ta có AB2 + AC2 = BC2
Với BC = 15 cm và AB = 2AC, ta có:
(2AC)2 + AC2 = 152 ⇔ 5AC2 = 225 ⇔ AC2 = 45
⇒ AC = cm
Suy ra: AB = 2AC = cm
Ví dụ 2. Tính độ dài x trong hình sau
Hướng dẫn giải
Ta có: BC = BH + CH = 32 + 18 = 50 cm
Áp dụng định lí Py-ta-go trong các tam giác vuông, ta có:
Xét △ACH vuông tại H có:
AC2 = AH2 + CH2
⇒ AH2 = AC2 – CH2 = x2 – 322 (1)
Xét △ABH vuông tại H có:
AB2 = AH2 + BH2 = x2 – 322 + 182 (2)
Xét △ABC vuông tại A có:
AB2 + AC2 = BC2 (3)
Thay (1) và (2) vào (3), ta có:
x2 – 322 + 182 + x2 = 502
⇔ 2x2 – 700 = 2500
⇔ x2 = 1600
⇒ x = 40
Vậy x = 40 cm
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại B. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. BC2 = AB2 + AC2
B. AC2 = BA2 + BC2
C. AC2 = BC2 – AB2
D. AB2 = AC2 + BC2
Hướng dẫn giải
Chọn B
△ABC vuông tại B nên AC là cạnh huyền và BA, BC là hai cạnh góc vuông
Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có: AC2 = BA2 + BC2
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 26 cm, AC = 10 cm. Chu vi của tam giác ABC bằng
A. 60 cm
B. 56 cm
C. 51 cm
D. 48 cm
Hướng dẫn giải
Chọn A
△ABC vuông tại A nên
BC2 = AB2 + AC2
⇔ AB2 = BC2 – AC2 = 262 – 102 = 576
⇒ AB = 24
Chu vi của △ABC là:
AB + AC + BC = 24 + 10 + 26 = 60 cm
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, H ∈ BC
Giá trị của x bằng
A. x = 16 cm
B. x = 9 cm
C. x = 8 cm
D. x = 7,5 cm
Hướng dẫn giải
Chọn A
Áp dụng định lí Py-ta-go trong các tam giác vuông, ta có:
+) Xét △ABC vuông tại A, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 152 + 202 = 625 ⇒ BC = 25 cm
Suy ra: BH = 25 – x (cm)
+) Xét △ABH vuông tại H và △ACH vuông tại H, ta có:
AB2 = AH2 + BH2
AC2 = AH2 + CH2
⇒ AB2 – BH2 = AC2 – CH2 (= AH2)
⇒ 152 – (25 – x)2 = 202 – x2
⇒ x = 16 cm
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính độ dài BC biết CA = 8 cm và BA = 4 cm.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí Py-ta-go trong △ABC vuông tại A, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 42 + 82 = 80
⇒ BC = (cm)
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A . Tính độ dài các cạnh của tam giác biết AB : BC = 5 : 13 và chu vi tam giác là 90 cm.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí Py-ta-go trong △ABC vuông tại A, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 (1)
Ta có:
Thay vào (1), ta có:
(13k)2 = (5k)2 + AC2
⇒ AC2 = (13k)2 – (5k)2 = 144k2
⇒ AC = 12k
Mà chu vi tam giác bằng 90 cm nên
AB + BC + CA = 90
⇒ 5k + 13k + 12k = 90 ⇒ k = 3
Vậy AB = 5k = 15 cm; BC = 13k = 39 cm.
Câu 6: Trên hình bên, cho biết AD ⊥ DC, DC ⊥ BC, AB = 13 cm, AC = 15 cm, DC = 12 cm.
Tính độ dài đoạn thẳng BC.
Hướng dẫn giải
Dựng AH ⊥ BC với H ∈ BC
Do AD // BC nên (hai góc so le trong)
Xét △AHC và △CDA, có:
AC chung
Do đó: △AHC = △CDA (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra: AH = CD = 12 cm (hai cạnh tương ứng)
Áp dụng định lí Py-ta-go trong các tam giác vuông
+) △AHC vuông tại H có:
CH2 = AC2 – AH2 = 152 – 122 = 81
⇒ CH = 9 cm
+) △ABH vuông tại H có:
BH2 = AB2 – AH2 = 132 – 122 = 25
⇒ BH = 5 cm
Do đó: BC = BH + CH = 9 + 5 = 14 cm
Dạng 2: Sử dụng định lý Py-ta-go đảo để chứng minh tam giác vuông
Phương pháp giải
Sử dụng độ dài các cạnh trong tam giác và dùng định lí Py-ta-go đảo để kiểm tra tam giác vuông.
Bước 1. Xác định cạnh có độ dài lớn nhất của tam giác và hai cạnh còn lại. Tính giá trị bình phương độ dài cạnh lớn nhất và tổng bình phương hai cạnh còn lại.
Bước 2. So sánh hai giá trị tính được để kiểm tra có thỏa mãn định lí Py-ta-go đảo hay không.
Nhận xét:
+) Ví dụ trên đề cập đến một tam giác vuông có độ dài các cạnh là các số nguyên (3, 4, 5). Ta cũng chứng minh được tam giác với độ dài các cạnh là bội số tương ứng (3k, 4k, 5k) cũng là tam giác vuông.
+) Ngoài ra, ta có thể chứng minh có một số bộ số nguyên (và bội số của các bộ số này) là độ dài các cạnh của tam giác vuông như: (5; 12; 13), (7; 24; 25), (9; 40; 41),…
Ví dụ: Cho △ABC có AB = 4 cm, AC = 3 cm, BC = 5 cm. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.
Hướng dẫn giải
Ta có: BC = 5 cm có độ dài lớn nhất (dự đoán có thể là cạnh huyền của tam giác vuông).
Ta có: BC2 = 52 = 25;
AB2 + AC2 = 42 + 32 = 25
Suy ra: AB2 + AC2 = BC2
Do đó theo định lí Py-ta-go đảo, tam giác ABC vuông tại A.
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Bộ số nguyên nào dưới đây là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông?
A. (3; 5; 7)
B. (4; 6; 8)
C. (8; 12; 15)
D. (12; 16; 20)
Hướng dẫn giải
Chọn D
+) 72 = 49 ≠ 34 = 32 + 52 nên (3; 5; 7) không là độ dài của 3 cạnh trong tam giác vuông.
+) 82 = 64 ≠ 52 = 42 + 62 nên (4; 6; 8) không là độ dài của 3 cạnh trong tam giác vuông.
+) 152 = 225 ≠ 208 = 122 + 82 nên (8; 12; 15) không là độ dài của 3 cạnh trong tam giác vuông.
+) 202 = 400 = 122 + 162 nên (12; 16; 20) là độ dài của 3 cạnh trong tam giác vuông.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Bộ số nào dưới đây không phải là độ dài các cạnh của tam giác vuông?
A. 15 cm; 20 cm; 25 cm
B. 3 cm; 7 cm; cm
C. 7 cm; 24 cm; 25 cm
D. 5 cm; 7 cm; cm
Hướng dẫn giải
Chọn D
Vì nên bộ ba số 5 cm; 7 cm; cm không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
Câu 2: Cho tam giác ABC có đường cao AH (H ∈ BC). Biết rằng AH2 = BH⋅CH. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí Py-ta-go trong các tam giác vuông, ta có:
+) Xét △ABH vuông tại H, có:
AB2 = BH2 + AH2
+) Xét △AHC vuông tại H, có:
AC2 = AH2 + CH2
Cộng từng vế 2 đẳng thức, ta được:
AB2 + AC2 = BH2 + 2AH2 + CH2
Theo giả thiết AH2 = BH⋅CH nên
AB2 + AC2
= BH2 + 2AH2 + CH2
= BH2 + BH⋅CH + BH⋅CH + CH2
= BH⋅(BH + CH) + CH⋅(BH + CH)
= BH⋅BC + CH⋅BC (do BH + CH = BC)
= (BH + CH)⋅BC = BC⋅BC = BC2
Vậy AB2 + AC2 = BC2
Theo định lí Py-ta-go đảo ta có △ABC vuông tại A.
Câu 3: Cho hình vẽ bên. Biết MP = 6 cm, NQ = 8 cm, MN = 2 cm, QP = 8 cm và .
Chứng minh rằng: MP ⊥ NQ.
Hướng dẫn giải
Qua N, dựng NH // MP với H ∈ PQ
Suy ra: (hai góc so le trong)
Ta có: (giả thiết) nên MN // PQ
Suy ra: (hai góc so le trong)
Xét △MNP và △HPN, có:
NP là cạnh chung
Do đó: △MNP = △HPN (g.c.g)
Suy ra: PH = MN = 2 cm; NH = MP = 6 cm
Khi đó △NQH có: NQ = 8 cm, NH = 6 cm
và QH = QP + PH = 8 + 2 = 10 cm
Ta có: NQ2 + NH2 = 82 + 62 = 100
QH2 = 102 = 100
Suy ra: NQ2 + NH2 = HQ2
Do đó: △NQH vuông tại N (định lí Py-ta-go đảo)
⇒ NH ⊥ NQ
Mà: NH // MP (cách dựng) nên MP ⊥ NQ